CC BY
71
УДК 519.8 А.А. Городов, А.А. Кузнецов, О.В. Демьяненко
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПО АВТОРЕГРЕССИИ
В статье предлагается метод подбора параметров, основанный на использовании числовых рядов в AR( p) моделях. Показана связь прогнозов по авторегрессии с треугольником Паскаля и числами Фибоначчи и Трибоначчи. Даны рекомендации по применению золотого сечения при прогнозировании.
Ключевые слова: временные ряды, нормированные числовые ряды, AR(p) модели, ряд Фибоначчи,
треугольник Паскаля.
A.A. Gorodov, А.А. Kuznetsov, O.V. Demyanenko GOLDEN SECTION AND FORECASTING ON AUTOREGRESS
The trial and error method of parameters based on numerical series use in AR( p) models is offered in the
article. Connection of the forecasts on autoregress with the Pascal triangle, Fibonacci numbers and Tribonacci numbers is shown. Recommendations on golden section application in the process of forecasting are given.
Key words: time series, normalized numerical series, AR( p) models, Fibonacci numbers, Pascal triangle.
Введение. В элементарной математике существует много задач, часто трудных и интересных, которые не связаны с чьим-либо именем, и часто бывает очень трудно установить, в каком именно сборнике появилась впервые та или иная задача. Такой теорией является и теория чисел Фибоначчи. Выросшие из знаменитой «задачи о кроликах», имеющей почти семисот пятидесятилетнюю давность, числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики [1,5].
Если практически все в нашем мире базируется на коэффициентах Фибоначчи, почему бы не использовать их в техническом анализе движения цен на биржах. Впервые это предложил Ральф Нельсон Эллиотт. В дальнейшем будет показано, что данное предположение недалеко от истины.
В практических задачах прогнозирования по временным рядам одним из часто применяемых методов является модель авторегрессии р -го порядка ДЩ р). В данной модели текущее значение ряда хг представляется в виде линейной комбинации конечного числа предыдущих значений процесса и случайной величины £(\
Х1 = Ф1Х1-1 + Ф2Х1-2 + • • • + фрх1-р +
где ф1,ф2,...,фр - весовые коэффициенты [1].
Как правило, нахождение параметров ф1, ф2,..., фр осуществляется по методу наименьших квадратов (МНК) и методу максимального правдоподобия (ММП) [2,3].
В работе [4] был предложен метод подбора параметров, основанный на использовании нормированных числовых рядов в ДЩ р) моделях. Сделан сравнительный анализ результатов моделирования временных рядов данного метода с другими известными.
При этом под нормированным понимается сходящийся числовой ряд , если = 1.
/=0 /=0
Текущее значение ряда хг будет представлено следующим образом:
= 6<Л-1 + й<Л-2 + • • • + Ьр-Л-р + е,.
где Ь0, Ь0,..., Ь ч - первые р членов нормированного числового ряда, выступающие в качестве весовых коэффициентов предыстории временного ряда.
Прогнозное значение у 1+1 вычисляется следующим образом:
^т;р) _ Ь(т’Р)х +Ь(т;р)х + +Ь(т;р)х
У1+1 ио *4 ^1 *4-1 • • • ир-1 *Ч-р+1 ’
или
р-1
У^’^ЬГ’х,.,,,, (1)
1=0
где т - номер нормированного числового ряда из некоторой базы рядов, обладающих вышеуказанными свойствами; р - порядок модели; верхний индекс {д; р указывает на номер ряда и на порядок модели.
Формула представляет собой модель прогнозирования по полной предыстории (разложение Вольда).
При этом прогнозное значение у[“’р) будет представлять собой сумму предыстории динамического
ряда с весовыми коэффициентами, являющимися элементами числового ряда.
В большинстве задач прогнозирования необходимо делать прогноз на к значений вперед из х^. Как
указывалось выше, прогноз на одно значение вперед согласно методу нормированных числовых рядов будет рассчитываться по формуле (1).
Несколько упростим формулу (1), тогда
р-1
^+1 = Еь1хы+1. (1а)
1=0
Согласно (1а) прогноз на к значений вперед из хі:
У4+2 =Ь0у1+1+2>іхм = і=1
г-1
Уі+З = ЬоУі+2 +ЬіУі+1 +ХЬіХ1-і:
г-1
і=2
г-1
Уі+к = ЬоУ ^ + • • • + 2 Ьіх^і
і=к
к-2 г-1
У,+к = + 1>,х,-, ■
і=0 pH
Далее рассмотрим прогноз в моделях AR(2).
Авторегрессия 2-го порядка
Распишем прогноз при использовании только двух предшествующих членов динамического ряда.
