CC BY
5
Scientific journal
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Погребний В.Д. 3ipKoei збiжностi до збiжностi з регулятором. Ф'вико-математична освта. 2019. Випуск 2(20). С. 126-129.
Pohrebnyi V. Star Convergences Are To Index Convergence. Physical and Mathematical Education. 2019. Issue 2(20). Р. 126129.
DOI 10.31110/2413-1571-2019-020-2-020 УДК 517.6
В.Д. Погребний
Сумський державний педагогiчний ушверситет iMeHi А.С. Макаренка, Украна
mathematicsspu@gmail.com ORCID: 0000-0002-1625-7893
З1РКОВ1 ЗБ1ЖНОСТ1 ДО ЗБ1ЖНОСТ1 З РЕГУЛЯТОРОМ
АНОТАЦ1Я
Формулювання проблеми. Значення апарату р'вномаштних зб'жностей в сучасному функциональному аналiзi та його багатьохзастосуваннях надзвичайно велике. Походження цих зб'жностей викликано використанням в сучаснiй математицi рiзних структур: тополог'чних, порядкових, алгебра)чних, пов'язаних з м'рою множини i т.д. Так збiжностi породжують на просторах, що розглядаються, р'вномаштш тополог) а це дае можливсть одержати результати про неперервнiсть оператор'ю, що е однею з основних задач сучасно)математики. Важливi й збiжностi породженi структурами порядку. Особливо важливi випадки, коли даний простiр е решткою, зокрема, лiнiйною i арх/'мед/'вською. Подальшим розвитком порядковой збiжностi е так звана збiжнiсть з регулятором, яка мае важливсть застосування. При вивченн конкретних збiжностi необхдним етапом е досл'дження виконання для них акс'юм класу збiжностi, що дозволяе розглядати утвореш тополог'нш структури. Часто за допомогою наявних зд'бностей вдаеться утворювати новi збiжностi. Важливим нструментом одержання нових зб'жностей е зiрковi алгоритми. В результатi маемо рiзнi«чистi» i «м'шаш» до даних зб'жностей новi збiжностi. Властивостi збiжностi з регулятором пов'язанi з акаомами класу збiжностi були нами ранiше вивчен'1. Тому необхiдно продовжити це вивчення для зб'жностей, з'ркових по в1'дношенню до збiжностi з регулятором. Метою даного досл 'дження е вивчення властивостей рiзних типiв з 'ркових зб'жностей до збiжностi з регулятором як «чистих» так i «мшаних»
Матер/'али i методи. Використовуеться результати про властивостi збiжностi з регулятором, ранiше встановленi властивостi з'ркових зб'жностей в загальних випадках.
Результати. В результатi досл'дження було встановлено: «Чистi» зiрковi збiжностi до розбiжностi з регулятором задовольняють умови перших трьох акс'юм класу збiжностi для вах чотирьох типiв «чисто)» з'рково)' збiжностi. «Мiшанi» зiрковi збiжностi задовольняють вказат умови при деяких додаткових обмеженнях, пов'язаних з вибором типу пднапрямленостi на першому i другому етапах конструювання «мшано)» з'рково)'збiжностi.
Висновки. Висновки е такими: зiрковi збiжностi до збiжностi з регулятором мають передбачуван властивостi i можуть використовуватись при вивченн лiнiйних решiток конкретних типiв i зб'жностей в них, пов'язаних з структурою порядку.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: збiжнiсть, напрямленсть, пiднапрямленiсть, зiрковi, клас, тип, аксоми.
ВСТУП
Дуже велике значення в сучасному аналiзi мають рiзноманiтнi конкретн збiжностi, одержан на основi основних математичних структур: тополопчних, порядкових, алгебра'чних, мiри множини i т. д. Апарат збiжностей дуже потужний i мае велик застосування при вивченн багатьох клаав операторiв в просторах, що зус^чаються в функциональному аналiзi, теорп ймовiрностей, прикладнш математик та 'х застосуваннях. Ключовим моментом е те, що конкретн збiжностi породжують топологи, а це дозволяе говорити про найважлившу рису операторiв - 'х неперервнкть.
