CC BY
78
УДК 519.217.2; 512.624; 004.383.3
В. М. Захаров, С. В. Шалагин
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕНЕРАТОРА ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
Ключевые слова: генератор псевдослучайных последовательностей, нелинейная обратная связь, семейство последовательностей максимального периода.
Предложена модель генератора нелинейных псевдослучайных последовательностей максимального периода на основе двух регистров сдвига с нелинейной обратной связью. Путем варьирования функций обратной связи возможно получить семейство последовательностей максимального периода, количество которых экспоненциально возрастает при росте числа разрядов каждого из регистров.
Keywords: pseudo random sequences generator, nonlinear feedback, a class of sequences of maximal period.
The model of pseudorandom sequences generator of maximum period based on the two shift registers with nonlinear feedback is proposed. By varying the feedback function it is possible to generate class of maximal period sequences, the number of which amount are increased exponentially with the increase in the total number of the bits of each registers.
Введение
В области моделирования псевдослучайных последовательностей (ПСП) для широкого класса прикладных исследований, в частности, для оценки достоверности результатов имитационного моделирования [1, 2], актуальна задача генерирования семейств последовательностей равномерно распределенных ПСП максимального периода [3 - 6]. В частности, М-последовательности [7], порождаемые линейными регистрами сдвига (ЛРС) на основе примитивных полиномов степени п, достаточно хорошо изучены [3, 8]. Известные свойства М-последовательностей показывают, что, несмотря на достаточно большой период (Ь = 2п -1) и хорошие статистические качества, М-последовательности имеют простое аналитическое строение. Данный недостаток является следствием того, что М-последовательности формируются на основе двоичных матриц из класса невырожденных, связанных с классом примитивных полиномов над полем GF(2). Схемная реализация ЛРС, порождающих последовательности указанного класса, сводится к применению линейных операций «сложение по модулю два» и сдвига на заданное количество разрядов.
Вторым недостатком линейного генератора М-последовательности является выполнение для него условия наблюдаемости [9]: начальное состояние И-разрядного ЛРС восстанавливается по первым И последовательным состояниям М-последовательности. Восстановив начальное состояние ЛРС, мы имеем возможность восстановить всю М-последовательность, какой бы длинной она не была. Выбор ЛРС большой длины И представляет проблему с технической точки зрения.
Возможный способ избавиться от двух указанных недостатков - применение генератора на основе регистра сдвига с нелинейной обратной связью [3, 5, 10]. Однако, имеет место проблема, связанная с получением нелинейных функций обратной связи, обеспечивающих генерирование последовательности максимального периода на основе регистра сдвига большой разрядности. Сложность нелинейной функции обратной связи общего вида растет
экспоненциально, в зависимости от количества переменных [11], которое определяется разрядностью регистра. Например, реализация последовательности де-Брейна [8]. Одним из подходов к решению указанной проблемы является реализация генераторов ПСП (ГПСП) при использовании системы из двух n- и m-разрядных регистров сдвига с нелинейной обратной связью [4, 12]. Недостатком данного подхода является то, что не всегда возможно получение последовательности периода максимальной длины L = 2n+m.
В работе предложена математическая модель, позволяющая генерировать нелинейные последовательности ПСП максимального периода L = 2n+m на основе схемы ГПСП, включающей в себя два регистра сдвига с двумя либо тремя нелинейными функциями обратной связи от (n + m) переменных каждая. Причем при определении функции обратной связи применим неприводимый примитивный полином степени, уменьшенной в два и более раза, по сравнению со схемой, определенной на основе одного ЛРС [3, 5]. Модель и способы реализации данного ГПСП представлены как на уровне абстрактного описания, так и на структурном уровне. Определены оценки мощности множества (ансамбля) всевозможных последовательностей максимального периода, реализуемых при использовании предложенной модели.
Структурная схема генератора псевдослучайных чисел
Определим базовые понятия, требуемые для рассмотрения темы работы. В соответствии с [11], любая произвольная булева функция (БФ) от z переменных представима единственным полиномом Же-галкина вида
1 1
tz) = 2V,^1..^ ,
i1 = 0 iz =0
V,z, t1,..., tz e GF (2).
Согласно [13], БФ от z переменных является линейной, если представляющий ее полином Жегал-кина не имеет элементов, заданных как конъюнкция
двух и более переменных и нелинейность БФ определяется через расстояние Хэмминга до линейных функций [13].
