CC BY
24
УДК 330.36.012.4
А. С. Богомолова, Д. В. Колюжнов
Новосибирский государственный университет ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия
Center for Economic Research and Graduate Education ул. Политицких везню, 7, Прага 1, 111 21, Чехия
E-mail: anna.bogomolova@cerge-ei.cz; dmitri.kolyuzhnov@cerge-ei.cz
СТАБИЛЬНОСТЬ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ В РАЗРЕЗЕ ОПТИМАЛЬНОЙ МОНЕТАРНОЙ ПОЛИТИКИ *
В этой статье мы расширяем анализ правил монетарной политики применительно к стабильности экономики, начатый Эвансом и Хонкапойей, до случая неоднородного обучения частных агентов. Мы тестируем правила монетарной политики в общей постановке неокейнсианской модели, которая сегодня является «рабочей лошадкой» моделей монетарной политики. Как оказалось, результаты, полученные Эвансом и Хонкапойей для случая однородного обучения, реплицируются для случая невыполнения гипотезы репрезентативного агента.
Ключевые слова: правила монетарной политики, неокейнсианская модель, адаптивное обучение, стабильность равновесия, неоднородные агенты.
Введение
Задача разработки стабилизационной монетарной политики очень часто изучается в рамках неокейнсианской (КК) модели. С помощью среды этой модели можно изучать различные правила монетарной политики для ответа на вопрос о том, какая из них более эффективна для сглаживания флуктуаций деловых циклов и какая монетарная политика не приведет к множественности равновесных состояний в нашей модели. Развернутый обзор различных правил монетарной политики в КК модели можно увидеть у Вудфорда [1]. Также очень часто цитируемыми работами по разработке правил монетарной политики являются статьи Клариды, Гали и Гертлера [2; 3]. Свенссон [4] проводит четкое различие между инструментальными и целевыми правилами монетарной политики и последствиями их применения.
Ряд недавних исследований также анализирует КК модель с адаптивным обучением агентов. Примерами являются статьи Эванса и Хонкапойи (далее Е&Н) [5; 6], Булларда и Митры (далее В&М) [7], Хонкапойи и Митры (далее Н&М) [8] о стабильности экономики при различных правилах монетарной политики. Е&Н [5; 6] рассматривают вопрос стабильности при обучении для оптимальных правил монетарной политики в экономиках с адаптивным обучением.
Понятие адаптивного обучения агентов в экономических моделях представлено как особая форма ограниченной рациональности, в защиту которой выступает Сарджент [9]. Как
* Часть этой статьи была написана в то время, когда авторы были приглашенными аспирантами в Кэмбридж-ском университете, Великобритания. Авторы выражают особую благодарность своему научному руководителю в Кэмбридже, Сеппо Хонкапойе, за постоянную поддержку этого исследования и неоценимую помощь. Авторы сами несут ответственность за возможные ошибки.
Авторы благодарят участников V Ежегодной конференции Европейского экономического и финансового сообщества (European Economics and Finance Society (EEFS 2006)) «European Labour Markets, Trade and Financial Flows and Economic Growth» в Гераклионе, Крит, Греция, Май, 2006 и участников конференции Собщества экономической динамики (SED 2007) в Праге, Чешская Республика, Июнь, 2007 за ценное обсуждение.
ISSN 1818-7862. Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки. 2011. Том 11, выпуск 2 © А. С. Богомолова, Д. В. Колюжнов, 2011
обосновывает Сарджент, представляется более естественным предполагать, что в модельной экономике агенты сталкиваются с такими же ограничениями, как и экономисты (в том смысле, что экономисты сами должны изучать структуру модели и ее параметры), и рассматривать агентов как эконометристов, которые предсказывают будущее состояние экономики.
Использование адаптивного обучения в экономической модели делает возможным тестирование гипотезы рациональных ожиданий, т. е. проверка того, сходится ли данная динамическая модель во времени к соответствующему этой модели равновесию при рациональных ожиданиях (REE). Оно также может быть использовано как инструмент выбора в моделях с множественным равновесием. Даже если модель имеет единственное REE, все равно интересно проверить, верна ли гипотеза рациональных ожиданий при наличии обучения, при помощи проверки сходимости нашей модели с обучением к данному REE. В обоих случаях (множественное или единственное REE) необходимо проверить определенные условия стабильности. После анализа условий стабильности следующим шагом может быть изучение правил политики на эффективность и единственность равновесия, что предполагает или гарантирует выполнение ограничений на структуру модели, обеспечивающих стабильность.
Поэтому перед тем, как начать анализировать определенную монетарную политику на эффективность (оценивая определенный тип правила политики: правило Тэйлора, оптимальное правило, правило с обязательством или без него), нужно взять общий вид линейного правила политики, подставить его в структурную форму NK модели и получить некоторую общую линейную сокращенную форму (RF) этой модели. При прочих равных условиях (одинаковых структурных уравнениях: кривой Филлипса и линии IS) мы можем получить различные RF в зависимости от правила политики, используемого экономическими властями. Следовательно, мы получаем различные REE и разные результаты стабильности. В этой статье мы изучаем стабильность NK модели при следующей классификации правил политики, предложенных E&H [6].
В зависимости от предположений, которые делает центральный банк (ЦБ) об ожиданиях частных агентов (фирм, домашних хозяйств), E&H [6] делят все правила политики на правила, основанные на фундаментальных переменных (FB), и на правила, основанные на ожиданиях (EB). Правило FB возникает, когда регулятор предполагает рациональные ожидания (RE) частных агентов, в то время как правило EB учитывает возможно нерациональные ожидания агентов (предполагая, что эти ожидания наблюдаемы ЦБ) 1.
Мы рассматриваем вопрос стабильности при предположении о неоднородном обучении агентов. Как было показано в статьях Гианнитсару (далее G) [10] и H&M [11], результаты стабильности могут различаться в случаях однородного и неоднородного обучения. H&M [11] также показывают, что стабильность может зависеть от взаимодействия структурной неоднородности и неоднородности в обучении, а H&M [8] исследуют, как структурная неоднородность в NK модели может повлиять на результаты стабильности при различных правилах политики.
Заметим, что, хотя H&M [8] рассматривают неоднородность в обучении в NK модели, их определение неоднородности подразумевает ситуацию, когда ЦБ и частные агенты используют (возможно) различные алгоритмы обучения с (возможно) различными параметрами этих алгоритмов. По сути дела, они рассматривают ситуацию, когда все частные агенты могут быть представлены одним репрезентативным агентом, и в этом смысле обучение частных агентов, рассмотренное H&M является однородным. В определенном смысле ситуацию, рассмотренную H&M, можно назвать двусторонним обучением в структурно неоднородной двумерной экономике.
1 Необходимо отметить, что в правилах Тэйлора текущее значение процентной ставки зависит от текущих значений инфляции и отклонения выпуска. В этой статье мы изучаем стабильность при правилах политики, полученных из задачи минимизации целевой функции экономических властей, в частности изучаем две их категории, согласно классификации E&H [6]: правила политики, основанные на фундаментальных переменных, и правила политики, основанные на ожиданиях экономических агентов. Стабильность при правилах Тэйлора, не подпадающих под эту классификацию, будет изучена в отдельной работе.
