CC BY
7
УДК 514.18: 37.02
ЗАВИСИМОСТЬ ВИДА ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОТ ИХ КОМБИНАЦИЙ
В Г. Середа, А Ю. Бут
TRACES TYPE DEPENDENCE ON COMBINATIONS OF THE SURFACES
V.G. Sereda, A.Yu. But
Аннотация. Работа посвящена исследованию возможностей получения разнообразных кривых второго порядка путём комбинации различных видов пересекающихся поверхностей и вариантов их взаимного расположения. Рассмотрена теорема Монжа как частный случай теоремы о двойном касании, вариации её формулировок и практические аспекты применения. Приведена распространённая методика лекционного изложения этой теоремы и отмечена целесообразность её исследования в частных случаях. В качестве примеров проанализированы случаи пересечения описанных вокруг сферы двух цилиндров, цилиндра и конуса, двух конусов. Определены все возможные виды, параметры и комбинации линий их взаимного пересечения. Для случая пересечения двух конусов, как наиболее вариативного, проведено 3Б-моделирование трех характерных вариантов взаимного расположения. Предложены возможные пути дальнейших исследований данной темы.
Ключевые слова: теорема; квадрики; коники; методика; моделирование.
Abstract: The work is devoted to the study of the possibilities of obtaining a variety of curves of the second order by combining various types of intersecting surfaces and options for their relative position. Monge's theorem is considered as a special case of the double-touch theorem, and also variations of its formulations and practical aspects of application. A common technique of lecture presentation of this theorem is given and the expediency of its study in particular cases is noted. Cases of intersection of two cylinders, a cylinder and a cone, two cones described around a sphere are analyzed as examples. All possible types, parameters and combinations of lines of their mutual intersection have been determined. For the case of intersection of two cones, as the most variable, 3D-modeling of three typical variants of mutual arrangement was carried out. Possible ways of further research on this topic are proposed.
Key words: theorem; quadrics; conics; methodology; modeling.
«Задачу мало словесно сформулировать - её надо ещё и четко зрительно представить».
А. А. Помогайбо
Введение
В интегративном курсе «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика» рассматривается теорема Монжа, которая гласит: «Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания» [1]. Теорема Монжа является частным случаем теоремы о двойном касании: «Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания».
В учебной литературе можно найти и другие формулировки теоремы Монжа [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]. Все они сводятся к всеобъемлющей формулировке (применимой для
всех случаев пересечения поверхностей второго порядка, описанных около третьей или вписанных в нее) и формулировкам, применимым к частным случаям.
Эта теорема является основой для широкого класса задач, которые относятся к области определения линии пересечения поверхностей. В статьях, встречающихся по данной тематике, в основном, освещается техника выполнения построений в различных программных пакетах. С точки зрения исследования непосредственно геометрических форм и преобразований объектов следует выделить работы А.Л. Хейфеца, например, [12, 13]. Так, в [12] исследование линии пересечения поверхностей второго порядка приводится, как пример одного из контрольно-графических заданий в контексте нового учебного курса, предлагаемого автором в качестве альтернативы начертательной геометрии. В [13] рассмотрено решение задачи о взаимном пересечении квадрик, совмещенных в точках фокуса или в точках фокуса их сечений, а также исследованы особенности пространственного положения линий пересечения таких квадрик. В обеих работах отмечается важность ЗБ-компьютерного геометрического моделирования для решения подобных задач. Однако в доступных источниках не встречается информация об исследовании зависимости вида линии пересечения поверхностей от их комбинаций.
1 Вариации применения теоремы Монжа для различных поверхностей
Различают пять типов поверхностей второго порядка (квадрики): эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Практическое значение имеют частные случаи поверхностей второго порядка: сферические, цилиндрические и конические поверхности, как частные случаи эллипсоида и однополостного гиперболоида. К кривым второго порядка (коникам) относят эллипс, гиперболу, параболу и окружность, как частный случай эллипса.
Теорема Монжа в практическом отношении оказывается полезной, когда имеется пересечение поверхностей второго порядка, описанных около общей сферы или вписанных в нее. В различных источниках приводятся примеры, в которых поверхности описаны вокруг сферы. Это примеры по конструированию перекрытий инженерных сооружений (лотковый свод, образуемый двумя цилиндрами одинакового диаметра, описанными около сферы), переходов труб и ледорезов (поверхность, образованная поверхностями трех конусов, попарно описанных около одной и той же сферы) [1,2,7]. Для таких случаев формулировка теоремы Монжа упрощается: «Две поверхности вращения второго порядка, описанные около сферы, пересекаются по плоским кривым второго порядка, плоскости которых проходят через прямую линию, по которой пересекаются плоскости окружностей касания поверхностей со сферой».
