CC BY
10
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф13ИКО-МАТЕМАТИЧНА OCBITA
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Погребний В.Д. 31рков1 зб'жност'! до порядковой зб!жност1. Ф/'зико-математична oceima. 2019. Выпуск 1(19). С. 160-164.
Pohrebnyi V. Star Convergences Are To Index Convergence. Physical and Mathematical Education. 2019. Issue 1(19). P. 160-164.
DO I 10.31110/2413-1571-2019-019-1-025 УДК 517.6
В.Д. Погребний
Сумський державний педагогмний уш'верситет ¡меш А. С. Макаренко, Укра/на
[email protected] ORCID: 0000-0002-1625-7893
3IPKOBI ЗБ1ЖНОСТ1 ДО ПОРЯДКОВО! ЗБ1ЖНОСТ1
АНОТАЦ1Я
В сучасному Анал'13'1 широко використовуеться апарат р!зноман1гпних зб1жностей, утворвних р/зними структурами: тополог/чною, порядковою, алгебртчною i т.д. Ц! зб/жност/ породжують топологи, що використовуються при досл/дженш неперервностi onepamopie, зокрема, onepamopie тополог/чного вкладення тополог/чних лшШних npocmopie.
Формулювання проблемы. Важливою зб!жн!стю е порядкова зб/жн/сть в pemimKax, породжена структурою порядку. При вивченнi властивостей конкретних зб/жностей важливе значения мають аксюми класу зб'жност'!, що дозволяв робити висновки про одержану тополог/чну структуру. Важливими в також алгоритми одержання з даних зб/жностей нових за допомогою так званих 31ркових алгоритм1в. Осыльки властивостi порядново)'зб'жност'!, пов язанi з акаомами класу зб'жностi, вивченi, то необх/дно продовжити таке вивчення для з/ркових до ц/'е/' зб'жност!. Метою даного досл!джвння в вивчення властивостей р/зних клас!в з1ркових зб/жностей до порядково!' зб!жност1, як «чистих», так i «м!шаних» munie.
Матер/али i методи. При досл!дженнях використовуються методы npocmopie абстрактноi зб/жност!meopiï з!ркових зб!жностей основних munie, акаоматика клас1в зб!жност! у eidnoeidHux модиф1кац1ях.
Результаты. В результатi досл1дження було встановлено: 1) «4ucmi» 3ipKoeiзб'1жност'1 до порядково'/ 36iMHOcmiзадовольняють умови перших трьох аксюм класу зб1жност1 для ecix чотирьох munie з!рково1 зб!жност! - конф1нальних, !зотонних, MypiecbKux, Kea3i; 2) «MiujaHi» 3ipKoei зб1жност1 задовольняють вказан1 умови при деяких конкретизац1ях: перша умова незалежно eid першого i другого клаав використаних п/днапрямленостей; друга у модиф1кацй' для першого типу використаних п1днапрямленостей; третя у модифшацн в!дпов!дно першого - другого клаав п/днапрямленостей.
Висновки. 3ipKoei зб'1жност'1 до порядково!' зб/жност: мають передбачуван! загальн1 властивостi i можуть використовуватись при вивченнi реш!ток конкретних munie i зб'!жностей, пов'язаних з порядком в них.
К/1ЮЧОВ1 СЛОВА збжтсть, напрямлешсть, п/днапрямлен/сть, 3ipKoei, клас, тип, аксюми.
ВСТУП
В сучасному Анал1з1 дуже важливе значения мають рвноманггы зб1жносп, утворен1 на основ1 рвних структур -тополопчних, алгебра!'чних, порядкових. Апарат зб1жностей використовуеться в проблемах неперервносп оператор^, зокрема оператор1в вкладення простор1в, осктьки ц1 зб|жносп породжують тополопчы структури.
Важливою зб1жнютю е порядкова (о)-зб1жнють в решггках. Ця зб1жнють мае важлив1 спец1альн1 властивосп, зокрема, в план1 утворення тополопчних структур. Властивосп одержано! топологи залежать вщ того, як1 аксюми абстрактно! зб1жносп мае дана зб1жнють. Ш аксюми мають назву аксюми класу зб|'жносп. Порядкова зб1жнють деяю з цих аксюм задовольняе.
