Определение пространственной ориентации объектов по сигналам радионавигационных систем ГЛОНАСС/GPS Текст научной статьи по специальности «Физика»

Определение пространственной ориентации объектов по сигналам радионавигационных систем ГЛОНАСС/GPS

Фатеев Ю.Л. (chmyh@ns.kgtu.runnet.ru)

Красноярский государственный технический университет

Введение

Определение текущих координат и пространственной ориентации объектов используется в различных областях науки и техники. С развитием новых технологий в области инер-циальной навигации, а также спутниковых радионавигационных систем (СРНС) ГЛОНАСС и GPS навигационные измерения стали доступны практически во всех областях народного хозяйства, вплоть до бытовых приборов. Применение фазовых методов измерения радионавигационных параметров позволяет расширить функциональные возможности радионавигационной аппаратуры, в частности, измерять пространственную ориентацию объектов.

Принцип интерферометрического метода измерения пространственной ориентации для радионавигационных угломерных систем описан еще в 1955г. В.Б. Пестряковым [1]. Однако спутниковые радионавигационные системы ГЛОНАСС/GPS имеют особенности, которые затрудняют их применение в качестве угломерных систем. Основной проблемой при определении пространственной ориентации объектов является наличие фазовой неоднозначности измерения фазовых сдвигов. При использовании сигналов СРНС отношение длины баз к длине волны сигналов может составлять несколько десятков, поэтому в данном случае проблема разрешения фазовой неоднозначности стоит особенно остро. Методы измерения пространственной ориентации тесно связаны с методами разрешения фазовой неоднозначности, и различные научные школы решают их по-разному. В настоящее время используется три основных направления при решении проблемы измерения пространственной ориентации. Эти направления основаны на методах, применяемых в фазовых многошкальных радионавигационных системах, в радиопеленгации и при измерении относительных координат объектов на основе систем ГЛОНАСС/GPS. Существующие методы имеют свои достоинства и недостатки, которые можно свести к тому, что в них не полностью используются априорные данные о конфигурации навигационных космических аппаратов (НКА) и конфигурации антенной системы приемной аппаратуры.

В данной статье рассматриваются методы измерения угловой ориентации без учета фазовой неоднозначности. В описываемых методах реализован единый подход к решению за-

дачи определения пространственной ориентации с учетом достоинств существующих методов.

Система уравнений для определения ориентации вектора-базы

Угловое положение вектора-базы в пространстве по сигналам СРНС может быть определено на основе измерения разности хода сигналов НКА между двумя антеннами, расположенными на концах вектора-базы. Фазовый сдвиг сигнала НКА, принимаемого на две разнесенные антенны, и косинус угла между вектором-базой и вектором-направлением на НКА связаны выражением (рис. 1):

св8 а =

Х-ф 2пВ

(1)

где Х - длина волны сигнала НКА, ф - фазовый сдвиг, В - длина базы, а - угол между вектором-базой и вектором-направлением на НКА.

Выражение (1) является уравнением однобазового интерферометра и широко применяется в теории фазовых пеленгаторов и антенных решеток [2].

Рис. 1. Измерение ориентации вектора-базы

Направляющие косинусы вектора-базы могут быть определены из уравнения на основе скалярного произведения векторов:

B•cos а = кх-х + ку-у + к^,

(2)

где кх, ку, к - направляющие косинусы вектора-направления на НКА, х, у, z - координаты вектора-базы. С учетом (1) уравнение (2) можно записать в виде

^ = Ц = кхХ + куУ + kzZ, (3)

2р

где Ф - фазовый сдвиг, выраженный в единицах длины, является разностью хода сигналов НКА между антеннами.

В общем случае, как видно из (3), число неизвестных (х, у, z) равно трем. Для однозначного определения всех неизвестных необходимо три уравнения. Учитывая, что координаты вектора-базы взаимосвязаны, при известной длине базы систему уравнений можно представить в виде:

кх1х + ку1у + М = Ц1 >

<кх2х + ку2у + kz2Z = Ц 2, (4)

х2 + у2 + z2 = В2.