У1+1=Ь0х1+Ь1х(_1, ^
У,+2 =Ь0У,+1 +Ь1х( =Ь0(Ь0х( +Ь1х(_1) + Ь1х( = <>; +^5, +Ь0Ь1х(_1, у.+з = ь0у(+2+ь:у(+1 = ь0+ ь15, + ьдх^ ~} ь1 |0х( + 3=
= <0 + 2Ь0Ь1 з, + Цъ, + Ь2 ^
У,+4 = Ь0у(+3 + ^у^ = Ь0 (К + 2Ь0Ь15, + + Ьї 5,-! З
+ Ь! Во + Ь15. + ЬоЬ^^ 3 <I + ЗЬ02Ь1 + Ь2 5, + + 2Ь0Ь12 5(-1.
Либо можно записать:
У1+к =а1^+а2С},-1. Выпишем ряд весовых коэффициентов при х для различных к:
аі О ь0
Ьо+Ь,
(Хі<
с^ОЬо +2Ь0Ь1 а^УЬІ+ЗЬІЬ.+Ь2, а1 ^ 3= Ьд + 4Ь + ЗЬ0Ь2 а1 ^ 3= Ь® + 5Ь^Ьг + 6Ь2Ь2 + Ц
а,Оь:+ 6Ь50Ь1 +10Ь3Х + 4Ь0Ь3
0*
2і З
аі О ьо +7Ь®Ь1 +1 5ь*ь2+1 оЬоЬ;*+ь;
а,«> Ьї + * ' К IV + * 2* 3-ЬГ4Ь,г + •
1!
С-г І-г-1
2!
С-2г + 1
г!
4)к 2гЬг и0 и1 ‘
где - это весовой коэффициент при х1; к - порядковый номер прогнозного значения; г -
к
целая часть от деления —.
Иначе можно записать в следующей форме:
' О, О ОД + адл+• • •+сиъгъ;.
Нетрудно заметить тот факт, что каждый из вертикальных рядов данной последовательности имеет биномиальные коэффициенты возрастающих прогрессий, представляющих собой сечение по основанию треугольника Паскаля (рис.).
1
1 1
1 2 1
1 З З 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 З5 З5 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 81
1 9 З6 84 126 126 84 З6 9
Треугольник Паскаля
С помощью следующей леммы докажем, что выдвинутое утверждение верно для любого к.
Лемма 1. Пусть си1 < > с°ь; + с;_,ь;-2ь,+• • •+с^ь^'ь; - весовой коэффициент при
X при прогнозировании по МНЧР.
Тогда
а,« + 1>С“
^к+1^0
к+1
+ОДЛ+'
•+гг Ьк_2г+1Ъг
к-г+1 0 и1
1
Доказательство.
1 к 1 к-1
Отметим, что если к четное то, тогда г = —, в случае к нечетного, тогда г = —-—.
1. Рассмотрим первый случай при к четном, тогда искомую формулу весового коэффициента при х можно записать в следующем виде:
ОСК + а.ЬГЬ. + С’_2ЬГК + •■ ■ + СI № + С^Ь;
-+1 2
к-1 , к-1
2 и2и 2
к к 2
^ 1" к-2 к
Заметим, что величина ^ — 1 нечетная, а в этом случае г = —-—, или г = — — 1. Тогда
а1«-1>с“_,ьг+сиьгь1+с’_зьгь?+-+сг +с^ Ь0Ь
—и 2
к-1 к-1 '2 и и 2
При этом количество членов в а: (к) на одно больше, чем у а: (к — 1). Докажем по индукции, что
«,«+1>С1ь“+ОД-‘ь1+с;_1ьгь1!+-+сг № +с^ ьл2,
—1-2 11
2
к-1 , к-1
2 2
"к ^0^1
2
к+1 0 2
(2)
при условии, что к четное.
Пусть формула (2) верна. Тогда
оц + \^= Ь0а1~У Ь1а1-1
к к к к
Скък+с1к_1ъг2ъ^ адл2 + • • •+ СГ,Ъ02ЪГ + с^ъ?
+ъ
к-0 к-0 к-1 к-1
С0 ък1+С Ък 3Ъ +С° Ък 5Ъ2 +••• + С2 Ъ3Ъ0 +С° Ъ Ъ2
Ск-1Ъ0 Ск-2 Ъ0 и1^Ск-3и0 Ъ1 ^ ^ Ск Ъ0 Ъ1 ^ Ск и0Ъ1
—+1 —
. 2 2 .
к ^ к ^ к к
С0Ък+1+С Ък1Ъ +С2 Ък_3Ъ2 + ••• + С2 Ъ3Ъ2 +С2ЪЪ2
СкЪ0 ^Ск-1Ъ0 и1^Ск-2и0 Ъ1 ' ' Ск и0и1 к Ъ0 Ъ1
—1-1 -
. 2 2 .