В учебной литературе в качестве примера приводятся задачи на пересечение поверхностей вращения второго порядка, как правило, по эллипсам (рисунок 1) и практически отсутствуют примеры на пересечение поверхностей по другим кривым второго порядка.
Рисунок 1 - Типичные примеры иллюстраций, к теореме Монжа
Методика лекционного изложения теоремы Монжа часто происходит в следующей последовательности:
- дается упрощенная формулировка теоремы (как правило, из-за отсутствия времени);
- решается задача, в которой линией пересечения будут два эллипса;
- приводится иллюстрация практического применения теоремы.
При таком урезанном изложении материала у студентов создается впечатление, что других вариантов не бывает.
2 Исследование теоремы Монжа в частных случаях пересечения поверхностей
Из теоремы Монжа следует, что линия пересечения двух поверхностей второго порядка распадается на две плоские кривые второго порядка. Поэтому представляется целесообразным исследовать теорему в частных (особых) случаях пересечения поверхностей с целью установления условий, при которых происходит пересечение поверхностей по другим кривым второго порядка в зависимости от вида пересекающихся поверхностей и от угла между осями пересекающихся поверхностей.
Представляет определенный интерес рассмотрение случаев и условий, при которых возможны различные сочетания кривых второго порядка. Учитывая, что линии пересечения принадлежат обеим поверхностям, то сочетание кривых зависит от вида пересекающихся поверхностей и их взаимного расположения. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1 (рисунок 2а). Два цилиндра описаны вокруг сферы. Оси поверхностей пересекаются и лежат во фронтальной плоскости. Взаимное положение поверхностей относительно друг друга определяется углом а между их осями. Будем изменять угол а между осями цилиндров от 0° до 180°. При 0 < а < 180° цилиндры пересекаются двум эллипсам, большие оси которых изменяются в зависимости от угла а. При а = 90° цилиндры пересекаются по двум равным эллипсам. При а = 0 и а = 180° цилиндры вращения соосны.
а б в
Рисунок 2 - Примеры комбинаций пересекающихся поверхностей
Пример 2 (рисунок 2б). Цилиндр и конус (с конусностью 2в), описаны вокруг сферы. Оси поверхностей пересекаются и лежат во фронтальной плоскости. Будем изменять угол а между осями цилиндра и конуса от 0° до 180°. При а = 0° поверхности соосны и пересекаются по окружности. При 0 < а < в пересечение поверхностей будет по двум эллипсам. При угле а = в образующие конуса и цилиндра совпадут, при этом один из эллипсов выродится в прямую линию, а поверхности пересекутся по эллипсу и прямой. При в < а < (180°- в) поверхности снова пересекаются по двум эллипсам. При угле а = 90° оба эллипса имеют равные большие оси, а меньшие равны диаметру цилиндра. При угле а = 180°- в еще она пара образующих конуса и цилиндра совпадет, а один из эллипсов выродится в прямую линию. При этом поверхности снова пересекутся по эллипсу и прямой. При 180° > а > (180°- в) поверхности пересекутся по двум эллипсам, а при а = 180° поверхности соосны и пересекаются по окружности.
При любом пересечении цилиндрической поверхности с другими поверхностями второго порядка линия пересечения будет состоять из двух эллипсов или из двух
http://vestnik-
;-nauki.ru
ISSN 2413-9858
окружностей (для соосных поверхностей) или из эллипса и двойной прямой (для гиперболоидов). Линия пересечения цилиндра с любой другой поверхностью второго порядка не может включать в себя параболу или гиперболу, потому что в сечениях цилиндра они отсутствуют.
Пример 3 (рисунок 2в). Два конуса (соответственно с конусностью 2в и 2у) описаны вокруг сферы. Взаимное положение поверхностей относительно друг друга определяется углом а между их осями. Начнем изменять угол а между осями двух конусов от 0° до 180°. При а = 0° конусы соосны и пересекутся по окружности. Когда 0°< а < (в - у) конусы пересекутся по двум эллипсам. При этом плоскости эллипсов пересекаются по той же прямой, что и плоскости окружностей касания поверхностей со сферой.
Если (в - у) < а < (в + у), то пересечение двух конусов происходит по эллипсу и гиперболе (рисунок 3 а). В случае, когда образующие поверхностей параллельны друг другу (а = в + у), то конусы пересекаются по эллипсу и параболе (рисунок 3б). В случае, когда образующие поверхностей совпадают (а = в - Y), поверхности пересекаются по эллипсу и прямой (рисунок 3в). При а > (в + у) поверхности пересекаются по двум эллипсам. Далее два конуса вращения пересекаются по эллипсу, а при а = 180° - по окружности. Отметим, что результаты не изменятся от вращения одной из поверхностей против часовой стрелки (во всех трех примерах).