Одыею з важливих збiжностi е збiжнiсть з регулятором в архiмедiвських лЫшних (векторних) решмтках. Ця збiжнiсть мае багато «хороших» властивостей, зокрема породжуе тополопчы структури. При цьому вона задовольняе деяк аксюми класу збiжностi.
Апарат зiркових збiжностей мае важливе значення, осктьки дае можливкть одержати багато нових збiжностей, ям теж важливГ
Отже тсля дослщження дано'' збiжностi важливо дослщити i рiзнi зiрковi до не' збiжностi.
Загальн властивост збiжностi з регулятором у зв'язку з аксюмами класу збiжностi були нами ранше дослщжены (Погребний, 2011).Наступним етапом е дослщження зiркових до ц^е' збiжностей.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Метою даноТ статтi дослiдження зiркових збiжностей до збiжностi з регулятором у зв'язку з аксюмами класу збiжностi.
ТЕОРЕТИЧН1 ОСНОВИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Теоретичними основами дослщження теорiя збiжностi з регулятором i загальна теорiя зiркових збiжностей.
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
В дослщженнях використовуеться апарат напрямленостей, основних клаав пiднапрямленостей, конструкцп зiркових збiжностей основних титв.
РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
На основi вивчення властивостей збiжностi з регулятором у зв'язку з аксюмами класу збiжностi (Погребний, 2011), дослщимо властивосп зiркових збiжностей рiзних клаав по вщношенню до збiжностi з регулятором . Нагадаемо основы поняття:
Нехай х - архiмедiвська лiнiйна (векторна) решлтка, $ = (х ,ае А) - напрямленiсть елементiв решiтки х , X е X , ее Я, е > о, и - Додатнiй елемент решiтки х , тобто и >в , в - нульовий елемент решмтки х .
Напрямленiсть S називаеться збiжною з регулятором або (г) - збiжною до елемента х0, якщо виконуеться
умова:
Зи >в:Уе >о3а0 е А :а>а0^\ха -х0|<еи
При цьому елемент и називаеться регулятором збiжностi.
Вiдомо що (г) - границя визначаеться однозначно, якщо iснуе, з (г) - збiжностi випливае порядкова збiжнiсть. (г) - збiжнiсть узгоджена з лiнiйною структурою i структурою решiтки.
Спочатку розглянемо зiрковi збiжностi до (г) - збiжностi «чистих» типiв.
Аксiома ЫЛ1 класу збiжностi полягае в тому, що для збiжностi (ст), що розглядаеться, кожна квазютацюнарна напрямленють (ст) - збiжна до вщповщного елемента.
Напрямленiсть $ = (Ха ,а е А) називаеться стацiонарною, якщо У а е А [х^ = х е X]. $ називаеться квазютанцюнарною, якщо е А : Уа:а>а0[хи = х0 ]
Збiжнiсть з регулятором задовольняе аксюму ЫЛ1 (Погребний, 2011). Розглянемо це питання вщносно зiркових до (г) - збiжностi, збiжностей, зiрковi збiжностi залежить в^д того, який тип тд напрямленостей буде використаний:
1. Конфшальы.
2. lзотоннi.
3. Мурiвськi.
4. Квазi.
Вiдповiдно розглядаються i зiрковi до дано'' (ст) -збiжностi:
1. Конфiнальна зiркова (с *ст).
2. 1зотонна зiркова (г *ст).
3. Мурiвська зiркова (т *ст).
4. Квазiзiркова д*ст).
Вщомо, що (с*ст)^ (г *ст)^ (т*ст)^ (д *ст) (Погребний, 2003). Звщси випливае, що i в конкретному випадку збiжностi з регулятором, (с * г)^ (г * г)^ (т * г)^ (д * г). Це дае можлив^ь встановити виконання умови 1\1Д1 лише для само'' широко' з них (д * г) -збiжностi.
Теорема 1. (д * о)-збiжнiсть задовольняе умову 1\1Д1.