' —-2 --1 --1 С0 Ък1Ъ +С1 Ък3Ъ2+С2 Ък 5Ъ3 + *** + С2 Ъ3Ъ2 +С2 Ъ Ъ2
Ск-1Ъ0 и1^Ск-2Ъ0 Ъ1 ^Ск-3Ъ0 Ъ1 ^ ^ Ск 1и0и1 Ск и0Ъ1
--1-1
2 2 =С"Ь‘*' +[: + с;_, 1Г'Ь, +1;_2+с;_21>; + • • •
*-1 —-2 С? + С,2
/к
-+1
/ к
-+1
Ь Ь2 +
2 2
Используя свойства биномиальных коэффициентов
к
к
Ск2+С2
-1
к
Ь0Ь2.
с +СГ1 =С8+11 С0 =С°+1 =1,
п п п+1 ’ п п+1 ’
получим
'О
к ^ к ^ к к = Ок+1+С1,Ьк-1Ь1+С,2_1Ьк-3Ь12+--- + С2"Ь3Ь2" +С2 ЬПЬ2.’
^к О и\ 1 к-1 0 и\
' к ,0^1 -+2 2
ук ,^0^1 —+1 2
что и требовалось.
2. Рассмотрим второй случай при к нечетном.
к
2
2
Тогда
«■ О СК + с;.,ЬГЬ, + С2ЬГЬ? + • ■ ■ + С^Ь’Ь,2 +сл,ь0ь,г.
к-1
к-3 к-3
2 и3К 2 -V
2
к-1 к-1 2 К К 2
В этом случае величина ^ — 1 четная, тогда г =
В свою очередь
С.К4+сиьгь,+с^_,ь;-‘ь; +• • •+сиь2ь,2 +с^ъ‘.
к-3 к-3
2 и2и 2 }01
2
к-1 к-1 2 К 2
При этом количество членов в сх^к) тоже, что и у ах(к — 1). Докажем по индукции, что
а, С +1> CL.br1 + сиьгь, + С’Х’Ь? + •• • + сиь„2ь,2 + сиь,
к-1 к-1 'о1
2
к+1 к+1
при условии, что к нечетное.
Пусть формула (3) верна. Тогда
^ + 1^= ^^1 ^Э" ^ _ 1^
= ЪГ
+ Ъ,
'0'
" к-3 к-3 к-1 к-1
С^+С1 Ък2Ъ +С2 Ък 4Ъ2 + ••• + С^Ъ3Ъ^+С^ЪЪ^
Ски0^Ск-1и0 Ъ1^Ск-2и0 Ъ1 ^ ^Ск+3и0Ъ1 ^Ск+1и0Ъ1
2
2
к-3 к-3 к-1 к-1
С0 Ък1+С Ък 3Ъ +С2 Ък4Ъ2+••• +С^Ъ2Ъ^ + С^Ъ^
Ск-1Ъ0 Ск-2 Ъ0 и1^Ск-3Ъ0 Ъ1 ^ ^ Ск+1и0Ъ1 ^Ск-1Ъ1
2
2
к-3 к-3 к-1 к-1
СЪ^+С1 Ък1Ъ +С2 Ък_3Ъ2 + ••• + С^Ъ4Ъ^+С^Ъ2Ъ^
СкЪ0 ^Ск-1Ъ0 Ъ1 Ск-2 Ъ0 Ъ1 ^ ^Ск+3и0Ъ1 ^Ск+1и0Ъ1
2
2
к-3 к-1 к-1 к+1
г0 ьк1Ь +Г1 Ьк'3Ь2+Г2 Ьк'5Ь3+--- + Г^Ь2Ь^+г^ь^
к-1 0 и1 к-2 0 и1 к-3 0 и1 ^ к+1 0 1 ^ ^ к-1 ^1
2
2
с°ьг + в_. + с“_, ьг ь. + фи +си ь^3ь; +
к-1
к-1 к-3
Г 2 + Г 2
к+1 Т к+1
к-1
к-1 к+1
ьь +СЖ
Воспользуемся уже указанными свойствами биномиальных коэффициентов и С™ = СЩ| = 1. Получим
к+1 к+1 2 К 2
(3)
а, С+1> CL.br1+сиьгь. +сиыь?+■ • ■•+си^ь.’ + сиь.:
2 2
Из пунктов 1 и 2 следует, что формула верна для любого к. Лемма доказана.
Предложение 1. Пусть ^Ь‘0 - нормированный знакоположительный степенной ряд, где
1=0
0<Ь,<11т.е.ХЬ,=Ь0 + Ь’ + Ь30
1=0
Преобразуем ряд весовых коэффициентов при х, тогда:
2
2
2
2
сц Ь0
а! СЭ= 2Ьо
а^^ЗЬ3 а1 ^ 3=
а
іОізь
а1^^=Р2^+1Зо,
где Е, +1 - ряд чисел Фибоначчи.
Определение 1. Последовательность чисел, начинающаяся с двух единиц Р2^=Р2^^=1, а
каждое из следующих получается сложением двух предыдущих, называется рядом Фибоначчи, а члены ее -числами Фибоначчи.
