CC BY
47
ПОТЕНЦИАЛЫ - ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ, МАГНИТНЫХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Черкашин Юрий Семёнович,
г. Москва
E-mail: cheryury@mtu-net.ru
«Векторы Е и Н постепенно исчезают из современной записи физических законов: их вытесняют
потенциалы А и} » Р. Фейнман.
Аннотация. В статье найдены магнитные - векторные потенциалы типовых конфигураций электрических проводников с током, конфигурации их магнитных и электрических полей. Выделены их свойства вблизи и вдали от проводников, показано соподчинение полей потенциалов, электрических, магнитных и электромагнитных полей.
Ключевые слова: электродинамика, векторный потенциал.
Мы не будем касаться расчётов картины поля электрических зарядов, которая разработана достаточно подробно. Рассмотрим поля проводников с током.
Типовыми конфигурациями проводников с током являются: прямой отрезок провода, рамка, катушка, соленоид и тороид. Несмотря на простоту конфигураций, в литературе отсутствует полные строгие решения картины полей во всей области пространства вокруг проводника. В известных решениях нет ответа, как выглядит потенциал вблизи проводника на расстояниях, сопоставимых с его размерами.
Толчком к настоящему исследованию послужило известное положение, что магнитное поле тороидальной катушки с током во внешнем объеме равно нулю, а электрическое присутствует, то есть не выполняются уравнения Максвелла.
Это потребовало определения векторного магнитного потенциала вне тороида. Вводя понятие вектора А мы накладывали ограничение (как
пожелание), что: для постоянного поля divA = 0 и для переменного поля
SCIENCE TIME
л- л 1 ^
divA = —- — v2 dt
. Однако, в уравнения для вычисления потенциала эти требования
не заложены! При этом выяснилось, что принятое авторами многих книг по
электродинамике допущение-предположение, что = 0 [1, с. 348.], [2, с. 627],
[3, с. 221], [4, с. 277-279], [6, стр. 220] на практике не выполняется для многих простых конфигураций проводников!
Вероятно, в этой связи, вычисление значений электрического поля Е с помощью уравнений Максвелла [1, с. 380-381 и 2, с. 479] и через магнитный потенциал [1, ур-е 24-60; 2, ур-е 19.10] дают разные результаты.
Рассмотрим подробнее каждый случай.
Отрезок прямого провода
Посмотрим вектор-потенциал отрезка тока во всех точках окружающего пространства.
Отметим вначале некоторую некорректность постановки этого вопроса. Токи всегда замкнуты и отрезков тока не бывает. Однако диполь Герца является хорошим приближением к отрезку проводника с током. С другой стороны, суммирование векторных потенциалов отрезков тока составляющих замкнутый проводник позволяет определить векторный потенциал проводника сложной формы.
Подобные решения проведены в [1, с. 341], [2, с. 649], [3, с. 207], [4, с. 263,
283].
Выберем цилиндрическую систему координат.
Рис.1 Цилиндрическая система координат
Вектор тока в этой системе имеет только одну проекцию вдоль оси Z.
^ ^ г МУ
Такую же составляющую будет иметь и вектор-потенциал А: А = •
Элемент тока S = dI = Idl .
SCIENCE TIME
Радиус-вектор интегрирования найдем, используя декартовы координаты.
R = д/ х2 + у2 + z2 Ru =<J х2 + y2 + (z - zt )2
Сам векторный потенциал будет:
/л г Mz л _ MI <" dz>
А-=Щ
Л-ТГ J
4^ Ru
Az =— f z 4^J
V
x2 + y2 + (z - z. )2
(1)
Перейдем к цилиндрическим координатам: x = Rcosa , у = і? sin a ,z = z
ЦІ f t/z. /// r t/z.
Az =— f 4^ J
UR + (z-z)2
4^ ■
ziR0
1 , (z - z )2 4^ z^ л/Т7
R02
/Л г -du -ці 1 z-z.
1 - arcsh- ’
і
u
4ж
R
где х2 + у2 = Я02 - расстояние точки наблюдения от оси провода; dzi/R0= -du.
Известно что интеграл для провода бесконечной длины расходится, то есть векторный потенциал равен бесконечности [1, с. 349]. Мы определим векторный потенциал отрезка проводника длиной ! (Ь).
Подставляем пределы. Az = —
4ж
arcsh
z +l/2 R0
- arcsh
z -1/2 R0
(2)
Выразим размеры в относительных единицах - в длинах половины отрезка, например, высоту - 2/(!/2)=%2, расстояние до оси ^/(1/2)=%^.