Суттеве значения мае апарат зфкових зб1жностей, що дозволяе одержувати з дано!' зб1жносп нов1 зб1жносп, яш теж мають важливе значения. Тому поряд з дослщженням дано!' зб1жносп важливим е 1 дослщження зфкових до не!' зб1жностей.
Осктьки загальш властивосп порядково!' зб1жносп були досшджен1 (Погребний, 2011), то актуальним е досшдження властивостей з1ркових до не! зб1жностей.
Метою даноТ статп е дослщження властивостей з1ркових до порядково!' зб|'жносп, пов'язаних з аксюмами класу зб1жносп.
ISSN2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
ТЕОРЕТИЧН1 ОСНОВИ ДОС/11ДЖЕННЯ
Теоретичними основами дослщження е теор1я порядково!' зб1жносп i загальы теорм з1ркових зб1жностей основних
титв.
МЕТОДИ ДОС/11ДЖЕННЯ
Використовуеться апарат напрямленостей, основних клаав тднапрямленостей, конструкцм з1ркових зб1жностей основних тип1в.
РЕЗУЛЬТАТИ ДОС/11ДЖЕННЯ
На основ1 результате про властивосп порядково!' зб1жносп, пов'язаш з аксюмами класу зб1жносп (Погребний, 2011), дослщимо виконання цих умов для зфкових по вщношенню до порядково! збикносп.
Спочатку будемо розглядати sipKOBi збикносл «чистих» титв. Нагадаемо основы поняття.
Нехай Х - решггка. Напрямлеысть S = (дг ,а е А) називаеться зростаючою, якщо ос\ > ого => ^ Ха-> .
S називаеться спадною, якщо а\ >«2 => ха1 < .%, . S називаеться порядково або (о) -зб1жною до елемента х0еХ, якщо виконан1 умови:
1. 1снують спадна напрямленкть Т = (v^, ¡3 е Вj i зростаюча напрямлеысть U = \z ,у ecj, TaKi, що
¥Д, е В\/у0 е С3а0 е А: а > а0 => <ха<ура-
2. SUpSy = хо ■
/tC
3. inf vb = xo .
/3gb~
(o) /ч M
Запис: xa —>Щ , x0 = (o)- lim xa ■ (o)-lim - единий, якщо ¡снуе.
asA
Напрямлешсть S = (x^,aeAj називаеться стацюнарною, якщо Va e Л[ха =r8o e X\. S називаеться квазктацюнарною, якщо Эао е А : Va : а > ао[х« = .то].
Аксюма NA1 класу зб1жносп полягае в тому, що для дано! абстрактно! (сг)-зб1жносп кожна квазктацюнарна напрямлеысть (сг)-зб1гаеться до х0 .
Порядкова зб1жнкть задовольняе аксюму NA1 (Погребний, 2011). Перев1римо м виконання для з1ркових до (о) -зб1жносп зб1жностей. 3ipKOBi зб!жносп залежать вщ використаного типу тднапрямленостей:
1. Конфшальж.
2. 1зотонн1.
3. MypiecbKi.
4. КвазГ
Вщповщно розглядаються i 3ipKOBi до дано! (сг)-зб1жности
1. Конфшальна з1ркова (с*ег).
2. 1зотонна з1ркова (г *<т).
3. MypiecbKa з1ркова (m * <х).
4. КвазЫркова {q*(j).
Вщомо, що (с * <т) => (z * <т) => (m * <т) => (g * <т) (Погребний, 2003). Тому i (c*o)=>(r*o)=>(/w*o)=>(g*o). Достатньо перев1рити виконання умови ЫА1для найбтыи широко! (q * о)-зб1жносп. Теорема 1. (q * о)-зб1жн1сть задовольняе умову NA1.
Доведения. Нехай напрямленкть S квазктацюнарна, Т = (v ,р е В) - и довтьна тднапрямленкть. Tofli
виконана умова: Vcco е.4Э/?о еВ : Р>Ро => \ур '■ >/?о}: & ^ЕМзьмемо «о з поняття квазктацюнарносп напрямленосп. Tofli знайшовши вщповщне Д), маемо, що при Р > Ро буде ур = .то . Отже, Т е квазктацюнарною. В силу виконання NA1 для (о) -зб1жносп, Т порядково зб1гаеться до .то . В силу довтьносп Т , умова NA1 виконана для (q * о) зб1жносп.
