CC BY
61
УДК 330.36.012.4
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЮЩИХ ПОВЕДЕНИЕ НАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ ПРИ НЕОДНОРОДНОМ АДАПТИВНОМ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОМ ОБУЧЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ АГЕНТОВ
Дмитрий Васильевич Колюжнов
Институт экономики и организации промышленного производства СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 17, Ph. D. in economics (CERGE-EI), научный сотрудник; Новосибирский государственный университет, 630090, Россия, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2, старший преподаватель; Центр Экономических исследований и аспирантуры - Институт экономики (CERGE-EI), ул. Политицких везню 7, Прага 1, 111 21, Чехия, аффилированный сотрудник, тел. (383)330-35-36, e-mail: dmitri.kolyuzhnov@cerge-ei.cz
Анна Сергеевна Богомолова
Новосибирский государственный университет, 630090, Россия, г. Новосибирск, ул. Пирого-ва, 2, Ph. D. in economics (CERGE-EI), старший преподаватель; Центр экономических исследований и аспирантуры - Институт экономики (CERGE-EI), ул. Политицких везню 7, Прага 1, 111 21, Чехия, аффилированный сотрудник, тел. (383)330-09-40, e-mail: anna.bogomolova@cerge-ei.cz
Предложены критерии, достаточные условия и необходимые условия устойчивости равновесия структурно-неоднородной экономики при неоднородном адаптивном экономет-рическом обучении агентов, расширяя результаты Хонкапойи и Митры [1] и Колюжнова [2]. Фундаментальная природа подхода, принятого в нашей работе, позволяет применить ее результаты к широкому множеству существующих и перспективных экономических моделей.
Ключевые слова: адаптивное обучение, устойчивость равновесия, неоднородные агенты.
EQUILIBRIUM STABILITY ANALYSIS OF DYNAMIC STOCHASTIC MACROECONOMIC MODELS UNDER HETEROGENEOUS ADAPTIVE ECONOMETRIC LEARNING
Dmitri V. Kolyuzhnov
Institute of Economics and Industrial Engineering of the Siberian Branch of the RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, pr. Akademika Lavrentieva 17, Ph. D. in economics (CERGE-EI), researcher; Novosibirsk State University, 630090, Russia, Novosibirsk, Pirogova 2, assistant professor; Center for Economic Research and Graduate education - Economics Institute (CERGE-EI), Poli-tickych veznu 7, 111 21 Prague 1, Czech Republic, affiliate fellow, тел. (383)330-35-36, e-mail: dmitri.kolyuzhnov@cerge-ei.cz
Anna S. Bogomolova
Novosibirsk State University, 630090, Russia, Novosibirsk, Pirogova 2, Ph. D. in economics (CERGE-EI), assistant professor; Center for Economic Research and Graduate education - Economics Institute (CERGE-EI), Politickych veznu 7, 111 21 Prague 1, Czech Republic, affiliate fellow, tel. (383)330-09-40, e-mail: anna.bogomolova@cerge-ei.cz
We provide criteria, sufficient conditions and necessary conditions for stability of a structurally heterogeneous economy under heterogeneous learning of agents, extending the results of Honka-pohja and Mitra [1] and Kolyuzhnov [2]. The fundamental nature of the approach allows one to apply the results to a vast majority of the existing and prospective economic models.
Key words: adaptive learning, stability of equilibrium, heterogeneous agents.
Современные макроэкономические модели включают ожидания, которые оказывают влияние на динамику эндогенных переменных. Главным вопросом, возникающим при этом, является вопрос о том, как моделировать эти ожидания. Исторически, модели формирования ожиданий развивались, двигаясь от наивных (статических) и адаптивных ожиданий к наиболее используемым до недавних пор рациональным ожиданиям. Однако было показано, что это предположение не всегда приводит к подходящим результатам с точки зрения имитационного моделирования поведения данных. Одной из причин этого являются серьезные ограничения, накладываемые на знания агентов, при выполнении этого предположения. Один из аргументов против предположения о рациональных ожиданиях был сформулирован Сарджентом [3]: если экономисты (о которых естественным образом предполагается, что они знают экономику лучше других агентов) сами не знают точные экономические модели и вынуждены оценивать параметры модели эконометрически, то тогда надо думать, что и экономические агенты ведут себя не лучше. Таким образом, имеет смысл рассматривать агентов как эконометристов или статистиков, которые обновляют свои убеждения (грубо говоря, коэффициенты регрессии) по мере поступления новых данных, таким образом пытаясь выучить лежащую в основе истинную экономическую модель все лучше и лучше по мере поступления новой информации. Такой подход является специфической формой ограниченной рациональности и представляет собой адаптивное обучение, а именно, адаптивное эконометрическое обучение.
