CC BY
62
SCIENCE TIME
ПОТЕНЦИАЛЫ ТИПИЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Черкашин Юрий Семенович,
г. Москва
E-mail: cherkashin.yur@yandex.ru
«Векторы Е и Н постепенно исчезают из современной записи физических
законов: их вытесняют потенциалы А и ] »
Р. Фейнман.
Аннотация. В статье найдены электрические и магнитные потенциалы типовых конфигураций источников электрических и магнитных полей. Выделены их ближние и дальние зоны, показано соподчинение полей потенциалов, электрических и магнитных полей.
Ключевые слова: электродинамика, потенциал, уравнения поля.
Толчком к настоящему исследованию послужило известное положение, что магнитное поле длинного соленоида или тороидальной катушки с током во внешнем объеме равно нулю, а электрическое присутствует, то есть не
- - 1 дE
выполняются уравнения Максвелла rotB = /ла] +--. (Магнитное поле равно
c дt
нулю, значит, равен нулю ротор поля и не может существовать переменное электрическое поле). Однако электрическое поле в пространстве вне соленоида есть и оно легко определяется через векторный потенциал.
Источниками потенциалов являются: для электрических полей электрические заряды, для магнитных полей токи. Форма основных источников тех и других полей различны: для электрических полей основные источники имеют форму точечного заряда, замкнутой поверхности (сферы) и форму линий; для магнитных полей - форму линий и рамок (колец). Точечных источников для
магнитных полей не бывает.
Переменные поля всегда связаны с электрическим током. Заряд на изоляционной подставке может изменяться только за счёт притекающего (оттекающего) тока. Например, в диполе Герца два разноименных точечных заряда изменяются за счёт перемещения зарядов от одного полюса к другому, то есть электрического тока.
1.0. Электрические потенциалы
1.1. Потенциал уединённого точечного заряда
а 1
Потенциал уединённого точечного заряда ф =--следует из опытного
4ле0 г
закона Кулона. Здесь г расстояние от точки наблюдения (точки поиска потенциала) до точки расположения заряда д. Потенциал группы зарядов является суммой потенциалов в точке наблюдения от всех зарядов. Формула является основой для нахождения потенциалов практических всех форм источников.
1.2. Потенциал кольца на плоскости
В виду цилиндрической симметрии решение будем искать в цилиндрических координатах: R, а.
Однако радиус интегрирования - расстояние от точки наблюдения до точки расположения элементарного заряда запишем сначала в декартовых координатах.
Координаты элемента заряженной окружности: xp , yp .Координаты точки наблюдения: x, y. Разности проекций: (x- xp), (y- yp).
Расстояние Ré = ^{(x - xp)2 + {y - y p)2 . Связь декартовых координат точек
пространства с цилиндрическими: x = R cosa У = R sin a .
x„ = rcosa , yn = rsin«
p p ' s p p •
Ré x2 -2xxp + x2p + y2 -2yyp + y2 = ^R2 + r2 -2rR cosacos^ -2rR sinasma^ R. =^R2 + r2 - 2rRcos«cos«p - 2rRsin«sin«p = R2 + r2 - 2rRcos(a -ap)
SCIENCE TIME
Рис. 1 Цилиндрические координаты
Это самый простой вид записи радиуса интегрирования в цилиндрической системе координат. Отсюда можно начать интегрировать. Обозначим
(а-ар) = р .
<р
= гq
J лггт р J
dB
Аж — J 2 + r2 - 2Rr cos P
(1.1)
Можно перейти к относительным размерам: — = xR
r
ip=i qdJbL=JL i
j /i tt t? л ttv j
dPt
4ж — 4ж Ы +1 - cos^
(1.2)
Запишем косинус через половинный угол сов р =
1 -2 sin2 ^ 2
, и сделаем
замену переменных, чтобы привести корень к форме, присущей эллиптическим интегралам.
Р 2
ж 2
= ^ <" = 1.7 , d(S = 2d у - Sin2 ^ = 1 - COs2 4 = 1 - sinV
2
2
ж
Пределы Р=0, ц/=п/2; Р=2я, р/2=я; цг=-я/2.. jcosa = sinl — ±а
SCIENCE TIME
R, J
, _ 2r q
dPp
4ж
Zr +1 - 2xr + 4zr sin
P
2
<P = -
q
л 12 !
dy
=1 i
л/2
dy
2ж х\ +1 + 2^ - §т2 ¥ ™ ° V(х* +1)2 - вт2 ¥ Выносим (%к +1) за знак корня, получаем эллиптический интеграл первого рода в канонической форме (обозначают Б или К).
q 71 р йу _ q 71 р йу _ q ¥ (к, ж/ 2) ^ з)
(р-
ж
■\l(zR +1)2 - 4^r sin2 у ™{Xr +1) 0 V1 - k2 sin2 w ™ (Zr +1
где k;
4Zr
4
R
(xr +1)2 =(1X1+1/ a) • при ^ = 7 = 1 (на кольце k=1).
Электрический потенциал в плоскости кольца
10
-8-
ц
п
и
о
-♦— Эллипт инт F -о— Потенциал
0,10 1,00 10,00 Расстояние от оси R/r
Рис. 2 График изменения потенциала в плоскости кольца
Наше решение определяется прямым вычислением потенциала не через производную от потенциала - поле Е (без обязательного введения произвольной постоянной), как это часто делается в литературе. Наоборот, найдем электрическое поле через потенциал.
