CC BY
43
SCIENCE TIME
АНАЛИЗ ВЗАИМНЫХ СВЯЗЕЙ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Черкашин Юрий Семенович,
г. Москва
E-mail: cherkashin.yur@yandex.ru.
Аннотация. Применяя к векторам электрического и магнитного полей операторы векторной алгебры, можно получить все уравнения электродинамики. Неожиданным является результат сопоставления полученных уравнений с известными из теории поля: введенный в систему параметров Максвеллом «ток • смещения» оказывается лишним.
Ключевые слова: уравнения электродинамики, электродинамика.
Толчком к настоящему исследованию послужило известное положение, что магнитное поле тороидальной катушки с током во внешнем объеме равно нулю, а электрическое присутствует, то есть индукция В равна нулю, стало быть ротор В равен нулю, а напряженность электрического поля Е есть. Так же как для тора
поле вектора магнитной индукции вне соленоида B = rotA = 0 равно нулю.
«Итак, магнитное поле вне очень длинного соленоида действительно равно нулю, хотя векторный потенциал нулю не равен» [2, с. 285].
В рассмотренных примерах не выполняются уравнение Максвелла
з - 1 ^
г°т = +—— .
c ОТ
Р. Фейнман приводит сводную таблицу формул электродинамики [3, с. 149]. Рассмотрим взаимное согласование уравнений.
Обратим внимание, что если взять ротор от двух уравнений в середине
дB
таблицы, то должны получиться два основных уравнения Максвелла: rotE = -
St
3 - 1 3E
и rotB = ^J + ——
c of
SCIENCE TIME
Берём ротор от E и, применяя второе уравнение из пары B = rotA ,
^ QA ^ ^ ^в
найдем: rotE = -rotgrad@- rot— = 0--------------------------------------------------rofA =-. Одно уравнение Максвелла
df dt dt
получилось! Для дивергенции вектора E получим:
^ 3 ^ 3 ^ 3 ^
divE = -divgradp - divA = -VV - divA = - divA . Для случая «вдали»,
dt dt є0 dt
где divA = 0 divE = p . Здесь одно уравнение вытекает из другого.
Эти выкладки выполнили Л.Д. Ландау и Е.М. Лившиц [4, с. 182].
Если аналогично взять ротор от второго уравнения и применить первое, то
значение то1В будет отличаться от табличного.
Для второй пары уравнений воспользуемся векторным соотношением
rotrotA = graddivA -V2А , и получим: rotB =-V2А + graddivA = // + gmddivA . Какое
значение шВ правильное, табличное или это?
Перечень формул Р. Фейнмана
Уравнения Максвелла
divB = 0
divE =
rotE = - — dt
1 ^E
c2 ~dt
И их решения
E = -gradq - — , dt
B = rotA
<p(x, y, z, t )=j
dV2
A(x, y, z, t ) = {—
p(t - r12/ c) 4^0 r12
_ ГМ) • J (t - У c)
4^- r
dV2
12
Потенциалы поля ф и А определяются источниками поля р и ] , и связанны диффернц. уравнениями:
V2 A = -vJ
Перечень взаимно увязанных уравнений электродинамики
Потенциалы электродинамики
p{t - r12/ c)
4^0 r12
dV2
Ф, y, z, t )= J A (x, y, z, t ) = J«>j - r12/c
4л- r
dV2
И их решения
E = - gradq - — , dt
B = rotA
SB
dt
rotE - , rotB = /л0 j + (graddivA)
s0 V dt
divB = 0
В таблице в скобках даны дополнительные члены для точек пространства, где
divA ф 0
SCIENCE TIME
Последнее уравнение в группе выполняется всегда й\уВ = ШгугоЛ = 0 .
Теперь в формулу для вычисления гогВ не входят «токи смещения» - ,
поскольку они не входят в определение векторного магнитного потенциала А.
Тамм И.Е. в книге «Основы теории электричества» даёт поочерёдный последовательный вывод уравнений Максвелла. Тамм И.Е. вслед за Максвеллом вводит в формулы понятие плотность «тока смещения», как производную напряженности электрического поля по времени. Однако в параграфе «токи смещения» [1, с. 402] допущены ошибки.
Понятие плотность является характеристикой точки пространства. Но в приведенном на рисунке этого параграфа пространстве, ограниченном поверхностью, ни в точках объема, ни в точках на поверхности нет мест, где бы могло происходить суммирование плотности тока проводимости и так называемого тока смещения. На всей поверхности и внутри неё нет точек содержащих ток проводимости, кроме места пересечения проводника этой поверхностью. В месте пересечения есть ток проводимости, однако отсутствует «ток смещения», то есть отсутствуют точки, в которых может происходить суммирование плотности тока проводимости с «током смещения». В этом плане не имеет смысла понятие «полного тока», так как он нигде не течёт и соответственно не должен присутствовать в уравнениях электродинамики.
В рассуждениях этого параграфа упущен простой смысл. Ведь разность
Рисунок из книги Тамма ИЕ "ОТЭ" Л1
Рис. 1
потенциалов между обкладками конденсатора
другой стороны заряд на пластинах конденсатора ч = Си , и
SCIENCE TIME
да _ дп гдЕ - ./ ч
— = С — = С I— ш = г{г) , ток в пределах сечения провода определяет плотность
дг дг J дг
тока проводимости. Изменение напряженности поля Е связано просто с
изменением заряда на обкладках конденсатора. Никакого тока смещения не существует.
Придётся признать, что добавление Максвеллом в уравнения поля тока смещения не оправдано, ставит под сомнение «легитимность» этой добавки. «Ток смещения» мешает «увязке» уравнений.
Существующая группа уравнений Максвелла представляет собой взаимно не увязанную систему уравнений.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме оперируют с векторами полей в одной точке. А одного из векторов (например, В) может в данной точке вообще не быть, или поле может оказаться полем от другого источника.
Потенциалы играют первичную роль. Потенциалы являются источниками электрического, магнитного и электромагнитного поля. С возникновением или исчезновением, изменением источника: заряда или тока в некоторой точке пространства, от этой точки начинает распространяться изменение потенциала [3, с. 120]. Очевидно, что это продвижение происходит со скоростью света. Поля Е и В представляют собой запись силовых воздействий на заряды и токи возле точки наблюдения. Поля являются проявлением наличия потенциалов. «Выражение «реальное поле» реального смысла не имеет».... «реальное поле -это математическая функция, которая используется нами, чтобы избежать представления о дальнодействии» [3, с. 15]. В этой форме мысль выражена излишне формально. Когда мы говорим о распространении потенциала, невольно присутствует представление о запаздывающем дальнодействии, физически оно есть (жаль, что мы не знаем «тайных» нитей этих взаимодействий).
Самый верхний ранг (уровень) уравнений поля есть уравнения потенциалов. Уравнения поля следуют из них.
Есть ещё в системе уравнений электродинамики ничем не подкреплённое
предположение, что ШуЛ = 0 или ШуЛ = —\ — . В действительности это
с дг
равенство выполняется только на расстояниях от контура тока, значительно превышающих размеры контура.
Таблица формул электродинамики должна иметь иной вид (вторая таблица).
SCIENCE TIME
Литература:
1. И.Е. Тамм. Основы теории электричества. Наука. 2003.
2.Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фенймановские лекции по физике. Том 5. Мир. 1966.
3. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фенймановские лекции по физике. Том 6. Мир. 1966.
4. Л.Д. Ландау и Е.М. Лившиц. Механика. Электродинамика. Наука. 1969.