Для нахождения положения вектора-базы в пространстве требуется измерить фазовые сдвиги сигналов двух НКА. Таким образом, система уравнений (4) содержит два линейных уравнения на основе результатов измерений фазовых сдвигов Ф и одного уравнения связи между координатами х, у, z. Система уравнений (4) нелинейная из-за наличия нелинейного уравнения связи. Следствием нелинейности является зависимость точности вычисления ориентации от углового положения вектора-базы.

При априорно неизвестной длине базы использовать уравнение связи между координатами вектора-базы нельзя, для определения ориентации вектора-базы необходимо использовать измерения от трех НКА, а уравнение связи используется для вычисления длины базы:

кмх + к^у + kziZ = Ф i , (5)

B = ^x2 + y2 + z2 ,

где i = 1,2,3 - номер НКА.

Для вычисления ориентации вектора-базы при неизвестной длине базы минимальное созвездие состоит из трех НКА, однако при этом система уравнений (5) линейна, поэтому точность вычисления ориентации зависит только от геометрии НКА.

Орбитальные группировки систем ГЛОНАСС и GPS рассчитаны так, что чтобы из любой точки Земли в любой момент времени наблюдалось не менее четырех НКА [3]. Как показывает опыт работы, при полной орбитальной группировке обычно наблюдается от 5 до 10 видимых НКА каждой системы. При использовании совмещенных приемоиндикаторов ГЛОНАСС/GPS одновременно наблюдается от 10 до 18 НКА. Кроме того, для измерения координат потребителя требуется группировка, состоящая минимум из четырех НКА. Поэтому

целесообразно для угловых измерений использовать сигналы всех видимых НКА, используя избыточность созвездия для повышения точности измерений.

При измерениях по избыточному созвездию исходная система уравнений (5) включает N линейных уравнений, где N - число наблюдаемых НКА (Н > 3 ), и одно нелинейное уравнение связи между направляющими косинусами вектора-базы. Поскольку система уравнений избыточна (количество уравнений больше количества неизвестных), решение системы уравнений (5) можно получить, исходя из критерия максимума функции правдоподобия [4]. Решение по критерию максимума функции правдоподобия при нормальном распределении шума фазовых измерений сводится к весовому методу наименьших квадратов (МНК), в котором весовые коэффициенты обратно пропорциональны СКО погрешности измерения фазовых сдвигов. Линейная часть системы уравнений (5) в матричном виде имеет вид:

Кт в2 К X = Кт в2 Ф, (6)

где в - диагональная матрица весовых коэффициентов, в2 = втв, К - матрица направляющих косинусов направлений на НКА, X = (х, у, z)Т - вектор-столбец неизвестных координат вектора-базы, Ф = (Ф1, Ф2, ... ФН)Т - вектор-столбец измеренных разностей хода. Решение системы (6)

X = (Кт в2 К)-1 Кт в2 Ф=М-1 Кт в2 Ф (7)

где М= Кт в2 К - матрица МНК Погрешность определения координат вектора-базы X определяется ковариационной матрицей, которая совпадает с обратной матрицей МНК:

cov(X) = (Кт в2 К)1. (8)

Действительно, поскольку ковариационная матрица является тензором 2-го ранга, то ее можно найти по правилу линейного преобразования тензоров.

СОУ(К) = (М-1Кт в2) СОУ(Ф) ■ (М-1Кт в2)т , (9)

где cov(Ф) - ковариационная матрица измеренных фазовых сдвигов. Измерения фазовых сдвигов от разных НКА можно считать независимыми, поэтому с учетом весовых коэффициентов в2■cov(Ф) является единичной матрицей. Поскольку (в2)т = в2, матрицы М и М-1 - симметричные матрицы, то (М1)7 = М-1 и можно записать соу(К) = (М-1Кт-в2) СОУ(Ф) ■ (М-1Кт в2)т =

= М-1Кт в2СОУ(Ф) ■ (Кт ■в2)т(^1) т = М-1 Кт в2 К■ М-1 = М-1 -ММ1 = М-1, (10)

т.е. ковариационная матрица результатов вычисления X совпадает с обратной матрицей МНК.