Теорему доведено.
Отже, для бтьш вузьких (ж*о), (г*о), (с*о) зб1жностей умова NA1 теж виконана.
Перейдемо до аксюми NA2. Вона полягае в тому, що якщо (S) е (с)-зб1жною до хо , то Bci м п1днапрямленост1 тежзб1жн1до хо .Для (о) -зб1жносп NA2 виконано (Погребний, 2011). Розглянемо м виконання для (*о)-зб1жностей. Теорема 2. 3ipKOBi до (о) -зб1жносп мають властивкть NA2.
Доведения. Осктьки при розгляд! NA2 i (*о)-з61жностей використовуються пщнапрямленосп даного класу, то
будемо розглядати цей процес для будь-якого фтсованого типу sipKOBOÏ (*о)-зб1жностк Нехай . Розглянемо
довтьну пщнапрямленють, а для не!!! довтьну пщнапрямлешсть U . Tofli е пщнапрямленктю для S , а, в силу зб1жносп (*о) S до х'о , U мае пщнапрямлешсть Ф , що (о) -зб1жна до х'о . Але Ф е пщнапрямлешстю i для С/ . А це i означае, що Т е (*о)-зб1жною до хо .
Теорему доведено.
Виконання умов NA1, NA2 для (*о)-зб1жносп означае можливкть розглядати тополопю т{*о) : породжену фею з61жн1стю, причому з61жнкть (г(*о)) буде не вузьчою, жж (*о)-зб!жжсть.
Таким чином, зб1жносп (с*о), (г*о), (?и*о), (а*о) задовольняють умову NA2.
Перейдемо до аксюми NA3. Бона полягае в тому, що якщо S не зб1жна (с) до .х0 , то мае таку пщнапрямлежсть Т , у яко! жодна пщнапрямлежсть U не з61жна (с) до лс0 . Вщомо (Погребний, 2011), що (о) -зб!жжсть, взагал1 кажучи, не задовольняе умову NA3. Цтаво вияснити, як буде для (*о)-зб1жностей.
Теорема 3. (*о)-зб!жжсть задовольняе умову NA3.
Доведения. Нехай S не зб1гаеться (*о) до ,т0 . Припустимо супротивне: кожна ÏÏ пщнапрямлежсть Т мае свою пщнапрямлежсть U, яка (*о) зб1жна до х0 . А тод! кожна пщнапрямлежсть Ф для U мае свою пщнапрямлежсть F, яка (о)-зб1жна до xq . Але напрямлежсть F е пщнапрямлежсть напрямленосп Т . Це i означае (*о)-зб!жжсть напрямленосп S до ,x0 . А це неможливо за умовою. Протирмчя. Отже, для (*о) умова NA3 виконана.
Теорему доведено.
Осктьки в загальному випадку, (* (* er)) = (* с), то i (* (* о)) = (* о) .
Також, вщомо, що при виконанж NA2 буде (<7)=> (*f), а (о) мае цю властивкть, то (о) =>(*о). А ось NA3 (о)-зб1жжсть не задовольняе. Тому умова (*о)=> (о) в загальному випадку не виконуеться. Значить, взагал1 кажучи, (*о) Ф (о)
Пщводячи деяк! пщсумки, можназазначити, що (*о)-зб!жжсть вахчотирьох клаавмаевластивосп NA1, NA2, NA3, отже, породжуе на дажй решггц1 X топологмну структуру т(*о) г Яка вщдтьна, осктьки (о) -границя едина, i зб!жжсть в ц!й топологи (r(*o)) з (* о).
Перейдемо до з1ркових зб1жностей «мшаних» титв. Вони вщрвняються вщ «чистих» титв тим, що при переход! вщ напрямленосп S до ÏÏ пщнапрямленосп Т може використовуватись один клас пщнапрямленостей, а при переход! вщ напрямленосп Т до ÏÏ пщнапрямленосп U - ¡нший. Для зручност! пронумеруемо ¡ндексами ¿,¿ = 1,2,3,4 можлив! класи пщнапрямленостей i вщповщн! мшан! з!рков1 зб!жност!:
1. Конф!нальн!.