Степень нелинейности БФ / от z переменных -(е/(/(z)) < z , определена как степень полинома Жегалкина, представляющего указанную БФ [13]. Пример: для БФ / от пяти переменных / (¿1,..., г5) = 1 © ^4 © ¿2^4 © ЬЧЧ © ¥2%, (е/(/(¿1,...,¿5)) = 4. Формула преобразования для ГПСП, представленного на рис. 1, имеет вид:
' / А
/ о
ё о
где Н = рица [14,
(0 0}
/0 = (0 (х1, ёо = ё0 (х1
( Х'1 Х1
V >1,
/1 /2 ^
ё1 ё 2 ,
Н •
1
У
©
(1)
невырожденная двоичная мат-(1 01
15] из множества:
1 1 1 0
Хп,
Х, Л-
0 1 11
11 11 0 1
Ут) и
ут) - заданные булевы
функции (БФ), в общем случае - нелинейные, © -операция суммы по модулю два.
Схема на рис. 1 включает два регистра сдвига с
последовательным входом каждый - КОх и КОу , а также два блока, реализующие нелинейные функции /0 и ё0, четыре ^-триггера с входами разрешения синхронизации для хранения значений векторов (/1 /2) и (ё1 ё2), а также четыре конъюнкто-ра (<Э) и четыре сумматора по модулю два (©). Значения множества {/1, /2, ёь ё2} элементов матрицы Н, могут быть как константами при условии, что ( (е) = 0, е е {/1, /2, ё1, ё2 }, так и переменными величинами при условии, что ((е) = 1 (см. рис. 1). ((е) определим как вход разрешения синхронизации для ^-триггеров, сохраняющих значение соответствующего элемента
е е{/1 /2, ёl, ё2}.
Рис. 1 - Структурная схема ГПСП
Задача состоит в том, чтобы показать возможность того, что представленная на рис.1 структурная схема ГПСП , позволяет реализовать последова-
тельности максимального периода Ь = 2п+т на основе преобразования (1).
Рассмотрим способы задания матрицы Н. Для
случая:> когда ( (е) = и /1 = /1(x1,..., хп , Уъ Ут ) ,
/2 = /2^Ь.- Хп, .Уl,..., Ут) ,
ёl(x1,..., Хп, Л — Ут)
ё1 = ёlKx1,..., Х, Л — Ут) и
ё2 = ё2(х1,...,хп,>!,...,Ут) заданные БФ, в общем случае - нелинейные.
Способ 1.
Нц =
( 1
ё1
для ё1 е {0,1}
(/ 11
( (ё1 )= 0, т.е. ё1 - константа; Н12 = I I для
/1 е{0,1}, ((/1 ) = 0, т.е. /1 - константа;
Н13 =
0 1
1 ё 2
константа; Ни =
для ё2 е{0,1}, ((ё2) = 0, т.е. ё2 -1 /2
0 1
для
/2 е{0,1}, ( (/2 ) = 0
Способ 2 (0 1 1
Н 23 =
1 ё 2
Н 21 =
Н 24 =
Н 22 =
/12
( (е) = 1V 0
е е
{/1, /2
т.е. /2 - константа.
Замечание 1. Если / = ё2 = 0 , Н12 = Н13 . Если
/2 = ё1 = 0, Нц = Н14.
/1 1 1 0у
I1 01 I ё1 1,
ёl, ё2}.
Второй способ определения невырожденной двоичной матрицы Н отличается от первого способа тем, что позволяет варьировать значение одного из ее элементов. Данное обстоятельство позволяет вычислять одно из значений вектора (х{ уЦ) при использовании БФ, априори имеющих степень нелинейности два и более. Следствие этого, повышение степени непредсказуемости формируемой последовательности ПСП. Кроме того, при задании ГПСП вторым способом, открывается возможность минимизации оценок сложности БФ путем доопределения их значений, не влияющих на значения вектора
(X у\) при заданных наборах (хь...,Хп,>!,...,ут) на входах указанных БФ.
Рассмотрим возможность генерирования последовательности с периодом Ь = 2п+т при условии задания Н в (1) как первым, так и вторым способами.
Первый способ задания матрицы Н. Если /0 задает генератор де-Брейна вида [8]:
" (2)
/0= ^(X)©(Х1 •... • Хп_1)
а
п-1
а -
где ^ (х) =ап-1Хп ©... ©а^2 ©а0Х коэффициенты примитивного неприводимого полинома Р(х) степени п, (е/(/0) = п-1, то при этом
ё0
= Уё (х1
Хп, У
У
)
Если g0 задает генератор де-Брейна вида (2):
go = ^У) ©(У\ •...• Ут-1), = т-1, где
G(У) = Рт-\Ут ©... ©Л/ ©Л У, Рп-1... Л - коэффициенты примитивного неприводимого полинома Р(У) степени т, то при этом
/0 = У/ Хп, .У\,..., Ут ) .
Определим Я как ¿»-разрядный регистра сдвига, в который записаны двоичные значения х\,..., хр, а
при осуществлении сдвига - значения х0,..., хр-1,
причем х0 заносится с последовательного входа Я.
^Р-1 :
о 2 .