1.2.1. Электрическое поле в плоскости кольца
Оператор градиента в цилиндрических координатах:
0
SCIENCE TIME
j, 0 дф 0 дф 0 дф gradф = r — + a — + z —
8R
da
dz
0 дф
при имеющемся виде симметрии Е = - gradф = - г —
дЯ
Нами приняты обозначения Я0 = хЯг, дЯб = гдхЯ, то есть
grac1ф = rс
дф
1
r SZr
где
ж
с учётом (1.3)
dy
2 • 2 sin у/
+
Ur + !)J K^r + 1))9Xr о - k2 sin
nl 2
J
dy
W
/
v^r + 1у
-1
Ur + 1Г
Дифференцируя интеграл Б, найдём:
л l 2
I
ду
^Xr о yfl-k
_ i ф2)
л l 2
sin ty
22 sin ty
ф2)=_d_
^Xr ^ZR (1 + ZR )2 + ^r)
2 Szr 0 Здесь 1
• 2 V
sin
+ (- 2 V
XR
.4 (1 Xr )
(1 + )3 ) (1 + ZR )3
л/2
J
цгёу
л/2
J
(1 -1 + k
2„:„2 W 2
sin у/ uy
I
dy
^(1 -k 2 sin2 0 k2V(1 -k2 sin2 0 k2д/(1 -k2 sin2
л l 2
л 12
dy
dy
г (1 -k2 sin2 1 r
0 k2 J(1 -k2 sin2 k2 0 7(1 -k2 sin2 k2 J0 V(1 -k2 sin2 w)
л 12
-1- i-k2 J
Теперь в числителе нет синуса. Второй интеграл здесь (тот, что с минусом) уже есть эллиптический интеграл первого рода. Первый интеграл есть первичный интеграл 3 вида - б{у/, к) , Таблицы на него отсутствуют. По [9] он выражается
через интеграл второго рода и дополнительный член, который в нашем случае при подстановке пределов 0 и п/2 обращается в 0.
1
1
2
1
SCIENCE TIME
ж/2
f
\
J „ dW , = k) = -Efok)- k sinfCQS^ = Etv,k 0 V(l-к2 Sin2 1 -k I V1 -k2
'2 sin2 ^J 1 -k2
множитель
1
1
1 - k2 1 _
(1 + ^ )2 (1 )2
. Теперь
(1)!
o V(l - *2 Sin2 * 1 - * *
Е 2 Э(*2)
Его остается разделить на 2 и домножить на производную ——-Теперь производная от интеграла во втором члене суммы будет:
ж/2
ду
1 ф2 V 1
0 - k2 sin2 ^ 2k2 ^1 - k2
E(k )- F (k)
í1 -XR ) íí1 + XR)
2x, í1 + x, K(1 -x, )
■E - F
(1 + Zr ^ -E(k)--(1 /r \ F(k)
2Xr í1 -Xr ) í1 + x,)
a(k2) = 1 (1 + Zr )2 4(1 -ZR ) _ (1 -Xr )
где 2k2 2 4ZR (1 + ZR )3 2ZR (1 + Zr )
/i ! Z,
J
Полностью второй член: dу/ 1
E (k )--V^T F (k)
(Xr + 1)J3Zr 0 Vi - *2 sin2 ц/ 2Xr í1 -Xr ) w (1 + xr) Окончательно будем иметь:
дф q
д%r ж
E(k)--(1, zr \2 F(к)-
2Zr t1 -Z,) (1 + Zr )2
(*r +12
F (k)
E = ■
q
-E(k)
Í1 -ZR ) Í1 + Xr )
F (k)
(1.4)
1
1
1
1
1
Рис. 3 График распределения напряженности электрического
поля вдоль радиуса
Отрицательное значение характеризует то, что внутри кольца поле направлено против направления роста радиуса (к центру кольца).
Очевидно, что при применении закона Гаусса { Ends =q при обходе
JS £»
Ь0
поверхности должна учитываться и внутренняя сторона кольца. Формулировка «значение потока не зависит от формы 8 до тех пор, пока заряд д находится внутри» [Л4, стр. 83] для поверхности охватывающей кольцо оказывается неверной. Другими словами, поток вектора напряженности электрического поля зависит от конфигурации расположения зарядов внутри поверхности.
В нашем случае ещё отсутствует объемная (сферическая) симметрия поля вокруг кольца.
1.3. Потенциал равномерно заряженной сферической поверхности
Определим электрический потенциал заряда, равномерно распределенного
fq ■ dan ■ dв„
*-р-Р
4п ■ Яё
В виду сферической симметрии решение будем искать в сферических координатах: Я, 0, а.
Однако радиус интегрирования - расстояние от точки наблюдения до точки расположения элементарного заряда запишем сначала в декартовых координатах.
Точки на сферической заряженной поверхности: хр , ур , 7Р. Координаты точки наблюдения: х, у, 7. Проекции разности: (х- хр), (у- ур), (7- 7Р).
z
У RCxyz^
rl W" У
Ук j .x.
Рис. 4 Сферические координаты
Расстояние R = <J((x -xpJ + (y -y^f + (z - z^f Связь д^ртшьк координат
точек пространства со сферическими: x = R sinocos a y = R sin в sin а , z = R cos#,
xn = r sin<9 cosa,, , yn = r sin é^ sin« , z„ = r cos6n
p p p ' p p p ' p p •
Ré x2 - 2xxp+ x2p + y2 - 2yyp + y2 + z2 - 2zzp + z2 = ^R2 + r2 - 2Rr (sin # cos а sin вр cos ap + sin в sin a sin 6p sin ap + cos в cos вр ) tJr2 + r2 - 2Rr(sin# sin 6p (cos a cos ap + sin a sin ap) + cos ^R2 + r2 -2Rr(sin0sinвр cos(a-ap)+ cos^cosé^) . Обозначим (a-ap) = fí .
SCIENCE TIME
или: ^Я2 +г2 -2Ягсо5бсо5бр -2Яг$т6$т6р со^р (1.5)
Это самый простой вид записи размера радиуса интегрирования в сферических координатах. Отсюда можно начать интегрировать.
гЧ^р- авР :Ч ¿Рр- авр ф = Ф--= Ф--
' \п К, я2 + г2 -2ЯГ 008$^ — 2ЯГвтб^тб^ оов^
R
Можно перейти к относительным размерам: — = zR
. q d$p ■ d6p . q d$p ■ d6p
(р = )л--Б-= 1л--1 2 (1.6)
J Аж R J Ажг JZR +1_2Zr cos^cos^-2^R smtfsm^ cosp v y
Можно сменить форму записи. Запишем косинус через половинный угол.
г2 -
\
х\ +1 -
sin#sin#.
1 - 2sin2 ^ 2 ,
+ cos^cos^
И сделаем замену
переменных, чтобы привести корень к форме, присущей эллиптическим интегралам.
