CC BY
14
УДК 539.3: 534.1
Ю. В. Мастиновский, Д. В. Данильченко
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ПОПЕРЕЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ОСЬЮ
Тонкостенная упругая изотропная оболочка постоянного кругового сечения с криволинейной осью рассматривается как участок тора, уравнения движения которого получены как частный случай моментной теории оболочки вращения. Оболочка находится в условиях плоского деформирования в плоскости ее поперечного сечения. Задача решается численно с использованием метода характеристик. Анализируется влияние различных механических и физических параметров тороидальной оболочки на качественное и количественное изменения волнового поля.
Теория расчета оболочек является одной из наиболее интенсивно развивающихся ветвей прикладной теории упругости. Это связано, в первую очередь, с высокой экономичностью конструкций, выполняемых с применением оболочек и с широкой областью их применения. Среди оболочек различной конфигурации оболочки с криволинейной осью используются сравнительно часто [1]. Достаточно сказать, что такие оболочки фактически являются составляющими любого трубопровода. Существующие методы анализа НДС трубопроводов традиционно строятся на базе стержневых моделей. Такой подход может быть оправдан при расчете толстостенных труб. Нестационарные волны в тонкостенных трубах как торообразных оболочках, насколько известно авторам, не исследовались.
Рассмотрим криволинейную трубу, осевая линия
которой представляет дугу радиуса а0 с центральным углом (углом гиба) ©. Труба имеет круговое поперечное сечение радиуса ^ < а0 и постоянную толщину стенки И. Пусть такая тонкостенная труба, как участок торообразной оболочки, подвергается
нестационарному воздействию, однородному вдоль оси. Тогда оболочка будет находиться в условиях плоского деформирования (не зависящего от ©).
Основные уравнения и соотношения для тора, как оболочки вращения, можно получить из общей теории оболочек вращения [2, 3]. Координатная поверхность определяется углом ©, задающим положение меридиальной плоскости, углом Е, измеряемым по меридиану от оси вращения ZQ (рис. 1).
Введем геометрическую величину r - расстояние от рассматриваемой точки М до оси вращения. В этой системе координат поперечное сечение срединной поверхности тора в параметрическом виде запишется так:
Xо = r = üq + Ri sin Е; Z о = Ricos Е.
Коэффициенты первой квадратичной формы: A i = Ri; A2 = r = ü0 + Rising. Геометрия поверхности оболочки характеризуется гауссовой кривизной Г
где ki = —, k2 = — ; Ri, R2 - радиусы глав-
R
М
ных кривизн. Рассматриваемая в данной работе тороидальная оболочка является оболочкой смешанной гауссовой кривизны, т. е. состоит из участков с различной гауссовой кривизной (Г >0 при 0 <Е<п ; Г = 0, при Е = 0, Е = п ; Г < 0 при п < Е < 2п). В рассматриваемой системе координат (рис.1), радиусы главных кривизн ^ и
R2 =
ü0
sin Е sin Е
+ Ri, при 0 < Е < п;
ü0
sin Е sin Е
- Ri, при п < Е < 2п;
да, при Е = 0, Е = п.
Рис. 1.
© Ю. В. Мастиновский, Д. В. Данильченко, 2008
r
r
Одно из уравнений Кодацци-Гаусса [2] опреде- ют вид:
ляет формулу дифференцирования Я ^
дЯ2 _ Я2П - Ял
г (1 я ) , а два других тождественно
удовлетворяются.
Поскольку вектор д , определяющий внешнюю поверхностную нагрузку, меняется во времени достаточно быстро, то согласно принципу Даламбера учитываются силы инерции при движении оболоч-
ки и в
и в этом случае q _ q (5, t)- ph
д 2U dt2
д2V д2V
d52
дт 2
= Р
дV
PV---(1 -a)W
д5
+ \V dW | C 2Q dW F + va| VC^=
д 2 У
д5 2
д2У / „2
—- = (va + p 2
дт 2
\ дУ
Р-в^ BQ - F2;
E c 2
C 9
к 2 E
Q=у+дшг-v; т=^ cP =-t-lt)cS _ __.