2. 1зотонн!.
3. MypiecbKi.
4. Кваз1.
Таким чином, запис
(kl * о) -зб!жжсть означае наступну ситуацию:
1. При взятт! пщнапрямленосп Т для S, Т мае тип (/с).
2. При взятт! пщнапрямленосп U для Т , U маетип(/).
Розглянемо випадки к Ф /, осктьки (кк*о) означае не що !нше, як «чисту» з!ркову з61жн!сть (к* о), к = 1,2,3,4. Дослщимо виконання умови NA1 для мшано!
(kl * о) -зб!жносп.
Теорема 4. (kl * о) -зб!жн!сть, к,1 = 1,2,3,4 задовольняе умову NA1.
Доведения. Осктьки (о) -зб!жн!стьмае властивкть NA1, то для кваз!стац!онарно! напрямленост! (S), напрямленосп
Т та U будуть кваз!стац!онарними при /с,/= 1,2,3,4 ¡тод! U зб!жна (о) до хо , отже, S зб1жна (kl * о) до хо ■
Теорему доведено.
Перейдемо до умови NA2.
Теорема 5. (kl* о) задовольняе умову (NA2)j-.
Доведения. Розглянемо два випадки, осктьки к Ф I.
1. к <1 .Нехай Т едовтьною (/с)-п!днапрямлен!стю для S ,aU -довтьною (/с)-п!днапрямлен!стю для Т. Tofli U е (¿)-пщнапрямлен!стю для Осктьки S зб1жна (kl* ст) до хо , то U мае (/)-п!днапрямлен!сть Ф,яка (о)-зб!жна до х"о .
Таким чином, одержуеться така ситуацт: кожна (/с)-пщнапрямлен!сть U для Т мае (/)-пщнапрямлежсть Ф, яказб!жна (о) до .г*о ■ В силу довтьносп (к )-п!днапрямленост! Т для ($), одержуемо виконання (NAl)^ для (kl* о) -зб!жносп.
2. к > I. Нехай S , Т , U , Ф маютьтой же смисл, що в п.1. Отже, кожна (к)-пщнапрямленють U для Т мае (/) -пщнапрямлеШсть Ф , що з61жна (о) до *о . Це означае, що Т [kl * о) -з61жна до хо . В силу довтьносп Т , маемо виконання (Ж2к для (kl * о) -зб1жностк Теорему доведено.
Запис (NAl)^ означае умову NA2 з використанням тднапрямленостей типу (/с).
Перейдемо до умови NA3. В мзапису треба вибирати пщнапрямленютьдва рази. Тому для такого вказання випадку будемо записувати у вигляд1 (АЙЗЬу .
Теорема 6. При к < I, {kl * о) -зб1жнкть задовольняе умову (ffl.iL .
Доведения. Нехай (<S'j не зб1гаеться (/с/*о) до .т0 . Припустимо, що кожна и (/с)-п!днапрямлен1сть Т мае (/)-тднапрямлетсть U, яка (/с/ * о) -зб!жна до хо. Tofli для кожно! (/с)-тднапрямленосп Ф до U ¡снуе (/) -пщнапрямлеысть F до Ф , яка (о j -зб1жна до xq . При к < I буде, що F е (/) -пщнапрямленктю для Т . Маемо: кожна
(/с) -пщнапрямлеысть Т для S мае (/) -пщнапрямлешсть F, яка (о) -зб1жна до Щ . Отже, S зб1жна (kl * ст) до хо . Протир1ччя. Це i означае виконання умови (АИЗ)ы для (А7*сг)-з61жносп. Теорему доведено.
Таким чином, MimaHi (А7*о)-зб1жносп мають властивост1 (Mil), (NA2)j,, . Остання - при к<1 .
