Торцевой удар по оболочке с криволинейной осью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Канд. техн. наук Д. В. Данильченко1, канд. техн. наук А. В. Засовенко2, канд. техн. наук Ю. В. Мастиновский2

1 ТОО «ДАТА Х», 2 Запорожский национальный технический университет;

г. Запорожье

ТОРЦЕВОЙ УДАР ПО ОБОЛОЧКЕ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ

ОСЬЮ

В работе рассматривается действие осесимметричной краевой нагрузки на криволинейную оболочку постоянного кругового сечения, имеющую вид части тора. Задача решается численно с использованием метода характеристик.

Ключевые слова: тороидальная оболочка, торцевой удар, метод характеристик.

Качественные закономерности распространения упругих волн в тонкостенных оболочках, находящихся под действием кратковременных нагрузок, представляют интерес при оценке их прочности, жесткости и устойчивости.

Оболочки простейших канонических форм исследованы сравнительно подробно. Весьма сложными для расчета оказываются оболочки с иной геометрической структурой — трубчатые оболочки, получаемые движением образующей — плоской замкнутой кривой вдоль некоторой направляющей линии. Такие оболочки находят широкое применение, например, в качестве трубопроводов, переходных патрубков и т. п. Трубопроводы со сложным очертанием осевой линии являются самым распространенным конструктивным элементом в энергетических установках. Они применяются в агрегатах высокого давления, в циркуляционных насосах и других системах, подвергающихся различным нагрузкам — высоким

давлением в сочетании со значительными вибрациями и нестационарными воздействиями.

Существующие методы анализа НДС трубопроводов традиционно строятся на базе стержневых моделей. Такой подход может быть оправдан при расчете толстостенных труб. Насколько известно авторам, решение задач для тонких торообразных оболочек в нестационарной постановке до сих пор не проводилось. Можно ожидать, что для проектировщиков и конструкторов представляют интерес конкретные результаты по расчетам оболочек, поверхность которых образована вращением вокруг оси окружности, эллипса и замкнутых многоугольников.

Основные соотношения и уравнения момент-ной теории оболочек вращения приводятся в работах [1, 2]. Торовую оболочку, как оболочку вращения, получаем в результате вращения вокруг оси окружности радиуса ^ с радиусом центральной оси (ао > ^1, рис. 1).

Координатная поверхность определяется углом 0 (угол изгиба), задающим положение ме-ридиальной плоскости, углом j, измеряемым по меридиану от оси вращения. Третья координата z отсчитывается по нормам к координатной поверхности (в сторону внешней нормам,

-^2 £ z < , h — толщина оболочки).

Параметрическое уравнение поверхности тора запишется так:

x0 = r cos 0;

< y0 = r sin 0; z0 = R1 cos j.

Здесь r — расстояние от рассматриваемой точки M до оси вращения z0,

U , И -U ,„ = FV;

У ss-y=xx = F2;

W------------------W = F3

rt >ss 2 ’tx 1 3’

C2

(1)

r = a0 + R1 sin j; a0 - R1 < x0 < a0 + R1; - Ri < z0 < Ri;

*1 = -с 2 у(у-уи) - [п + у(1 + С 22)Г,,;

= Л(у-уи + Ж„ );

= -2 (1 + 2пу + у2)Ж + [у +-2 (п + у)]и,, -у,, • (2)

с2 с2

Здесь нижние индексы после запятой означают частное дифференцирование.

Связь безразмерных и размерных параметров и величин определяется равенствами:

0 < j< 2p; 0 < 0 < 2p.

tcp

x = —- , (t — время, cp =

E

-) ; cs

E

p(1 - v2y’° 2 P(1 + V)’

Тороидальная поверхность является поверхностью смешанного типа, т. к. для 0 < j < p гауссова кривизна Г > 0 , а при p < j < 2р , Г < 0 (центры главных кривизн лежат по разные стороны от поверхности). Зависимость между дифференциалами дуг координатных линий и дифференциалами криволинейных координат определяется соотношениями:

dSj = Aldj = Rjdj; dS2 = A2dQ = rdQ,

где коэффициенты Ляме:

Aj = Rj; A2 = r = a0 + Rj sin j.