В этой статье мы не рассматриваем обучение ЦБ и предполагаем, следуя Е&Н [6], что регулятор берет ожидания частных агентов как данные или предполагает и знает точную структуру их рациональных ожиданий; в то же время мы полностью задействуем ситуацию неоднородного обучения частных агентов. Случай внутреннего прогнозирования ЦБ (включающий случай правил Тэйлора) в ситуации неоднородного обучения агентов, который развивает модель Н&М [8], поскольку Н&М рассматривают только ситуацию репрезентативного частного агента, является темой нашего дальнейшего исследования.
Изначально неоднородное обучение в общей постановке самообусловленной линейной стохастической модели исследовалось О [10], а целью внедрения неоднородного обучения агентов была проверка влияния гипотезы репрезентативного агента на результаты стабильности, т. е. проверка возможности безболезненно применять эту гипотезу в моделях с обучением. Было показано, что для некоторых случаев имеет смысл рассматривать неоднородную постановку задачи. Наша статья рассматривает вопрос стабильности при правилах монетарной политики, поэтому, хотя мы на самом деле доказываем, что гипотеза репрезентативного агента выполняется для КК модели, акцент в нашей статье смещен в сторону от проверки важности (влияния) гипотезы репрезентативного агента.
Мы, по существу, анализируем на стабильность модель при неоднородном обучении в такой же манере, в какой Е&Н [6] анализировали на стабильность модель при однородном (когда все агенты заменены репрезентативным агентом) обучении 2. В нашей статье мы связываем условия стабильности для определенной категории линейных правил монетарной политики Е&Н [6] с анализом стабильности при неоднородном обучении О [10].
Сначала покажем, используя общий критерий Н&М [11], что в моделях неокейнсианского типа стабильность может быть проанализирована с помощью только структурных параметров, какой бы тип неоднородного обучения ни использовался. Результатами, подтверждающими это, являются полученные в этой статье достаточные и необходимые условия стабильности структурно однородной модели в терминах ограничений на собственные числа матрицы структурных параметров и достаточные условия стабильности в терминах агрегированной экономики, полученные в статье Колюжнова [12], где вводится понятие стабильности при неоднородном обучении, названное 5-стабильностью. Затем мы применяем эти результаты для получения результатов стабильности и нестабильности при неоднородном обучении для двух категорий правил политики: ББ и ЕВ, в модели с произвольным числом типов агентов.
В результате, наша работа выглядит, с одной стороны, как связь между изучением стабильности при правилах монетарной политики для однородного обучения Е&Н [6] и изучением условий стабильности при неоднородном обучении О [10], связь через условия 5-стабильности, полученные нами для общей постановки модели Н&М [11], и через общий критерий стабильности Н&М [11]. С другой стороны, это исследование может служить еще одним экономическим примером, демонстрирующим применение достаточных и необходимых условий 5-стабильности.
В статье мы представляем базовую КК модель, обсуждаем общие результаты стабильности при неоднородном обучении и понятие 5-стабильности, введенное в статье Колюж-нова [12], даем необходимые и достаточные условия 5-стабильности для структурно однородных моделей, описываем два типа оптимальных правил монетарной политики и структуру сокращенных форм для каждого типа, а так же даем результаты стабильности и нестабильности для типов оптимальной монетарной политики, рассматриваемых применительно к КК модели.
2 E&H [6] изучают условия стабильности при правилах монетарной политики для случая однородного обучения. Их основной вклад (как для одностороннего, так и для двустороннего обучения) заключается в том, что они показали, что при правилах политики, основанных на фундаментальных переменных, REE модели всегда нестабильно, а при оптимальном правиле политики, основанном на ожиданиях агентов, всегда стабильно. В этих двух случаях сокращенная форма модели разная, что означает, как следствие, разницу в результатах стабильности. Таким образом, значение для экономической политики такого анализа стабильности заключается в том, что при данной структуре неокейнсианской модели (два структурных уравнения) центральный банк может влиять на результат своей политики, выбирая подходящее оптимальное правило монетарной политики: такое, которое гарантирует сходимость к конкретному REE.
Модель
Мы рассматриваем общую NK модель с наблюдаемыми стационарными AR(1) шоками. Структурная форма модели выглядит следующим образом:
Xt = Ci - ф(1 - Ёп + 1) + Etxt + 1 + Xi'wt ; (1)
п = С2 + Ixt + ß Ёп + 1 + X2'Wt , (2)
где первое уравнение задает линию IS, а второе - задает кривую Филипса; xt есть отклонение выпуска от выпуска, достигаемого при равновесии при рациональных ожиданиях при абсолютно гибких ценах и нулевом уровне инфляции; nt - темп инфляции; c1, c2, ф - константы, соответствующие структуре данной экономики, большие нуля; 0 < ß < 1 - коэффициент дисконтирования функции полезности домашних хозяйств во времени; wt = [w1t, ..., wkt]' есть вектор наблюдаемых AR(1) шоков:
Wit = PWV1 + Vit, |Pi| < 1, Vit н.о.р.с.в.(0, Gi2), i = 1, k. (3)
Для включения неоднородности в модель мы предполагаем, что есть S типов частных агентов, характеризуемых долей Zh > 0 в экономике, £Sh = ^ = 1. Таким образом, ЁtXt + 1 = TSh = 1^htXt + 1, Ёп + 1 = Jfh = 1^нЁнп + 1, где ЁhtXt + 1 и + 1 - ожидания (в общем случае нерациональные), сформированные в момент времени t, частного агента типа h об отклонении выпуска и инфляции следующего периода соответственно.
Модель (1)-(3) является общей формулировкой моделей, которые выводятся на основе микроэкономических задач, рассматриваемых в литературе по макроэкономике и монетарной экономике. Два основных уравнения NK модели, кривая Филлипса и линия IS, получаются из задач оптимизации репрезентативного домашнего хозяйства и репрезентативной монополистически конкурентной фирмы при предположении о ценобразовании по Кальво [13] в ценовой политике фирмы. Таким образом, две кривые NK модели выведены с использованием условий оптимальности из задач экономических агентов (домохозяйств и фирм). Вывод этих двух кривых для стандартной NK модели можно найти, например, в учебнике Волша [14]. Описание NK модели можно также найти у Вудфорда [1; 15] и Кристиано, Эйхенбаума и Эванса [16].
Предполагается, что при решении своих оптимизационных задач частные агенты берут процентную ставку (входящую в уравнение линии IS) как заданную. Процентная ставка, в свою очередь, устанавливается регулятором - ЦБ. Во многих исследованиях вопросов монетарной политики (в контексте NK модели) обычно предполагается, что регулятор для установления процентной ставки использует некоторое линейное правило, зависящее от состояния экономики.
Подставляя правило для процентной ставки в уравнение линии IS, мы получаем сокращенную форму модели. Используя те же самые NK уравнения (линии IS и кривой Филлип-са), мы можем для разных правил монетарной политики получить различные сокращенные формы, которые имеют общий вид двумерной системы со стационарным AR(1) процессом наблюдаемых шоков:
yt = а + АЁу + 1 + Bwt , (4)
yt = [nt Xt]' , (5)
и (3).