Пусть ^(©) - функция Эйлера [16]. Для случая, когда в Я функция обратной связи определена примитивным полиномом Р(х) степени р = п в соответствии с (2) [8], то существует 2р = ^(2р -1)/р последовательностей, образуемых двоичными значениями х0. При подаче значений х0 на последовательный вход Я образуется последовательность состояний Я
максимального периода Т = 2р . Примем следующее ограничение: для Я возможен переход из состояния,
определяемого числом 5, 5 е [0,2р -1], в состояние, определяемое числом (2.)mod2р, если х0 = 0, либо в состояние, определяемого числом (2. + l)mod2р, если х0 = 1.
Рассмотрим возможность генерирования последовательности максимального периода Ь = 2п+т при использовании схемы, приведенной на рис. 1.
Пусть /0 задает генератор вида (2). Тогда значения X = (х1,..., хп) генератора образуют периодическую последовательность де-Брейна Рх максимального периода Тх = 2п [8].
Количество указанных последовательностей соответствует количеству примитивных многочленов степени п, определяемых над конечным полем размера 2п : <п = ф(г -1)/п [17].
В формуле (1) значениям X на каждом такте функционирования схемы ГПСП, приведенной на рис. 1, соответствуют значения У = (у1,...,Ут), формирование которых выполнимо на основе функции обратной связи gо (х\,..., Хп, >>\,..., Ут).
Данная функция, в частности, позволяет согласно (2) задать последовательность максимального периода ТУ = 2т . Указанную последовательность, которая начинается значением 5 = 0 и завершается значением 5 = 2т 1, обозначим как РУ .
При этом количество всевозможных последовательностей РУ определено по формуле
<2т = ^(2т -1)/т [17]. Последовательности, полученные из Рх и РУ путем исключения значения «0» и начинающуюся со значения «1», обозначим как
Рх и РУ , соответственно. Указанные последовательности, Рх и РУ , являются циклическими, а их периоды составляют 2п -1 и 2т -1, соответственно. Формулу (1) представим в виде:
У!
1 0
Й\ g 2 ) У У1
©
г
©
Л •
(3)
F (х) ©(Х1 •... • хп-1) у (x\,..., хп, >'\,..., Ут ) Условие невырожденности матрицы Н достигается, если вектор (й\ й2 ) принимает значения (11) или (01). Значения (х\,..., хп,У\,...,Ут) определим из соотношения вида: Уй хп, Уъ..^ Ут )=(Й\ Й2 )(х\ У\ У© У1 . По аналогии с у (х\,..., хп,У\,...,Ут) возможно
найти функцию у^(х\,...,
хп, Уъ..^ У,
)
из соотно-
©
©
(4)
шения
У Г хп, Л — Ут )=(/\ /2 )(х\ У\ У© х\ при
заданных значениях вектора (/ /2), если функция Й0 (х\,..., хп, У\,..., Ут) задает генератор де-Брейна вида (2). В данном случае (1) представим в виде:
' /\ /2 ^ (Х\ У\) У 1 0 Д У\
у/(x\,..., хп, У\,..., Ут ^ У G(У) ©(У\ •... • Ут-\) )
Условие невырожденности матрицы Н достигается, если вектор (/ /2) принимает значения (11) или (01).
Теорема 1. В (1) для любых значений п и т существуют функции /0 = /0 (х\, ..., Хп, У\, ..., Ут ) и Й0 = Й0(х\,..., Хп, У\,..., Ут), позволяющие получить последовательности значений (х, У) максимального периода 2 п+т.
Доказательство теоремы включает два этапа: 1) доказательство возможности формирования по формуле (1) последовательности значений (х, У)
2п+ т
на основе неприводимых примитивных полиномов вида F(х) и G(y). 2) доказательство возможности задания функций /0 = /0 (x\,..., Хп, У\,..., Ут ) и
Й0 = Й0 (х\,..., Хп, .У\,..., Ут), позволяющих генерировать по формуле (1) циклические последовательности Рх , Рх и РУ , РУ , соответственно.
На этапе 1) для заданного F(х) степени п возможно формирование по формуле (2) последовательности де-Брейна Рх периода Тх = 2п [8]. Такая последовательность значений х реализуема путем генерирования Рх 2т раз, образуя 2 п+т элементов. Для заданного G(х) степени т возможно однократное формирование по формуле (2) последова-
х
тельности Ру длины Ту = 2т, а также (2п -1) -кратное формирование последовательности Ру длины (2т -1). Указанная последовательности значений У образует 2 п+т- 2 п +1 элементов. С целью доведения длины последовательности значений до 2 п+т при сохранении в ней по 2п всевозможных значений элементов из множества {0,1,..., 2т -1}, требуется добавить в ее конец 2 п-1 значений «0».
Пусть значения последовательности У размещены в двумерной таблице А = (ау )2„ 2т , которая
строится следующим образом.
