CC BY
38
http://vestnik-nauki.ru/
2015, Т.1, №1
УДК 532.529:551.48
ЗАВИСИМОСТЬ СИЛЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ ОТ ПОКАЗАТЕЛЯ ИХ НЕСФЕРИЧНОСТИ
В. А. Наумов
DEPENDENCE OF HYDRODYNAMIC DRAG FORCE OF SOLIDS ON THE NON-SPHERICITY INDEX
V.A. Naumov
Аннотация. Выполнен анализ формул, используемых для расчета коэффициента гидродинамического сопротивления твердых несферических частиц. Экспериментальные данные подтверждают гипотезу о независимости указанного коэффициента от чисел Рейнольдса в линейной и квадратичной области сопротивления. Установлена зависимость гидродинамических сил от показателя несферичности частиц в этих областях. В переходной области коэффициент гидродинамического сопротивления зависит как от формы частиц, так и от чисел Рейнольдса. Ранее опубликованные формулы справедливы только при определенных условиях. По известным шкалам гидравлической крупности песка предложено первое приближение зависимости динамического коэффициента формы частиц от показателя несферичности во всем диапазоне чисел Рейнольдса.
Ключевые слова: дисперсные частицы; форма; сила гидродинамического сопротивления; число Рейнольдса.
Abstract. The analysis of the formulas used to calculate the coefficient of hard non-spherical particles hydrodynamic drag is made. Experimental data confirm the hypothesis about the independence of this factor is given from the Reynolds number in a linear and quadratic drag area. The dependence of the hydrodynamic forces on non-sphericity index of the particles in these areas is confirmed. In the transition region the drag coefficient depends on the shape of the particle and the Reynolds number. Previously published formulas are true only under certain conditions. The known hydraulic scales the size of sand proposed first approximation the dependence of the dynamic shape factor of particles from non-sphericity index throughout the range of Reynolds numbers.
Keywords: dispersed particles; shape; the hydrodynamic drag force; Reynolds number.
Гетерогенные смеси широко распространены в природе и во многих сферах человеческой деятельности [1-3]. В качестве примеров можно назвать такие природные явления как движение наносов, водяных капель в облаках и туманах, пылевые и песчаные бури, насыщенные жидкостью грунты. К техническим устройствам, в которых используются гетерогенные потоки, относятся системы газоочистки и пневмотранспорта, проточные химические реакторы, аппараты для термической и механической обработки сыпучих материалов, распылительные сушилки и теплообменники, различные энергетические установки с двухфазным рабочим телом (турбины влажного пара, твердотопливные реактивные двигатели, газоохлаждаемые атомные реакторы) и др. Гидромеханика дисперсных сред является быстроразвивающейся областью науки, достижения которой используются при теоретическом изучении различных процессов в природе и технике. Получение зависимости силы гидродинамического сопротивления частиц от коэффициента сферичности во всем диапазоне чисел Рейнольдса весьма актуально для моделирования движения суспензий в водотоках, в трубопроводе при гидротранспорте, в технологических процессах.
Введение
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
~~^ --2015, Т.1, №1
Постановка проблемы
Величина силы гидродинамического сопротивления, действующей в вязкой среде на сферическую частицу, вычисляется по известной формуле
= 0,5-Ся• Бм-рг Ж = V, -Ур, (1)
где Ж - скорость частицы относительно жидкости, м/с; БМ - площадь наибольшего сечения частицы, перпендикулярного вектору скорости, м , для сферической частицы Бм = 0,25лё2; ё - диаметр сферы; pf - плотность жидкости; СК - коэффициент гидродинамического сопротивления.
В простейшем случае равномерного обтекания единичной, гладкой, сферической частицы неограниченным ламинарным потоком несжимаемой изотермической жидкости коэффициент сопротивления СК является однозначной функцией числа Рейнольдса Ке =
Жё^, где V - коэффициент кинематической вязкости жидкости, м2/с. Функция С°к (Ке) для этих условий называют стандартной кривой сопротивления. Известно [1,2], что стандартную кривую сопротивления сферической частицы хорошо описывают зависимости
С° = ьк -
— (1 + 0,15 Ке0,687 ) при Ке < 1000
Кек ' . (2)
0,44 при 1000 < Ке < 2 -105
При малых числах Рейнольдса (линейная область сопротивления) для сферических частиц справедлива формула Стокса
СК = 24/Ке , ^ = 3п-р/--V-ё-Ж . (3)
На практике условия обтекания частиц могут существенно отличаться от идеализированных условий, в которых применима стандартная кривая сопротивления. Некоторые авторы не принимают это во внимание, пользуются формулами (2)-(3) для несферических частиц, что может привести к серьезным ошибкам расчета.
Многочисленные опыты (см. [1, 2, 4] и библиографию в них) показали, что для твердых частиц неправильной формы сопротивление выше по сравнению с шарообразными частицами равного объема. Конечно, гидродинамическое сопротивление отдельной несферической частицы может быть и меньше, чем у шарообразной частицы. Например, если вытянутая частица движется поступательно по направлению своей длинной оси. Однако нас интересуют массовые явления, при которых положение частицы неправильной формы по отношению к направлению поступательного движения является случайным.
Используемые модели
Для учета формы частиц используется геометрический коэффициент формы (коэффициент несферичности) Ъ=Б/Б0, Б0 = (36пК2)13, где Б, V - площадь поверхности и объем произвольной частицы; Б0 - площадь поверхности сферической частицы равного объема. В англоязычных изданиях, как правило, используют коэффициент сферичности □=1/£.