л, = &-
4ж
arcsh
2 z /l +1
2R0 /l
- arcsh
2 z /1 -1
2R0/1 у
mL
4n
r +1 r -1
^-------arcsh—------
arcsh
V ^R 0
(3)
A =-
Получаем уравнения отличные как от I
A =
li
4nR
Xr0
[1, с. 380], так и от
2ns0c‘
lnR0 [4, с. 283].
Ar =
Составляющие того же потенциала записаны в сферических координатах
C cosftTjkR
R
Ae= Csln*j , A„ = 0 [1, с. 380]
Оператор дивергенции в сферических координатах:
+
divA = Л-—(r 2 Ar) 1
d ( ■ ш ч 1 dA„
-\sin6Ae )+-
R2 SR 4 R/ Rsin# S6' a/ Rsin# da
Найдём дивергенцию вектора А, которая по принятым предположениям
SCIENCE TIME
должна быть равна нулю:
divA =
Ccos# d
(Re ^jkR )-
С e
jkR
d
(бІП2 #):
(С cos де Rr
jkR
[(1 - jkR)+ 2]* 0
Я2 Я ' Я 2siпвdв Фактически она не равна нулю.
Найдём дивергенцию вектора А, найденного нами для отрезка провода. Оператор дивергенции в цилиндрических координатах:
1 о
1 dA„ dA„
divA =-------------------(rAr )н—
r dr r da dz
производная (Arshx)
1
x +1
Получим: divA =
SA,
id
dz 4nRn
r z_+m
V R0 J
+1
A z-//2 V V R0 J
+1
^0. (4)
Тоже не равна нулю. Запишем её в принятых выше относительных величинах:
divA -
dAz ці
dz 2лІ
1
1
д/(2z /1 +1)2 + (2R0 /1)2 7(2z /1 -1)2 + (2R0/1)2
(5)
При больших по сравнению с длиной отрезка 1 значениях х и/или Я0, дивергенция будет равна нулю, и только там можно будет доказать волновой характер решений уравнений поля.
При х=0, то есть на плоскости (х,у) дивергенция при любом Я0 равна нулю.
Определим теперь индукцию поля В = гоА . Вектор А имеет только одну Ъ
составляющую, не зависящую от угла а. Оператор ротора в цилиндрических координатах:
rot„A =
dA dA„
- 1 dA dA„
rot A =--
dz dr г da dz
Применяя к (2) получим:
z +1/2 z-1/2
^ 1
rotzA = — r
д (а \ dAr
т-(rAJ--^r
dr da
- dAz ці
rot„A =---------- = —
dr 4n
R2
R2
ґ z + ІП ^2 V R0 J
+1
V R0 J
+1
Вынося и сокращая R0 ,
1
1
SCIENCE TIME
найдём:
B„ = rot „A = -
a a
dr 4лЯп
z +1/2
z -1/2
7(z +1/2)2 + R2 7(z -1/2)2 + R2
Или в относительных единицах:
B„ = rot„A = -
td
a a
dr 4xR
2 z /1 +1
2 z /1 -1
7(2 z / / +1)2 +(2 R0 / / )2 7(2 z /1 -1)2 +(2R0/1 )2
(6)
B„ = rot„A =
ц1
a a
2nR
1 +
'2Ro'
(7)
При х=0 (в плоскости ХУ) получается:
При малом по сравнению с длиной отрезка расстоянии Я0 получаем выражение, совпадающее с индукцией, полученной с применением закона полного тока.
- дА
Электрическое поле найдём из Е = -&гаёф~ — . Если статических зарядов
от
нет и ток переменный, с учётом (3) получим:
е2 =-^а z dt
4^ dt
Xr 0
Xro
(8)
Вектор напряженности электрического поля направлен вдоль Ъ.
Уравнение потенциала (2) можно записать также в сферических координатах.
Например,
A =
/uI cos#
4^
f
arcsh
V v
ctgO +
1
Xr sin#
- arcsh
J
ctgO-
1
\ \
Xr sin#
JJ
Aa =
-yI sin #
4ж
arcsh
ctgO +
1
N
Xr sin^
(
- arcsh
J
ctgO-
1
\ \
Xr sin^
JJ
От угла альфа потенциал не зависит.