В дальнейшем для получения результатов стабильности мы позволим некоторое обобщение (поскольку по сравнению с двумерной моделью разница будет выражаться лишь в обозначении) и рассмотрим многомерную (а не только двумерную) систему (4) со стационарным AR(1) процессом наблюдаемых шоков (3).
В наших обозначениях сокращенная форма записана в таком виде, что она включает все факторы, которые присутствуют в структурной форме. Это означает, что отсутствие некоторого фактора в сокращенной форме в наших обозначениях выражается соответствующим нулевым столбцом матрицы B. Заметим, что мы принимаем такое обозначение здесь, чтобы позднее иметь возможность рассматривать различные спецификации алгоритмов обучения,
включающие факторы из различных множеств 3. Таким образом, наши обозначения самые общие, какие только могут быть.
В моделях с ограниченной рациональностью в форме адаптивного обучения предполагается, что агенты не знают равновесия при рациональных ожиданиях и вместо этого имеют свое собственное понимание о взаимосвязи между переменными в модели. Коэффициенты в этой взаимосвязи (называемые убеждениями) обновляются каждый период по мере того, как поступает новая информация по наблюдаемым переменным (в этом смысле агенты моделируются как статистики или эконометристы). Для начала мы предполагаем, что агенты имеют следующую воспринимаемую взаимосвязь между переменными в экономике, называемую воспринимаемым законом движения (PLM):
yt = ah + rVfo
~h г h h v T^h rhhhhhhn ~
где a = [a 1 a 2] , Г = [у 1Ь у 12, ..., у щ у 21, У 22, ..., У 2k] в двумерном случае, который включает все компоненты wt. Чуть позднее мы ослабим это предположение. Хотя мы предполагаем, что параметры PLM могут отличаться по агентам, мы полагаем, что структура PLM уравнений одинакова для всех агентов. Мы также можем записать средний (или агрегированный) PLM, используя веса агентов:
yt = a + rwt, где a = J\ = 1 Z^ah, Г = J\ = 1 Zhrh. (6)
Таким образом, агенты имеют следующие прогнозные функции, основанные на их PLM уравнениях:
Eyt + 1 = ah + rhdiag(pi, pk)wb и, следовательно, средняя прогнозная функция задана как
Eyt + 1 = JSh = 1Zh(ah + rhdiag(p1, pk)w) = a + rdiag(pb pk)wt. (7)
После подстановки средней прогнозной функции (7), соответствующей среднему PLM (6), в сокращенную форму (4), мы получаем действительный закон движения (ALM):
yt = Aa + a + (Ardiag(p1, pk) + B)wt. (8)
Равновесие при рациональных ожиданиях (REE), определяемое как Eyt + 1 = Eyt + 1 = Ehyt + 1 (описание понятия рациональных ожиданий (RE) см., например, в монографиях Сарджента [9] или E&H [17]), может быть посчитано приравниванием параметров среднего PLM (6) соответствующим параметрам ALM (8). Если мы определим отображение T как отображение убеждений из среднего PLM (6) в ALM (8),
T(a, Г) = (Aa + a, Ardiag(pb pk) + B), (9)
мы сможем записать условие REE как T(a, Г) = (a, Г).
Теперь мы расширим множество рассматриваемых PLM уравнений. Начнем со следующего определения.
Определение 1. Множество активных факторов - это подмножество реализованных значений wit до момента времени t включительно и константы, используемое экономическими агентами в своих PLM уравнениях 4.
Также в записанных выше PLM уравнениях было использовано следующее предположение. Предположение 1. Агенты включают в PLM каждой эндогенной переменной все факторы из своего множества активных факторов.
По сути, в предположении 1 утверждается, что мы можем записать PLM уравнения каждого агента в матричной форме, не устанавливая a priori коэффициенты перед некоторыми факторами равными нулю. К тому же мы предполагаем, что все агенты используют одинаковый набор факторов (что в матричной форме означает, что они используют один и тот же вектор). Также заметим, что подобные предположения на матричную формулировку PLM уравнений были сделаны G [10] и H&M [11].
3 Пример, когда сокращенная форма модели может не включать все шоки, присутствующие в качестве факторов в структурной форме, можно найти у Е&Н [6], которые использовали неокейнсианскую модель в постановке Клариды, Гали и Гертлера [2].
4 Заметим, что под множеством активных факторов мы имеем в виду не те переменные, которые известны агентам в момент времени Г на самом деле, но по существу те переменные, которые используются агентами в своих РЬМ
уравнениях (подмножество которых может быть меньше множества действительно доступных переменных).
В нижеследующих утверждениях сформулированы необходимые и достаточные условия существования и единственности REE в общей многомерной модели со стационарным AR(1) процессом наблюдаемых шоков, полученные нами в [18]. Чтобы сформулировать эти утверждения, мы обозначим константу в множестве активных факторов через wo и примем ро = 1, а B° = al. Таким образом, i принимает целые значения от 0 до k. Мы обозначим это множество
через Io и соответствующее множество нижних индексов, взятых из Io = {0, 1, ..., k}, как Io*. Заметим, что константа всегда включается как фактор в любое множество активных факторов, т. е. 0 всегда принадлежит Io*.
Утверждение 1 (Необходимые и достаточные условия существования REE). При предположении 1 решение REE существует тогда и только тогда, когда множество активных факторов включает среди прочих все wi такие, что B1 Ф 0 в сокращенной форме и
rank(pA - I) = rank(pA - I, Bi) для всех включенных i таких, что det(pA - I) = 0 и Bi Ф 0.
Доказательство см. в приложении. □
Утверждение 2 (Необходимые и достаточные условия существования и единственности REE). При предположении 1 решение REE существует и единственно тогда и только тогда, когда множество активных факторов включает среди прочих все wt такие, что B i Ф 0 в сокращенной форме и для всех включенных w, det(pA - I) Ф 0.
Доказательство см. в приложении. □
Таким образом, в дальнейшем мы всегда будем предполагать, что предположение 1 и необходимые и достаточные условия 5 для существования REE выполняются. В общем, мы предполагаем, что агенты используют в обоих уравнениях своих PLM как минимум все рег-рессоры, которые появляются в правой части сокращенной формы (4), и что решение REE (будь то единственное или множественное) существует при таких PLM. Таким образом, мы рассматриваем все возможные PLM, удовлетворяющие этим условиям.
После специфицирования PLM уравнений агентов и условий существования и единственности REE мы готовы включить неоднородное обучение агентов в рассматриваемую экономику и получить условия стабильности REE при этом обучении. Затем мы используем эти условия для изучения стабильности при неоднородном обучении в общей NK модели при оптимальных правилах монетарной политики.
Неоднородное обучение и понятие 8-стабильности
Рассматриваемая модель (3) и (4) принадлежит к классу многомерных вперед смотрящих экономических моделей (т. е. моделей с ожиданиями будущих значений эндогенных переменных). Таким образом, мы естественным образом используем общую постановку задачи и обозначения из статьи H&M [11], которые первыми сформулировали общий критерий стабильности многомерной вперед смотрящей экономики при неоднородном обучении.
