CC BY
28
УДК 537.63
В. В. Сидоренков
РАЗВИТИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРОЦЕССЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОВОДИМОСТИ В МЕТАЛЛЕ
Показано, что электрическая поляризация металла обусловлена его упорядоченным механически напряженным состоянием, возникающим в процессе электропроводности, при этом падение электрического напряжения в проводнике представляет собой работу сторонних сил, запасенную в системе при изменении ее конфигурации. В развитие физических представлений о взаимодействии металлов с электромагнитным полем вводится понятие векторного электрического потенциала проводника с током, обсуждаются свойства и возможность его косвенного наблюдения.
При взаимодействии металлов с электромагнитным полем главную роль играет их высокая электропроводность, поэтому важным аспектом анализа указанного взаимодействия является выяснение физической природы отклика проводящей среды на наличие в ней электрического тока, нетривиально проявляющего себя за счет нетеплового действия тока. Впервые исследования нетеплового влияния электрического тока на физические свойства металлов были проведены Г. Вертгеймом [1] оде в 1844 г. По удлинению проволочных образцов различных металлов при постоянной внешней механической нагрузке в условиях пропускания электрического тока (] ~ 107 ... 108 А/м2) либо только при термическом воздействии и одной и той е температуре образца определялись соответственно модули упругости С1 и С2 исследуемого материала. Наличие разности АС = |С1 — С21 служило доказательством дополнительного нетеплового действия электрического тока на величину модуля упругости металла. Эти исследования считаются уникальным физическим экспериментом, и именно ертгейму принадлежит приоритет открытия явления упорядоченного механически напряженного состояния металла, возникающего в процессе электропроводности.
В настоящее время указанный феномен исследуется в основном с целью применения на практике электропластического разупрочнения металлов под действием электрического тока высокой плотности ] ~ 108 ... 109 А/м2 [2, 3]. Однако дискуссия о природе этого сложного и многогранного явления продолжается и отражена во многих публикациях (например, в [3-7]). В частности, в данной работе дается ответ на физически принципиальный вопрос о связи гальваномехани-
ческих деформаций (нетепловых деформаций под действием тока) с электрическим полем в металле при электропроводности.
Далее показано, что электрическая поляризация металла обусловлена его упорядоченным механически напряженным состоянием, возникающим в процессе электропроводности, при этом падение электрического напряжения в проводнике представляет собой работу сторонних сил, запасенну в системе при изменении ее конфигурации; в развитие представлений о взаимодействии металлов с электромагнитным полем вводится понятие векторного электрического потенциала проводника с током, обсуждаются свойства и возможность его косвенного наблюдения.
Уравнение энергетического баланса процесса электропроводности в металлах. Оставаясь в рамках теории Друде электропроводности металлов [8], рассмотрим уравнение энергетического баланса для металлического проводника при наличии в нем электрического тока в следующем приближении:
ы(7) = ыт + ые + . (1)
Здесь представлены зависящие от плотности тока объемные плотности тепловой энергии ыт, потенциальной энергии электрического поля ые и кинетической энергии дрейфового движения электронов .
Тепловая энергия, выделяющаяся с течением времени в единице объема проводника с электрическим током, описывается законом Джоуля-Ленца:
72
ыт (7) = =4 (2)
а
где а — удельная электрическая проводимость материала. Эта энергия равна работе сторонних сил, постоянно совершаемой над электронами проводимости в их дрейфовом движении, причем приращение внутренней энергии проводника проявляется в его нагреве.
Объемную плотность электрической энергии ые = Е • -0/2, связанную с присутствием в проводнике при электропроводности электрического поля, найдем, учитывая закон Ома = = аЕ и соотношение для электрического смещения в таких условиях — = ее0Е = т=, где е — относительная диэлектрическая проницаемость, е0 — электрическая постоянная. В результате энергия электрической поляризации проводника под действием тока запишется в виде
1 7 2
Ые(=) = - —Т. (3)
2а
изический смысл коэффициента Т определяется с учетом теоремы Гаусса = р, где р - объемная плотность электрического заряда, из уравнения непрерывности + др/дЬ = 0, решение которого
р(£) = р0 ехр(—¿/г) описывает закон релаксации заряда в проводящей среде. Следовательно, т = ее0/о есть постоянная времени релаксации электрического заряда (далее т = трел) для данного материала.