д5 Ri p( -v2] 2p(1 + v]
V - коэффициент Пуассона, Е - модуль Юнга, к2 - коэффициент поправки на сдвиг;
2 _ c| _ к2(1 -v)
C2 _
C2
V _-
Vo Ri
W _-
Vl
Ri
где второй
r ao ■ 5 „ 6Ri2 к 2(1 -v) r0 _ —+ sin 5; B _- ■
R1 R
h
2
член определяет инерционную силу, р - плотность материала, и - вектор перемещений.
Предполагается, что поперечное смещение У3 не зависит от радиальной координаты, а тангенциальное смещение У уопределяется в виде:
У _ У0(Ъ, /) + 2у(Ъ,0, - к/2 < 7 < к/2,
где У0 - тангенциальное смещение срединной поверхности меридиана, 2 - координата, отсчитываемая по нормали к срединной поверхности и направленная в сторону внешней нормали, у - угол поворота нормали к срединной поверхности в результате деформации оболочки.
Безразмерные уравнения движения тороидальной оболочки принимают вид:
P - нормальная к поверхности оболочки сила;
A _ 2R1(1 + v) . a _ sin^; p _ cos 5 к2 hE ' ro ' ro Предельным переходом, полагая в правых частях системы (1) ro _ да,(а _ p _ 0), получим
2 dW F1 _-C22Q- —;F2 _ BQ;
д5
Fl _
1
C2
Trr dV} dV дУ Jn W +-1+----AP,
д5 J д5 д5
(2)
уравнения для цилиндрической оболочки, которые совпадают с уравнениями, приведенными в [4] и полученные другим способом.
Уравнения характеристик и соотношения на них имеют вид [5]:
дУ дУ Л (—) + Л (—) ± 0
дт дЪ '
д^ д^ ЛЪ
лт й± ^ _ о вдоль лт = ±1; (3)
dW dW d5 ^
d(—) + C2d(—) ± C2F3d5 _ 0 вдоль -j- _ ±C2. (4) дт d5 dT
д 2W
1 д 2W
d52 c| дт2
C22
(1 + va])^ + W | +
+ — (v + a](( cos 5 + W sin 5] ro
dV дУ An ^ -PQ +----AP = F3.
д5 д5 3
Кроме того, вдоль любого направления в силу непрерывности искомых функций выполняются соотношения:
dV dV
dV _-d5 +-dт;
d5 дт
(1)
дУ дУ dУ _ — d£+ — dv, д5 дт
dW dW dW _— d5 + — dт.
д5 дт
(5)
Здесь безразмерные параметры и соотношения, определяющие связь с размерными величинами име-
Область возмущенного движения оболочки в плоскости (Ъ,т) определяется заданной нагрузкой,
2
+
1
которая принимается в виде:
Р = гф(Е)Т (т),
где
Т (т) =
константа,
ф(е) =
1.1 е< у
0^ Е>7
\ те1 т, т < Т0
0, т > т
(1, т0 -заданные значения).
0
Для численных расчетов в области возмущенного движения строится сетка, образуемая семей-
аЕ
Л
аЕ
ством характеристик волн сжатия
— = ±1
посколь-
ку характеристики волн сдвига бо т*
2 имеют
Рис. 2.
Характеристика — = 1, проходящая через точку 0 является границей между областью покоя и областью возмущенного давления.
При Е = п происходит встреча возмущений, бегущих по оболочке от точек приложения нагрузки
в противоположных направлениях.