В общем случае (с учетом двуполостного конуса) при изменении угла а от 0° до 180° по часовой или против часовой стрелки линия пересечения распадется на: две окружности; два эллипса; эллипс и двойную прямую; эллипс и гиперболу; эллипс и параболу. При повороте одной из поверхностей на 360° поверхности пересекаются четыре раза по эллипсу и двойной прямой и четыре раза по эллипсу и параболе.
Использование 3Б-моделирования при исследовании линии пересечения поверхностей позволяет анализировать вид линии пересечения в зависимости от вида пересекающихся поверхностей и от угла между осями пересекающихся поверхностей, при этом сокращается трудоемкость и обеспечивается наглядность.
Авторы данной статьи не претендуют на полноту исследования теоремы Монжа, а только показывают возможность получения разнообразия кривых второго порядка, в зависимости от комбинаций пересекающихся поверхностей и их взаимного положения.
Детальное рассмотрение приведенных результатов в курсе начертательной геометрии даст студентам более полное представление о многообразии и важности темы взаимного пересечения поверхностей.
Для проведения изысканий (с помощью компьютерного моделирования) в контексте учебного процесса в высших учебных заведениях представляется возможным привлечение креативных студентов по следующей тематике:
- исследование линии пересечения двух параболических или двух гиперболических поверхностей;
а
б
Рисунок 3 - Примеры ЗБ-моделей
в
- исследование линии пересечения цилиндрической поверхности с параболической или гиперболической поверхностью;
- исследование линии пересечения конической поверхности с параболической или гиперболической поверхностью и др.
Классический курс начертательной геометрии традиционно является одним из наиболее сложных для понимания и освоения студентами технических специальностей. Изучение указанных тем с постановкой и решением задач пересечения поверхностей в 3D-пространстве может способствовать активизации творческого подхода обучающихся, углублённому освоению материала и, в целом, - росту интереса к данной дисциплине.
Заключение
Анализ учебной литературы подтверждает отсутствие единой формулировки теоремы Монжа. Вид двух кривых второго порядка зависит от вида пересекающихся поверхностей, от угла между их осями и других факторов.
При пересечении поверхностей второго порядка возможны такие комбинации кривых второго порядка: две окружности, два эллипса, эллипс и гипербола, эллипс и парабола, эллипс и прямая (двойная). При пересечении поверхностей второго порядка невозможно пересечение по двум гиперболам, по двум параболам, по параболе и гиперболе.
Наглядное представление положений, описанных в данной работе, является возможным и удобным с использованием современных средств компьютерного моделирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Курс начертательной геометрии: учеб. пособие для втузов / Н.Ф. Четверухин, В.С. Левицкий, З.И. Прянишникова, и др. Под ред. Н.Ф. Четверухина. Москва: Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1956. 435 с.
2. Бубенников В.А. Начертательная геометрия: учеб. для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. Москва: Высш. шк., 1985. 288 с.
3. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: учебник. Москва: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. 340 с.
4. Курс начертательной геометрии: учеб. пособие для втузов. 24-е изд. / под ред. В.О. Гордона и Ю.Б. Иванова. Москва: Высшая школа, 1981. 272 с.
5. Начертательная геометрия. С элементами программирования: учебник для вузов / С.М. Колотов, М.Ф. Евстифеев, В.Е. Михайленко, и др. Киев: Вища школа, 1975. 262 с.
6. Короткий В.А., Хмарова Л.И., Буторина И.В. Начертательная геометрия: конспект лекций. Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2013. 181 с.
7. Куликов А.С. Начертательная геометрия в применении к черчению, конструированию и проектированию: учеб. пособие для втузов. Москва: Машгиз, 1959. 323 с.
8. Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии. Москва: Высш. шк., 1974. 342 с.
9. Русскевич Н.Л. Начертательная геометрия. Киев: Будивельник, 1970. 392 с.
10. Фролов С.А. Начертательная геометрия: учеб. для втузов. Москва: Машиностроение, 1983. 240 с.
11. Начертательная геометрия: учебник / Б.Г. Жирных, В.И. Серегин, Ю.Э. Шарикян. Под общей редакцией В. И. Серегина. Москва: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017. 166 с.
12. Хейфец А. Л., Исследование линии пересечения поверхностей второго порядка в курсе теоретических основ компьютерного геометрического моделирования // 12-я
международная конференция по компьютерной графике и машинному зрению: труды конференции. Нижний Новгород: Графикон, 2002. 462 с.
13. Хейфец А. Л. 3Б-модель пересечения софокусных и псевдософокусных квадрик // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. Челябинск, 2013. №2. С. 88 - 95. [Электронный ресурс]. URL: https://vestnik.susu.ru/ctcr/article/view/211/197.