Поскольку электрический ток представляет собой упорядоченное дви ение носителей заряда ненулевой массы, то в проводнике присутствует также кинетическая энергия дрейфового движения этих зарядов. Тогда для электронов проводимости металла получим
/л т^2 те ,2 1 72
ы 7 ) = птг = 2п?72 = 17т", (4)
где учтены выражения для вектора плотности тока 7 = пеу и удельной электрической проводимости о = пе2тст/2те [8]. Здесь те и е — масса и заряд электрона, п и - концентрация и модуль дрейфовой скорости электронов проводимости, тст — среднее время свободного пробега электронов между столкновениями.
итоге уравнение энергетического баланса процесса электропроводности в металле (1) запишется следующим образом:
72 1 72 1 72
™(3) = — * + о "трел + тст. (5)
о 2 о 4 о
Видно, что при стационарном токе, в отличие от первого слагаемого , линейно нарастающего во времени, два других, ые и , от времени не зависят и соотносятся друг с другом в соответствии с численными значениями временных коэффициентов трел и тст. Определяемый аналитически коэффициент тст для металлов при комнатной температуре [8] по порядку величины равен 10-13 ... 10-14 с, а значение трел, согласно работам [8, 6], примем ~ 10-6 с. Несмотря на то, что численно меньше ые на 7-8 порядков, тем не менее, это слагаемое важно физически, так как отвечает за магнитну энерги проводника с током, и только оно сохраняется при сверхпроводимости, когда тст ^ то.
Таким образом, в случае нормального (несверхпроводящего) металла энергетика процесса электропроводности количественно определяется в основном тепловой (7) и электрической ые(7) энергиями, поставляемыми источником стороннего поля, причем физический механизм их реализации един и обусловлен передачей ионам кристаллической решетки проводника энергии упорядоченного движения электронов проводимости.
Деформационная поляризация металлов под действием электрического тока. В контексте рассматриваемого вопроса главной целью является выяснение природы электрической энергии ые(7), запасаемой в проводнике с током. Покажем, что закон Ома электропровод-
ности обусловлен откликом среда на нетепловое воздействие со стороны электрического тока и проявляет себя в виде электрической поляризации металла. Представления о векторе электрической поляризации вещества как дипольном моменте единицы объема в линейном прибли-ении, прямо пропорциональном напря енности электрического поля: Р = ие1 = (е — 1)еоЕ, где |/| — плечо диполя, приводят к выражению
Е (Ц) = —Ц, (6)
еео
позволяющему описать электрическое поле в металлической среде при ее поляризации; металл здесь рассматривается как диэлектрик с предельно большой восприимчивостью. В общем случае соотношение (6) является тензорным, но применять тензорную запись в наших рассу-дениях нет необходимости.
В однородной проводящей среде значение объемной плотности заряда р(Ь) = р(0)ехр(—Ь/т) при квазистационарной (Ь ^ трел) электропроводности близко к нул , поэтому процесс электрической поляризации металла в таких условиях будет протекать в локально электронейтральной среде, когда = 0. Физически поле Е(Ц) обусловлено законом сохранения импульса в системе "электронный газ-ионный остов" кристаллической решетки проводника, где при наличии тока "центры масс" положительных и отрицательных зарядов в атомах смещаются относительно друг друга, создавая тем самым деформа-ционну поляризаци сред . ри этом индуцируемое в проводнике электрическое поле уравновешивает поле сторонних сил и в указанных условиях результирующая сила, действующая на дрейфующие со скоростью у электроны проводимости, равна нулю, что и определяет линейную связь = ~ Е. Аналогией этому может служить, например, установившееся движение твердой частицы при падении ее в вязкой жидкости в поле силы тяжести.