2 ,2 к2(1 -V) 2 2 . Л,

С22 = к2-2 = ^ ; ; Л = 12с22а2 , (а = -¡~ ); к —

ср 2

коэффициент сдвига, V коэффициент Пуассона; = н-1 ^1

у = ~ ; $ = — ; (dS1 = , 51 — осевая коорди-

К2 Щ

ната); и = 2-; Ж=2, (V, 23 — смещения соответ-

К1 Ц

ственно вдоль осевой координаты и по нормали к оболочке; у — угол поворота нормали (рис. 1).

Уравнения движения оболочки с прямолинейной осью можно получить предельным переходом. Полагая у = 0, (К2 = да) правые части (2)

Riи R2 = _ — радиусы главных кривизн. За- системы (1) примут вид:

sin j

метим, что при p < j < 2p , т. е. для части тора с вогнутым вовнутрь меридианом (относительно оси вращения) радиус кривизны R2 следует брать со знаком минус.

В данной работе рассматривается продольное (осевое) распространение импульса осесимметричной краевой нагрузки. При этом для оболочки вращения должно быть определено осесимметричное распределение напряжений, в котором составляющая перемещения в перпендикулярном к меридиональной плоскости (окружности) направлении не обладает осевой симметрией. Будем считать, что определяющей является осесимметричная относительно оси оболочки составляющая движения. Поэтому, исходная система уравнений не зависит от перемещений и деформаций координатной поверхности в направлении меридиана.

Тогда уравнения движения тороидальной оболочки в безразмерном виде запишутся так:

^ = ^Ж„; ^ = Л(у + Ж„); ^з = —(Ж + vU„) - .(3)

С2

Система (1) с правыми частями (3) совпадает с уравнениями для круговой цилиндрической оболочки, приведенными в [3] и полученными другим методом.

Для тороидальной оболочки при ф = 0 и ф = р

правые части (2) (г = 1;2;3 ) системы (1) со-

впадают с выражениями (3) для цилиндрической оболочки. Наиболее существенные различия движений цилиндрической и торовой оболочки

Р / N

возникают при ф = — (К2 = а0 + К1) и при 3

Ф = ^р (Л2 = а0 -К1). Для анализа особенностей

распространения упругих волн в обеих типах оболочек, вызванных ударным воздействием, начальные и граничные условия зададим в виде:

и = и ,х = Ж = Ж ,х = у = у,х = 0 при х = 0;

У = 0;

<и,х = Уо; при 5 = 0, т > 0. (4)

V „ = о,

т >0 , 5 = р ,N3 = Qs = М5 = 0 (осевые силы и момент равны нулю).

Из последних условий следует: vW = -и ,5 ;

У = V,5 ; V,5 = 0 ).

Поставленную задачу решим численно с использованием метода характеристик [4, 5]. Система уравнений (1) с правыми частями (2) и (3) имеет четыре семейства характеристик, которые предоставляют собой прямые линии в плоскости іОт (рис. 2).

о

Рис. 2. Сетка характеристик, используемая при расчетах

х±€]Х = соп5ґ; (с1 = 1 )

х ± с2т = соп5ґ;

Условия вдоль этих характеристик соответственно имеют вид:

<Ли ,т±аи ,5 = ±,^¡¿5; ау,х±ау,5 = ± е,^; аш ,х±аш, 5 = ± е,*.

Кроме условий (4) используем условия непрерывности, которые выполняются вдоль любого направления:

а/і = ЛтЛ + ІіА5 , где і = 12; 3 ; /1 = и ;

/2 = у ; /з = ш .

Область возмущенного движения равномерно разбивается характеристическими линиями семейства на расчетную сетку (рис. 2).

Численно интегрируя вдоль отрезков характеристик соответствующие условия и используя линейную интерполяцию можно найти значения девяти неизвестных значений и , У, V и их первых производных в узловых точках на характеристиках, расположенных ниже по времени т.