Покажем, что выдвинутое утверждение верно.
Лемма 2. Пусть - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 < Ь; < 1. То-
1-0
гда оц +1 - ряд чисел Фибоначчи.
Доказательство. Ряд чисел Фибоначчи имеет общую рекурсивную формулу представления:
Тогда
а, Ь0а, С -1> ЬХ < - 2 3= Ь„ < < В!,' + < < -1 В!, ' = =ь$«,Ор,<-1>рг<+1};.
Лемма доказана.
Докажем, что при увеличении к весовой коэффициент а^к) обнуляется, в случае непревосходст-ва Ъ0 величины, обратной золотому сечению.
2
Лемма 3. Пусть Ь0 <-------. Тогда Нтоц 0.
1 + л/5 к^°
Доказательство. Воспользуемся формулой Бине [5]:
р2«;
УЇ-У2
■Г5 ’
где у1 = ■
1 +а/5 1 —л/5
2
■■ у2=-
2
1
Также произведем замену Ь0 = —, где (} > 1. Тогда
а
1
аіОр2^ + 1^іг q
Определим предел к -го члена:
71
Ііша, Ііш
1 — 1 к^да /5
у?:' і ії^їі
«+г
■уҐ:_
я
л/5
як
( f \*+1Л
—j=lim
л/5 к—
Y
<+i'
1-
ъ
vYiy
qk
1 limb
с+г
Yl lid
к—К»
qk
V5
k^-co
Г \k
Yl
vq у
Yi *n-
л/5
0 = 0,
при q > Yj.
Проверим ряд на сходимость по признаку Коши:
limk/a, Cl= lim
1/-_i.nn ” ■ 1/-__i.i-n
\
y,‘*°-Y2 -
V5ql
= lim
k—>oo
*
5k+2q
q
lim5k+2
k^-co
= — limy,
q k^-co
c+i;
Y
^+сл
Y
<+i.
v < i /
1 - у -у
= — limyjf = — limyf = — < 1
q k^co q k^co q
при q > yl
1
Вернемся к замене, тогда при b0 <— lima, ^ j= 0. Лемма доказана,
- - к—ко
Yi
Теперь рассмотрим ряд весовых коэффициентов при хы для различных к:
а2 <> Ь,
а2ОьЛ счОь^+ь2
а2<>Ь3Ь1+2Ь0Ь12 а24УЪ40Ъ,+ЗЪ20Ъ2,+Ъ3, а2^>Ь50Ь1+4Ь30Ь12+ЗЬ0Ь13 а2 О ЬЦЬ, + 5ЬХ + 6Ь2Ь3 + Ь*
а2 ^ j= Ы~\ + ^Ы~3Ь2 + ^ 3-^ 4^bk"5bf +
1!
0 V1
2!
01
% - г - lj| - г - 2 j} • % - 2г
г!
>
Hi>k'2rbr+1
01
где а2^; - это весовой коэффициент при х(1; к - порядковый номер прогнозного значения; г -к-1
целая часть от деления
2
Запишем а2 ^ в следующей форме:
а, О С», + с;_гь‘-3ь,!+• • •+с;_,ьгьг •
Поэтому была сформулирована следующая лемма, доказательство ее аналогично лемме 1.
Лемма 4. Пусть а2 + С*_2Ьк”3Ь2 Н-----1- С^_гЬо”2гЬ'+1 - весовой коэффици-
ент при х при прогнозировании по МНЧР.
Тогда
к
k
1
2
а2 <+1> скь, + с;_,ьг Ь?+■ ■ ■+С“ЧЬГ“ЬГ ■
Доказательство.
Как и в лемме 2 приведем доказательство для к -четного и нечетного.
1 к”1
1. Пусть к -четное, тогда —-—. В свою очередь:
к-2 к
а, О ОГЬ.+с;.гьгь?+• ■ ■+С^Ь0Ь2.
2
Величины ^-1 и ^ + 1 нечетные:
к к
«г« -1> с^ьГ ь,+с;_,ьг ь?+• • •+сМ ■
2
Докажем по индукции, что:
к+2 к+2
аг с +1 > сКЬ, + сиьгЬ? + ■ ■ ■ + ейV ,
при условии, что к четное.
Пусть формула (4) верна. Тогда
а2 С + 1 3= Ь0а2 СЭ"^1а2 С-131
к-2 к
= ъ„
С^1ЪГ1Ъ^С^2ЪГ3Ъ0Ъ12+ ••• + С^Ъ?