Измерение пространственной ориентации объектов

Для определения ориентации объекта в пространстве необходимо и достаточно задать некоторый базис в двух системах координат - в системе, связанной с Землей и в связанной системе координат. В качестве систем, связанных с Землей применяются прямоугольные геоцентрическая (ГЦСК) или топоцентрическая система координат (ТЦСК). В ГЦСК начало отсчета находится в центре масс Земли, ось X лежит в плоскости экватора и направлена на Гринвичский меридиан, ось У направлена на Северный полюс, а ось Ъ дополняет систему координат до правой. ТЦСК является местной системой координат, в ней начало координат находится в центре масс объекта, ось X направлена вдоль истинного меридиана на север, ось У направлена вертикально вверх, ось Ъ дополняет систему координат до правой и направлена на восток. Связанную с объектом систему координат согласно ГОСТ 20058-80 можно определить следующим образом: начало координат совпадает с центром масс объекта, ось X направлена вдоль продольной оси объекта, ось У направлена вверх, ось Ъ дополняет систему до правой.

Для задания базиса в связанной с объектом системе координат достаточно размещение на объекте двух неколлинеарных векторов-баз, жестко связанных с осями объекта. Величины баз могут быть различными. Полученные два вектора можно дополнить третьим вектором, равным их векторному произведению. Аналогично, для задания базиса в ГЦСК достаточно использовать направляющие косинусы направлений на два НКА и дополнить полученную систему третьим вектором, равным векторному произведению первых двух векторов.

Для определения ориентации объекта необходимо измерить положение векторов-баз в ГЦСК или в ТЦСК, для чего используются результаты измерения фазового сдвига сигналов НКА между разнесенными антеннами по двум базам.

Вычисление координат векторов-баз осуществляют на основе уравнения (3). Исходная система уравнений включает 2К линейных уравнений (3), где N - число наблюдаемых НКА.

В зависимости от системы координат можно предложить два метода решения полученной системы уравнений.

В системе координат, так или иначе связанной с Землей, считаются известными направляющие косинусы направлений на НКА кху^, а неизвестными являются координаты векторов-баз. В этом случае систему уравнений (11) можно дополнить уравнениями связи между компонентами координат вектора-базы

(11)

В1, 2 =л1 х2 2 + у2 2 + 2 (12)

и уравнением связи между векторами-базами

х1 •х2 + у1 • У2 + Z1 • ^ = В1 • В2 • с™У (13)

Такой подход к решению задачи является развитием задачи определения ориентации вектора-базы.

В системе координат, связанной с объектом, напротив, известными считаются координаты векторов-баз, а неизвестными - направляющие косинусы направлений на НКА. Так же, как и в первом способе, систему уравнений (11) можно дополнить уравнениями связи между направляющими косинусами направлений на НКА

^ + ку + к2 = 1 (14)

и уравнениями связи между направлениями на НКА

кАк + ку^ук + к.кЛ = У ik, (15)

Задача нахождения направляющих косинусов на источники излучения сигналов - это задача радиопеленгации, отличием от обычной радиопеленгационной задачи является то, что конфигурация источников излучения в данном случае точно известна.

В связи с этим назовем метод вычисления ориентации в системе координат, связанной с Землей, навигационным методом, а метод в связанной с объектом системе координат - пе-ленгационным методом.

Навигационный способ измерения ориентации

Исходная система уравнений для определения направляющих косинусов включает 2N линейных уравнений (11), где N - количество НКА, два квадратных уравнений связи между направляющими косинусами вектора-базы (12) и одно уравнение связи между векторами-базами (13).

ХЛ+^+М! = фн, кшх2+к^у2+М2 = Ф

/х12Ту^ = В1, (16)

х2+у2+^ = В2, х1 • х2 + у1 • у2 + ^ • ^ = В1 • В2 •

где i = 1,2,... N - номер НКА.

Для решения системы уравнений (16) достаточно измерить фазовые сдвиги сигналов двух НКА, однако для повышения точности измерений целесообразно использовать в расчете данные от всех видимых НКА.

Как и при определении ориентации вектора-базы, нелинейные уравнения системы (16) можно использовать двумя способами. В первом случае нелинейные уравнения используются для повышения точности вычислений. Во втором случае для решения используются только линейные уравнения системы (16), а нелинейные уравнения используются для определения параметров антенной системы. Использование только линейных уравнений может быть применено для решения нелинейной системы уравнений в первом приближении. Решение в первом приближении дает достаточно точное решение - СКО погрешности определения координат векторов-баз составляет 2-3 мм, этого достаточно для обеспечения быстрой сходимости решения нелинейной системы уравнений итерационным методом.