В случае, когда п > т , k = п - т , q = 2k , значения элементов а у0, у = 0, (2т - 1), равны соответствующим значениям Ру , значения а((2т-(+1)0, ...,
а(((+1)2 т - (-1)0, ( = 1, (? -1), равны значениям Ру, соответственно, значения а(2„ -q+1)0, ..., а(2„ ^ равны первым (д -1) элементам Ру . Обозначим как Б
чиная с /-го, а значения
количество элементов Ру , находящихся в (у -1) -м столбце, у = 1, (2т -2). Тогда значения а0у, ..., а(2т -2-Б )у, равны элементам Ру , начиная с (Б +1) -го, Б = (уд - 1)той(2т -1). Значения а((2т _(-Б)у., ..., а(((+1)2" -(-2-Б)у равны значениям Ру, соответственно, ( = 1, (д -1). Значения а(2„ -д-, ..., а(2„ -1)
равны первым
элементам
а(^ -1)у Ру,
V = (д(у +1)- 1)той(2т -1), у = 1, (2т - 2). Для / = (2т -1)
= 12 -1 значения а0 / = 2 , а значения а
1/' •••'
(2„равны значениям «0», количество которых
а(2п
равно 2п 1.
В случае, когда п = т , значения элементов а/0,
/ = 0, (2п -1), равны соответствующим значениям Ру . Значения а0у, ..., а(2„-у-1)у,, равны элементам
Ру , начиная су-го, а значения а(2„-)у., ..., а(2„ф -
первым у элементам Ру , у = 1, (2т - 2). Для / = (2т -1) значение а0/ = 2п-1, а значения а1 / , ..., а(2„равны «0», количество которых равно 2п 1.
В случае, когда п < т , k = т - п , д = 2k , значения элементов а00, ..., а(2„-1)0, ..., а0(д-1), ..., а(2„-1)(д-1) равны значениям элементов Ру . Значения
элементов а0(д) , а(2„ -1)(/д) , а0((/-1)д-1),
а(2"-/-1)((/-1)д-1) равны значениям элементов Ру, на-
а(2п - /)((/ 1 )д-1)
з(2„ -1)((/-1)д-1) - первым / элементам Ру,
/ = 2, (2п - 2). Для / = (2п -1)
= 2п -1 значение а
0(/9)'
3(2" -1)(/д)' а0(2т -2) ' а(2п -1^2т-2) ' а0(2т -1)
ны элементам Ру, начиная с (2п -¡)-го, а значения а1(2т -1), ..., а(2„ -1)(2т-1) равны «0», количество которых - (2п -1).
Согласно построению, каждая из строк матрицы А содержит неповторяющиеся элементы последовательности у из множества {0,1,..., 2т -1}. Таким образом, возможно получение последовательности элементов (X, у) максимального периода 2 п+т на основе ^(х) и О(х) .
Этап 2) доказательства: Переход от А = (а у),
у /2п х2т
к функции ё 0 (х1,..., хп, у1,..., Ут) выполним путем задания таблицы Т = (¿у )2„ 2т , строки которой соответствуют значениям X, столбцы - значениям у, а ¿у е {0 1} на пересечении /-й строки иу-го столбца
соответствует значению функции
ё0 (х1,-, хп, У¡,■■■, Ут ) •
Переход к функции
Уё хп, У¡,■■■, Ут )=(ё1 ё2 ХХ1 >^1^©
ё0(х1, ■■., хп, у1, ■■., Ут) производится путем преобразования Т = (/у )2„ х2т в таблицу Т' = (/,у )2„ 2т , задающую Уё(Х1,..., Хп, У1,..., Ут).
Значение фунКции /0 = /0 (хъ ■■■, хп, Уl, ■■■, Ут )
при заданных значениях (х1,..., хп, у1,..., Ут) определено согласно (3) как /0 = у1 ©^(х)©(х1,..., хп-1). В результате, доказана возможность задания функций /0 и ё0, обеспечивающих формирование последовательности значений максимального периода
2 п+ т
Аналогично доказывается возможность определения функции
УГ хп, .Уl,■■■, Ут )=(/1 /2 )(х1 .У1 )Т© за-
данной в соответствии с (4), при фиксированных значениях вектора ( /1 /2 ), на основе двумерной
таблицы А = (агу),
у /2" х2*
■ □
Согласно доказательству теоремы 1 справедливо Следствие из теоремы 1. Количество всевозможных последовательностей значений (X, у), задаваемых согласно (1) при фиксированной двоичной матрице Н равно 2 • QnQm .
Мощность множества невырожденных двоичных матриц Н равна шести.
Замечание 1. Количество всевозможных последовательностей значений (X, у), задаваемых согласно формуле (1) при определении двоичной матрицы Н согласно способу 1 - 12 • QnQm .