елесообразно отметить, что вывод об отсутствии в однородном проводнике с током объемного электрического заряда следует из пред-поло ения справедливости при электропроводности закона ма, когда 7 ~ Е. При этом игнорируется воздействие собственного магнитного поля тока гоХИ = = + д—/дЬ на движущиеся носители заряда посредством магнитной компоненты силы Лоренца Ггп = е[Уз, В], величина которой в такой ситуации является квадратичной функцией тока. Здесь В = — вектор магнитной индукции, зависящий от соответству-
ющей напряженности; р — относительная магнитная проницаемость среды; р0 — магнитная постоянная. Это обстоятельство должно приводить к нарушению локальной электронейтральности среды (ёгу— = р) за счет ухода вглубь проводника части электронов проводимости, где
их кулоновское отталкивание компенсируется действием магнитного поля тока. Данный вопрос подробно рассмотрен в работах [9, 10], поэтому ограничимся только этим замечанием.
Однако именно таким нарушением электронейтральности можно объяснить наблюдаемую в условиях, близких к изотермическим, квадратичну нелинейность вольт-амперной характеристики медного проводника при постоянном токе [6], аппроксимируему строгой аналитической зависимостью Е(]) = а] + Ь]2, в которой квадратичное по току слагаемое заметно проявляет себя при плотности тока ] ~ 108 А/м2 и более. Поэтому при обычной плотности тока ] ^ 108 А/м2 эта нелинейность не может существенным образом повлиять на результаты наших рассуждений, что подтверждают таюке и вывод проведенного вые анализа уравнения энергетического баланса процесса электропроводности (5).
Сопоставляя соотношение (6) с законом Ома ] = оЕ, получаем формулу
13 = —] = —] = V трел (7)
пео пе
для указанного динамического смещения "центров масс" разноименных зарядов, вызывающего деформационную электрическую поляризацию металлического проводника с током. Интересно, что последнее соотношение в (7) аналогично по виду формуле для среднего значения "длины свободного пробега" электронов проводимости в металле: /т = уттст, где ут — их средняя тепловая скорость. Таким образом, процесс электрической проводимости поро дает в металле электронейтральные микрообласти (ёгу-О = 0), образно говоря, "полярные молекулы", с дипольным моментом р} = , ориентированным колли-неарно направлению тока.
Фундаментальность величины динамического смещения , по сути своей "длина релаксации" заряда в проводнике, состоит в том, что на участках проводника такой длин падение электрического напря ения (разность электрических потенциалов)
и (/,) = / Е Л = ^ = (8)
равно отношению объемных плотности электрической энергии (3) и плотности носителей заряда в металле. Данный результат нетривиален, поскольку он в явном виде раскрывает физическую сущность разности электрических потенциалов в проводнике, представляющей собой последовательно ориентированную совокупность "элементарных ячеек"
удельной электрической энергии (8), созданных током в локально электронейтральной среде.
Численные оценки параметров "полярных молекул", отвечающих соотношениям (7), (8), дают по порядку величины их максимальный, ограниченный токами разупрочнения реального металла (jmax ~ ~ 109 А/м2) размер вдоль направления дипольного момента lj ~ 10-7 м, и, соответственно, максимальные значения момента pj = elj ~ ~ 10-26 Кл^м и напряжения U(lj) ~ 10-6 В.
Согласно выражениям (6)-(8) физически естественно ожидать, что даже при реализации тем или иным способом условий, близких к изотермическим при пропускании тока, электрическое поле в металле должно сопровождаться упорядоченной механической деформацией (удлинением вдоль тока) проводника, связанной с полем линейной зависимостью. Справедливость такого вывода подтверждена экспериментом [6], где феномен E(lj) условно назван элешгроупругим эффектом.
Векторный электрический потенциал металлического проводника с током. В развитие представлений о взаимодействии металлов с электромагнитным полем, вместо стандартного описания электрического поля с помощью скалярного потенциала E = —grad^e, введем понятие векторного электрического потенциала Ae проводника с током. Такая альтернатива возможна, поскольку при электропроводности однородная проводящая среда остается обычно локально электронейтральной [10], а потому при ее электрической поляризации divD = 0. Следовательно, вектор электрического смещения можно представить как D = rot Ae, где векторную функцию Ae называют векторным электрическим потенциалом. Его однозначность, т. е. чисто вихревой характер поля Ae(r), обеспечивается условием кулоновской калибровки divAe = 0.