ОБГОВОРЕННЯ
Одержан! результати дозволяють зробити висновок, що розгляд з1ркових до порядково! зб1жносп доцтьний, осктьки так1 зб1жност1 мають важлив1 властивосп, пов'язан1 з аксюматикою класу зб1жносп. Це означае, що таю зб1жносп породжують на данш pemiTU,i тополог1чну структуру, зб1жнють у як1й не вужча, н1ж з1ркова зб1жнють, що розглядаеться. Одержан! результати можуть використовуватись при вивченн! порядкових зб1жностей та з!ркових до них у конкретних реш!тках.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Одержан! результати дають пщтвердження вивчення з!ркових зб1жностей до абстрактних зб!жностей (Погребний, 2004; Погребний, 2006) у конкретному випадку порядкових зб!жностей. Наступним етапом досгмджень може бути аналогмне дослщження з!ркових зб!жностей до зб1жност! з регулятором, яке е дальшим розвитком порядково! зб!жност!.
Список використаних джерел
1. Погребной В.Д. Изотонная звездная сходимость. ЕНсник Сумського державного ynieepcumemy. Суми, 2003. №8(54). С. 85-87.
2. Погребний В.Д. 3ipKOBi зб!жносп мшаного типу. Тези доповщей X М!жнародно!' науково! конференцм ¡м. акад. М. Кравчука (м. Ки!'в, 13-15 травня 2004 р.), 2004. С. 385.
3. Погребний В.Д. Властивосп зфкових зб1жностей мшаного типу. Тези доповщей XI [УМжнародно! науково! конференцм ¡м. акад. М. Кравчука (м. Ки!'в, 18-20 травня 2006 р.), 2006. С. 551.
4. Погребний В.Д. Порядкова зб!жн!стьз загально! точки зору. Ф/зико-математична oceima, 2011. Випуск 1(11). С. 28-31.
References
1. Pogrebnoj, V.D.(2003). Izotonnaja zvezdnaja shodimost' [Isotonic star convergence]. Visnyk Sumskoho derzhavnoho universytetu - Bulletin of the Sumy State University, 8(54), 85-87 [in Russian].
2. Pohrebnyi, V.D. (2004). Zirkovi zbizhnosti mishanoho typu [Star convergences of the mixed type] - The tenth International Scientific Conference acad. M. Kravchuk (pp. 385) Kyiv [in Ukrainian].
3. Pohrebnyi, V.D. (2006). Vlastyvosti zirkovykh zbizhnostei mishanoho typu [Properties of star convergences of the mixed type] -The eleventh International Scientific Conference acad. M. Kravchuk (pp. 551) Kyiv [in Ukrainian].
4. Pohrebnyi, V.D. (2011). Poriadkova zbizhnist z zahalnoi tochky zoru [Index convergence is from the general point of view]. Fizyko-matematychna osvita - Physical and Mathematical Education, 1(11), 28-31 [in Ukrainian].
STAR CONVERGENCES ARE TO INDEX CONVERGENCE Valery Pohrebnyi
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine Abstract. The vehicle of various convergences, formed different structures is widely used in modern Analysis: topological, index, algebra, etc. These convergences are generated by topologies which is used for research of continuity of operators, in particular, operators of topological embedding of topological linear spaces. Formulation of the problem. Important convergence is index convergence in grates, descendant the structure of order. At the study of properties of concrete convergences the axioms of class of convergence have an important value, that allows to draw conclusion about the got topological structure. Important are also algorithms of receipt from this convergences of new by the so-called star algorithms. /As properties of index convergence, related to the axioms of class convergences, studied, it is necessary to continue such study for star to this convergence. The purpose of this research is a study of properties of different classes of star convergences to index convergence, both «clean» and «mixed», types. Materials and methods. For researches the methods of spaces of abstract convergence, theory of star convergences of basic types are used,
axioms of classes of convergence in the proper modifications. Results. «Clean» star convergences to index convergence satisfy the terms of the first three axioms of class of convergence for all four types of star convergence - the confinal, isotonic, Moorish, quasi. «Mixed» star convergences satisfy the specified conditions for some
specifics: the first condition, regardless of the first and second classes of substrings used; second in modification for the first type of used sub-directions; the third in the modification of the first-second-grade sub-directions. Conclusions. Conclusions are such: Star convergences are to index convergence have predictable general properties and can be used in the study
of lattices of specific types and convergences associated with the order in them. Key words: convergence, direction, sub-direction, star, class, type, axioms.