£ = Г±- ^(т*?! , d. ^1 = 1 -cos21 = 1 -sin2^
2 2 V 2 2 y dp = 2dy ,2 2
Пределы ¡5=0, y=n/2; ¡5=2n, ¡5/2= n; ц/=-п/2.. jcosa = sin^ + ojj
Ré = r^xl +1 - 2^r cos(# + #J-4^r sintfsin^ sin2 у/ Потенциал запишется: _ q ■ dap ■ dep q ■ d^p- Mp
j /1-77- . J? J
R 2лтд/zl +1 - 2Xr cos(0 + 0j-4Zr sin в sin Gp sin2 ¥ ^^
Если вынести за знак корня xl +1_ 2^R cos(0 + 0p)5 то в явном виде увидим признаки эллиптического интеграла и сам интеграл.
I-7-í I--2 4^r sin в sin в
R = ^xl +1 - 2Zr cos(* + *t,)Vi - kW У ,где k =7i +, _2jr cosIft + e,)
,= с q ■ dap ■ d°P = r_dvP ■ d°P_ /18)
3 R 4ЛГ * ^xl + 1 - 2xr cos(в + - к2 sin2 ¥ '
Этот интеграл не удаётся выразить в известных функциях.
Как было отмечено в предыдущем разделе, поток вектора напряженности электрического поля зависит от конфигурации расположения зарядов внутри поверхности. Так полый шар с зарядом сосредоточенным в центре, распределенным по поверхности, распределённым по объёму будет иметь на одном и том же расстоянии от центра шара различные потенциал и напряженность электрического поля.
2.0 Магнитные потенциалы
Рассмотрим поля проводников с током. Типовыми конфигурациями проводников с током являются: прямой отрезок провода, рамка, катушка, соленоид и тороид. Несмотря на простоту конфигураций, в литературе отсутствует полные строгие решения картины полей во всей области пространства вокруг проводника. В известных решениях нет ответа, как выглядит потенциал вблизи проводника на расстояниях, сопоставимых с его размерами.
Вводя понятие вектор-потенциала А учёные накладывают ограничение (как пожелание), что: для постоянного поля ёыЛ = 0 и для переменного поля
divA =__— — • Однако, в уравнения для вычисления потенциала эти требования
V2 Ы
не заложены! При этом выяснилось, что принятое авторами многих книг по
электродинамике допущение-предположение, что ЖуЛ = 0 [1, с.348.], [2, с.627],
[3, с.217], [4, с.277-279], [6, с.220] на практике не выполняется для многих простых конфигураций проводников.
Вычисление значений электрического поля Е с помощью уравнений Максвелла [1, §24-14, с.380-381] [2, §479] и через магнитный потенциал [1, ур-е 24-60; 2, ур-е, 19.10] дают разные результаты. Рассмотрим подробнее каждый случай.
2.1. Отрезок прямого провода с током
2.1.1. Найдем вектор-потенциал отрезка тока во всех точках окружающего
SCIENCE TIME
пространства.
Отметим вначале некоторую некорректность постановки этого вопроса. Токи всегда замкнуты и отрезков тока не бывает. Однако диполь Герца является хорошим приближением к отрезку проводника с током. С другой стороны, суммирование векторных потенциалов отрезков тока составляющих замкнутый контур позволяет определить векторный потенциал проводника сложной формы. Подобные решения проведены в [1, с.341; 2, с.649; 3, с.203; 4, с.263, 283]. Выберем цилиндрическую систему координат.
Вектор тока в этой системе имеет только одну проекцию вдоль оси 7. Элемент тока 8 = Ш = м! .Такую же составляющую будет иметь и вектор-
потенциал А. A = — [
Air j
t^eSdV
Рис. 5 Цилиндрическая система координат
Радиус-вектор интегрирования Яи найдем, используя декартовы координаты. ^ =д/*2 + у2 - г1 )2 , учитывая связь декартовых координат с
цилиндрическими * = R0 cos а , y = R6 sin« , z = z , получим x2 + y2 = R2 расстояние точки наблюдения от оси провода. Сам вектор-потенциал:
$ f dz¡ _ /J f dzt _ /J f - du _- /J arcsfoZ ~ z
'■z
r _ /л r uz¡ _ /л г
J I л 2 í \2 Aw j Í vT Aw J
z^R2 +(z-z,)2 zi r
1
1 (z - z, )2
1 + -—
-u2 A^ R„
R 2
SCIENCE TIME
где ^)/Яц=и. dz/Rц=-du.
Известно что интеграл для провода бесконечной длины расходится, то есть векторный потенциал равен бесконечности [1, с.349]. Мы определим векторный потенциал отрезка проводника длиной 1 (Ь).
Подставляем пределы. AZ = —
4ж
(
, z +1/2 , z-1/2 arcsh--arcsh-
R„
R,
(2.1)
Выразим размеры в относительных единицах - в длинах половины отрезка, например, высоту - z/(l/2)=Xz, расстояние до оси Яц/(1/2)=%к.
AZ Z 4ж
,2 z /1 +1 2z /1 -1 arcsh--arcsh-
\
2R /1
2R /1
Az =
4n
arcsh —--arcsh —-
Л
Получаем уравнения отличные как от
Az =
Xr li
4nR
(2.2)
Xr у
[1, с.380], так и от
az ="
2же0) c'
ln R0 [4, с.283].
На графиках представлены примеры распределения вектор-потенциала в пространстве в функции от относительных расстояний от центра проводника в радиальном направлении и от расстояния от центра проводника вдоль его оси.
Векторный потенциал отрезка проводника I (Ь) на расстоянии 10% длины проводника
Расстояние вдоль провода 2/(1/2)
а)
7,0
6,0
<
5 5,0
го '
s ^
4,0
о
=g 3,0
CD
® 2,0 m
1,0
0,0
SCIENCE TIME
Векторный потенциал отрезка провода I (Ь)
- —Центр отрезка 2=0 -■— 1/2 полуотрезка -А— В конце отрезка -к— 1,5 полуотрезка -ж— 2,0 полуотрезка
0,1 1,0 10,0 100,0 Расстояние от оси провода Ro/(l/2)
б)
Рис. 6 Графики распределения потенциала вокруг отрезка провода с током
2.1.2. Найдём дивергенцию вектора А , полученного нами для отрезка провода. Оператор дивергенции в цилиндрических координатах:
0*А = 1 ЦгА„)+1
r dr r r да dz
Получим: divA -
дЛ,
dz
1
1 1
( z +1/2 ^ 2 f z -1/2^
+ 1 J
1 R , I R J
+1
(2.3)
не равна нулю. Запишем её в принятых выше относительных величинах:
2
SCIENCE TIME
^ SAZ $ divA = —- =
dz 2nl
f
Vfez +1)2 )2 -1)2 + (Zr )2
(2.4)
При больших по сравнению с длиной отрезка - 1 значениях ъ и/или Яц дивергенция будет равна нулю.