Здесь имеется полная математическая аналогия с векторным магнитным потенциалом Am, когда из равенства divB = 0 вытекает представление вектора магнитной индукции в виде B = rot Am. Подробно свойства вектора Am рассмотрены в работе [11], отметим только, что если магнитный вектор-потенциал Am считается вполне наблюдаемой физической величиной (эффекты Ааронова-Бома, Джозефсона, Мейс-нера и др.), то электрический вектор-потенциал Ae как физическая реальность не рассматривается и ему отводится роль формальной вспомогательной функции, используемой в вычислениях.
В применении к проводнику с током соотношение D = rot Ae для большей наглядности и математической общности представим в интегральной форме:
Аей1 = у Б ¿Б = у трел . (9)
С во ва
где циркуляция вектора электрического потенциала Ае по замкнутому контуру С равна потоку вектора электрического смещения Б = трел. через поверхность БС, опирающуюся на этот контур, причем указанный поток через замкнутую поверхность (С ^ 0) равен нулю. Видно, что вектор Ае имеет размерность линейной плотности заряда.
На основе (9) можно получить конкретные формулы связи поля вектора Ае с полями векторов Б и ., однородно распределенными внутри кругового цилиндрического проводника радиуса Я и ориентированными вдоль его оси симметрии. результате имеем
1 Тел Ае(Г) = ^[-С, Г ] = [j,r ] при Г < R,
1R2 г R2
Мг)=1—-,r]=-релR^[j,r] при r > r.
2 Г 2 Г
(10)
Таким образом, поле электрического векторного потенциала Ае (г) существует как в самом проводнике с током, так и вовне, оно непрерывно на его поверхности, при этом вектор Ае всегда ортогонален плоскости, в которой лежат векторы . и Г. Здесь физически интересно представить проводник с током как "электрический соленоид", поскольку поля индукции Б (. ) и ее векторного потенциала Ае(г) функционально эквивалентны аналогичным зависимостям В(. ) и Ат(. ) магнитного соленоида [11].
По сути, соотношение (9) о циркуляции электрического вектор-потенциала устанавливает физически содержательное положение о том, что величина циркуляции вектора Ае по замкнутому контуру определяется поляризационным (связанным) электрическим зарядом, индуцированным на поверхности, опирающейся на этот контур:
Ае¿1 = J т^пеу¿Б = J пеГ¿Б = J апол^Б = дпол, (11)
С ва ва ва
где апол — поверхностная плотность поляризационного заряда. Отсюда, в частности, следует определение вектора электрического смещения Б, по величине равного плотности поляризационного заряда на пробной площадке, ориентация которой в данной точке создает на ней максимальное значение этого заряда, а нормаль к площадке указывает направление вектора Б, совпадающее с направлением вектора . .О пре-деление вектора Б как потокового вектора показывает его физическое
отличие от линейного вектора напряженности E, являющегося силовой характеристикой электрического поля.
В этой связи укажем, что предпочтительнее, по сравнению с абсолютной системой единиц физических величин СГС, использовать систему единиц СИ, широко распространенную в настоящее время в науке и технике. Введение в системе СИ размерного множителя е0 в соотношении D = ££qE действительно оправдано, поскольку тем самым объединяются физически различные электрические величины: линейный (силовой) вектор напряженности E и потоковый вектор смещения D. Аналогично в другом материальном уравнении размерная константа р0 связывает линейные и потоковые векторные величины: B = рр0И. Напротив, в гауссовой системе единиц безразмерные коэффициенты £0 = 1 и р0 = 1 делают векторы E и D, И и B тождественными, что обедняет физическое содержание соотношений электромагнетизма, оставляя в них формальное математическое описание. Физические свойства указанных векторных полей, акцентируемые в системе СИ, наиболее полно отражены в электродинамических уравнениях, сформулированных в окончательной форме Максвеллом, где (и Максвелл это особо подчеркивал [12]) описываются вихри именно линейных векторов E и И, а дивергенции — потоковых векторов D и B. Отметим, что векторные потенциалы Ae и Am по определению являются линейными векторами.
