CC BY
21Прикладная математика
УДК 519.8
А. А. Городов, Л. В. Городова
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПО АВТОРЕГРЕССИИ
Рассмотрен метод подбора параметров в АК(р)-моделях, основанный на использовании числовых рядов. Показана связь прогнозов по авторегрессии с числами Фибоначчи. Даны рекомендации по применению золотого сечения при прогнозировании.
В элементарной математике существует много задач, часто трудных и интересных, одной из которых является теория чисел Фибоначчи. Выросшие из знаменитой задачи о кроликах, имеющей почти 750-летнюю давность, числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных страниц элементарной математики. «Если практически все в нашем мире базируется на коэффициентах Фибоначчи, почему бы не использовать их в техническом анализе движения цен на биржах?» Впервые это предложил Р. Н. Эллиотт. И следует отметить, что данное предположение не так уж далеко от истины.
В практических задачах прогнозирования одним из часто применяемых методов является модель авторегрессии р-го порядка АЯ( р). В данной модели текущее значение ряда х, представляется в виде линейной комбинации конечного числа предыдущих значений и величины отклонения е,:
Х, =Ф1Х,-1 +Ф2Х,-2 +••• + фрХ,-р + е, , где ф1, ф2, •, ф - весовые коэффициенты [1]. Нахождение параметров ф1, ф2, •, ф , как правило, осуществляется по методу наименьших квадратов (МНК) и методу максимального правдоподобия (ММП) [2; 3].
В работе [4] был предложен метод подбора параметров в А^(р)-моделях, основанный на использовании числовых рядов, и проведен анализ результатов моделирования, полученных данным методом с другими известными методами.
Модельное значение ряда у, по механизму чистого развития (МЧР) будет представлено следующим образом:
У((+Тр) = Х Ьт; р) Х,_м, (1)
1=0
где т - номер числового сходящегося ряда из некоторой базы рядов; р - порядок модели; верхний индекс (т; р) указывает на номер ряда и на порядок модели.
Формула (1) представляет собой модель прогнозирования по полной предыстории (разложение Воль-
да), при этом прогнозное значение у^р) будет являться суммой предыстории динамического процесса с весовыми коэффициентами, являющимися элементами числового ряда. Несколько упростив формулу (1), прогноз на к значений вперед из х( можно представить в виде [5]:
к-2 ,-1 У+к = X ЬУ+к-I + X ъХ-1.
Предложение. Пусть X Ь0+1 = 1 - знакоположи-
1=0
тельный степенной ряд, где 0< Ь1 <1.
Распишем прогноз при использовании трех предшествующих членов динамического процесса:
У,+к = а1 (к) Х, +а2 (к) Х,-1 +аз (к) Х,-2 . Используя предложение, представим коэффициенты а1 (к) при х, (для остальных членов результат аналогичен):
а1 (!) = Ь0, а1 ( 2) = 2Ь02,
a1 (k ) = F3 (k +1) b0k, где F3 (k +1) - ряд чисел Фибоначчи. Напомним следующие определения:
Определение 1. Ряд Фибоначчи - это последовательность чисел, заданная рекурсией F3 (k +1) = F3 (k) + F3 (k -1) + F3 (k - 2), где F3 (0) = 0;
F3 (1) = 1; F3 (2) = 1; F3 (3) = 2.
Определение 2. Модифицированный ряд Фибоначчи - это последовательность чисел, заданная рекурсией F3'( k +1) = F3'( k) + F3'( k -1) + F3'( k - 2), где
F3(0) = 0; F3(1) = 0; F3(2) = 1; F3(3) = 2.
Из вышесказанного была сформулирована и доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть y t+k = a1 (k) xt +a2 (k) xt_j +
+ a3 (k) xt-2 - прогнозная модель AR(3) по МЧР. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) a1 (k) = F3 (k +1) b0k;
2) a2 (k ) = F3'(k +1) b0k+1;
3) a3 (k) = F3 (k)bk0 +2;
4) a3 (k) = b03a1 (k -1) ;
3
5) lim yt+k = 0 при b0<--;-77, где
k"
[1 + 12 +1]
1 = л/19+3/33 ; 12 = •3/19-^/33
3
6) Jim yt+k = C при b0 =77---TT
k [1 +12 +1]
Решетневские чтения
3
7) lim yt+k =¥ при bo>7, , ,г
k ® [lj +12 + 1J
Из данной теоремы следует, что в ряде случаев прогноз в моделях AR(3) можно представить как средневзвешенное последних трех значений динамического ряда с весами золотого сечения.
Библиографические ссылки
1. Эконометрия / А. А. Цыплаков, В. И. Суслов, Н. М. Ибрагимов и др. Новосибирск : Изд-во Сиб. отд-ния Рос. акад. наук, 2005.
2. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М. : ЮНИТИ-Дана, 1998.
3. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М. : Мир, 1974.
4. Городов А. А. Моделирование временных рядов на основе нормированных числовых рядов // Системы упр. и информ. технологии. 2010. Вып. 1 (35). С. 4-7.
5. Городов А. А., Кузнецов А. А. Свойства прогнозов в моделях авторегрессии по методу нормированных числовых рядов // Системы упр. и информ. технологии. 2011. Вып. 3 (45).
А. А. Gorodov, L.V. Gorodova Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
GOLDEN SECTION AND FORECASTING ON THE AUTOREGRESSION
The trial and error method ofparameters based on use of number series in AR(p) models is considered. It is shown the projections for the autoregression with the Threebonacci numbers. Are given recommendations about golden section application at forecasting.
© Городов А. А., Городова Л. В., 2011
УДК 534.121.1
П. О. Деев
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ, ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ
В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТОЧКЕ
Решена задача определения основной частоты колебаний трехслойной пластины, жестко закрепленной в центральной точке. Получена аналитическая формула для основной частоты колебаний трехслойной пластины.
При проектировании трехслойных пластин (рис. 1) часто возникает задача выбора геометрических и упругих параметров, которые обеспечивают максимальную изгибную жесткость и минимальную погонную массу конструкции [1; 2].
Рис. 1. Трехслойная пластина
Особенностью этой задачи является взаимное влияние изгибной жесткости и погонной массы трехслойной пластины. Поэтому для проектирования трехслойных пластин необходим определенный критерий эффективности конструкции. В качестве такого
критерия удобно использовать основную частоту колебаний трехслойной пластины.
Автором была решена задача определения основной частоты колебаний трехслойной пластины, закрепленной в центральной точке (рис. 2). Пластина состоит из двух одинаковых композитных несущих слоев и ортотропного заполнителя.
Рис. 2. Закрепление пластины
Для получения вариационных уравнений изгибных колебаний пластины был использован принцип Гамильтона. Решение уравнений движения выполнялась