При ъ=0, то есть на плоскости (х,у) дивергенция при любом равна нулю.
Уравнение потенциала (2.2) можно записать также в сферических координатах.
Например, AR =
¡Л cos#
f
4ж
f
arcsh
ctg0 +
1
Л
Aa =
- sin#
f
4n
(
arcsh
ctgQ +
XR Sin^ 1
f
- arcsh
ctgO-
1
f
- arcsh
ctge-
XR Sin^ 1
XR Sin^
))
J)
Хк
В [1, с.380] составляющие того же потенциала записаны в сферических
ч С соб вв -]Ш • С ътвв -]Ш координатах иначе Ак =-
A =
A= 0
R и R
Оператор дивергенции в сферических координатах:
divA = -1—(r 2 Ar )-
1
о
R2 dR
R sin 0 дв
(sin$4e) +
1 2Al R sin# da
Найдём дивергенцию вектора А , которая по принятым предположениям должна быть равна нулю:
divA =
C cos^ d
(Re -jkR )-
Ce
- jkR
С
К2 К 7 К 2siпвdв Фактически она не равна нулю.
(б1п2 в)--
C cosde
- jkR
R2
-[(1 - jkR)+ 2]* 0
2.1.3. Определим значение индукции магнитного поля В = шА . Оператор ротора в цилиндрических координатах:
r0taA JA , rot A = , rot,A = l-
W ^ r У*. У*. ' -t*
dz or r da dz r
д (л \ dAr dr da
Вектор А имеет только одну ъ - составляющую, не зависящую от угла а. Применяя к (2.1) получим:
1
1
SCIENCE TIME
rotaA =--z =
dr 4ж
z +1/2
r2
z -1/2
RI
1
f Л2
' z+l/2^
+1
i
2
' z-l/2^
R„
+1
Вынося за скобки и сокращая Яц, найдём:
B = rot „А = -
dA„
dr 4R
z +1/2
z -1/2
^(¡TT/^TRi ^/(¡TTT^yTRT
Или в относительных единицах:
Я = rot„A = -dAz
zz +1
zz -1
^ 4iR U(*z +1)2 +(zr )2 J(Zz -1)2 +(zr )2 J (2'5)
~ * 1 (2.6)
B = rot„A =
2R Г 2R.. > 2
1 1 +
1 1 У
При 7=0 (в плоскости ху) получается:
При малом по сравнению с длиной отрезка расстоянии Яц получаем выражение, совпадающее с индукцией полученной с применением закона полного тока.
- дЛ
2.1.4. Электрическое поле найдём из Е = -^аёф--. Если статических
зарядов нет [Л7. стр. 61] и ток переменный, то с учётом (2.2) получим:
Ez =-
dAz _ ^ di(t)
f
dt
4ж dt
arcsh
zz + 1 Xr
- arcsh
zz -1 Xr
(2.7)
Вектор напряженности электрического поля как и вектор магнитного потенциала направлен вдоль оси 7.
Так может быть определена, например, напряженность электрического поля вокруг провода линии электропередач, шнура линейной молнии и тп.. В этом прямом решении не приходится вводить и определять постоянную интегрирования.
2.2.0 Векторный потенциал кольцевого тока
Попытка найти векторный потенциал кольца сделана в [4, с.287], Потенциал найден только вдали от кольца методом аналогии с потенциалом электро статики.
Относительно полно приведено решение в [10, с.303-31].
Выберем ортогональную цилиндрическую систему координат. Вектор тока
в этой системе имеет только одну альфовую проекцию. Такую же составляющую
dA должен иметь и вектор А. Элемент интегрирования dl = rdpd0 . Его
проекции на направления R0 и на a0: dlR = rdpsinр , dla= rdpcosp ,
Дифференциал самого вектора: dA = — f — .
R
Однако радиус интегрирования - расстояние от точки наблюдения до точки расположения элементарного заряда запишем сначала в декартовых координатах.
Координаты точки наблюдения: x, y, z. Точки элемента кольца: x¿ , уг, zv Проекции разности координат: (x- хг), (y- уг), (z- zt).
Расстояние Ré = д/((x - x, )2 +(y - y, )2 +(z - zt )2 Связь цилиндрических координат и декартовых: х = Reos а ■> v = Asiría , Z=Z . xt= г eos а,. , y1=rúna1
SCIENCE TIME
z = z
V2 2 22 2 • 2 • • 2*2 2 2
R cos a - 2Rr cos a cos at + r cos a, + R sin at - 2Rr sin a sin at + r sin a, + z - 2 zzt + zt Ré = д/R2 + z2 + r2 -2Rr(cos(a-at)-2z,(z-zt)) . При а-аг = p и z равном 0 будем
иметь яё = ^к2 + 22 + г2 - 2Кйт соб р . Для радиуса интегрирования получилась компактная запись. Выразим подкоренное выражение в относительных
R
единицах. Обозначим: _
r
z
r
Xr , - = xz , вынесем r за знак радикала.
R2/ -2
I / r~ / r
R = rAfV 2 + V 2 +1 - 2
Л/ Л A = JL[
■ cos P , dla = rdp cos A , A^J
/л г Irdpá0
R
A.„
ju r I • r cos fidfi jjI
An
J-
cosfidfi
jal r cosfidfi
R An HX2R +Z2 +1 - 2^r cos^ a - b cos^
где a =
a = +1 + ), b = 2^r ,
Сначала преобразуем этот интеграл:
A„ =
¡uI r cos ^ • dp _ /uI r adp - b cos ^ • dyff - adp _- ¡uI r adp - b cos P ■ dp a - b cos P - bAn\ „Ja - b cos P bAn\ ja - b cos P
- /Л a
I
dp
jjI a
Í-
dp
j^a - b cos P • d/?