1
2
SCIENCE TIME
Ц
га
s
I
CD
I-
o
с
.0
I
о
CD
Векторный потенциал отрезка провода I (Ь)
5,0 - К
:о \
1 V —♦— От оси отрезка
2,0
1,0
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
Расстояние вдоль провода г/( 1/2)
Рис. 2 График распределения потенциала вокруг отрезка провода с током
при перемещении вдоль оси отрезка
Векторный потенциал отрезка провода I Щ
ц
со
I
Ф
I
О
к
CD
СО
Центр отрезка -■— 1/2 полуотрезка -А— В конце отрезка — 1,5 полуотрезка —ж— 2,0 полуотрезка
Расстояние от оси провода Ro/(l/2)
Рис. 3 График распределения потенциала вокруг отрезка провода с током при перемещении перпендикулярно отрезку
SCIENCE TIME
Векторный потенциал кольцевого тока
Попытка найти векторный потенциал кольца сделана в [4, с. 287]. Потенциал найден только вдали от кольца методом аналогии с электростатическим потенциалом.
Рис. 4 Ортогональная система координат
Выберем ортогональную цилиндрическую систему координат. [Решать в координатах ХУZ неудобно: решения каждой проекции имеет сложный вид и нахождение полного вектора оказывается трудным.]. Вектор тока в этой системе имеет только одну альфовую проекцию. Такую же составляющую должен иметь
и вектор А. dA = ~~\~~ Элемент интегрирования dl = rdpd0 . Его проекции на
направления R0 и на a0: dlR = rdpsinр , dla= rdpcosp .
Однако, радиус-вектор интегрирования привычнее найти, используя декартовы координаты. Его проекции:
Rnx=x-rcos(a+p), Rny=y-rsin(a+p), Rm=z.
Ru = ^J x2 — 2rx cos (a + p)+ r2 cos2 (a + p)+ y2 — 2ry sin (a + 0)+ r2 sin2 (a + p)+ z2 ,
Ru x2 + y2 + z2 + r2 — 2r (x cos (a + p)+ y sin (a + pj)
Вернёмся к цилиндрическим координатам: x = Rcosa , y = Rsina , z=z . Ru =y] R2 + z2 + r2 - 2rR(cosa cos {a + p)+ sin a sin (a + P))
~у1Я2 + г2 + г2-2гЯсо8р . Получилась компактная запись. Выразим подкоренное выражение в относительных единицах - вынесем г за знак радикала.
т-
SCIENCE TIME
—=г-![*Уг■+Vr-■+1 _2%cosp • A 44 —
ju r I • r cos pdp juI
Aa=^\ -
“ 4^J
R
4л
f-
ju r Irdpd0 \ж ^
+л- p cos pdp
dla = rdp cos P . fjI r cos pdp
R
\2 f \2 Z 1
R
+1 - 2—cos P r) r
-f _______
4^va - b cos P ’
где a =
ч 2 /- \2
RГ ГzY
+1 • b = 2 — ;
Сначала преобразуем этот интеграл:
juI г cos pdp /uI radp~ b cos pdp~ adp - radp~ b cos pdp
4ffiy]a - b cos P - b4n^„ лja - b cos P b4n^„ yja - b cos P
P
- /Л a
I
dp
/Л a
I-
dp
jjl
jyja - b cos Pdp
4ж д/а - Ь соб Р 4ж Ь ^ ^а - Ь соб Р 4жЬ •
Он свёлся к двум интегралам, напоминающим об эллиптической форме. Далее воспользуемся тригонометрической формулой:
cos р = cos2 — - sin2 — = 1 - 2sin2 — . Получим:
2
2
2
2л
dp
^ jja-b + 2bsin2 —dp
4ж b
a - b\ 1 - 2sin
рЛ 4жЪ
2
Это эллиптические интегралы, однако, перед бш2х стоит знак плюс. Сделаем замену переменных:
^ + Е 2 _ 2
Р ,я
— = ш± — 2 2
У/-\~-~\ , dp = 2d^ sin2 — = 1 - cos2 — = 1 - sin2^
2
2
Пределы P=0, у=л:/2; Р=2л, р/2=л; у=-л/2. <jcosa = sin| — ±а
ж
A.- £ J
fjI г cos pdp /л1 a
J-
2dy
4ж py]a - b cos p 4ж b a - b + 2b(1 - sin2 щ) 4ж b Дальше вынесем из под корня (а+б) , получим:
- — J д/a + b - 2b sin2 y/dщ
A =^~ a 4ж
a 2
i
dy
b 4a + b wyj 1 - k2 sir2
2л/ a + b b
1 - k 2sin2^d^
sin щ w
Имеем два стандартных эллиптических интеграла.