Доведення. Ух0 е X вiзьмемо довiльну вiдповiдну квазiстацiонарну напрямленiсть $, а для не' '"' довтьну квазiпiднапрямленiсть Т = (^ рев). Це означае, що Уао е АЗРо е В: Р> Ро ^{ур : Р> Ро}с{ха :а>ао}. В якостi ао
беремо ао з поняття квазютацюнарносп $. Знайдемо вщповщне р е В. При Р > Ро буде ур = хо . Таким чином, т е квазiстацiонарною. Оскiльки (г) - збiжнiсть задовольняе умову 1\1Д1 то, т збiжна (г) до хо .В якостi квазтщнапрямленосп (и) для (Т), можна взяти саму т, яка (г) - збiжна до хо . Це i означае,в силу довтьносп т виконання умови 1\1Д1 виконана для (д * г) - збiжностi. Теорему доведено.
Тим бiльше, для бт ьш вузьких (т * г), (г * г), (с * г) збiжностей умова 1\1Д1 виконана.
Далi розглянемо аксiому 1\1Д2. Вона мае той змют, що при (ст)-збiжностi ($) до хо , то до хо будуть збiжнi всi '' пiднапрямленостi. Для (г) -збiжностi умова 1\1Д2 виконуеться (Погребний, 2011). Як це буде для (* г )-збiжностей? Теорема 2. Зiрковi до збiжностi з регулятором збiжностi мають властивють 1\1Д2.
Доведення. При розглядi 1\1Д2 i (* г )-збiжностей в «чистоту» випадку використовуються пiднапрямленостi даного
випадку. Виберемо будь-який з чотирьох i для нього дослщжуемо далГ Нехай ха ^х0 . Вiзьмемо (Т)довiльну для $, а для т - довтьну и - пщнапрямлеысть. и - пiднапрямленiсть для $, а, в силу $ —*—х , и мае пiднапрямленiсть Ф яка збiжна (г) до хо . В той же час Ф е пщнапрямлеысть для и . А це i значить, що т збiжна (* г) до хо .
Теорему доведено.
(*г)
* г)-збiжностi виконанi, то одержимо породженi топологГ' Т . При цьому збiжнiсть в них не вужча, ыж (* г )-збiжнiсть.
Далi на черзi аксiома 1\1Д3. I' змiст в тому, що якщо $ не збiжна до х0 у розумшы (ст), то у не' е така пщнапрямлеысть (т), вс напрямленостi яко' не збiжнi (ст) до х0 . Вщомо (Погребний, 2011), що (г)-збiжнiсть, не задовольняе умову 1\1Д3. Тим не менш, зiрковi до не' мають цю властивкть.
Теорема 3. (* г )-збiжностi задовольняють умову 1\1Д3.
Доведення. Розгляд введемо для даного типу (* г)-збiжностi. Нехай $ не зб^аеться (* г) до х0 . Припустимо супротивне: ва '"' нaпрямленостi т мають свою пщнапрямлеысть и , що (* г) збiжна до х0 . Значить для и кожна пщнапрямлеысть Ф мае пiднaпрямленiсть Р, яка (г)-збiжнa до хо . Р - пiднaпрямленiсть для т . Отже $_—^х Це
неможливо за умовою. Протирiччя.
Теорему доведено.
Враховуючи, що (*(*ст))=(*ст) для довiльно' (ст), маемо що (*(* г)) = (* г).
Вiдомо також, що при 1\1Д2 буде (ст)^(*ст). Значить, (г)^(* г). 1МД3 для (г) не виконуеться. Тому (* г(г) в загальному випадку не виконуеться, взaгaлi кажучи, (* г)ф (г).
Деяк пiдсумки. (* г) всiх чотирьох клаав мае умови 1\1Д1, 1\1Д2, 1\1Д3. Це породжуе на X топологГ' типу Т*). Вони вщдтьы, оскiльки яка вiддiльнi, оскiльки (г)-границя едина, також (Т(*г ))з (* г).