Адаптивное обучение в макроэкономике играет несколько ролей. Во-первых, его можно использовать как процедуру тестирования гипотезы о рациональных ожиданиях; во-вторых, его можно использовать для выбора одного из множества равновесий при рациональных ожиданиях в моделях с множественным равновесием; в-третьих, динамика, порожденная обучением, может напоминать поведение реальных данных (см. например статьи по динамике выбеганий [4], [5], [6]); в-четвертых, алгоритм обучения может служить способом вычисления равновесия при рациональных ожиданиях.
Несмотря на свою растущую популярность, этот подход к моделированию, тем не менее, имеет свои подводные камни. Обычно, когда в качестве модели формирования ожиданий применяется адаптивное обучение, предполагается, что оно является однородным, то есть что существует некий репрезентативный агент, который использует какой-то определенный тип алгоритма обучения. Структура алгоритма обучения предполагает, что предыдущий параметр убеждения (грубо говоря, коэффициент регрессии) равен предыдущему значению этого параметра плюс коэффициент приращения, умноженный на функцию ис-
правления ошибок, зависящую от последней ошибки прогноза. Наиболее широко используемыми алгоритмами обучения являются обучение по рекурсивному методу наименьших квадратов (RLS) и по методу стохастического градиента (SG). Они отличаются только в одном отношении: алгоритм RLS обновляет матрицу оценок вторых моментов, в то время как алгоритм SG ее оставляет неизменной.
Главным вопросом, возникающим в связи с однородным обучением, является вопрос о том, являются ли результаты стабильности (устойчивости) следствием однородности в обучении, то есть останутся ли верны эти результаты, если использовать, например, некоторую смесь различных алгоритмов обучения с различными скоростями обновления информации, различными стартовыми значениями, или, говоря другими словами, выполняется ли гипотеза о существовании репрезентативного агента применительно к обучению.
Среди работ, рассматривающих этот вопрос, статья Гианнитсару [7], в которой предполагается, что агенты однородны во всех отношениях, кроме способа обучения, статья Хонкапойи и Митры [1], в которой рассматривается структурно неоднородная экономика, означающая, что кроме неоднородности в обучении агенты могут также отличаться в структурных параметрах, таких как технологии, предпочтения, и т.д., и статья Колюжнова [2], в которой рассматриваются не зависящие от вида неоднородности в обучении условия устойчивости равновесий структурно неоднородной вперед-смотрящей модели с одним вперед смотрящим ожиданием и с диагональной структурой наблюдаемых шоков.
Неоднородность в обучении в этих моделях возникает из-за применения агентами разных типов алгоритмов обучения: RLS или SG, где первый алгоритм позволяет моделировать «более изощренных агентов»; из-за разных скоростей реакции агентов на нововведения, называемых степенями инерции -обычно выражаемых в виде положительных множителей перед убывающей последовательностью коэффициентов приращений в механизме обновления параметров убеждений, которая является общей для всех агентов; из-за разных изначальных восприятий, отражаемых в виде разных стартовых точек для алгоритмов обучения; из-за разных долей агентов, использующих конкретный тип алгоритма обучения. Все вышеперечисленные характеристики могут быть выражены в виде обучения, когда один тип агентов использует RLS, а другой -SG, в виде так называемого неоднородного смешанного RLS/SG обучения.
В нашей статье, мы, следуя [2], решаем следующий открытый вопрос, поставленный в [1] - найти условия устойчивости равновесия структурно неоднородной экономики при смешанном RLS/SG обучении с (возможно) различными степенями инерции агентов, записанные только в терминах структурной неоднородности, не зависящие от неоднородности в обучении.
Хотя Хонкапойя и Митра [1] сформулировали общий критерий для такой устойчивости и смогли найти достаточные условия для случая одномерной модели (модели с одной эндогенной переменной), они не получили условий (необходимых и/или достаточных), записываемых только в терминах структуры модели, не зависящих от характеристик обучения, для общего (многомерного) случая. В свою
очередь, Колюжнов [2] рассматривает условия устойчивости равновесий, не зависящие от неоднородности в обучении. Однако он рассматривает только вперед-смотрящую модель с одной вперед-смотрящей эндогенной переменной и с отсутствием лагов эндогенной переменной в так называемой диагональной среде, которая означает диагональную структуру матрицы коэффициентов AR (1) процесса шоков. Это оставляет за пределами анализа много экономических моделей. Например, это оставляет за пределами рассмотрения DSGE модели с лагом эндогенной переменной. Мы решаем эту проблему в нашей работе.
В статье мы расширяем результаты [1] и [2]. Мы получаем общие критерии для устойчивости равновесия при неоднородном смешанном RLS/SG обучении для четырех классов моделей: моделей без лагов и с лагами эндогенной пер-менной и с t - или t-1 - датировкой ожиданий; и достаточные условия для более простых случаев, где упрощения включают либо диагональную структуру процесса шоков, либо неоднородное RLS обучение. Мы также хотим подчеркнуть получение нами очень полезного критерия для устойчивости равновесия во всех типах моделей с общим (недиагональным) видом процесса шоков при неоднородном RLS/SG обучении с одинаковыми степенями инерции для агентов, использующих одинаковые типы алгоритмов обучения, записываемого в терминах устойчивости равновесия подходящим образом определенной средней экономики с двумя агентами.