Картина движения симметрична относительно линий Е = 0 и Е = п. Начальные условия (на линии ОЫ) и условия на фронте головной волны (на линии ЫЫ) задаются нулевыми для искомых функций и их
первых производных. Расчетная ячейка (рис. 2) состоит из сходящихся в одной узловой точке 1 отрезков характеристик различных семейств. Интегрируя вдоль характеристик соответствующие соотношения (3-5) определяются значения неизвестных функций и их первых производных в узловой точке 1. Данные в точках 5, 6 находятся по известным значениям в регулярных узлах сетки 2, 3, 4 по формулам интерполяции. При расчете узловых точек на границах сеточной области Е = 0 и Е = п используются соотношения, следующие из симметрии движения оболочки. Исходные параметры задавались
такими: АЕ = Ат = 0,01, 1 =18, ^ = 0,1, а0 = 2Я1, к2 = 0,87.
По описанной методике расчета получены кривые зависимости безразмерного радиального пере-
дЖ
"дГ
мещения Ж и скорости -г- в зависимости от вре-
мени в точке Е:
п 18
(рис. 3), а также распределе-
ния
дУ д^ дЖ
дт ' дт ' дт
по меридиану в момент времени
дЖ
т = 2п (рис. 4, 5). На рис. 3 скорость показана
сплошлой линией, а радиальное перемещение Ж по-
дЖ
казано пунктиром. На рис. 4, 5 скорость пока-
дУ
д^
зана пунктирной линией, - сплошной линией, —-- точками.
Характер изменения перемещений и скоростей цилиндрической оболочки для момента времени 0 < т < 3 совпадают с результатами [4] и качественно согласуются с результатами для торообразной оболочки, приведенными на рис. 3.
Разработанная методика может быть использована для расчета тороидальной оболочки под действием торцевой нагрузки.
дЖ п
Рис. 3. Изменение перемещеня Ж и скорости ~~г в т. Е = в зависимости от времени
дт 18
У
к
РГ Г:Ч' пг дт дт дт
♦ * * V*. * * P m » *
0 -0, 1 * * * • » * m » ш -
о " ■ - If *r' 1 r-f— ■ * « * « 5? *
* * ; V
Рис. 4. Распределение скоростей по меридиану (0 , v = 0,17)
dV dxV dW
дт дт дт
m
Рис. 5. Распределение скоростей по меридиану (0 , v = 0,33)
Перечень ссылок
1. Гуляев В.И., Баженов Е. А., Гоцуляк Е. А., Гайдай-чук В.В. Расчет оболочек сложной формы. - К.: Бущвельник, 1990. - 192 с.
2. Пикуль В.В. Теория и расчет оболочек вращения. - М.: Наука, 1982. - 157с.
3. Пелех Б. А. Обобщенная теория оболочек. -Львов, 1978. - 159с.
4. Сагомонян А.Я. Волны напряжений в сплошных средах. - М.: Издат-во Моск. университета. - 1985. - 416с.
5. Чу(Чжоу), Мортимер, Решение одномерных задач о распространении упругих волн методом характеристик// Прикладная механика - №3,1967
6. Тихая О. А., Мастиновский Ю.В., Данильченко Д.В. Поперечный удар по упругой цилиндрической оболочке // Матерiали мiжнародно! науко-во! конференцл «Математичт проблеми техшч-но! мехашки», Дшпропетровськ-Дшпродзер-жинськ, 2008. - С. 78-79.
Поступила в редакцию 29.05.2008
Тонкосттна пружна i3ompoma оболонка постшного кругового перетину i3 криволтш-ною eicсю розглядаеться як дшянка тора, рiвняння руху якого отриманi як окремий випа-док моментно'1' теори оболонок обертання. Оболонка перебувае в умовах плоского дефор-мування в площинi ii поперечного перерiзу. Задача розв 'язуеться чисельно з використанням методу характеристик. Аналiзуетьcя вплив рiзноманiтних механiчних та фiзичних пара-метрiв тороiдальноi оболонки на якicнi та тльтст змти хвильового поля.
Thin-walled elastic isotropic shell of constant circular section with a curvilinear axis is considered as a tore part, the movement equations of which are received as a special case ofmoment theory of the rotation shell. The shell is in conditions offlat deformation in a plane of its cross-section part. The problem is numerically solved with use of the characteristics method. The influence of various mechanical and physical parameters of a toroidal shell on qualitative and quantitative changes of wave field is analyzed.