REFERENCES
1. Kurs nachertatel'noj geometrii: ucheb. posobie dlya vtuzov / N.F. CHetveruhin, V.S. Levickij, Z.I. Pryanishnikova, i dr. Pod red. N.F. CHetveruhina [Descriptive Geometry Course: Textbook. manual for technical colleges. Ed. by N.F. CHetveruhin]. Moscow: technical theory. lit. Publ., 1956. 435 p.
2. Bubennikov V.A. Nachertatel'naya geometriya: Ucheb. dlya vuzov. 3-e izd., pererab. i dop. [Descriptive Geometry: Textbook. for universities]. Moscow: Vyssh. shk., 1985. 288 p.
3. Ivanov G.S. Nachertatel'naya geometriya: uchebnik [Descriptive geometry: textbook]. 24-e izd. Moscow: FGBOU VPO MGUL, 2012. 340 p.
4. Kurs nachertatel'noj geometrii: Ucheb. posobie dlya vtuzov. 24-e izd. /pod red. V.O. Gordona i YU.B. Ivanova [Descriptive Geometry Course: Textbook. allowance for technical colleges. Ed. by V.O. Gordon and YU.B. Ivanov]. Moscow: Vysshaya shkola, 1981. 272 p.
5. S.M. Kolotov, M.F. Evstifeev, V.E. Mihajlenko, i dr. Nachertatel'naya geometriya. S elementami programmirovaniya: uchebnik dlya vuzov [Descriptive geometry. With programming elements: a textbook for high schools.]. Kyiv: Vishcha shkola, 1975. 262 p.
6. Korotkij V.A., Hmarova L.I., Butorina I.V. Nachertatel'naya geometriya: konspekt lekcij [Descriptive geometry: lecture notes]. Chelyabinsk: SUSU Publishing Center, 2013. 181 p.
7. Kulikov A.S. Nachertatel'naya geometriya v primenenii k chercheniyu, konstruirovaniyu i proektirovaniyu: Ucheb. posobie dlya vtuzov [Descriptive geometry as applied to drafting, construction and design: Textbook. manual for technical colleges]. Moscow: Mashgiz, 1959. 323 p.
8. Posvyanskij A.D. Kratkij kurs nachertatel'noj geometrii [Short course in descriptive geometry]. Moscow: Vyssh. shk., 1974. 342 p.
9. Russkevich N.L. Nachertatel'naya geometriya. Izd. 2-e, pererab. i dop. [Descriptive geometry]. Kyiv: Budivel'nik, 1970. 392 p.
10. Frolov S.A. Nachertatel'naya geometriya: Ucheb. dlya vtuzov. 2-e izd., pererab. i dop. [Descriptive Geometry: Textbook. for technical colleges]. Moscow: Mashinostroenie, 1983. 240 p.
11. Nachertatel'naya geometriya: uchebnik / B.G. ZHirnyh, V.I. Seregin, YU.E. SHarikyan. Pod obshchej redakciej V. I. Seregina [Descriptive geometry: a textbook. Ed. by V. I. Seregin]. Moscow: MSTU named after N.E. Bauman Publ., 2017. 166 p.
12. Hejfec A.L., Issledovanie linii peresechenija poverhnostej vtorogo porjadka v kurse teoreticheskih osnov kompjuternogo geometricheskogo modelirovanija [Investigation of the line of intersection of second-order surfaces in the course of the theoretical foundations of computer geometric modeling]. 12-ja mezhdunarodnaja konferencijapo kompjuternoj grafike i mashinnomu zreniju: trudy konferencii. Nizhnij Novgorod: Grafikon, 2002. 462 p.
13. Hejfec A.L. 3D-model'peresechenija sofokusnyh ipsevdosofokusnyh kvadrik [3D-model of the intersection of confocal and pseudosofocal quadrics]. Vestnik Juzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Kompjuternye tehnologii, upravlenie, radiojelektronika. Cheljabinsk, 2013. No2. Pp. 88-95. Available at: https://vestnik.susu.ru/ctcr/article/view/211/197.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Середа Владимир Григорьевич Севастопольский государственный университет, г. Севастополь, Россия, кандидат технических наук, доцент, старший научный сотрудник. E-mail: aderes57v@mail.ru
Sereda Vladimir Grigorievich Sevastopol State University, Sevastopol, Russia, Candidate of technical sciences, Associate professor, Senior Researcher.
E-mail: aderes57v@mail.ru
Бут Александр Юрьевич Севастопольский государственный университет, г. Севастополь, Россия, кандидат технических наук, доцент кафедры «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика», Севастопольский государственный университет. E-mail: butalexandr@rambler.ru
But Alexander Yuryevich Sevastopol State University, Sevastopol, Russia, Candidate of technical sciences, Associate professor of the Department «Descriptive Geometry, Engineering and Computer Graphics». E-mail: butalexandr@rambler.ru
Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 299015, Севастополь, ул. Курчатова, 7, СевГУ, каб. 423 Бут А.Ю.
+7(978)0806346