A^ b J „Ja - b cos P An b J „Ja - b cos P Anb
Он свёлся к двум интегралам, напоминающим об эллиптической форме. Далее воспользуемся тригонометрической формулой:
cos р = cos2 ^ - sin2 ^ = 1 - 2sin2 ^ . Получим: 2 2 2
A„ =
/Л a An b
ljl í-
dp
i
a - b 1 - 2sin'
JAja - b + 2bsin2 ~dp
Это эллиптические интегралы, однако, перед sin р/2 стоит знак плюс. Сделаем замену переменных:
0
SCIENCE TIME
P
— = y/± — 2 2
= V = ±fj , dp = Sin2 ^ = 1" COs2 ^ = 1" sin>
2
2
ж
Пределы P=0, ц/=п/2; Р=2я, р/2=я; цг=-я/2. jcos« = sinl — + а
Аа=^ i
а A-n-J
/Л г cos pip /Л а
/мае 4ТГ Ъ J
2i^
а - b cos Р An Ъ ^а - Ъ + 2b(l - sinV) b Вынесем из под корня (а+б) , получим:
—jijа + Ъ - 2Ъsin2 y/iy
A
Ла - .
4п
а 2
•V
iу 2л/ а + b
Ъ л/а + b 1 -k2 sin2 у/ b
1 - k2 sin2 y/iy
(2.8)
два стандартных эллиптических интеграла.
Далее а + ъ = fa + 1 + ж2 + 2^r Mfa +1)2 ), k:
2b
4Zr
а
k =
'Л
а + b
2vzl
+ Ъ {Xr + 1)2 +
xl
V^r+1
2
(2.9)
2л[а + Ъ ^R +1)2 + Z2
Ъ Zr
2a _ fa +1+ zR)
= kE или с учётом (2.9) kE =
2
k4xl
(2.10)
___fa +1+xl)
+ Ъ + l + + xj(xi +1)2 + Z
- kF . ku =
k fa +1) 2z
Окончательно имеем
^ ж/2 kF J
A„ =
2^
iy
л/2
22 sin у/ 0
kE J-у/1 - k2 sin2 y/iy
Или Aa = —
fa±l±z|) k ■ F --2= E
2Xr v zr kvzr
Л
(2.11)
' или Aa = ^ (kpF - kEE)
2Ж
(2.12) (2.13)
n/2
При принятых обозначениях J
ix
2 • 2 sin x
= F , часто обозначают К, и
SCIENCE TIME
л/2
JVГ-k2sin2xdx = E , то есть полные эллиптические интегралы первого и
о
второго рода.
Элемент тока dl имеет составляющую вдоль радиуса dlR = ^^т(3 Проекция вектор-потенциала на направление
Ar f
R
/1 г sin pdp
= 0
4л i R2 / 2 / R /
Ч /г2 + "/Г2 +1" 2 Уг C°s Р
Это интеграл табличный. Его значение при изменении Р в пределах от 0 до 2п равно 0. То есть вторая составляющая потенциала, как и предполагалось,
^ V ■ s А ■ п
равна 0. Размерность вектор-потенциала: = —— •
2.2.1. Найдем дивергенцию вектора магнитного потенциала. Оператор дивергенции в цилиндрических координатах имеет вид:
divA = -—{rAr)+-+ ^ . Сам вектор потенциал имеет только одну альфовую r dr r да dz
составляющую (2.12), не зависящую от угла альфа. То есть дивергенция магнитного вектор-потенциала кольцевого тока будет равна нулю независимо от величины и направления удаления от кольцевого тока.
2.2.2. На графиках представлены примеры распределения вектор-потенциала в пространстве в функции от относительных расстояний точки наблюдения от центра кольца и от расстояния над плоскостью кольца.
Векторный потенциал на высоте z=0,2r
Рассотяние от оси R/r (лин шкала)
а)
SCIENCE TIME
б)
Измерительный контур равного с кольцом диаметра приподнятый на г/г
Высота подъема г/г (лин шкала)
в)
Рис. 8 Графики распределения векторного потенциала кольца с током
Полученные решения дают картину полей независящую от абсолютных геометрических размеров, а только от относительных. Это означает что, например, при токе 5 А поле будет одинаковым у кольца диаметром 10 см и кольца диаметром 1 м, если мы будем измерять его на расстоянии 20 см и 2 м соответственно. При этом предполагается, что размеры сечения кольца значительно меньше его радиуса.
SCIENCE TIME
2.2.3. Векторы напряженности электрического поля. Вектор
- дЛ
напряженности электрического поля найдём из: E = -gradф--. Если так, что
dt
статических зарядов нет [Л7. стр. 61] и ток переменный синусоидальный
i = Im sin at , то
E(t) = — (kFF -kEE\aIm cos cot ■ 2ж
(2.14)
и 1т ={ЕЛ = я0 -{крЕ-кЕЕ)• 1та , С другой стороны из электротехники известно и 1т = аМ ■ 1т . Для измерительного витка, расположенного над кольцом с током М = ¡л-г-(кЕЕ-кЕЕ) . Похожее решение приведено в [Л1, стр. 359].
По справочнику: «Расчёт индуктивностей» [8, с.186.] М = — гЕь.
4^
F
Получается,что М = — гЕь = г\кЕЕ-кЕЕ) , то есть — = {кЕЕ-кЕЕ) .
Коэффициент Бь = 4ж(кЕЕ - кЕЕ). Сравнение значений FL, приведенных в
таблице справочника и вычисленных по нашей формуле в широком диапазоне изменений размеров (более 10 раз) совпадает с точностью ± 1%.
2.2.4. Магнитное поле В
Определим теперь индукцию магнитного поля В = гоА . Общая форма оператора ротора в цилиндрических координатах:
rot.Л J-ÍlJ^ rot.A rouA = 1
dz dR
R da dz
R
R da
При наличии только одной составляющей векторного потенциала Аа независящей от угла альфа будем иметь
rot A = -^Aa , rot 7 A = — rA dz 7 R
A
dR
(RAa)
— R
rjl a„+ a„ dR
a a
5al + 4l
dR R
SCIENCE TIME
2.2.4.1. Радиальная составляющая Бк, перпендикулярная оси ъ. Принятые обозначения г = х?г , & = кй =хкг = тд%к .
B, = OrA = l(k,F - k,E) =
dz
2л dz
2лт
kF *L + F i _ kE — - E ^ Л
V
^zz d%2
fyz d%
Z /
Рассмотрим последовательно члены суммы.