H&M [11] рассматривают следующий класс линейных структурно неоднородных вперед смотрящих моделей с S типами агентов, имеющими различные прогнозы:
yt = а + ISh = Ah&yt + 1 + Bwt, (10)
wt = Fwt - 1 + Vt, (11)
где yt - это n x 1 вектор эндогенных переменных; wt - это k x 1 вектор экзогенных переменных; vt - это k x 1 вектор белошумовых шоков; Ёгу1: + 1 - это (в общем случае нерациональные) ожидания вектора эндогенных переменных агентом типа h; Mw = limt^<»wtwt' - положительно определенная матрица, и F такова, что wt следует стационарному VAR(1) процессу.
5 Приведенные утверждения имеют значения, сходные по смыслу с утверждением 1 H&M [11]: условие требует, чтобы матрицы, участвующие в получении RE значений убеждений, были обратимыми. Таким образом, эти утверждения подчеркивают тот факт, что нам известно о случаях, когда REE может не существовать, и об условиях, требуемых для его существования (и единственности).
РЬМ представлен в (6). Предполагается, что одна часть агентов, к = 1, ..., "о, использует
алгоритм обучения КЬ8, в то время как другая их часть, к = "о + 1, ..., S, использует алгоритм
обучения 80 6. Более того, предполагается, что все они используют возможно различные степени отклика на функцию обновления, представленные различными степенями инерции 5к > 0, постоянными коэффициентами перед общей для всех агентов убывающей последовательности коэффициентов приращений в алгоритме обучения.7
Следует отметить, что рассматриваемая модель (3) и (4) принадлежит подклассу моделей, рассмотренных Н&М [11], а именно классу структурно однородных вперед смотрящих моделей. Структурная неоднородность в постановке Н&М [11] выражается через матрицы Ак, которые, по предположению, включают в себя массовую долю С^ каждого типа агентов, т. е. Ак = ^Ак, где Ак определяется как матрица, описывающая, как агенты типа к реагируют на свои прогнозы. Когда Ак = А для всех к и = 1, экономика является структурно однородной.
Применив условия структурно однородной экономики, Ак = С^А, где = 1^к = 1 и 1 > С,к > 0, к модели (10) и (11), рассмотренной Н&М [11], мы получим
у, = а + Хк = Ак&у + ! + Bwt, = а + Хк = 1^АЁку, + 1 + Bwt = = а + А^к = + 1 + Bwt = а + АЁ,среднееу, + 1 + Bwt,
что в точности является формулировкой структурно однородной модели, рассмотренной О [10] 8. Таким образом, условия стабильности, верные для (более широкого) класса структурно неоднородных вперед смотрящих моделей, остаются верными для класса структурно однородных моделей.
Обозначив г, = (1, wt')' и Фк, , = (ак, ,, Ьк,,)', формальное представление алгоритмов обучения в этой модели запишем следующим образом:
КЬ8: для к = 1, ..., "о
Фк, , + 1 = Фк, , + ак, , + Кк, ,'1г,(у, - Фк, '; (12)
Кк, Г + 1 = Кк, Г + ак, Г + 1(г,- — 1' - Кк, ,).
80: для к = "о + 1, ..., "
Фк, , + 1 = Фк, , + ак, , + lz(yt - Фк, '. (13)
Н&М [11] показывают, что стабильность КЕБ, Ф,, в этой модели определяется общим критерием стабильности для этого класса моделей, который представлен в утверждении 5 статьи Н&М [11]. В экономике (10) и (11) смешанное КЬ8/80 обучение глобально сходится (почти наверное) к решению с минимальным количеством переменных состояния (М8У) тогда и только тогда, когда все собственные числа матриц D1Q и Ю-нО.р имеют отрицательные реальные части, где
А = сИа^» ., 8/я), ^ = ((Аь ., А5;.; Аь ., А") - /п5); (14)
Dw = diag(Dwl, ., Dws), Dwк = Ыл, к = 1, ., "о, Dwк = Ь^(Mw ® 1П), к = "о + 1, .,
Пр = ((Р ® Аь ..., Р ® А5;...;Р' ® А1, ..., Р ® А") - 1Л"),
а ® означает произведение Кронекера.
Заметим, что Н&М [11] в своей постановке модели предполагают, что агенты используют РЬМ уравнения, соответствующие так называемому М8У решению, т. е. включают все
6 Предполагается, что часть агентов, использующая RLS, более изощренна в своем обучении, поскольку с эконометрической точки зрения алгоритм RLS более эффективен, так как он использует информацию о вторых моментах.
7 H&M [11] используют более общую формулировку степеней инерции.
8 Неоднородное обучение в структурно однородном случае было рассмотрено G [10] для более общего класса самообусловленных линейных стохастических моделей, который включает в себя случай вперед смотряшдх моделей. Поскольку наша постановка модели не предполагает лаговые эндогенные переменные, мы концентрируемся на структурно однородном случае вперед смотрящих моделей, которые принадлежат подклассу моделей, рассмотренных G [10], и в то же самое время являются частным случаем модели H&M [11].
факторы, присутствующие в правой части уравнений сокращенной формы. Однако в своих доказательствах условий стабильности H&M [11] не накладывают никаких ограничений на матрицу B. Это означает, что мы можем, в принципе, включить в рассмотрение дополнительные факторы в обучении из тех, что входят в сокращенную форму с нулевыми коэффициентами в матрице B для всех агентов. Это означает, что мы можем рассмотреть условия критерия для всех возможных PLM, включающих (среди прочих) все факторы, присутствующие в правой части уравнений сокращенной формы, удовлетворяющих условиям существования, сформулированным в предыдущей главе.
Д. В. Колюжнов [12] показывает, что в «диагональной» среде, а именно
F = diag(p1, ..., pk), Mw = limt^ww/ = diag(G12/(1 - P12), ..., Gk2/(1 - Pk2)), (15)
которую мы рассматриваем в этой статье, задача поиска условий стабильности для обеих матриц и DwQF упрощается до поиска условий стабильности матриц D1Q и D1Qpl, где Qpl получается из Q заменой всех Ah на pAh, где |pl < 1, поскольку wt следует стационарному VAR(1) процессу:
Qpi = ((Р1А1, ., pAs; .; Р1А1, ., pAs) - InS), для всех l = 0, ., k, (po = 1). (16)
Д. В. Колюжнов [12] использует особенную блочно-диагональную структуру матрицы D1, чтобы сформулировать понятие 5-стабильности по аналогии с терминологией понятия D-ста-бильности матриц, которые остаются стабильными после умножения справа любой положительной диагональной матрицей, рассматриваемого, например, в статье Джонсона [19].
Определение 2. Для данного числа эндогенных переменных, n, и данного числа типов агентов, S, 5-стабильность определяется как стабильность экономики при смешанном RLS/SG обучении для любых (возможно различных) степеней инерции агентов, 5 > 0 9.
Заметим, что понятие 5-стабильности охватывает стабильность при трех типах неоднородного обучения, рассмотренного G [10]. Важно отметить, что в случае неоднородного обучения в структурно однородной экономике, который мы рассматриваем в данной модели, критерий H&M [11] упрощается до условий на матрицы Якоби, рассмотренных G [10]. Во-первых, как обсуждалось выше, для получения структурно однородной экономики необходимо заменить Ah в модели H&M на ZA Затем в соответствии с рассматриваемым конкретным типом неоднородного обучения нужно сделать следующие упрощения в модели.