Решение системы уравнений (16) можно упростить, применив метод решения "по частям". В системе уравнений (1.58) неизвестные по 1-й и 2-й базам разделены, исключение составляет лишь последнее уравнение связи между базами. В результате введения этого уравнения размерность системы (1.58) увеличивается вдвое по сравнению с решением для одной базы, что резко увеличивает объем вычислений. При итерационном способе решения систему (1.58) можно разбить на две системы уравнений и решать их отдельно по каждой базе при условии, что координаты другой базы известны. В результате получим две системы уравнений:

Начальные значения х10, у10, z10, х20, у20, z20 в системе (17) являются результатами решения задачи в первом приближении. В системе (18) начальные значения х20, у20, z20 берутся из решения задачи в первом приближении, а х10, у10, z10 - из решения системы (17). После линеаризации в точках х10, у10, z10, х20, у20, z20 получим

где К1, К2 - матрицы коэффициентов, ^^ ЛX12 - вектор- столбцы поправок, ЛФ1, ЛФ12 - вектор-столбцы невязок, в1, в12 - диагональные весовые матрицы.

(17)

(18)

в1 К1 ■ЛЛ1= в1 ЛФ1, в2 К2 ЛЛ2= в2 ЛФ2,

(19)

(20)

На каждом итерационном шаге сначала решаем систему уравнений (19) (для базы В1), а затем систему (20) (для базы В2), причем при решении системы (20) используются результаты решения системы (19). Решение систем (19, 20)

служат начальными условиями для следующей итерации.

Пеленгационный способ измерения ориентации

Исходная система уравнений для определения направляющих косинусов включает ^^ линейных уравнений (11), где N5 - число баз интерферометра, N - количество НКА, N квадратных уравнений связи между направляющими косинусами направлений на НКА (14) и N(N-^/2 уравнений связи между направлениями на НКА (15).

где i - порядковый номер наблюдаемого НКА, ] - номер базы, т, п - номер НКА при переборе (т ф п).

Система уравнений (21) идентична системе (16) для многобазового интерферометра. Роль неизвестных координат векторов-баз в системе (21) играют неизвестные координаты векторов-направлений на НКА, а роль коэффициентов - известные координаты векторов-баз. Таким образом, данная система уравнений симметрична относительно групп параметров, одна из которых представляет собой координаты векторов-баз, а другая - направляющие косинусы направлений на НКА. Решение системы уравнений (21) аналогично решению задачи для случая многобазового интерферометра.

В результате решения системы уравнений (21) получим направляющие косинусы векторов-баз в связанной с объектом системе координат. Поскольку известна конфигурация навигационного созвездия в ТЦСК, можно найти направляющие косинусы осей ТЦСК в связанной с объектом системе координат.

ах= (к/в^-к )-1к1Т-в12-ЛФ1, ЛХ2= (К2Т022К2 )-1К2Т022ЛФ2,

Значения X после первой итерации Х1 = Х1 - АХи Х2 = Х2 - АХ2

(21)

Навигационный и пеленгационный методы, несмотря на симметрию коэффициентов и неизвестных, имеют и существенные различия. Прежде всего, они различаются числом неизвестных. Очевидно, что полная симметрия этих методов - по ходу решения и по числу неизвестных - достигается в случае, когда число баз интерферометра равно числу наблюдаемых НКА. Такой случай имеет место при измерении ориентации при минимальной конфигурации - измерении ориентации по двум НКА с помощью двухбазового интерферометра.

В реальных условиях число наблюдаемых НКА может достигать 10 и более. При малом числе баз (случай, характерный для большинства практических приложений) число наблюдаемых НКА значительно превышает число баз. При этом навигационный метод может оказаться проще пеленгационного, прежде всего, за счет меньшего числа неизвестных. Действительно, в этом случае система уравнений (16) состоит в основном из линейных уравнений. В пеленгационном методе число линейных уравнений то же, что и в навигационном, но при этом неизвестных значительно больше. Точность же обоих методов одинакова (поскольку исходные данные, система уравнений и выходные данные совпадают), что достигается большим числом нелинейных уравнений связи между направляющими косинусами векторов-направлений на НКА.