2.2.4.1.1. Первый член суммы кь входящими параметрами:
SF _
дх2
=B
Rh
определяется тремя
kF — '
(rR +1)
ж/2
X R
J(Xr + О
2
Дифференцируем
SF
о
F =J
ж/2 i
dy
dy
2 • 2 sin у
, k2 =
ж/2
2 J-
Б1П
fa +1)2 + xl
y/dty d{k2)
0 ф-k2 sin2 ¥ 2 0 ^(1 _k2 sin2 fez )
Умножив числитель и знаменатель подынтегрального выражения на к2 и прибавив и вычтя единицу, получим:
ж/2
J
б1П2 цтёу
0 -k z sin2 у
ж/2
j
(1 -1 + k2 sin2
ж/2
I
dy
)3 0 k2 7(1 -k2 sin2 0 k2 7(1 -k2 sin2 p)
ж/2
j
(1 -k2 sin2
ж/2
^ J"
dy
ж/2
J"
dy
0 к 2 7 (1 - к 281п2 к 2 0 д/(1 - к 2в1п2 к 2 0 7(1 - к 281п2
Теперь в числителе нет синуса. Второй интеграл (с минусом) уже есть эллиптический интеграл первого рода. Первый интеграл есть первичный интеграл 3 вида - в(у/, к), Таблицы на него отсутствуют. По [9] он выражается
через интеграл второго рода и дополнительный член, который в нашем случае при подстановке пределов 0 и п/2 обращается в 0.
К ^ у =Ф, к ) = í Е & к)- к ^ГТУгЛт ^ к)
0 7(1 -k2 sin2
1 - k2
71 -k2 sin2 ^ J 1 -k2
ж/2
j
б1п2 цтёу
1 1
0 7(1 -k2 sin2
k 2 1 - k 2" ^ k)~ F F^ k)
SCIENCE TIME
d{k2)_ - 4Jr 2Jz
Прои3водную k2 ^ "fa +1)2 + X\f первый член суммы будет:
можно вынести 3а 3нак интеграла. Весь
dF _Zz(xL+1+A2l
dZz xj ((zr +1)2 +*l )3
F (v, k )-7-1T E{W, Ik) 1 - k
. Дифференцирование F и k2
свелось к комбинированию интегралов Е и F с различными коэффицингтами. И с учетом
1 _ 1 _ {Xr +1)2 _{XR +1)2 +xl
1 - k2
1 -
(xr +1)2 + " 4^r (xr -1)2 + z
окончательно
получим k
(xr +1)2
dF _-xAxl+1±xZ)
dZz Zr
Или, с учётом (2.9) k
A(Xr +1)2 +
dF _ - kZz
E--
{xr -1)2 + (zr +1)2 +
xl
F
2ZrJZr
fa +1+zl) E fa +1+xl) F
Ur -1)2 + xz (xr +1)2 + xz .
2.2.4.1.2. Далее второй член суммы: F
dk
kF —
Xr
$Xz
fa +1 + xl)
F =Br2, где
+ Xz
dkL
d%z xj(Xr +1)2 v
%Z_io [xl +1 + xl)
ixRW+xi) ,
или
F
dkF = Xz fa + 4Zr +1 + xl) dZz~ xj((Xr +1)2 +xl )3
F или F
c>kF = kxz {xl + 4^r +1 + zl)
dXi 2%r4Xr ((*r +1)2 +xl)
2.2.4.1.3. Находим предпоследний член суммы. kE
dE
dXi
B
43,
где kE =
2 +*l
Xr
л 12 _
, E =| - k 2 sin2 y/dty
1
дЕ _ 1 "г2 - sin2 ¥ д(к2) д(к^} -1 +1 - к2 sin2
dXz 2 ' - к 2 sin2 ¥ dXz 2к 2 ' - к 2 sin2 ¥ '
Избавились от синуса в числителе и = 1 д(к ) (е - F) ,
dzz 2к2 dzz
„ д(к2) - 4zr 2zz
Определив производную = j---^ , окончательно получим
vcr +1))
кЕ t -E) • с учетом (-> ке £ ■ 2Й:<F - Е
2.2.4.1.4' И последний, четвёртый член суммы: е
дк
Е -Br4, где
кЕ ~
2 , ..2
дк;
1
Xr
— , его производная *z
Е дкЕ
Ху
d*z ZrV(xr +1)2
E ' с учётом (2'9> E
Xzh
дкe
dXz 2ZrJ Zr
E ' В двух
последних Е-Е=0' Остаётся F.
дЕ „ дк Е
кг.
■ + Е-
:F =■
zz к
5*z zj (xr +1)2 2xr4xr
F
Теперь суммируем члены для BR , отдельно Е и F:
br =-
& кХ2 (~{xl +1)Е , fa +1) F , fa + 4^r +1+xl)F_F1
2w 2Xr4jr U^r -1)2 (xr +1)2 +
zz
JxRW+x¡j
B к E_F1 R 24Л Xr {(zR -1)2 + xl
(2'15>
На значительном удалении %>1 единицей можно пренебречь, в скобках получается просто разность двух эллиптических интегралов.
z
SCIENCE TIME
Рис. 9 График распределения горизонтальной составляющей магнитного поля
На расстоянии от кольца равном радиусу, радиальная составляющая магнитного поле практически равно нулю
Ниже, на плоскости Ъ (2=0) радиальная (горизонтальная) составляющая индукции на любом расстоянии от центра равна нулю.
2.2.4.2. Есть ещё вторая проекция ротора вектора А, зетовая, вертикальная, более сложная.
rotZA =
Z
R да
= BZ rot Z A = —
Z ' Z R
-R (A)
DR
rotZA =
A„ + R
A.
SR
дЛа Л^
К + к , Нами приняты обозначения R0 =%кг, дR0 = гд%к.
о о
SA„ A„
B __о;
R 2ж- r
* f д {kpF -kEE)+ крЕ k*EЛ
о о
k^Xr
xr xr j
Bz =
2n- r
kz
dp
dk<
BE ^dkE ^ kpp kEE
- + P^ - kE
$xr $xr d%r dz r xr xr
--E
, стало 6 членов суммы.