Переходимо до «мшаних» зiрковий збiжностi i 'х особливiсть полягае в тому що при взятт напрямленостей т для $ може використовуватись один тип напрямленостей для переходу вщ т до и шший.
Для технiчно' зручностi розглядiв пронумеруемо Ыдексами к,/ = 1,2,3,4 можливi типи пiднaпрямленостей i вiдповiднi «мiшaнi» зiрковi збiжностi:
1. Конфшальы.
2. lзотоннi.
3. Мурiвськi.
4. Квaзi.
Таким чином, запис (к/* г)-збiжнiсть мае смисл:
1. Нaпрямленiсть т для Б , мае тип (к).
2. Напрямлеысть и для т , мае тип (/).
Достатньо розглянути випадки к ф /, осктьки (// * о) - збiжнiсть е саме (/ * г)- «чистий» тип.
Почнемо з умови 1\1Д1.
Теорема 4. (к/* г) -збiжностi, к,/ = 1,2,3,4 мають властивост NA1.
Доведення. Для квазктацюнарно' нaпрямленостi ($), напрямленосп т та и теж квазктацюнары. Тодi и збiжнa (г) до хо , отже, $ збiжнa (к/* г) до хо .
Теорему доведено.
Дaлi - умова 1\1Д2.
Теорема 5. (к/* г) - збiжностi мають властивкть (лА2\ .
Доведення. Розглянемо два випадки, осктьки к ф /.
1. к < / . Нехай т - довiльне типу (к) для $ , а и - довтьне типу (/) для т. Тодi и е (к)-пщнапрямлеысть для $ . Оскiльки $ збiжнa (к/* г) до хо , то и мае Ф -типу (/), що (г)-збiжнa до хо .
Маемо: кожна (к)-пщнапрямлеысть и для т мае (/) -пiднaпрямленiсть Ф, що (г) - збiжнa до хо . В силу довтьносп т типу (к) для ($), маемо (лА2\ для (к/* г)-збiжностi.
2. к > /. Нехай напрямленосп $ , т , и , Ф мають той же смисл, що i в випадку к < / . Одержимо: Кожна и пщнапрямлеысть типу (к) для т мае Ф типу (/), що збiжнa (г) до хо . Значить, т е (к/ * г) -збiжнa до хо . В силу довтьносп т , це означае виконання (лА2^ для (к/*ст)-збiжностi.
Теорему доведено.
Пояснення, що дане (да 2^ означае умову 1\1Д2 з пiднaпрямленостями типу (к).
Дaлi - умова 1\1Д3. В '' використанш треба пiднaпрямленостi вибирати вже не один, а два рази, тому позначення буде (ла з)к/.
Теорема 6. При к < l, (kl * r)-збiжнiсть задовольняе умову (NAз)ц .
Доведення. Нехай (S) не збiжна (kl * r) до xo . Припустимо супротивне: кожна ÏÏ (к) -пщнапрямленкть T мае (l)-пiднапрямленiсть U , яка (kl * r) -збiжна до xo . В такому випадку, кожна (к)-пщнапрямленют Ф до U мае F типу (l ), що (r ) -збiжна до x0 . При к < l, F буде (l )-пiднапрямленiстю для T . В результата кожна T типу (к ) для S мае
F типу (l), що (r)-збiжна до x0 , тобто S е (hl * r) до Х0 . Що неможливо за умовою. Теорему доведено.
Отже, «мшаы» (И * r) -збiжностi мають властивостi (NAl), (NA2)к , (NAз)kl. Остання - при к < l . ОБГОВОРЕННЯ
Одержанi результати показують, що мае смисл вивчення зiркових збiжностей до збiжностей з регулятором, оскшьки цi збiжностi мають важливi i передбачуванi властивостi пов'язанi з аксюматикою класу збiжностi. Це дае можлив^ь стверджувати що такi збiжностi породжують на архiмедiвськiй мiшанiй решлтц топологiчних структуру, причому збiжнiсть в одержаны топологи не вужча ыж зiркова збiжнiсть.