2
' к к '
С0 Ък_2Ъ + С1 Ък"4Ъ2+ ••• + С2Ъ2
Ск-2Ъ0 Ъ1 ^Ск-3Ъ0 Ъ1 ^ к Ъ1
2
к-2 к
С^1ЪкЪ^С1к_2ЪГ2Ъ0Ъ12+ ••• + С^Ъ2Ъ1 . 2 ,
к к+2
С0 Ъ^^+С1 Ък4Ъ3+ ••• + С°Ъ^
Ск-2и0 Ъ1 ^Ск-3Ъ0 Ъ1 ^ ^ СкЪ1
=сж + 1и+си1Г!ь?+-+
2
' к-2 к '
+г2
к+2 “ к+2
к к к+2 ЬЬ +С:Ь .
2
Воспользуемся уже указанными свойствами биноминальных коэффициентов. Получим
к+2 к+2
<Х, с+1> схь, + ci_.brК+• • •+сйь/ ■
2
что и требовалось.
к-1
2. Пусть к нечетное, тогда г =----. В свою очередь:
к-1 к-1
Т" иТ
О CL.br Ь.+СГЬГК + ■ ■ ■+С^.Ь.2 .
2
Величины ^-1 и ^ + 1, нечетные:
а, с -1 > С”_2ЬГЬ, + сиьг ь; + • • • + С.Д, Ь0Ь.2 .
Докажем по индукции, что
к-3 к-3
2 К К 2 01
(4)
к+1 к-1 2 К К 2
при условии, что к четное. Пусть формула (5) верна. Тогда
Д + 1>Ь0а2С>Ь1аД-1>
а
к-1 к-1
С0 Ък Ъ +С1 Ък 3Ъ2 + ••• + С2Ъ2
Ск-1и0 и1^Ск-2и0 Ъ1 ' ' С^1и1
2
+ Ъп
к-3 к-3
Ск_2ЪГ2ъ^Ск_3ЪГ4ъ2+ ••• + Ск2;ъ0ъг^
, 2 _
' к-1 к-1
Ск_1ЪкЪ1+Ск_2Ък-2ъ12+ •••+ Ск21Ъ0Ъ12 . 2 .
' к-3 к-1 '
Ск-2ЪГ2Ъ12+Ск_3ъг4ъ3+ • •• + с^2
2
с11ь‘ь1 + ('и+с:_23-'ь;+-+
к-1 к-3
+С^
к+1 “ ^к+1
2
2
к-1 №.
Воспользуемся уже указанными свойствами биноминальных коэффициентов. Получим
к+1 к-1
аг«+1 > едь,+с;_,ьг !ь,!+■ ■ ■+с^ь, V.
2
Лемма доказана для любого к.
Используя предложение 1, преобразуем а2 , получим:
ос 2 Ь 0
сс2 Ь0
а24>2Ь:
а2ОЭЬо
а2<>5Ьо
(5)
где Р2 к - ряд чисел Фибоначчи.
Лемма 5. Пусть - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 < Ь; < 1. То-
1-0
гда а2СЗ=р2 «5Г ‘.где Р2 к - ряд чисел Фибоначчи.
Доказательство. Пусть лемма 5 верна. Тогда
а2 <3= Ь0а2 <-1Э-Ь2а2 < - 23= Ч <2 < -155 > Ьо - 2 3=
=ЬГ'«2«-1>Р2<-2>Р2<5Г‘.
Лемма доказана.
Нетрудно доказать, что а2 0 при к —» оо.
Как и в случае с а^к), при достаточно большом к коэффициент ос2(к) будет зависеть от золотого сечения.
2
Лемма 6. Пусть Ъ0 < Доказательство.
2
1 + 45
Тогда lima ^ j= 0.
к—ко
1
Произведем аналогичную замену Ь0 = —, где q > 1.
q
Тогда
Г1-Г2
п
*
lim а2 С 5= lim г- г-
*->со *->со q* ^/5^
lim -
1-
v/iy
1
lim yJ5q k^x
f \k h,
J
-0
при q > Yj.
Проверим ряд на сходимость по признаку Коши:
lim\/a9 lim
k-*» V ^ k^-cc>
i
yJ-y‘
V5q
c+r
= lim-
k^-co
1 1
5k+2qql
llim^-ykk x
f
k-><x>
q
lim5k+2q
1 1 k
- —limy
q
k^-co
V
1
k Ak
=^<i
q
k—>co
при q > yj
1
Вернемся к замене, тогда при bn < — lima2 к 3= 0. Теорема доказана.
Yi
k^-co
Если из данного ряда коэффициентов а2 вынести Ь1 за скобки, мы получим:
а2 С }= Ь1а1 ^-1 .
С помощью следующей леммы докажем данное утверждение.
Лемма 7. Пусть а: - это весовой коэффициент при х1, а2 - это весовой коэффициент при
х(-1 при прогнозировании в АР ^ по МНЧР. Тогда а2 Ь:а: — 1 .
Доказательство. Согласно лемме 2:
а.с-гк*};-1.