Однако представления о вектор-потенциале Ae будут иметь по-настоящему физическое содержание только тогда, когда указан, хотя бы в принципе, метод его наблюдения, а лучше — конкретный способ измерения параметров этого векторного поля. В рассматриваемом случае это вполне возмо но ввиду полной математической то дествен-ности соотношений D = rot Ae и j = rot И. Тогда в асимптотике низких частот (ш ^ 0) распределение поля векторного электрического потенциала Ae(r) проводника с током полностью соответствует топологии распределения напряженности магнитного поля И(r), созданного этим током в процессе электропроводности, а их величины между собой прямо пропорциональны:
Ae(r ) = ТредИ(r ). (12)
Согласно [8] порядок величины времени релаксации электрического заряда в металлах составляет трел ~ 10-6 с, а конкретно для меди из эксперимента — трел ~ 3,6 • 10-6 c [6]. Следовательно, электрический векторный потенциал Ae проводника с током при ш ^ 0 можно считать косвенно наблюдаемой физической величиной, поскольку измерение магнитного поля не представляет серьезной технической проблемы.
Для иллюстрации физической значимости векторного потенциала электрического поля Ae формально введем, аналогично вектору плотности потока электромагнитной энергии Пойнтинга S = [E, H], потоковый вектор [E, Ae], который для цилиндрического проводника с током запишется в виде
- - Т -- 1 j2
[E, Ae] = ТН-j Е ^]] = -2-ТрелГ = -Wer. (13)
2a 2 a
Здесь we — объемная плотность электрической энергии, определяемая соотношением (3). Видно, что данный вектор определяет электрическую энергию, приходящуюся на единицу площади поверхности проводника с током. Тогда из уравнений Максвелла, подобно известному соотношению div[E, H] = -Ej баланса расхода энергии электромагнитного поля на нагрев проводника, получим с учетом равенства D = rot Ae аналогичное уравнение баланса энергии процесса электрической поляризации проводящей среды при стационарной электропроводности:
div[E, Ae] = -ED = ТрелЕj.
В этом случае стоит также указать два других потоковых вектора: [H, Am] и [Ae,Am]. Согласно [11] для магнитного поля в рассматриваемом случае при r < R имеем
H = 11 H Н L Am = - r2Hj.
В результате получим конкретные выражения для векторов:
r2 r2
[H, Am] = -Wo— j2r, [Ae, Am] = -Трепло— j2Г, (14) 8 8
которые определяют соответственно магнитную энергию и момент импульса электромагнитного поля, поступающие в цилиндрический проводник через единицу площади его боковой поверхности. При этом div[H,Am] = -НВ есть уравнение энергетического баланса процесса намагничивания проводящей среды под действием постоянного электрического тока, а уравнение div[Ae,Am] = -AeВ = -ТрелHB описывает передачу проводнику в таких условиях момента импульса электромагнитного поля.
одводя итог, отметим, что выявленные на основе физических представлений о векторных потенциалах AHe и AHm электромагнитного поля потоки электрической и магнитной энергий и момента импульса существуют одновременно. Они вместе с энергетическим потоком джо-улевых потерь в принципе сопровождают процесс электропроводности
в обычном (не сверхпроводящем) металле. Однако если энергетические потоки, поступающие в проводник с током, физически оправданы, то существование потока момента импульса не очевидно [13] и требует объяснения, поскольку это указывает на то, что электрический ток обладает не только импульсом, но и его моментом.
Заключение. Проведенные рассуждения, как нам представляется, показали, что связь поля электрической напряженности с плотностью электрического тока в металле Е (.), отвечающая закону Ома, реализуется неразрывным единством двух физических явлений: гальваномеханической деформацией (нетепловой деформацией под действием тока) металла 3 и вызванной этим явлением его электрической поляризацией, напряженность поля Е (3) которой прямо пропорциональна удлинению проводника в таких условиях. Соответственно, внутренняя энергия металла за счет действия электрического тока ) обусловлена не только выделением тепловой энергии по закону Джоуля-Ленца ыт(.), но и наличием потенциальной электрической энергии ые(.), представляющей собой работу сторонних сил, запасенную в системе при изменении ее конфигурации, которая согласно соотношению (8) определяет природу падения электрического напряжения в проводнике при электропроводности.