При расчете значений неизвестных в узловых точках, принадлежащих границе 5 = 0 , используются условия на границе (4) и соотношение на характеристиках не выходящих за границы области интегрирования. Из условий (4) при 5 = 0 , в случае задания нагрузки в виде и,т = ¥0, следует, что функции у и V сеточной области, а производные и ,т и и ,5 теряет разрыв на характеристике 5 = т , которая является границей между областью возмущенного движения и областью покоя (остальные неизвестные в точках этой характеристики равны нулю в силу непрерывности). При

вычислении значений и ,т и и,5 в узловых точках на характеристике 5 = т используется условие аи,т-аи,х = Е1а5 . И условия на разрыве

[и ,т ] + [и ,х ] = 0 . Здесь [и ,т ] и [и,х ] обозначают величины скачков производных на характеристике 5 = т . Следует отметить, что так как

Жх = 0 при 5 = т и и ,т = и ,5 = 0 при 5 > т , то из условий (7) и (8) вытекает постоянство производных и ,т и и ,5 вдоль характеристики 5 = т .

По описанной методике расчета, для сравнения, решена задача о торцевом ударе по цилиндрической и тороидальной оболочкам при условиях (4) для случая У0 = т • е1-х. Исходные безразмерные параметры задавались такими:

Д5 = Ат = 0,001; а = = 50; V = 0,3; с = 0,542;

И

1 1

А = 8760 ; У = 0 , 3;9 .

На рис. 3 приведены распределения скоростей в момент времени т = р при у = 0, что соответствует цилиндрической оболочке. На рис.4 для того же момента времени приведены распределения скоростей для у = 13 (рис. 4, а) и у = 19 (рис. 4, б).

Рис. 3. Распределения скоростей в момент времени т = р при у = 0

Рис. 4. Распределения скоростей в момент времени т = к при 7 = ^

и У = Уд

Получено решение задачи о распространении нестационарных волн в криволинейной оболочке в волновой постановке. Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановки задачи — уравнения получены на основе известных соотношений общей теории оболочек вращения, выполнением условия Куранта-Фридрихса-Леви, обеспечивающего сходимость метода характеристик. Полученные результаты не противоречат ожидаемой физической картине распространения волн в оболочках с криволинейной осью.

Проведено исследование влияния геометрических параметров на неустановившееся движение оболочки. Предложенная методика может применяться для решения прикладных задач теории упругости.

Список литературы

1. Пацюк В. И. Волновые процессы в цилиндрической оболочке при не осесимметричном

продольном ударе / В. И. Пацюк, Г. А. Рыбакова, П. Ф. Сабодаш // Прикл. Механика. — 1985. - 21, № 1. - С. 35-42.

2. Перцев А. К. Динамика оболочек и пластин (нестационарные задачи) / А. К. Перцев, Э. Г. Платонов — Л. : Судостроение, 1987. — 316 с.

3. Сагомонян А. Я. Волны напряжения в сплошных средах/ Сагомонян А. Я. — М. : Изд-во Моск. ун-та. 1985. — 416 с.

4. Данильченко Д. В. Нестационарные волны в составной цилиндрической оболочке / Д. В. Данильченко, Ю. В. Мастиновский // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні. - 2004, № 1, С. 119-122.

5. Мастиновский Ю. В. Нестационарная поперечная деформация оболочки с криволинейной осью / Ю. В. Мастиновский, Д. В. Данильченко // Вісник двигунобудування. -2008. - № 2. - С. 50-53.

Поступила в редакцию 24.09.2012

Данильченко Д.В., Засовенко А.В., Мастиновський Ю.В. Торцевий удар по оболонці з криволінійною віссю

В роботі розглядається дія вісесіметрічного крайового навантаження на криволінійну оболонку постійного кругового перерізу, що має вид частини тора. Задачу розв’язано чисельно з використанням методу характеристик.

Ключові слова: тороїдальна оболонка, торцевий удар, метод характеристик.

Danylchenko D., Zasovenko A., Mastinovskiy Y. Face impact on curved axis shell

The paper analyzes the effect of axisymmetric load on uniform circular cross-section toric shells. The task is solved numerically with the use of method of characteristics.

Key words: torw shells, edge impact, method of characteristics.