Одержанi результати можуть використовуватись при вивченнi збiжностей породжених структурою порядку i зiркових даних у конкретних мшаних решiтках.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Одержан результати пiдтверджують результати вивчення абстрактних зiркових збiжностей (Погребний, 2004; Погребний, 2006 у конкретному випадку збiжностi з регулятором. Наступним етапом дослщження може бути вивчення зiркових збiжностi подвiйного i повторного типiв для порядково'|' збiжностi i збiжностi з регулятором.
Список використаних джерел
1. Погребной В.Д. Изотонная звездная сходимость. Всник Сумського державного ун1верситету. Суми, 2003. №8(54). С. 85-87.
2. Погребний В.Д. Зiрковi збiжностi мшаного типу. Тези доповщей Х МiжнародноÏ науково'' конференцп iм. акад. М. Кравчука (м. Ки'в, 13-15 травня 2004 р.), 2004. С. 385.
3. Погребний В.Д. Властивост зiркових збiжностей мiшаного типу. Тези доповщей XI МiжнародноÏ науково' конференцп iм. акад. М. Кравчука (м. Кив, 18-20 травня 2006 р.), 2006. С. 551.
4. Погребний В.Д. Збiжнiсть з регулятором з загально[ точки зору. Ф1зико-математична осв1та, 2011. Випуск 1(11). С. 32-34.
References
1. Pogrebnoj, V.D.(2003). Izotonnaja zvezdnaja shodimost' [Isotonic star convergence]. Visnyk Sumskoho derzhavnoho universytetu - Bulletin of the Sumy State University, 8(54), 85-87 [in Russian].
2. Pohrebnyi, V.D. (2004). Zirkovi zbizhnosti mishanoho typu [Star convergences of the mixed type] - The tenth International Scientific Conference acad. M. Kravchuk (pp. 385) Kyiv [in Ukrainian].
3. Pohrebnyi, V.D. (2006). Vlastyvosti zirkovykh zbizhnostei mishanoho typu [Properties of star convergences of the mixed type] - The eleventh International Scientific Conference acad. M. Kravchuk (pp. 551) Kyiv [in Ukrainian].
4. Pohrebnyi, V.D. (2011). Zbizhnist z rehulyatorom z zahalnoi tochky zoru [Index convergence is from the general point of view]. Fizyko-matematychna osvita - Physical and Mathematical Education, 1(11), 32-34 [in Ukrainian].
STAR CONVERGENCES ARE TO INDEX CONVERGENCE Valery Pohrebnyi
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Sumy, Ukraine
Abstract.
Formulation of the problem. The theory of various convergences, formed different structures is widely used in modern Analysis: topological, index, algebra, etc. These convergences are generated by topologies which is used for research of continuity of operators, in particular, operators of topological embedding of topological linear spaces.
Important convergence is index convergence in grates, descendant the structure of order. At the study of properties of concrete convergences the axioms of class of convergence have an important value, that allows to draw conclusion about the got topological structure.Djn Important are also algorithms of receipt from this convergences of new by the so-called star algorithms. As properties of index convergence, related to the axioms of class convergences, studied, it is necessary to continue such study for star to this convergence. The purpose of this research is a study of properties of different classes of star convergences to index convergence, both «clean» and «mixed», types.
Materials and methods. Uses the results of the properties of convergence with the controller, previously established properties of star coincidences in general cases.
Results. For researches the methods of spaces of abstract convergence, theory of star convergences of basic types are used, axioms of classes of convergence in the proper modifications.
1. «Clean» star convergences to index convergence satisfy the terms of the first three axioms of class of convergence for all four types of star convergence - the confinal, isotonic, Moorish, quasi.
2. «Mixed» star convergences satisfy the specified conditions for some specifics: the first condition, regardless of the first and second classes of substrings used; second in modification for the first type of used sub-directions; the third in the modification of the first-second-grade sub-directio
Conclusions. Conclusions are such: Star convergences are to index convergence have predictable general properties and can be used in the study
of lattices of specific types and convergences associated with the order in them. Key words: convergence, direction, sub-direction, star, class, type, axioms.