Первый тип неоднородного обучения характеризуется различными начальными восприятиями агентов и одинаковыми степенями инерции. Этот тип неоднородного обучения в терминологии H&M [11] называется временно неоднородным обучением. Условие стабильности при таком обучении легко получается из выше сформулированного критерия путем приравнивания всех 5 и установления So равной S или 0 для получения временно неоднородного
RLS или SG обучения соответственно.
Второй тип неоднородного обучения, рассмотренный G [10], заключается в том, что агенты используют разные степени инерции и один на всех тип алгоритма обучения (RLS или SG). Это то, что H&M [11] называют устойчиво неоднородным обучением в слабой форме.
Матрицы Якоби для этого случая легко получаются путем приравнивания So к S или к 0 для получения неоднородного RLS или SG обучения соответственно и при этом допускаются возможно различные 5.
Третий тип неоднородного обучения, рассмотренный G [10], характеризуется возможно различными начальными восприятиями, возможно различными степенями инерции и разными типами алгоритмов обучения (RLS или SG), используемыми разными агентами. Такой вид обучения H&M [11] называют устойчиво неоднородным обучением в сильной форме. Матрицы Якоби для этого случая получаются записыванием общего критерия стабильности для структурно однородного случая, т. е. установлением Ah = ZhA.
9 Условия 5-стабильности на матрицу Якоби в общей вперед смотрящей модели H&M [11] не зависят от конкретной точки рановесия (в случае множественного равновесия), поскольку система дифференциальных уравнений в этой модели линейна, и в этом случае первые производные правых частей ассоциированного дифференциального уравнения не зависят от конкретного значения REE. Поэтому если условия стабильности выполняются для данной матрицы Якоби, то все точки равновесия являются стабильными. Сходимость к конкрентной точке зависит от начальных условий. В этой статье мы не рассматриваем вопрос выбора равновесия.
Связь между выше описанными типами неоднородного обучения в формулировках О [10] и Н&М [11] можно удобно систематизировать с помощью таблицы.
Типы неоднородного обучения
Тип неоднородности в обучении Тип алгоритма обучения Предположе! H&M ия в модели (2006)
структурно неоднородная структурно однородная
Ah = ZhAh Ah = ZhA
I. Разные начальные восприятия (временно неоднородное обучение) RLS SG 5h = 5 для всех h, S0 = S 5h = 5 для всех h, S0 = 0
II. Разные степени инерции (устойчиво неоднородное обучение в слабой форме) RLS SG S0 = S S0 = 0
III. Разные алгоритмы обучения (устойчиво неоднородное обучение в сильной форме) RLS и SG
Заметим, что в «диагональном» случае (15) 5-стабильность не зависит от So. Таким образом, если экономика (10), (11) и (15) 5-стабильна, она стабильна при всех трех типах неоднородного обучения и при RLS и SG однородном обучении.
Условия 8-стабильности структурно однородных моделей
Установив универсальную роль понятия 5-стабильности для стабильности при описанных выше трех типах неоднородного обучения, мы представляем необходимые и достаточные условия. Сперва мы представляем читателю множество достаточных условий 5-стабильности, применимых в нашем случае, т. е. для класса структурно однородных моделей. Мы представляем (без доказательств) так называемые достаточное условие в терминах агрегированной экономики для случая структурно однородной экономики и достаточное условие «одинакового знака» для случая структурно неоднородной двумерной экономики, полученные Д. В. Колюжновым [12].
Утверждение 3. Для того чтобы структурно однородная экономика (4) и (3) была 5-ста-бильна, достаточно, чтобы хотя бы один из следующих максимальных агрегированных ß-коэф-фициентов (являющихся коэффициентами перед ожиданиями в одномерной вперед смотрящей модели, детали см. в [12]) max^jayj и max^jöj-j был меньше единицы, где aij обозначает элемент i-й строки и j-го столбца матрицы A.
Утверждение 4. В случае n = 2 экономика, задаваемая (10), (11) и (15), 5-стабильна, если соответствующая матрица Q, определенная в (14), стабильна и выполняется следующее условие «одинакового знака»:
det(-pAi) > 0, [det mix(-pAi, - pAj) + det mix(-pAj, -pAi)] > 0, для i ф j, Mx(-pAi) > 0
или
det(-pAi) < 0, [det mix(-pAi, -pAj + det mix(-pAj, -pAi)] < 0, для i ф j, M^-pAi) < 0,
для каждого l = 0, 1, ..., k, (po = 1),
где mix(-plAi, -pAj) обозначает матрицу структурных параметров попарно-смешанной экономики, которая составлена из столбцов пары матриц -plAi, -pAj, для любых i, j = 1, ..., S.
Некоторые необходимые условия и достаточные условия 5-стабильности для структурно однородного случая также возможно получить и в терминах значений собственных чисел матрицы структурных параметров сокращенной формы, A. Это возможно сделать путем прямого применения подхода, основанного на анализе характеристического уравнения.
Утверждение 5. Если все собственные числа A действительные и меньше единицы, то структурно однородная система (4) и (3) с двумя агентами 5-стабильна. Для того, чтобы
структурно однородная система (4) и (3) с любым числом агентов была S-стабильной, необходимо, чтобы все действительные корни матрицы A были меньше единицы. Это условие дает тест на отсутствие 5-стабильности.
Доказательство см. в приложении. □
Оптимальные правила монетарной политики и структура сокращенных форм
Получив и сформулировав условия стабильности при трех видах неоднородного обучения, обсуждавшиеся в предыдущем разделе, мы готовы исследовать общую NK модель (1), (2) и (3) на стабильность при неоднородном обучении в случае применения оптимальных правил монетарной политики. Здесь мы опишем типы оптимальных правил политики, анализируемых в этой работе.
Предполагается, что экономические власти решают задачу минимизации функции потерь, которая возникает из подхода гибкого целенаправленного регулирования инфляции (flexible inflation targeting) (режима монетарной политики, которого придерживались некоторые страны в 90-х гг.), описываемого и защищаемого Свенссоном [4]. У ЦБ здесь есть две возможности: проводить дискреционную политику, решая задачу в каждом периоде, либо обязаться следовать некоторому правилу, которое раз и навсегда получено из задачи минимизации функции потерь на бесконечном горизонте планирования. Свенссон [4] и Чеккетти [20] приводят аргументы в пользу первого варианта политики, которая по существу является обязательством придерживаться определенного поведения (минимизируя функцию потерь) с пересмотром оптимального правила каждый период для того, чтобы принять во внимание новую информацию. Среди приведенных ими аргументов - неэффективность (вообще) инструментальных правил, реагирующих только на целевые переменные или способ, согласно которому решения о монетарной политике принимаются на практике.
Функция потерь экономических властей на бесконечном горизонте планирования в подходе гибкого целенаправленного регулирования выглядит следующим образом:
= iP![a(xt +, - x*)2 + (п + - л>],
* * л
где x и л есть соответствующие целевые показатели отклонения выпуска и темпа инфляции; 0 < в < 1 - коэффициент дисконтирования; a > 0 - коэффициент, показывающий, насколько более значимо для экономических властей отклонение от цели значения одного показателя по сравнению с отклонением другого; Et - есть условное ожидание в момент времени t, а коэффициент 1/2 взят для удобства получения условий первого порядка.