V
Второй способ задания матрицы Н. Путем динамического варьирования заданных элементов Н в зависимости от значений (х\,..., хп, у\,..., Ут) со-
7\ 11 Н _{1 /2 0)
гласно способу 2: Н21 = ^0 1 *
Н 22 =
0 1
Н 23 =
Н 24 =
возможно задание
1
1 01
Й 2 / " 1) по формуле (1) определенных значений вектора (х\ у\)Т , которые обеспечивают формирование
последовательности периода Ь = 2п+т. Справедлива
Теорема 2. Варьирование в (1) невырожденной двоичной матрицы Н согласно способу 2 позволяет
получить значения элементов вектора (х\ у\), обеспечивающие формирование последовательности периода Ь = 2п+т , в зависимости от значений
хп, .У\,..., Ут ) .
Доказательство теоремы включает два этапа. 1) доказательство возможности формирования по формуле (1) последовательности значений (х, У) максимального периода 2 п+т на основе неприводимых примитивных полиномов вида F(х) и G(y). 2) доказательство возможности задания функций /0, /\, /2, Й0, Й\, Й2, обеспечивающих формирование по формуле (1) циклических последовательностей Рх , Рх и РУ , Р , соответственно.
Этап 1) доказательства аналогичен этапу 1) доказательства теоремы 1.
Этап 2). Согласно способу 2,
Н 22 =
1 /2 0 1
Н 23 =
0 1
1 Й2
Н 21 =
Н 24 =
/1 1
1
Для каждого из случаев, формула (1) представима в
виде:
Н.
22
Н 2
Н 2.
Н 21 : х\ © /2 У\ © /0
У © Й 0
У\ © /0 х\ © Й2У\ © Й0 х\ © /0
Й\х\ © У\ © Й0
У1\
/\х\ © У\ © /0 х\ © Й0
Указанные выражения представляют собой преобразования, позволяющие задать любые значения
вектора (х\ у'\) в зависимости от значений элементов (х\,..., хп, У\,..., ут). В том числе - значения
(х\ у\) , обеспечивающие формирование заданной на этапе 1) доказательства последовательности периода Ь = 2п+т , которым соответствуют определенные значения элементов (х\,..., хп, у\,..., ут). Согласно [18], на основе таблицы соответствия векто-
ров (х\ У'\У и (x\, ..., хп, .У\, ..., Ут) получим БФ /0, /\, /2, Й0, Й\, Й2, которые в общем случае -нелинейные. Указанные БФ позволяют вычислить заданные значения элементов вектора (х\ у\)Т , в зависимости от значений (х\,..., хп, у\,..., ут), в частности - обеспечивающие формирование последовательности периода Ь = 2п+т. □
Замечание 2. Для случая, когда в формуле (1) Н = Н21 и х\ = 0, значение функции /\ е {0,1}. Если Н = Н22 и у\ = 0 , то значение функции /2 е {0,1}. Если Н = Н23 и у\ = 0, то значение функции й2 е {0,1}. Если Н = Н24 и х\ = 0, то значение функции й\ е {0,1}.
Каждая из двоичных матриц, Н21, Н22, Н23 и Н 24, допускает четыре варианта варьирования последовательностей значений (х, У), задаваемых на основе примитивных неприводимых полиномов F(х) и G(х) степени п и т, соответственно.
Замечание 3. Количество всевозможных последовательностей значений (х, У), задаваемых согласно формуле (1) при определении двоичной матрицы Н согласно способу 2 - 8 • <2п<2т .
Метод отображения нелинейных функций обратной связи
При задании матрицы Н согласно способу 1, функция (х\,..., хп, У\,..., ут) внутри ГПСП реализуема на основе Т' = )2п т различными способами, например, при использовании полинома Же-галкина [11, 19] методом треугольника [18]. Предложен метод отображения функции (МОФ) уЙ(х\,..., хп, у\,..., ут) в виде полинома Жегалкина,
включающий три этапа.
Этап 1. Определение двумерной таблицы А = ()2„ на основе значений функции
У\ = Й0 (x\,..., хп, .У\,..., Ут).
Этап 2. Задание Т = (¿у) на основе
А = (лу )2„ х2т : для I = 0, (2п - 2), у = 1, (2т -1),
¿гс = а(1+1)у mod2, для I = 2п -1, у = 1, (2т -1), ¿гс = а0к mod2, w = (у + l)mod(2m -1), причем г : £(/) = г , с : N(у) = с, где £(/) - ( +1) -й элемент последовательности де-Брейна максимального периода Т = 2п , полученной на основе неприводимого полинома п-й степени, N(у) - ( +1)-й элемент последовательности РУ.
Этап 3. Вычисление Т' = ((\ )„ т на основе
Т = (у)
У >2" х2т
где строки соответствуют значениям
х = (х\,..., хп), х е [0, 2п -1], а столбцы - значени-
У = (У\,..., Ут), У е [0, 2т -1]:
ям
4 = ¿у ©(Й\ Й2 )(х\ У\ )".