Согласно лемме 5:
а2 с > р2 с зг1 = Рг <5Г‘Ь„2 = Р2 < 5Г‘Ь, = ь,а, с -1:
Лемма доказана.
Поэтому а2 имеет те же свойства, что а: .
Обобщим вышесказанное.
Теорема 1. Пусть у(+к = а: + а2 С 31-1 _ прогнозная модель АР(2) по МНЧР. Тогда спра-
ведливы следующие утверждения:
1) а1СЗ=р2С + 155;
2) а2Ор2С5;+1;^
3) а^^ЪуэсД-! ;
2
4) limyt+k = 0 при Ь0 <
к—к»
1 + л/5 ’
k
2
i \+S i
5) imyM=—----x. 4
к—ко
6) limyt+k = go при b0 >
л/5 2 * л/5 1 ч- л/5
2
2 1 2
xt-i ПРИ Ь0 =
1 + л/5 ’
к^оо
1 + л/5 '
Доказательство. Первое утверждение доказывается леммой 2. Второе леммой 5. Третье утверждение на основе леммы 7.
Доказательство четвертого утверждения доказывается на основе лемм 3 и 6:
limy_ = lim^c, ^~xf + а? ^:'xf_1 lima, + lima? =
k->ao l+K k-*x> 1 1 Z 1 1 k—>-co 1 ^ 1 k-*x> Z ^ 1 1
= xf lima, C^-xt_, lima9 Cl= 0 * x, + 0*xf_, =0.
1 k—>co 1 11 k—}co z 1 11
На основе 3 и 6 леммы доказывается 5 и 6 пункт теоремы:
lima, ^=-т=, lima, к 1= —- при b =у,. ьл/5 к^° л/5 Yj
к^-со
2
xt
к—ко
к—ко
л/5 2 * л/5 1 ч- л/5 ‘"г
lima, С )= оо, lima2 k j= 00, ПРИ b0 > yr
k^-co k—»oo
limy , = x lima x lima ^ j= oo • x + oo • x = oo.
и к—*00 U
k—k_o
к—»со
Теорема доказана.
Данная теорема позволяет сделать вывод о том, что любой прогноз в модели ДЩ2) - это распределение предыстории в будущем через золотое сечение.
Далее рассмотрим авторегрессию более высоких порядков.
Авторегрессия 3-го порядка
Распишем прогноз при использовании трех предшествующих членов динамического ряда:
У1+к = О, + а2 + а3 0*-2 ■
Используя предложение 1, представим коэффициенты а: при х1:
«1 О Ь0
а, 4*1= 2Ь2
о^О4^
«1 <Э=7Ьс а,<>13ь;
а1С^=Р3С + 1^,
где Б3 к + 1 - ряд чисел Трибоначчи.
Напомним.
Определение 2. Ряд Трибоначчи - это последовательность чисел, заданная рекурсией
Р!С + 1>Р!<>Р!С-1>Р!<-2>двР!О0, ^<>1,^01, ^02-
Был сформулирован и доказан ряд утверждений.
Лемма 8. Пусть - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 < b; < 1. То-
І-0
гда оц - ряд чисел Трибоначчи.
Доказательство. Воспользуемся математической индукцией. Тогда
(Xi С3= Ъ^! С-^ЪЯ С - О bGoti k-3j=
= ь0 C3 > bo C3 С - + bo C3 С -2^k0-3 j=
=b;c,OF3i-i>F3<-2>F2c+i5;.
Лемма доказана.
Лемма 9. Пусть b <
і
(9 + Зл/ээЗ + (9-Зл/зЗ +1
Тогда, lima, ^ 0.
k—»co
Доказательство. Ряд Трибоначчи, помимо рекурсии, можно выразить через функцию:
(л Лк
ЗР ~ Ci +^2 +1 F,0- ^
Р -2Р + 4
где Р = Зл/586+102л/33, X, = л/19 + Зл/ЗЗ , Я,2 - ^19 —Зл/ЗЗ
и 1 1
Произведем аналогичную замену Ь0 = —, где q > 1.
а
Определим предел к -го члена:
lima, С з= НшК С + 1 Ьп = lim
/1 \k+1 Зр — Cl + >^2 +1 J
J
к—»оо
зр
З
k^-oo
lim
v3
P -2P + 4
- Cl +^2 +1^
q
p -2p + 4 k^°
В данной ситуации возможны 3 случая:
1) lima, C l= О - ПРИ q>~Ci +^2 +1 і
k^oo ^
q
2) limaj С
3
(1 -3P - Ci +A-2 +1,
1
k^-oo
p2-2p + 4 1
, при q = — Ci + ^2 +1J
3) lima С 3=°°, при q<-Ci +^2 +1
k—к_о ^ "
Проверим ряд на сходимость по признаку Коши:
1
1
Ііш^К С + 1~Вк = Ііш
к^о> 1 ^ к^о> '' 3 к—>оо
(1 ^+1
3Р Г С1 +1
V3______________,________
р2-2р + 4 V
= 1іт
к—>со
|3 + 7^2 1
р2 -2Р + 4
З
а
а
Также возможны 3 варианта:
1
1) Нтах С^ 1 при q > - Сі + +1
к—* со
1
2) Нта С 3= 1 при q = - Сі + +1 і
к—>со ^
3) Нта, С>1 при q < — Сі + +1
к^оо 3 ~
3
к—ко
Вернемся к замене, тогда при Ь < —
С1 + Х2 +1
Представим коэффициенты а2 С ПРИ х,_1:
а2 О Ь а2 С Э= 2Ь а2 ^ }= ЗЬ а2 ^ ]= 6Ь а2 ^ 3=1 1Ь
_ а2«>р;<+1}г'.