Согласно обсуждению выше мы предполагаем дискреционную политику регулятора и задача минимизации функции потерь упрощается до решения каждый период следующей задачи:
min( 1/2) [a(xt - x*)2 + (л - л*)2] + Rt (17)
на ограничении nt = c2 + Xxt + Ft.
(ЦБ берет остаточные члены функции потерь, Rt, и ограничения (соответствующего кривой Филлипса) Ft = pËtnt + i + Хг'wt как данные).
Оптимальные правила политики, основанные на ожиданиях экономических агентов. Согласно E&H [6] оптимальное EB правило политики подразумевает, что ЦБ реагирует на (возможно нерациональные) ожидания частных агентов, при предположении, что эти ожидания наблюдаемы (или могут быть оценены). Его общий вид это
it = So + ЬлЁл + 1 + bxËjxt + 1 + Sw 'wt .
Коэффициенты этого правила получаются решением условий равновесия: структурных уравнений при нерациональных ожиданиях частных агентов (1) и (2) и условий первого порядка (FOC) оптимизационной задачи ЦБ (17), X(nt - л ) + a(xt - x ) = 0. Таким образом, оптимальное EB правило политики выглядит следующим образом:
it = So + S%ËtKt + 1 + SxËtxt + 1 + Sw'wt, (18)
где So = - (^2 + а)-1ф-1 (W + ax* - Xc2 - (a + Ц)^);
Sn = 1 + fl.2 + a)-V^P, Sx = ф-1, Sw = ф-1%1 + fl.2 + a)-V^2 .
Подставив это правило политики в уравнение линии IS, мы получим следующую сокращенную форму:
yt = cE + AEËyt + ! + xV Wt = Fwt - 1 + Vt,
yt = [nxt]', где F = diag(pi), |рг| < 1, Vit н.о.р.с.в. (0, ог2), i = 1, ..., n,
Ae = [ßa(P + a)-1 0; -ßM^ + a)-1 0], (19)
cE = [C2 + Mo - ф5о) 01-ф5о]', Xe = [X2 '(1 - + a)); '+ a)].
Заметим, что для получения матрицы AE и коэффициентов оптимального EB правила политики не нужно решение REE. Но решение REE понадобится для получения оптимального FB правила политики и поэтому будет посчитано в соответствующей части статьи.
Оптимальные правила политики, основанные на фундаментальных переменных. В общем виде FB правило политики (необязательно оптимальное) имеет вид
it = уо + = 1 ywlw,t = уо + у» 'Wt . (20)
Позднее мы покажем, что в этой модели существует единственное оптимальное FB правило политики, и получим его.
Подставляя это правило политики в структурную форму (1) и (2), мы получим следующую сокращенную форму:
yt = cF + AFËyt + 1 + xFWt, Wt = Fwt-1 + Vt,
yt = [n xt] ', где F = diag(pi), |рг| < 1, v^ н.о.р.с.в. (0, ог2), i = 1, n,
Af = [ß + Яф Я; ф 1], (21)
cF = [C1 - фуо C2 + Я(С1 - фуо)] ' , xF = [Я(-фу№ ' + X1 ') + X2 '; -фу» ' + X1' ] .
Согласно E&H [6], оптимальное FB правило политики при дискреционной политике центрального банка получается из задачи минимизации функции потерь, при условии, что ЦБ предполагает, что частные агенты имеют рациональные ожидания. Когда структура REE задана yt = a + rwt, это правило в общем виде выглядит как it = уо + yW'wt, где wt есть вектор
экзогенных переменных. Используя условия равновесия (структурные уравнения экономики (1) и (2) со встроенной структурой REE и FOC оптимизационной задачи центрального банка), мы получим коэффициенты REE и оптимальное FB правило политики.
Чтобы получить REE, сперва запишем ALM, используя уравнение кривой Филлипса (2), FOC оптимизационной задачи ЦБ и PLM в общем виде, yt = a + rwt, а затем, согласно определению REE, приравняем коэффициенты результирующего ALM к соответствующим коэффициентам PLM. Результирующий ALM выглядит так:
n = (С2 + ЦЯп* + ax*])/(^2 + a) + (aß/(P + a))[a1 + упр^и + ... + Y1nPnWnt] + (a/(A? + a))x2 Wt ,
xt = ((W + ax*)/a) - (A/a)nt ,
и REE выглядит так:
П = a1* + Yi = 1 Y1 i*Wit , (22)
* ^n *
xt = a2 + X i = 1 Y2iWit , где a1* = (c2 + АДп* + ax*])/^ + a(1 - ß)),
a2 = (Яп* + ax*)/a -(Щ^* = (- (Ma)c2 + (1 - ß)[^n* + ax*])/(P + a(1 - ß)),
Ун* = ax2iPi/(a(1 - ßpi) + Я2), j2* = - (X/a)Y1i* = ->X2iPi/(a(1 - ßpi) + F), i = 1, ., n.
Для того, чтобы получить оптимальное FB правило политики, нужно найти выражения для it, используя уравнение линии IS (1), подставив в нее полученное выше решение REE (22):
it = - (1^)(a2* + Xni = 172i*Wit) + (a1* + Xni = 171/Wit) + (1/ф)(a2* + Z" = тГр»«) + (1/ф)Х1 '»t.
В результате оптимальное FB правило политики выглядит как
it = уо* + yw* Wt , (23)
где уо* = a1*, у»* = (1/ф)[(у21(Р1 - 1). Y2n(Pn - 1)) + Х1] + (ynP1.--.y1nPn).
В обоих случаях оптимальных правил монетарной политики мы подставляем соответствующее правило политики в структурные уравнения и получаем соответствующие сокращенные формы модели. Эти сокращенные формы NK модели в формулировке Клариды, Гали и Гертлера [2; 3] изучались на стабильность при однородном RLS обучении E&H [6], первыми получившими результаты, говорящие о стабильности экономики при использовании EB правила политики, и нестабильности экономики при использовании FB правила. Мы изучаем стабильность и нестабильность для двух категорий правил при неоднородном обучении частных агентов в общей постановке NK модели (1), (2) и (3).
Проблема стабильности в NK модели
Получив сокращенные формы, соответствующие оптимальным правилам монетарной политики, мы готовы проверить их на 5-стабильность. Для этого нужно проверить полученную в сокращенных формах матрицу A (19) или (21) на применимость достаточных и необходимых условий 5-стабильности. Для случая оптимального EB правила монетарной политики мы имеем следующий результат.
Утверждение 6. Общая NK модель со стационарным AÄ(1) процессом наблюдаемых шо-ков (1), (2) и (3) 5-стабильна под влиянием оптимального EB правила монетарной политики (18) 10.