так, поле электрической поляризации металла поро дается его упорядоченным механически напряженным состоянием, вызванным нетепловым действием электрического тока. Другими словами, нетепловое действие электрического тока фундаментально проявляет себя именно в законе ма электропроводности в металлах. ри этом описываемые законами электропроводности . = аЕ и электрической поляризации Б = трел. электрические векторы напряженности Е и смещения Б физически различны и находятся в отношении друг с другом как растягивающие усилия и смещения частиц среда, а объединяющее их соотношение Б = ее0Е есть прямой аналог закона Гука в теории упругости. Отсюда непосредственно следует вывод, что объемные плотности электрической и упругой энергий в проводнике, обусловленные нетепловым действием электрического тока, принципиально равны по величине, а физические механизм их реализации то дественн .
На конкретном примере исследования взаимодействия металлов с электромагнитным полем установлено, что формальное использование представлений о векторных потенциалах: электрическом Ае и магнитном Ат, позволило сделать утверждение, что вместе с потоком вектора электромагнитной энергии Пойнтинга в проводник при электропроводности поступа т потоки чисто электрической и магнитной энергий и момента электромагнитного импульса, существующие в электромагнитном поле. Таким образом, возникает проблема аргументированного,
строгого обоснования приведенных фактов, и возможно предсказание других явлений, для которых необходимо указать известные либо сформулировать новые физические представления о фундаментальной роли векторных потенциалов в явлениях электромагнетизма. Здесь, по мнению автора, наиболее кардинальной является проблема модификации для указанных потенциалов электродинамических уравнений Максвелла, возможность которой заложена в их структуре. Тем не менее, уже сейчас, наряду с традиционными векторными полями в электродинамике: E, H, D и B, векторные потенциалы Ae и Am можно считать полноправными физически значимыми полями, расширяющими наши представления об электромагнитных полевых процессах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wertheim G. Untersuchungen über die Elasticitat // Ann. Phys. und Chem. -1848.-Bd. 11/11.-S. 1-114.
2. Троицкий O.A. Электромеханический эффект в металлах // Письма в ЖЭТФ.
- 1969.- Т. 10.- С. 18-22.
3. С п и ц ы н В. И., Троицкий О. А. Электропластическая деформация металлов. - М.: Наука, 1985. - 160 с.
4. Климов К. М., Новиков И. И. Особенности пластической деформации металлов в электромагнитном поле // ДАН СССР. - 1980. - Т. 253, № 3. - С. 603606.
5. Сидоренков В. В. О механизме текстурирования металлов под действием электрического тока // ДАН CCCP. - 1989. - T. 308, № 4. - С. 870-873.
6. К о р н е в Ю. В., Сидоренков В. В., Тимченко С. Л. О физической природе закона электропроводности металлов // Докл. РАН. -2001. - Т. 380, № 4.
- С. 472-475.
7. Марахтанов М. К., Марахтанов A. M. Волновая форма электронного переноса теплоты в металле // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Машиностроение". - 2001. - № 4. - С. 84-94.
8. Зоммерфельд А. Электродинамика. - М.: ИЛ, 1958. - 501 с.
9. Мартинсон М. Л., Недоспасов А. В. О плотности заряда внутри проводника с током // УФН. - 1993. - Т. 163, № 1. - С. 91-92.
10. С и д о р е н к о в В. В. Об электромагнитной квадратичной нелинейности проводящей магнитоупорядоченной среды // РЭ. - 2003. - Т. 48, № 6. - С. 746749.
11. Антонов Л. И., Миронова Г. А., Лукашева Е. В., Чистякова Н. И. Векторный магнитный потенциал в курсе общей физики / Препринт № 11. - М.: Изд-во МГУ, 1998. - 47 с.
12. Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. 1. - M.: Наука, 1989.-416 с.
13. С о к о л о в И. В. Момент импульса электромагнитной волны, эффект Садовского и генерация магнитных полей в плазме // УФН. - 1991. - Т. 161, № 10. -С. 175-190.
Статья поступила в редакцию 15.02.2005