где Б'С +1 - модифицированный ряд чисел Трибоначчи.
Определение 3. Модифицированный ряд Трибоначчи - это последовательность чисел, заданная рекурсией + где ^<(>0. р5<>°.
Р.02.
Лемма 10. Пусть - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 < Ь; < 1. То-
1=0
гда а2 С Э=Рз С + 1^о+1 ’ гДе Р3Ч + 1 _ модифицированный ряд чисел Трибоначчи. Доказательство. Аналогично лемме 8:
а2 С > Ь0а2 С -1 > Ь02а2 С - 2 > Ь30а2 С - 3 >
0 2
=ь0 ♦; <5к > ь0 с; < - Ф1 > ь0 сз« - 25г >
0 2 к-0
к
1
к
1
к
3
ЬГ О f,' < -1> f; с - 2> f,’ с+1 Jr.
Лемма доказана. Лемма 11. Пусть Ъ0 <
ф+зл/зз^ + (р-зтізз^ +1
'(З
Тогда, lima, 4^=0.
к—»со
Доказательство. Заметим, что числа модифицированного ряда Трибоначчи, начиная с З, будут всегда меньше чисел обычного ряда Трибоначчи, поэтому в доказательстве будем использовать функцию из леммы 9.
U 1 1
Произведем аналогичную замену Ь0 = —, где q > 1.
q
Определим предел k -го члена:
lima, С }= HmF3 С + 1 Зо = lim
(1 -зр -C,+^2+i
ч к+1
V
з
к—ко
к^-со
к-К0 (3 - 2р + 4
к+1
q
3Р Пт
(3 - 2(3 + 4 к^°°
Сі + Х2 +1
q
к+1
3Р їм
Р2-2(3 + 4 к-
q
к+1
В данной ситуации возможны З случая:
1
1) НтахС J=0. ПРИ q > — +^2 +1 і
... 2 -
к^со
3Р -і Г
--------------, при Q — — Л,, + Л9 +1 ;
^ (3 -2(3 + 4 3 1 2 '
2) lima, С }=
1
3) Нтах 00. при q < - Cj + +1
к^оо
Проверим ряд на сходимость по признаку Коши:
liiri t./a. С 3= 1іт\/к + lT}k+1 = Нт
к—»со V 1 V^rrs V 3 -->*и
к—
(і
зр^с.+^+і^
Р2 -2Р + 4 qk
к+1
lim
к—* со
PCi +^2 +1.
_^2-2р + 4^_
С] + 1
q
С] + х2 +1
q
Также возможны З варианта:
і
1) lima, С 51 при q > - Cj + +1 і
k^c/D — 3 "**
1
1
1
1
З
З
к
1
к
1
к
З
З
Тогда
1
2) Іітоц С J= 1ПРИ q = - Сі + +1 і
.... 2 -
к^оо
3) lima, C>1 при q < — Сі + ^2 +1 ■
k^co 3
Вернемся к замене, тогда при b <
3
1ітах С ® ■ Лемма доказана.
k^co
Cl + X 2 + 1 Представим коэффициенты a3 С при xt_2:
a3 <3= b(
a3Cj=b a3 ^ }= 2b a3 Cj= 4b a3 С j=
a 3 С j= рз С 5
k+2 0 5
где F3 С - ряд чисел Трибоначчи.
Лемма 12. Пусть ^Ь‘0 - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0<Ь; <1.
i=0
a3 Ор3с5Г !, где F3 с; - ряд чисел Трибоначчи.
Доказательство. Аналогично лемме 8 и 9:
а3 С3= Ьоаз С - О Ь02а3 С - 2~У Ь30а3 С - 3 j=
= ь0 С3 С -15Г1 > Ьо С3 С - 2 5„ У ь3 С3 С - з 5Г "= = bJ+2C3C-l>F3C-2>F3C-3>F3C5r-
Лемма доказана.
^ ■. Тогда, lima3 k j= 0 ■
Лемма 13. Пусть Ъ„ <
Доказательство.
1
k^co
Произведем аналогичную замену Ь0 = —, где q > 1.