Доказательство. Нам известно, что матрица A, соответствующая случаю оптимальной EB политики, имеет вид AE = [ßa(^2 + а)-1 0; + а)-1 0]. Проверяя выполнение условия ут-
верждения 4, мы имеем, что Q - стабильна, поскольку ее собственные числа находятся из следующего характеристического уравнения:
det(AE - 7(1 + ц))(1 + ц)2(5 - 1)1 = 0 и, следовательно, равняются -1 и ßa(P + а)1 - 1, т. е. отрицательны, и мы имеем, что det(-pA) = 0, [detmix^pA -pAy) + detmix^pA -pAy)] = 0, i Ф j,
M1(-plAi) = -p^ßa^ + a)-i > (<)0, для всех l = 0, 1, ..., k (po = 1), поэтому условие «одинакового знака» выполняется. □
Заметим, что E&H [6] имеют подобный результат для однородного обучения. Утверждение, приводимое ниже, дает результат нестабильности экономики в случае FB правила монетарной политики.
Утверждение 7. Общая NK модель со стационарным AÄ(1) процессом наблюдаемых шо-ков (1), (2) и (3) 5-нестабильна под влиянием FB правила (включая оптимальное (23)) монетарной политики (20).
Доказательство. Нам известно, что матрица A, соответствующая случаю политики FB, имеет вид AF = [ß + Хф X; ф 1]. Проверяя выполнение необходимого условия на собственные числа утверждения 5, 11 мы получаем собственные числа этой матрицы:
Ц12 = 1 + (ß + Хф - 1) /2±[((ß + Хф - 1)/2)2 + Хф)]1/2.
Оба этих собственных числа действительные.
Собственное число = 1 + (ß + Хф - 1)/2 + [((ß + Хф - 1)/2)2 + Хф)]1/2 больше единицы. Поэтому достаточное условие 5-нестабильности выполняется. □
Опять же, E&H [6] имеют подобный результат для однородного обучения.
Заключение
Мы использовали среду NK модели для исследования вопроса стабильности экономики для двух категорий оптимальных правил монетарной политики при предположении о неоднородном обучении частных агентов.
10 Этот результат не является большим сюрпризом, поскольку Эванс, Хонкапойя и Вилльямс [21] получили результат сходимости при оптимальном правиле политики, основанном на ожиданиях, когда все агенты используют БО обучение.
11 В принципе, мы бы могли использовать также необходимые условия 5-стабильности (полученные Колюж-новым [12]), чтобы показать нестабильность экономики при правиле политики, основанном на фундаментальных переменных. Однако их будет более трудно проверить, чем необходимые условия на собственные числа, полученные в этой статье. Кроме того, необходимые условия на собственные числа работают для случая произвольного числа типов агентов.
Эти две категории были выделены E&H [6], и это деление основывается на предположении о восприятии ожиданий частных агентов центральным банком: рациональные или возможно нерациональные ожидания. Если ЦБ предполагает, что частные агенты имеют рациональные ожидания, возникает правило политики FB, в то время как случай ЦБ, предполагающий возможно нерациональные ожидания агентов, ведет к правилу политики EB.
Целью этой работы было, с одной стороны, исследовать, будет ли при наличии структурной однородности модели неоднородность в обучении агентов влиять на результаты стабильности для какой-либо из двух категорий правил политики.
Используя критерий стабильности H&M [11] и достаточные условия 5-стабильности, полученные Д. Колюжновым [12] для случая неоднородного обучения, мы получаем результаты, аналогичные результатам, полученным E&H [6] для случая однородного обучения. В частности, при правиле политики FB экономика модели всегда нестабильна, поэтому нет сходимости к ассоциированному REE модели, в то время как существует стабильность при оптимальном EB правиле политики, и экономика сходится к REE, соответствующему правилу оптимальной монетарной политики без обязательств.
Описанные выше результаты получены с помощью только структуры модели, поэтому не зависят от неоднородности в обучении любого рассмотренного типа. Это подразумевает, что в NK модели результаты стабильности не зависят от неоднородности в обучении, поэтому гипотеза репрезентативного агента применима в этой постановке модели.
Метод анализа, представленный в этой статье, позволяет нам проверить применимость этой гипотезы для случая неоднородного обучения частных агентов в NK модели при правилах Тэйлора (случай внутреннего прогнозирования ЦБ), которые не подпадают под классификацию E&H [6]. Этот вопрос будет рассмотрен в отдельной статье.
Приложение
Доказательство утверждений 1 и 2
PLM в общем виде имеет вид yt = a + rwt. Если wt не включается в PLM, это отражается в соответствующем нулевом столбце матрицы Г. Условия REE могут быть записаны как
(pA - In)Yiu ... Yni] ' + B' = 0, для i из Io.
Ясно, что в случае, когда i не включается в множество активных факторов, т. е. [Ун •• у»]' = 0, тогда для того, чтобы существовало решение REE, B' должен быть равен 0, так как тогда в PLM можно опустить только те факторы, которые имеют нулевой столбец в матрице B в сокращенной форме модели. Эквивалентно, ясно, что если B1 Ф 0, тогда для того, чтобы существовало решение REE, не должно случиться так, что [Ун^-Ут] ' = 0, т. е. нужно включить wi в множество активных факторов.
В случае если i включен в множество активных факторов, т. е. [у^ ... yni] ' Ф 0, то решение REE существует тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: Bi = 0, или (B' Ф 0 и det(pA - I) Ф 0), или (B' ф 0 и det(pA - I) = 0 и rank(pA - I) = rank(pA - I, B')). Объединяя эти два случая, мы получаем утверждение 1.
Для доказательства утверждения 2 нужно лишь преобразовать последние условия, чтобы гарантировать единственность решения.
В случае если i включен в множество активных факторов, т. е. [у^ ... yni] ' Ф 0, то решение REE существует и единственно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: det(piA - I) Ф 0, ч. т. д.
Доказательство утверждения 5
Мы должны изучить на стабильность при любых 5h > 0 матрицу DiQpl, где D\ и Qpl определяются в (14) и (16) соответственно. Таким образом, мы рассматриваем
det(Qpi - Dfi^T) = det[pA - (1 + pA.....pAs; pA, pA - (1 + hW.....pA;...;
pAb pi^2.....piAs - (1 + m-/5s)T] = 0, для всех l = 0, ..., k, (po = 1), где Ah = ZhA, YLh = 1.
Из структуры вышеприведенной матрицы ясно, что ц = - 5л является корнем тогда и только тогда, когда выполняется по крайней мере одно из следующих условий: A вырождена или су-
ществует по крайней мере еще одна 8- равная Sio. (Если A вырождена, то цй = -Sh, h = 1, ., S, являются корнями. То есть если ни одна из - 5 не является корнем, то A не вырождена.)
Предположим, что A не вырождена и все Sh разные, т. е. предположим, ни одна из -5 не является корнем. Если существуют другие корни, отличные от-8й (случай собственных чисел Цй = -5h < 0 тривиален), то они удовлетворяют характеристическому уравнению на поиск собственных чисел матрицы D1Q.p[, не равных -Sh: det(Qpl - Dfi^I) = (1 + ц/51) х ... х (1 + ^/5S) (-1)n(S - 1)det[piA1/(1 + ц/51) + ... + pAs/(1 + ц/Ss) - I] = 0.
Так как мы рассматриваем ц Ф -5й, последнее уравнение эквивалентно
det[-pA1/(1 + ц/51) - ...-pAs/(1 + ц/Ss) + I] = 0, где Ah = ZA, IZh = 1.