Оказалось, что все условия устойчивости равновесия, записанные в терминах стабильности соответствующих матриц Якоби, предполагают D-стабильность некоторой матрицы (матриц) Q. Таким образом, все матрицы Якоби выглядят как DQ, где D есть положительно-диагональная матрица. Среди математических подходов к D-стабильности (изучаемых, например, в [8]), описываемых в [2], выделяют подход, основанный на теореме Ляпунова; подход, основанный на отрицательной доминантной диагонали; подход, основанный на альтернативном определении D-стабильности; подход, основанный на характеристическом уравнении и условиях Раута-Гурвица.
В работе [2] оказалось, что подход, основанный на отрицательной доминантной диагонали, базирующийся на теореме Маккензи, является полезным при получении достаточного условия устойчивости равновесия (не зависящего от неоднородности в обучении) вперед-смотрящей модели с одной вперед-смотрящей эндогенной переменной и с отсутствием лагов эндогенной переменной при диагональной среде шоков. Мы также придерживаемся этого подхода, и он позволяет нам получить достаточные условия устойчивости равновесия (не зависящего от неоднородности в обучении) в терминах агрегированных экономик, но не для отдельной модели, а для всех рассматриваемых классов моделей. Мы также уточняем понятие 5-стабильности [2], означающее устойчивость равновесий, не зависящую от всех типов характеристик обучения: мы в определенных случаях находим условия устойчивости равновесия, не зависящие от степеней инерции и от различных изначальных восприятий агентов; таким образом, наше определение не включает различные доли агентов, использующих определенный тип алгоритма обучения, поэтому такую 5-стабильность
(по аналогии с определением сильной и слабой ^-стабильности) мы называем слабой 5-стабильностью, в то время как 5-стабильность в [2] называем сильной 5-стабильностью.
В нашей статье, используя подход, основанный на отрицательной доминантной диагонали, мы получаем достаточные условия 5-стабильности (либо сильной, либо слабой, в зависимости от рассматриваемого случая) для более простых случаев всех типов рассматриваемых нами моделей, где упрощения включают либо диагональную структуру процесса шоков, либо неоднородное RLS обучение. Эти результаты записаны в терминах ^-стабильности подходящим образом определенных агрегированных экономик.
В статье также рассмотрены результаты, полученные при применении подхода, базирующегося на альтернативном определении D-стабильности и необходимые условия, полученные, используя подход, основанный на характеристическом уравнении, записанные в терминах условий «одинакового» знака и ^-стабильности подходящим образом определенной агрегированной экономики и ее подэкономик.
Фундаментальная природа подхода, принятого в нашей работе, позволяет применить ее результаты к широкому множеству существующих и перспективных линейных и линеаризованных экономических моделей с адаптивным эко-нометрическим обучением экономических агентов. Например, рассматриваемые в работе модели включают (оцененные) DSGE модели с предполагаемым адаптивным эконометрическим обучением агентов. В этом смысле полученные результаты могут быть очень полезны с точки зрения проверки устойчивости определенной DSGE модели к гипотезе о модели формировании ожиданий, в качестве которой обычно берется гипотеза о рациональных ожиданиях, и с точки зрения проверки выполнимости гипотезы о репрезентативном агенте.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Honkapohja S., Mitra K. Learning stability in economies with heterogeneous agents // Review of Economic Dynamics. - 2006. - 9(2). - pp. 284-309.
2. Kolyuzhnov D. Economic dynamics under heterogeneous learning: Necessary and sufficient conditions for stability // CERGE-EI Working Paper Series. - 2008. - 378. - pp. 1-45.
3. Sargent T.J. Bounded Rationality in Macroeconomics. - Clarendon Press, Oxford and New York, 1993. - 184 pages.
4. Cho I-K., Williams, N., Sargent T.J. Escaping Nash inflation // Review of Economic Studies. - 2002. - 69(1). - pp. 1-40.
5. Kolyuzhnov D., Bogomolova A., Slobodyan S. Escape dynamics: A continuous-time approximation // Journal of Economic Dynamics and Control. - 2014. - 38(1). - pp. 161-183.
6. Slobodyan S., Bogomolova A., Kolyuzhnov D. Stochastic gradient versus recursive least squares learning stability // CERGE-EI Working Paper Series. - 2006. - 309. - pp. 1-21.
7. Giannitsarou C. Heterogeneous learning // Review of Economic Dynamics. - 2003. - 6. -pp. 885-906.
8. Johnson C.R. Sufficient conditions for D-stability // Journal of Economic Theory. - 1974. -9. - pp. 53-62.
© Д. В. Колюжнов, А. C. Богомолова, 2015