r
0
0
SCIENCE TIME
Обозначим:
R
= Xr
, тогда a = (zR +1 + Zz2) b = 2xr ,
и a + b = (xl +1 + Жг2 + 2^r)=((*R +1)2 +жг2); k2
2b
a
+ b (Xr +1)2 +
k = J — = 2
Zr
2 л/a + b _^(zr +1
‘2 +Zz2
2a
by[a + b
(Xr +1)2 +Zz2
(xR +1 + z2)
b Xr
_ {xR +1 + zz2)
ZrV(xR + 1 + Zz2 + 2Xr ) Xr^(xr +1)2 + Zz2
= kc
= k„
Окончательно имеем
4,=^
“ 2n
n/2
kK J
n/2
0 д/1 -k 2 sin2 щ
kE J дД - k 2 sin2 y/dщ
= ^~ (kKK - kEE) , где при
2ж
^/2
принятых обозначениях J
dx
л/1 -k2 sin2 x
тт/2
= K , или K=F, и |л/ 1 - k2 sin2 x •dx = E , то
есть полные эллиптические интегралы первого и второго рода.
Элемент тока dl имеет составляющую вдоль радиуса dlR = rdfi sin j3 . Проекция вектор-потенциала на направление R.
A =
/л1
sin pdp
= 0
..2 + Z/г + 1 _ 2 Rr cos Р
Это интеграл табличный. Его значение при изменении Р в пределах от 0 до 2п равно 0. То есть вторая составляющая потенциала, как и предполагалось, равна 0.
На графиках представлены примеры распределения вектор-потенциала в пространстве в функции от относительных расстояний от центра кольца и от расстояния над плоскостью кольца.
SCIENCE TIME
Векторный потенциал на высоте z=0,2r
z=O,2r
Расстояние от оси R/r (лог шкала)
Измерительный контур равного с кольцом диаметра приподнятый на z/r
3.5 С 3,O
5 2,5
§■ 2,O
1.5 с 1,O С O,5
O,O
R=1r
O,OO O,5O 1,OO 1,5O
Высота подъема z/r (лин шкала)
Рис. 5-7 Графики распределения векторного потенциала вокруг кольца с
током
SCIENCE TIME
Полученные решения дают картину полей независящую от абсолютных геометрических размеров, а только от относительных. Это означает что, например, при токе 5 А поле будет одинаковым у кольца диаметром 10 см и кольца диаметром 1 м, если мы его будем измерять его на расстоянии 20 см и 2 м соответственно. Другими словами, имеет место одно решение для всех колец с током. (конечно имеется в виду, что размеры сечения кольца малы по сравнению с его радиусом)
Векторы электрического и магнитного полей через потенциалы
- SA - -
E = - ^аёф----B = rotA . Если статических зарядов нет и ток переменный
dt
синусоидальный i = Im sin at , то справедливо следующее:
E (t) = — {kKK - kEE )aIm cosat • , U1m Edl =/л-R \kKK - kEE )• Ima , с другой
2ж J
стороны, из электротехники известно U1m = (oM ■ Im . Для измерительного витка, расположенного над кольцом с током: M = ^ • r • (kKK -kEE) . Похожее решение
приведено в [1, с. 359].
По справочнику: «Расчёт индуктивностей» [8, с. 186.] : M = ~4^KrF .
Получается, что M = — rF = у-r■ (kKK-kEE) , то есть — = (kKK-kEE) .
Аж Аж
Коэффициент F = 4^(kKK - kEE) . Сравнение значений F, приведенных в таблице
справочника и вычисленных по нашей формуле в широком диапазоне изменений размеров (более 10 раз) совпадает с точностью ± 1%.
SCIENCE TIME
Векторный потенциал соленоида и тора
Сложенные друг на друга «в стопку» кольца образуют соленоид.
Поле соленоида будет равно интегралу от суммы потенциалов колец.
На этом пути возникают серьёзные математические трудности - требуется дифференцирование эллиптических интегралов.
Воспользуемся готовыми приближёнными решениями поля векторного
_ /л0п1г2 1
потенциала соленоида А -—2— ^2 . Поле вектора магнитной индукции вне
соленоида В = шЛ = 0 . «Итак, магнитное поле вне очень длинного соленоида действительно равно нулю, хотя векторный потенциал нулю не равен» [4, с.
285].
Очень длинный соленоид не совсем реальная конструкция. Такая же картина полей имеется вокруг вполне реальной тороидальной катушки. Вне катушки магнитное поле равно нулю, что легко проверяется применением закона полного тока. Однако электрическое поле не равно нулю, иначе в витках
наружной (вторичной) обмотки отсутствовало бы напряжение и = |Е& .
Уравнения Максвелла тогЕ = ~~^~ здесь не выполняется, хотя выполняется
уравнение Е = - gmdф-— .