После некоторых вычислений мы получаем
det[pA(-Z1/(1 + м/81) - ... - Zs/(1 + ц/Ss)) + I] = 0,
и наконец
pMZ1/(1 + ц/51) + ... + Zs/(1 + ц/Ss)) = 1 для тех Xk, собственных чисел матрицы A, которые не равны нулю.
Если все Xk = 0, то A является нулевой матрицей и единственными собственными числами матрицы D1Qpi являются -5h.
Вышеприведенная система эквивалентна
PiRe(^)Re(Z1/(1 + ц/Sa) + ... + Zs/(1 + ^»-^m^Im^/a + ц/Sa) + ... + Zs/(1 + ц/Ss)) = 1 П
piRe(^k)Im(Z1/(1 + ц/51) + ... + Zs/(1 + ц/Ss)) + plRe(M)Im(Z1/(1 + ц/51) + ... + Zs/(1 + ц/Ss)) = 0.
В случае действительного собственного числа Im(Xk) = 0, и соответствующая система упрощается до p,Re(M)(Z1/(1 + ц/51) + ... + &/(1 + ц/Ss)) = p/MC^Ü + ц/й) + ... + Zs/(1 + ц/Ss)) = 1.
Для любого s, для отрицательности собственных чисел ц необходимо, чтобы
(1/р/Як - 1)(plXkS1 ...Ss) > 0 и, следовательно, чтобы рД*<1, для всех l = 0, ..., k, (ро = 1). Поскольку р < 1, для всех l = 1, ..., k, последнее условие эквивалентно Xk < 1.
Для s = 2 система, соответствующая действительному собственному числу, выглядит как
рДк&/(1 + ц/51) + ... + Zs/(1 + ц/Ss)) =1 П ц2 + +црДк5152[(1/51 + 1/62)/p,Xk - (Z1/S2 + Z2/S1)] + (1/pi^k - 1)рДк5Л = 0.
Условия Раута - Гурвица отрицательности действительных частей собственных чисел ц являются необходимыми и достаточными и выглядят следующим образом:
(1/piM - 1)^8182 > 0 П pi^kS1S2[(1/S1 + 1/S2)/piM - (Z1/S2 + Z2/S1)] > 0.
Вышеприведенная система неравенств эквивалентна
p,M<1 П piM<(1/51 + 1/S2)/(Z1/S2 + Z2/S1).
Поскольку (1/S1 + 1/S2)/(Z1/S2 + Ça/80 > 1, так как (1 - Z1)/S1 + (1 - Z2)/S2 > 0, последняя система неравенств эквивалентна p{kk < 1, для всех l = 0, ..., k, (pc = 1). Поскольку p < 1, для всех l = 1, ..., k, последнее условие следует из Як < 1.
Таким образом, мы получаем достаточное условие стабильности для случая s = 2: все собственные числа A действительные и меньше 1; и необходимое условие стабильности для любого s: все действительные собственные числа матрицы A должны быть меньше 1, ч.т.д.
Список литературы
1. Woodford M. Interest and Prices: Foundations of a Theory of Monetary Policy. Princeton University Press, 2003.
2. Clarida R., Gali J., Gertler M. The Science of Monetary Policy: A NEW Keynesian perspective // Journal of Economic Literature. 1999. Vol. 37. P. 1661-1707.
3. Clarida R., Gali J., Gertler M. A Simple Framework for International Monetary Policy Analysis // Journal of Monetary Economics. 2002. Vol. 49. P. 879-904.
4. svensson L. E. O. Inflation Targeting as a Monetary Policy Rule // Journal of Monetary Policy. 1999. Vol. 43. P. 607-654.
5. Evans G. W., Honkapohja S. Adaptive Learning and Monetary Policy Design // Journal of Money, Credit, and Banking. 2003. Vol. 35 (6). P. 1045-72.
6. Evans G. W., Honkapohja S. Expectations and the Stability Problem for Optimal Monetary Policy Design // Review of Economic Studies. 2003. Vol. 70. P. 807-824.
7. Bullard J., Mitra K. Learning about Monetary Policy Rules // Journal of Monetary Economics. 2002. Vol. 49 (6). P. 1105-1129.
8. Honkapohja S., Mitra K. Performance of Monetary Policy Rules with Internal Central Bank Forecasting // Journal of Economic Dynamics and Control. 2005. Vol. 29. P. 627-658,
9. Sargent Th. J. Bounded Rationality in Macroeconomics. Oxford; N.Y.: Oxford University Press, Clarendon Press, 1993.
10. Giannitsarou Ch. Heterogeneous Learning // Review of Economic Dynamics. 2003. Vol. 6. P. 885-906.
11. Honkapohja S., Mitra K. Learning Stability in Economies with Heterogeneous Agents // Review of Economic Dynamics. 2006. Vol. 9 (2). P. 284-309.
12. Колюжнов Д. В. Условия стабильности экономической динамики при неоднородном обучении экономических агентов // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Серия: Социально-экономические науки. 2011. Т. 11, вып. 1. С. 70-82.
13. Calvo G. A. Staggered Prices in a Utility-Maximizing Framework // Journal of Monetary Economics. 1983. Vol. 12. P. 383-398.
14. Walsh C. E. Monetary Theory and Policy. 2 ed. MIT Press, 2003.
15. Woodford M. Control of the Public Debt: A Requirement for Price Stability // NBER Working Paper Series. 1996. P. 5684.
16. Christiano L. J., Eichenbaum M., Evans C. Nominal Rigidities and the Dynamic Effects of a Shock to Monetary Policy // NBER Working Paper Series, w. 2001. P. 8403.
17. Evans G. W., Honkapohja S. // Learning and Expectations in Macroeconomics. Princeton; NJ: Princeton University Press, 2001.
18. Bogomolova A., Kolyuzhnov D. Optimal Monetary Policy Rules: The Problem of Stability under Heterogeneous Learning // CERGE-EI Working Paper Series, w. 2008. P. 379.
19. Johnson Ch. R. Sufficient Conditions for D-stability // Journal of Economic Theory. 1974. Vol. 9. P. 53-62.
20. Cecchetti S. G. Making Monetary Policy: Objectives and Rules // Oxford Review of Economic Policy. 2001. Vol. 16 (4). P. 43-59.
21. Evans G. W., Honkapohja S., Williams N. Generalized Stochastic Gradient Learning // CE-Sifo Working Papers, 2005. No. 1576.
Материал поступил в редколлегию 29.10.2010
A. S. Bogomolova, D. V. Kolyuzhnov
STABILITY OF ECONOMIC DYNAMICS IN AN OPTIMAL MONETARY POLICY FRAMEWORK
In this paper we extend the analysis of optimal monetary policy rules in terms of stability of an economy, started by Evans and Honkapohja, to the case of heterogeneous private agents learning. We test these monetary policy rules in the general setup of the New Keynesian model that is a work horse of monetary policy models today. It is of interest to see that the results obtained by Evans and Honkapohja for the homogeneous learning case are replicated for the case when the representative agent hypothesis is lifted.
Keywords: monetary policy rules, New Keynesian model, adaptive learning, stability of equilibrium, heterogeneous agents.