х
Предложенный метод применим и для реализации функции
уг хп, Ут ) = (/1 /2 )(х1 У1 )Т© x1, оп-
ределенной в соответствии с (4), при заданных значениях вектора (/1 /2).
В результате, предложенный метод позволяет построить по схеме на рис. 1 ГПСП, реализующий 2 • QnQm всевозможных последовательностей значений (X, у) при фиксированной двоичной матрице Н.
Рассмотрим пример реализации ГПСП на основе схемы, определенной согласно (3) и представленной на рис. 1, при задании матрицы Н по первому способу. Пусть п = 2, т = 3 . При указанных значениях п и т, согласно утверждению, возможно задание 2 • Q2Q3 = 4 всевозможных последовательностей
значений (X, у). Выберем Р( х) = х2 © х ©1 и Р(У) = .У3 © У2 © 1. Последовательность состояний Ру имеет вид {0, 1, 3, 7, 6, 5, 2, 4}, а Ру - {1, 3, 7, 6, 5, 2, 4}. В соответствии с предложенным МОФ, при заданном значении вектора (ё1 ё2 )=(11) находим таблицы А = (ау) , Т = (4-) и Т' = ) , а так-
^ V У /4х8 \У Мх8 \у Мх8
же функции для вычисления значений, поступающих на входы регистров схемы, представленной на рис. 1: х{ = х2 © 1,
у1= ё0(xl, х2, У — У3) = (х1 © У1)©
©Уё (x1, х2, >'l,■■■, >"3 ),
Уё(xl, х2, У — У3) =
(у, © Х1 Х>1 V у 2 )©(>>1 V у 2 )(Х1Х2| . При
пень БФ, вычисляющей х', равна 1, что является недостатком указанного способа.
А =
где
этом сте-
Т =
10 6 1 5 3 2 7 4
1 5 3 2 7 4 6 0
3 2 7 4 6 1 5 0
,7 4 6 1 5 3 2 0
(1 1 0 1 0 0 1 01
0 1 0 1 1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 1 0
V 0 1 0 1 1 0 1 0 у
(1 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 1
V 1 1 1 1 1 0 0 0
Т ' =
Последовательностей состояний (X, у) максимального периода 25, сгенерированная на основе Р(х) = х2 © х ©1 и Р(у) = У3 © у2 © 1, имеет вид: (0, 0), (1, 1), (3, 3), (2, 7), (0, 6), (1, 5), (3, 2), (2, 4), (0, 1), (1, 3), (3, 7), (2, 6), (0, 5), (1, 2), (3, 4), (2, 1), (0, 3), (1, 7), (3, 6), (2, 5), (0, 2), (1, 4), (3, 1), (2, 3), (0, 7), (1, 6), (3, 5), (2, 2), (0, 4), (1, 0), (3, 0), (2, 0). В десятичном представлении двоичных значений
(х1, х2, у1, у2, у3): 0, 9, 27, 23, 6, 13, 26, 20, 1, 11, 31, 22, 5, 10, 28, 17, 3, 15, 30, 21, 2, 12, 25, 19, 7, 14, 29, 18, 4, 8, 24, 16.
При задании матрицы Н согласно способу 2, получим последовательность состояний (X, у) максимального периода Ь = 2п+т. При этом наличие произвольных значений нелинейных БФ
/1 = /1 (Х — Хп, У — Ут ) , /2 = /2 (x1,■■■, Хп, У!— Ут ),
ё1 = ёМ^. хп, У!— Ут ) и
ё2 = ё2(х1, ■■■, Хп, У1, ■■■, Ут) (см. замечание 2) открывают возможность для их минимизации путем доопределения указанных значений. В частности - в случае представления указанных БФ над полем Галуа [20, 21]. Рассмотрим пример реализации ГПСП при использовании схемы на рис. 1, определенной со-
(/1 1А
гласно (1) на основе матриц Н 21 =
Н 22 =
1 /2 0 1
Н 23 =
0 1
1 ё 2
Н 24 =
ч 1 0 у
' 1 01
чё1 1У
для которой п = 3 , т = 2 , Ь = 25: (0, 0), (1, 1), (2, 3), (5, 2), (3, 0), (7, 1), (6, 2), (4, 1), (0, 3), (1, 2), (2, 0), (5, 1), (3, 2), (7, 0), (6, 1), (4, 3), (0, 2), (1, 0), (2, 1), (5, 3), (3, 3), (7, 2), (6, 0), (4, 0), (0, 1), (1, 3), (2, 2), (5, 0), (3, 1), (7, 3), (6, 3), (4, 2). В десятичном представлении двоичных значений (х1, х2, х3, у, у2): 0, 5, 11, 22, 12, 29, 26, 17, 3, 6, 8, 21, 14, 28, 25, 19, 2, 4, 9, 23, 15, 30, 24, 16, 1, 7, 10, 20, 13, 31, 27, 18.