а
Определим предел к -го члена:
lima3 С3= limF3 С]Ъо+2 = lim
fl X
3Р - С- + ^2 +1 J ^
Л І'Ї'Ч ' _
k^co
k—>со
k^co
р2-2р + 4 q
k+2
(\ ^ - Сі +^2 +1
___________
а
а
зр
^гііт
к—>со
#2-2(3 + 45
В данной ситуации возможны 3 случая:
1) Пт а, С1= О - ПРИ q>-Cl +^2 +1 ;
к^оо ^
^1 ^2 ^ Зq
2) Нта, С3=
к^со
27Р
#2-2(3 + 4^+^+!
, при q = — Сі + +1
1
3) Нтах С00, при q < - Сі + ^2 +1
к—»со
Проверим ряд на сходимость по признаку Коши:
Піп \/а, С 3= Нш\/К С^п+2 = 1іт
к_»со V і V і
к—»оо
к—» со
(\ Л ЗР - Сі +^2 +1
V3
1
Ііт
к-*
ЗР
р2 -2Р + 4
Сі +^2 +1.
а
к+2
к
р2 -2(3 + 4 %
Сі + ^2 1
а
к+2
Также возможны 3 варианта:
1
1) 1ітах С^ 1 при q > - Сі + +1
к—* со
1
2) 1ітах С^= 1 при q = - Сі + +1
к^оо
3) Нта, С>1 при q < — Сі + +1
к^со 3 ~
Вернемся к замене, тогда при Ь0 <
3
к^оо
С1 + Х2 +1
Лемма 14. Пусть а: С _ это весовой коэффициент при х1, а3 С _ это весовой коэффициент
при Х(2 при прогнозировании в АР С по МНЧР. Тогда а3 СЗ=ьхС-1^
Доказательство. Согласно лемме 8:
о^с-О^зСЛг1-
Согласно лемме 10:
к
1
к
к
1
1
к
3
3
а, С > р, С ЗТ = Р, < 5ГК = Ка, < -1
Лемма доказана.
Поэтому а3 С имеет те же свойства, что а: С ■
Обобщим вышесказанное.
Теорема 2. Пусть у(+к = а: СЗч + а2 СЗч-1 + аз Оьг _ прогнозная модель АЩЗ) по МНЧР. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) а1СЗ=рз€ + 15£;
2) а2ОРзЧ + 15Г:
3) а3<>Р3С5;+2;
4) а3С Э=ЬХС-1,;
5) limyt+k = 0, при b0 <
1
к^со
6) limyt+k =с, при ь0
1
к—»со
7) limy к =оо, при b >
к^со
(9 + Зу1ЗЗ" + (^ ^л/Зз ^3 +1 1
Доказательство. Первое утверждение доказывается леммой 8. Второе леммой 10. Третье утверждение на основе леммы 12. Четвертое - леммой 14.
Доказательство пятого утверждения доказывается на основе лемм 9,11 и 13: __
Птуг+к = Нт^, + а2 + а3 ^3^
к^-со
к—» со
t-2
= lima, + lima, , + lima, 9 =
k->co 1 1 k^>CO -^11 k^-oo ^
= xt lima, xt_, lima9 xt_9 lima,
k^-co k^-co
= 0 * xt + 0 * x., + 0 * x. „ = 0.
г-1 г-2
На основе тех же лемм доказываются 6 и 7 пункты теоремы:
Пту(+к = х( Ііт^ О х.-і !іта2 О х(-1 Нта3 О
к—>со
3(3
к—>со
к^°о
к—>со
3(3
■xt_i +
27Р
р2-2р + 4 * J32 — 2J3 + 4 11 ^2-2P + 4J&!+^2+1
limyt+k = xt limaj хн lima2 СЭ- xt 2 lima3 С }=
x
t-2 *
к^-со
к—»<х>
00-Х +00-Х ,+ОО-Х „
t t-1 t-2
к—>оо 00.
Теорема доказана.
Из теоремы следует, что в ряде случаев прогноз в моделях ДЩ3) есть средневзвешенное последних трех значений динамического ряда с весами золотого сечения.
Заключение. При рассмотрении свойств прогнозов в ДЩ2) и ДЩ3) моделях на основе МЧР была выявлена взаимосвязь будущих значений с золотым сечением.
В дальнейшем планируется рассмотреть авторегрессии более высоких порядков и выявить возможные закономерности прогнозов в этих моделях.
Литература
1. Эконометрия / А.А. Цыплаков, В.И. Суслов, Н.М. Ибрагимов [и др.]. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. - 744 с.
2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1998. - 1022 с.
3. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М.: Мир, 1974. - Вып. 1.
4. Городов А.А. Моделирование временных рядов на основе нормированных числовых рядов // СУИТ. -2010. - Вып. 22.
5. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. - М.: Наука, 1978. - 144 с.