о1
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме оперируют с векторами полей в одной точке. А одного из векторов (например, В) может в данной точке вообще не быть, или поле может оказаться полем от другого источника.
В тех конфигурациях, в тех областях пространства, где возникают условия
для выполнения divA = 0 , уравнения поля А, Е, В, приобретают вид волновых
уравнений - уравнений распространения поля. Дифференциальные уравнения хороши для изучения полей излучения или полей в волноводах.
Хорошее практическое значение имеют Уравнения Максвелла в интегральной форме, но для их применения требуется симметрия расположения зарядов или токов, тогда они дают возможность определить параметры поля на линии. Только уравнения векторных потенциалов позволяют определить полную картину всех полей.
Потенциалы играют первичную роль. Потенциалы являются источниками электрического, магнитного и электромагнитного поля. С возникновением или исчезновением источника: заряда или тока в некоторой точке пространства от этой точки начинает распространяться изменение потенциала. Очевидно, что это
SCIENCE TIME
продвижение происходит со скоростью света. Поля Е и Н являются проявлением продвижения распространения потенциалов. Поля представляют собой компактную форму записи свойств потенциала возле точки наблюдения. «Выражение «реальное поле» реального смысла не имеет»... «реальное поле -это математическая функция, которая используется нами, чтобы избежать представления о дальнодействии» [5, с. 15]. В этой форме мысль выражена излишне формально. Когда мы говорим о распространении потенциала, невольно присутствует представление о запаздывающем дальнодействии, физически оно есть (жаль, что мы не знаем «тайных» нитей этих связей).
Из знания о структуре поля нельзя сделать вывод о структуре потенциала. Все его изменения заложены в источнике потенциала - зарядах и токах и никак не могут быть спрогнозированы по записи полей.
Самый верхний ранг (уровень) уравнений поля есть уравнения потенциалов. Уравнения поля следуют из них. Ниже идут уравнения цепей и так далее. Записанная Р. Фейнманом таблица формул [5, с. 149] должна иметь другой вид.
Перечень формул Р. Фейнмана Уравнения Максвелла
divE = -£■
divB = 0
- дB - .1 дE
ШЕ = ШВ = ^о] + ——
дt c дг
И их решения
E = -gradp -
SA
St
B = rotA
Ф, У, z, t )= J
Pit - Г12 1 C) 4я£о ri2
dV
A(x, y, z, t )= J
A) ■ j(t - ri2 / C)
4n- r
dV
12
Изменённый перечень формул Потенциалы электродинамики
■Pit - Ыc )д.
<p(x, y, z, t ) = J-
4ЗД2
A(x, y, z, t)= j — И их решения
E = - gradp - — St
Mo ■j(t - ri21 c)
dV
i2
B = rotA
^ dB - .1 dE
rotE =-----------rotB = Ll0 j + — —
dt 0 c2 8t
divE = — divB = 0
SCIENCE TIME
Обратим внимание, что если взять ротор от двух уравнений в середине
- дБ
таблицы, то должны получиться два основных уравнения Максвелла: шЕ =-------------------
д(
5 1 SE
и rotB = VoJ + —— c dt
Берём ротор Е и применяя второе уравнение из пары B = rotA найдем:
_ дА я ^ qB
rotE = -rotgradp - rot — = 0----------------------------------------------------rotA =-. Одно Уравнение Максвелла
dt dt dt
получилось!
Теперь другое. Взяв ротор от второго уравнения в середине таблицы rotB = rotrotA и воспользовавшись векторным соотношением
rotrotA = graddivA - V2 А для случая вдали, где divA = 0 , будем иметь
гогВ - V А - ^2 - Но] , [5, с. 92] [ _ _2 „ А> ]. В формулу для вычисления
60с &ос ^0
А не вошли токи смещения. Полностью уравнение Максвелла не получается.
Литература:
1. К.А. Круг. Под ред. Основы электротехники. ГЭИ. 1952.
2. Л.А. Бессонов. Теоретические основы электротехники. Высшая школа.. 1964.
3. И.Е. Тамм. Основы теории электричества. Наука. 1966.
4. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фенймановские лекции по физике. Том 5. Мир. 1966.
5. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фенймановские лекции по физике. Том 6. Мир. 1966. (эпиграф: стр. 26)
6. Л.Д. Ландау и Е.М. Лившиц. Механика. Электродинамика. Наука. 1969.
7. Е.А. Губарев. Электродинамика ориентируемой точки. Новый центр. 2013.
8. П.Л. Калантаров, Л.А. Цейтлин, Расчет индуктивностей, Энергия, 1970.