Рассмотрим возможность генерирования указанной последовательности согласно (1). Для случая,
'/1 11
когда
Н = Н 21 =
1 0 у
/1 = Х (У1 © У2) © Х1Х3(у ©У2) © Х1Х2Х3(у © у2):
/0 = Ху © Х3(х(у ©у2) © Х1Х2Х3(у ©У2),
ё0 = У © Х (Х3У1) © Хх2Х3у . При этом (е/(/1) = 5 , (е/(/0) = 5 , (е/(ё0) = 4 . Если Н = Н22 = 11 /2^ ,
/2 = ((Х1Х2 © Х3)У1), ёе/(/,) = 3,
(е/ (/0) = 3,
то
/0 = Х3У © Х1 х2 (У © Уг)-.
ё0 = (У1 © У) © Х1Х2>>1 © Х1Х2Х3 у , (е/(ё0) = 4 . Если 0 1
1 ё 2
Н = Н 23 =
то
/0 = У © Х1 Х2 © X3,
ё2 = У >2 © Х1 Х3У , ё0 = (У © У 2) © (Х1 © Х1Х2Х3)У ■ При этом (е/(/0) = 2, (е/(/,) = 3 , (е/(ё0) = 4 . Ес-
1 0Л
ё1 ¡у
ли Н = Н24 =
то /0 = (Х1Х2 © Х3)
ё1 = (Х1 ((у © у 2) © Х3 у) ;
ё0 = Х1 (у © у) © Х1Х2Х3 у, причем
(е/(/0) = (е/(ё1) = 2, (е/(ё0) = 4. Есть возможность выбрать один из способов задания матрицы Н
в модели ГПСП вида (1), для которого степень нелинейности БФ, включенных в обратную связь -максимальная. Например, Н = Н 21.
Основные результаты
Предложенная модель ГПСП позволяет реализовать семейство последовательностей максимального периода Ь = 2п+т для произвольных значений п и т, определяющих разрядность каждого из двух регистров.
При задании в выражении (1) невырожденной двоичной матрицы Н согласно способу 1, задавая как константы значения векторов (й\ й2 ) и (/\ /2) при сохранении невырожденности матрицы Н, возможно получить, соответственно, различные нелинейные функции ср и д>/ для формирования последовательностей ^-разрядных чисел периода 2р , р = п + т, при заданных неприводимых примитивных полиномах Р(х) и Р(у). В таблице 1 приведена зависимость количества последовательностей, определенная на основе следствия из теоремы 1 - 2 • <2п2т, от значений п и т. при фиксированных значениях элементов двоичной матрицы Н в формуле (1).
Таблица 1 - Количество последовательностей для модели ГПСП вида (1) в зависимости от значений п и т
n m Qn Qm 2 • QnQm
4 4 2 2 8
6 4 6 2 24
6 6 6 6 72
8 4 16 2 64
8 8 16 16 512
12 4 144 2 576
12 8 144 16 ~ 4,61 -103
12 12 144 144 ~ 41,5-103
16 8 2048 16 ~ 65,5 -103
16 12 2048 144 ~ 590 -103
16 16 2048 2048 ~ 8,39 -106
Значение 2 • <2п2т экспоненциально увеличивается в зависимости от роста значений п и т, что позволяет получить экспоненциальный рост количества последовательностей максимального периода при увеличении значений п и т. При задании в выражении (1) невырожденной двоичной матрицы Н согласно способу 2 теорема 2 обосновывает возможность получения последовательностей значений
элементов (х, У) периода Ь = 2п+т .
Сложность реализации функций обратной связи в предложенной модели ГПСП вида (1), определенной по способу 1 не превышает сложности реализации двух БФ от п + т переменных каждая. Для модели (1), заданной согласно способу 2, сложность реализации функций обратной связи - не выше
сложности реализации трех БФ от n + m переменных каждая.
Заключение
Предложена модель генератора ПСП, порождающего последовательности максимального периода L = 2n+m для заданных значений n и m. Схемное представление генератора включает в себя два регистра сдвига с нелинейной обратной связью каждый, основанной на применении невырожденных бинарных матриц размера два. При этом количество генерируемых последовательностей растет экспоненциально в зависимости от количества разрядов каждого из двух регистров. Причем максимальное количество последовательностей при заданной разрядности регистров достигается в случае, когда разрядности каждого из двух регистров - равные. Предложены два способа генерирования на модели вида (1) последовательностей максимального периода L = 2n+m путем задания системы из двух (для способа 1) либо трех (для способа 2) нелинейных БФ от n + m переменных.
Мощность множества невырожденных двоичных матриц H позволяет увеличить количество последовательностей периода L = 2n+m в шесть раз при реализации генератора ПСП, согласно способу 1, и в четыре раза - при реализации данного генератора согласно способу 2.
Предложенная модель генератора ориентирована на решение задач в различных приложениях, использующих ГПСП.