2.2.4.2.1. Начнём с входящими параметрами:
дР
$Xr
=Бгь этот член суммы определяется тремя
SCIENCE TIME
kp —
fa +1+xl)
ж/2
P =J
dy
k2 =•
4Zr
Xr^(Zr +1)2 + ' J0 ^[^k2sm2 щ , " (^ +1)2 Дифференцируем интеграл F, найдём
SP о
ж/2
J
ду
ж/2 -2
sin ^
^ /i / . 2 i
g(k2)
0 V1 -k2 sin2 ¥ 2 0 7(1 -k2 sin2 W)
о'xr
SP
Такой же результат мы имели при вычислении kp-. (2.2.4.1.1.).
dXz
ж/2
I
sin2 y/dy
0 - k 2 sin2 k2
" ТГE(v,k)-P(v,k) 1 - k
~X2r +1+ Zz
. Находим производную k2
Ф2) = 4 zr + 2^r +1+zz - 2zr - 2^r = 4 5*r " ((xr +1)2 )2 " ((xr +1)2 )2
можно вынести за знак
интеграла и весь первый член суммы будет: B
Z1
dP _„(xZ +1 -*RЫ +1 ) 1
_ 2 \Л Z Sb r /\/и z /1
" xj((xR +1)2
15 k2
1 - k
-E(v, k)-P k)
Подставляя значения k, найдем
, 3P +1 -zrfe +1
1 _(^R +1)2
1 -k2 (xr -1)2
и
2zr2V (xr +1)
2
.(xr -1)2 +
zz
E (щ, k )-
(GTr +1)2 +X2z)
P (w, k)
или
kc
k
SP
dXR 4Хи % RR
(xl +1 -zrfe +1)E (xl +1 x^r +1+xl)
(xr -1)
2
TzR+¥+xZf
F
dkL
2.2.4.2.2. Вторая составляющая суммы BZ2= P -— определяется теми же
составными параметрами.
SXr
dkL
1
^r xu (Xr +1)2
(„,2 1 „,2^ Xr (xR +1 + X2Z XfR +1
ur _1 ~*z' «Л +1)2
1
p
SCIENCE TIME
С учетом (2,9) F
дк
к
(у2 _1 _у2 ) + 1 + ХП +%R )] F
^ 2xUx* Г* И^Л
2.2.4.2.3. Теперь kE ^ , где kE +1
+xl
л/2
Xr
E = jij 1 - к2 sin2 у/ ■d у
SE о
л/2
^Xr Xr
- j*\j 1 - к2 sin2 y/-dW = \
л/2 -2
- Sin
2^1 - к2 si~2
y/- dy д{к2) -1 +1 - к2 sin2 у/■ d^ д{к2) sin2 ^ 0 2к 2 Л - к2 sin2 ^
dE _ д(к2)
sxr 2к2 a^R
л/2 __л/2
J-у/1 - к2 sin2 y/-d^~ J
dy
0 д/1-к
22 sin Щ J
1 а(к2) 2к2 ^
(E " F)
Как в 2.2.4.1.3.
¿И.
4^r 2{Xr +1)
\2 или
Xr
д{к2) = 4(^:2 +1 -xR ) ^ d*R {(xr +1)2 + Y' ^ ^r
Сокращая подобные члены, получим BZ3 к
¿Xr~ (Xr +1)2 +zz ixR +1)2 +zz )2
SE 4(Xr +1)2 + Zz (Xr +1)2 +xl zfe +1 -XR) ,_F) - 4%R ((Xr +1)2 )2
= 1 fa +1 -xR) (E_F) 5*R 2 zlJGIW^ '
Или с учетом (2.9) найдём кЕ — = 1 Д2 ^ к (f - E)
4xRJ Zr
ак
2.2.4.2.4. Четвёртый член суммы: E-=BZ^. В нем
5кЕ
^zr +1) yiixRW+xl
d*R 2xJ {Xr +1)2
^r
E _ Xr 1 zz
^r" xU (xr +1)2
и E ^ = ~1 ^ E . С учетом (2.9) E ^ =
5*R xl
SXr 2xU Zr
к ■ E
Ко всем четырём добавляется BZ5 и BZ6.
4
SCIENCE TIME
"f
Xr
dA„ An
kFF _ KE -(xR + 1 + ^z2 ) kF {Xr + 1)2 + z
"e ^r
2xrv xr
Теперь Bz =
f
Bz =
dR, R. /uI k
2rn
OF dkF ,
• + F—-— kE
3%r d%f
2Zr \ Xr
SE dkE ■ — E
kE k
dXf
+
$Xr Xr
k >
f f- —^E
Xr
/
2™ 4xuxr
fe +1 -xl fe +1) E {xz +1 -xl \xl +1) F+
^xR+1)r+xz)
(zr -1)2 +
zz
2 (xR -1 -xl)-
{xl +1x-^r2 )"
-П—^—т^ Г-(^к -1 -х1 У-1
1(*к +1) +х1) )
+ 2(Жг2 +1>? + +1 + Жг2 ^ - 2(0^ +1)2 Ы
Группируя члены с эллиптическим интегралом Е, приводя подобные члены
(1 -Zr2 )
(25 шт.) найдем 2^ _ _
Кхк -1)
Группируя члены с эллиптическим интегралом Б, приводя подобные члены (32 шт.) найдем ^ . Такое парадоксальное сокращение числа подобных
членов, видимо, свидетельствует о каких-то общих свойствах или дифференцирования эллиптических интегралов, или неких свойствах векторных функций решаемой задачи. Окончательно имеем:
к ( (1 -х1 ~х1) Л
Bz =
2w U^r " 1)2
■E + F
J
(2.16)
а)
2
SCIENCE TIME
Вертикальная составляющая магнтного поля на высоте 20% радиуса кольца
5 п
4 -
со
в) Ц 3 -
О
с в) 2 -
О
X 1- 1 -
S
га 0 -
:> -10,
-2 -
00_0,50_1
00_2,50
Расстояние от оси ^г
б)
Рис. 10 Графики распределения осевой (вертикальной) составляющей щ
магнитного поля на плоскости на высоте 20% от значения радиуса (поле В на расстоянии от плоскости кольца 0,2 от величины радиуса почти равномерное, то
есть силовые линии долго не расходятся)
При построении большего числа плоскостей можно получить точную диаграмму направленности каждой конфигурации источника поля. Для учёта соотношения длины волны и размеров источника решения надо производить с
\ г А) • - V " гх- /Ч учётом запаздывания Л(х, у, г, г) = I----—-ё¥1 .