При большом числе баз, например, при использовании антенных решеток, число баз может превышать число наблюдаемых НКА. Ярким примером такой ситуации может быть применение антенных решеток в условиях малого числа видимых НКА, например, на геостационарной орбите. В этом случае пеленгационный метод оказывается предпочтительней, поскольку число неизвестных параметров будет меньше, чем при использовании навигационного метода.

Другим отличием навигационного и пеленгационного методов является эволюция коэффициентов линейных уравнений. В навигационном методе коэффициентами линейных уравнений служат направляющие косинусы направлений на НКА. Поскольку координаты НКА постоянно изменяются, то, соответственно, изменяются и коэффициенты линейных уравнений. В пеленгационном методе коэффициенты линейных уравнений заранее известны и не изменяются, поскольку это координаты векторов-баз в связанной системе. Это обстоятельство позволяет упростить решение системы уравнений, частично решив его заранее, например, в первом приближении для трех и более баз.

Определение направляющих косинусов осей объектов

При установке антенной системе на объект далеко не всегда возможно расположение баз вдоль осей объекта. Отсюда возникает необходимость пересчета относительных коорди-

нат векторов-баз в направляющие косинусы осей объекта. Для пересчета координат векторов-баз в координаты осей объекта необходима предварительная калибровка, т.е. определение координат векторов-баз в системе координат объекта, в которой координатными осями служат оси объекта.

Для пересчета координат векторов-баз в координаты осей объекта удобно пользоваться матрицами, в которых векторы записываются в виде строк.

Обозначим матрицу направляющих осей объекта через $ = (Бх, БУ, Б^. В случае двух-базового интерферометра координаты векторов-баз в связанной системе координат объекта обозначим через Х0 (1-я база) и У0 (2-я база). Два вектора-базы можно дополнить третьим вектором 20 (3-я база), который определяется как векторное произведение первых двух векторов. В результате получим правую тройку векторов, составляющий базис из векторов-баз, матрицу координат (или направляющих косинусов) которых обозначим М0. Матрица М0 определяются при предварительной калибровке и используются при дальнейших расчетах.

По результатам измерений фазовых сдвигов сигналов НКА СРНС определяется матрица координат векторов-баз в ТЦСК, которую обозначим через X.

Очевидно, что матрица X связана с матрицей направляющих косинусов осей объекта $ выражением

X = Мо ■ $, (22)

Отсюда

$ = Мо'1 ■ X, (23)

т.е. матрица линейного преобразования, связывающая координаты векторов-баз и направляющие косинусы осей объекта, описывается обратной матрицей Мо'1.

Для большинства практических приложений параметры пространственной ориентации выражаются через углы Эйлера - углы курса К, тангажа (дифферента) у и крена 9. Их можно вычислить через координаты продольной и поперечной осей объекта в ТЦСК по следующим формулам:

z

К = arctg —, (24)

х1

у = аг^ У1

2 . 2 Х1 + ^

и = аг^-—-= аг^

Уз

ХзZl х^з

2

Методы определения пространственной ориентации, описанные в данной статье, использованы при создании угломерной навигационной аппаратуры, функционирующей по сигналам ГЛОНАСС и GPS типа МРК-11. Экспериментальные исследования показали высокую эффективность описанных алгоритмов. В аппаратуре МРК-11, серийно выпускаемой в г. Красноярске, среднеквадратическая погрешность измерения угловой ориентации составляет 20 угловых минут на базах 0.7 м. Повышение точности измерения достигается увеличением длины баз, при этом погрешность измерения уменьшается пропорционально увеличению длины базы. Например, на двухметровых базах была достигнута погрешность измерения углов в 6 угловых минут.

Литература

1. Пестряков В.Б. Радионавигационные угломерные системы. -М.: Госэнергоиздат. 1955. -304с.

2. Белов В.И. Теория фазовых измерительных систем. / Под ред. Г.Н. Глазова. -Томск: Томская государственная академия систем управления и радиоэлектроники, 1994.

3. Глобальная спутниковая радионавигационная система ГЛОНАСС / Под ред. В. Н. Харисова, А. И. Перова, В. А. Болдина.; — М.: ИПРЖР, 1998. — 400 с. : ил.

4. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. -М., Советское Радио, 1966 -678с.