Литература
1. Якимов И.М. Оценка достоверности результатов имитационного моделирования по результатам аналитического моделирования/ И.М.Якимов, А.П.Кирпичников, Г.Р. Зайнуллина и др.// Вестник технол. ун-та, 2015. Т.18. № 6. С. 173-178.
2. Якимов И.М. Моделирование сложных систем в имитационной среде ANYLOGIC/ И.М.Якимов, А.П.Кирпичников, В.В.Мокшин// Вестник Казан. технол. ун-та, 2014. Т. 17, №13. С. 352-357.
3. Основы криптографии: Учебное пособие/ Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. — М.: Гелиос АРВ, 2001. — 480 с.
4. Столов Е.Л. Генераторы случайных чисел в системах компьютерной безопасности/ Е.Л.Столов// Kazan Federal University [Электронный ресурс]. - 1995-2016. - Режим доступа: http://shelly.kpfu.ru/e-ksu/docs/F833856100/FinalGen.pdf
5. Иванов, М.А. Теория применения и оценка качества генераторов псевдослучайных последовательностей/ М.А. Иванов, И.В. Чугунков. - М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2003. - 240 с.
6. Захаров В.М. Модель функции усложнения над полем GF(2) в генераторе псевдослучайных последовательностей/ В.М.Захаров, Р.В.Зелинский, С.В.Шалагин// Прикладная дискретная математика. Приложение. - 2014. -№ 7. - С. 67-68.
7. Сарвате Д.В. Взаимно-корреляционные свойства псевдослучайных и родственных последовательностей/ Д.В.Сарвате., М.Б.Персли// ТИИЭР - 1980. - Т. 68. №5. - С.59-90.
8. Свердлик М.Б. Оптимальные системы и сигналы. М.: Сов. радио, 1975. 200с.
9. Красовский Н.Н. Теория управления движением. - М.: Наука, 1968. - 476 с.
10. Латыпов Р.Х. Периодические последовательности, порождаемые регистром сдвига с нелинейными обратными связями/ Р.Х.Латыпов// Изв. вузов. Математика -1989. - № 5. -С. 5 - 13.
11. Яблонский, С.В. Введение в дискретную математику/ С.В. Яблонский. - М.: Наука, 1986. - 384 с.
12. Захаров В.М. Генератор нелинейных циклических псевдослучайных последовательностей на основе двух регистров сдвига/ В.М.Захаров, Е.Л.Столов, С.В.Шалагин// Инновационные технологии XXI века: материалы Междунар. научно-практич. конф. Нижнекамск, 17 апреля 2015. - Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2015. - С. 9 - 11.
13. Молдовян, Н.А. Криптография: от примитивов к синтезу алгоритмов/ Н.А. Молдовян, А.А. Молдовян, М.А. Еремеев. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 448 с.
14. Зензин О.С., Иванов М.А. Стандарт криптографической защиты AES. Конечные поля. - М.: КУДИЦ - ОБРАЗ, 2002. - 176 с.
15. Gunter, W. Linear transformations and exact minimization of BDDs/ W. Gunter, R. Drechsler // IEEE Great Lakes Symposium on VLSI, Lafayette. - 1998. - P. 325-330.
16. Виноградов И.М. Основы теории чисел/ И.М.Виноградов. — 5-е изд. — М.-Л.: Гостехиздат, 1952. — 180 с.
17. Лидл, Р. Конечные поля: в 2 т./ Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. - М.: Мир, 1988.
18. Супрун В.П. Табличный метод полиномиального разложения булевых функций/ В.П. Супрун// Кибернетика. — 1987. — № 1. — С. 116-117.
19. Марченков, С.С. Замкнутые классы булевых функций / С.С. Марченков. - М.: Физматлит, 2000. - 126 с.
20. Николаев, А.Г. Уменьшение избыточности при моделировании отображения, реализующего конечный детерминированный автомат/ А.Г. Николаев, Ш.Р. Нурутдинов// Исследования по информатике. -2005. - № 9. - С. 81-86.
21. Шалагин, С.В. Представление нелинейных полиномов над конечным полем распределенной вычислительной системой/ С.В. Шалагин// Нелинейный мир. - 2009. - № 5. - С. 376-379.
© В. М. Захаров, доктор технических наук, проф. каф. компьютерных систем КНИТУ им. А.Н.Туполева - КАИ, gilvv@mail.ru; С. В. Шалагин, доктор технических наук, профессор той же кафедры, sshalagin@mail.ru.
© V. M. Zakharov, Doctor of Technical Science degree holder, professor of the Computer Systems department of Kazan national research technical university named after A.N.Tupolev, gilvv@mail.ru; S. V. Shalagin, Doctor of Technical Science degree holder, professor of the Computer Systems department of Kazan national research technical university named after A.N.Tupolev, sshala-gin@mail.ru.