2.2.5. Поток вектора магнитной индукции через заданную поверхность может быть найден без вычисления поля в каждой точке пространства. По теореме Стокса достаточно знать значение вектора потенциала на контуре, на
который опирается эта поверхность. О = | БёИ = | го&<£ = | Лё! . Например, поток вектора магнитной индукции через кольцо поднятое над поверхностью контура с
током равен: О = Мкрр - кЕЕ)й = (крр _ кЕЕ)-2тгг = г(крр - кЕЕ)■ /(г)
2п J 2п
SCIENCE TIME
(2.17)
Если ток синусоидальный i = Im sin cot, то напряжение между выводами
витка будет u = — = r -{kpF - kEÉ)— = r -{kpF - kEÉ)- Im cos cot
dt dt
соответствует Um = oMIm . {см. п. 2.3., где M = yr\kpF-kÉE) }.
что
При больших по сравнению с размерами кольца расстояниях Хя > 1 главную роль играет относительное удаление точки наблюдения от кольца
2 , 2 Xr ' Xz
/ п V RÑ
V r
é
В сферических координатах Ró = r%i = Re sin в
Xr = RÑ 1 r sin# , Zz = RÑ 1 r cos 0 , xR +Zz2 = (RÑ 1 rY
f _((Rñ i r)2 +1)
z = rXz = Rc cos в .
Л
(RÑ / r)sin 0^¡(RÑ / r)2 +1 + 2(RÑ / r)sin 0
VR / r)2 + 1 + 2(Rñ / r)sin6» F--;-7-E
(RÑ / r)sin в
2.5.0. Векторный потенциал отрезка трубки с продольным током
Такой источник поля образован либо элементарными продольными отрезками токов, расположенными на окружности, либо кольцами с поперечными элементами токов, расположенными вдоль оси на длине отрезка. Для элемента тока на поверхности цилиндра величина di определится
[Л е diz 0
dI=I/2nr*rde=Idp/2n. л =
R
Пропуская промежуточные вычисления найдём
рП Н dXZldV
Л2 =
4ж
Или
Л2 =
X k
if
4^2 1 2y[xR д/l -kR sin2 щ
^ <J(Zr +1)2 + Г2 (Xz - Xz, )2 " 4Xr sin2 W
dXz,dV ___ ,2 4^r
где k„2 =
{Xr +1)2 +Г2 {Xz ~Xz, )2
(2.18)
SCIENCE TIME
Не удаётся выразить этот интеграл в известных функциях.
Рис. 11 Поверхность цилиндра
Ф 2.6.0. Векторный потенциал соленоида и тора
Сложенные друг на друга «в стопку» кольца образуют соленоид. Поле соленоида будет равно интегралу от суммы потенциалов колец. На этом пути возникают серьёзные математические трудности.
Воспользуемся готовыми приближёнными решениями поля векторного
вектора магнитной индукции вне соленоида
. _ /Лр п1г 1 П потенциала А -—---'
2 Ко
В = гоЛ = 0 . «Итак, магнитное поле вне очень длинного соленоида
действительно равно нулю, хотя векторный потенциал нулю не равен» [4, с.285.].
Очень длинный соленоид не совсем реальная конструкция. Такая же картина полей имеется вокруг вполне реальной тороидальной катушки. Вне катушки магнитное поле равно нулю, что легко проверяется применением закона полного тока. Однако электрическое поле не равно нулю, иначе в витках
наружной (вторичной) обмотки отсутствовало бы напряжение и = | Ё< .
{Уравнения Максвелла
5 ^ 1 дЕ rotB = ^0j +—
c dt
здесь не выполняется, хотя
61 8
дЛ
выполняется уравнение ё = - gradф -— .}
3. Заключение
Уравнения потенциалов позволяют определить полную картину полей. Они являются носителями электрического и магнитного поля. Электрическое и магнитное поля являются, как бы листьями на дереве потенциалов. С возникновением или исчезновением, или изменением источника (заряда или тока) в некоторой точке пространства от этой точки начинает распространяться изменение потенциала. Очевидно, что это продвижение происходит со
скоростью света. Изменение потенциала в пространстве ( В = гоЛ , Ё = -§гас1ф )
- дЛ
и/или во времени ( ёш =--) является сутью существования магнитного и
дх
электрического полей.
Запаздывающие потенциалы сами распространяются волновым образом и с ними распространяются поля. Диаграмма «направленности» поля потенциала определяет диаграмму направленности электрического и магнитного полей. Потенциалы играют первичную роль.
Какие ещё поля могут распространяться без источников энергии, без потенциалов. Если какое-то поле и «полетело», то без подпитки энергией оно затухнет, ибо потери энергии всегда есть. Электрическое и магнитное поля не самостоятельны.
Уравнения полей Е и В в дифференциальной форме оперируют с векторами полей в одной точке. А одного из векторов (например, В) может в данной точке вообще не быть, или поле может оказаться полем от другого источника со своим законом изменения во времени.
Поле как математическое описание свойств потенциала - это реально.
«Выражение «реальное поле» реального смысла не имеет».... «реальное поле - это математическая функция, которая используется нами, чтобы избежать представления о дальнодействии» [5, с.15.]. В этой форме мысль выражена излишне формально. Когда мы говорим о распространении потенциала, невольно присутствует представление о запаздывающем дальнодействии, физически оно есть. Жаль, что мы не знаем «тайных» нитей этих явлений.
SCIENCE TIME
Литература:
1. К. А. Круг. Под ред. Основы электротехники. ГЭИ. 1952.
2. Л.А. Бессонов. Теоретические основы электротехники. Высшая школа. 1964.
3. И.Е. Тамм. Основы теории электричества. Наука. 2003.
Р4. . Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фенймановские лекции по физике. Том 5. Мир. 1966.
5. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фенймановские лекции по физике. Том 6. Мир. 1966. (эпиграф: стр. 26)
6. Л. Д. Ландау и Е.М. Лившиц. Механика. Электродинамика. Наука. 1969.
7. Е.А. Губарев. Электродинамика ориентируемой точки. Новый центр. 2013.
8. П. Л. Калантаров, Л.А. Цейтлин, Расчет индуктивностей, Энергия, 1970 .
9. Л.С. Кузьмич. Эллиптические функции Эллиптические интегралы. М. Книжный дом «ЛИБРОКОМ». 2013.
10. Нейман Л.Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. Т.2. Л.: Энергоиздат, 1981.