Влияние несферичности на величину коэффициента гидродинамического сопротивления в [1-8] учитывалось динамическим коэффициентом формы
Ск =г-СК . (4)
http://vestnik-nauki.ru/
Установлено [1-3, 9-14], что в общем случае динамический коэффициент формы зависит от геометрического коэффициента формы частицы и числа Рейнольдса. В монографии З.Р. Горбиса [4] предположено, что в первой (линейной) области сопротивления величина Г зависит только от Приведена формула (5) Чоухдерна и Фрица (в [4] знаменатель ошибочно содержит знак «плюс», а не «минус») и формула (6), которую предложили Петтиджон и Христиансен [14] для Яе < 0,2,
Г/ £ ) =
1
1 - к • 1% £
к = 0,862:
г/ £) =
(
0,843 • 1%
1
-1
0,065 •£
(5)
(6)
Вахрушев И.А. в [7] исследовал влияние формы правильных многогранников на коэффициент гидродинамического сопротивления. Из полученных в [7] громоздких зависимостей при малых числах Рейнольдса следует формула
Г/ £ ) =
0,842 • 1%
(15,38 ^ 1
(7)
£
Формулы (6) и (7) после несложных преобразований приводятся к виду (5), только коэффициент к будет равен 0,843 и 0,842, соответственно. Все три формулы в диапазоне 1<^<2 дают результаты менее чем на 1 % отличающиеся от простой зависимости (8), которую мы рекомендовали для использования в линейной области сопротивления [15,16]
Г1(£) = 1 + 0,348• (£-1) = 1 + 0,348• (1 /ф-1) . (8)
Так как три независимых автора получили практически одинаковую формулу, подтвержденную результатами наших опытов [16], можно считать установленной связь динамического и геометрического коэффициента формы частицы в линейной области сопротивления. В этой области требуется проверка несферичности частиц при составлении таблиц их гидравлической крупности.
В работах О'Брайна, Бренера, Кокса [13,17,18] представлены теоретические расчеты величины силы Стокса жесткой, слегка деформированной сферы (эллипсоида) в неограниченной жидкости.
Выражения для силы гидравлического сопротивления поступательно движущего
эллипсоида вращения (рис. 1) в линейной области приведены, например, у Ахмади [8]:
\
Рисунок 1 - Эллипсоид вращения в потоке жидкости, Ь = к • а
http://vestnik-nauki.ru/
4
Ка(к) = -•
3 2к 2 -
= 6п • а • ру • V • Ж • К .
(к2 -1) , щк) = 8 - (к2 - 1)
4кг-\
1 • /п (к + л/к2 -1)- к
3 2к 2 - 3 л/к2 -1
• /п (к + л/к2 -1)+ к
(9) . (10)
Необходимо учесть, что в формулах Ахмади за базовый размер принята малая полуось эллипсоида, а не диаметр 5 сферы равного объема. Тогда
Г = ^ • К, -•б3 = — • а2Ь ^5 = 2а • к1/3, Г = К • к"1/3 5 6 3
(11)
Площадь поверхности эллипсоида по формуле Свенсена
« 4п • ((арЬр + арср + Ьрср )/ 3)1) Р, р = 1,6075 Откуда коэффициент сферичности эллипсоида вращения
Ф(к) =
к
2 / 3
(( + 2кр )/ 3/1
/р •
Рис. 3 служит еще одним подтверждением справедливости формулы (8): линия 1 лежит между кривыми а, Ь, примерно на равных расстояниях.
Г
1.05
0.95
.- '
а
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Рисунок 2 - Динамический коэффициент формы эллипсоида вращения в линейной области сопротивления: а, Ь - случаи указаны на рис. 1
Анализ экспериментальных данных, проведенный в [4] для достаточно больших чисел Рейнольдса, привел к формуле в квадратичной области сопротивления
Г2(£) = 12,4 -11,4 / £ = 12,4 -11,4 •ф, Яе = 2 -103 2 -105.
(12)
Наш анализ экспериментальных данных, проведенный в [5,15,19] привел к формуле в квадратичной области сопротивления с несколько отличающимися от (12) коэффициентами
Г2(£) = 10,0 - 9,0/£ = 10,0 - 9,0 •ф, Яе = 2 -103 2 -105.
(13)
http://vestnik-nauki.ru/
b
а
1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 ^
Рисунок 3 - Зависимость динамического коэффициента формы от коэффициента несферичности в линейной области сопротивления: 1 - частица произвольной формы, по
формуле (8); a, b - как на рис. 1
В обоих случаях получено, что в квадратичной области сопротивления динамический коэффициент формы не зависит от чисел Рейнольдса.
Наименее исследованной является переходная область сопротивления. Некоторые зарубежные авторы (см., например, [9-11]) пошли не по пути введения поправочного
коэффициента Г(ф) к CR (Re), а путем изменения всей формулы CR (,Re) Известны
формулы Haider & Levenspiel [10]:
Cf (ф, Re) = ü. (l + A( ф j • ReB( ф ) )+ 1 + C( ф ) , (14)
R ^ } Re 1 ' 1 + D(ф)/Re V 7
A( ф ) = exp(2,3288 - 6,4581 • ф + 2.4486 • ф2 ), B( ф ) = 0,0964 + 0,5565 .ф, C(ф) = exp(4,905 -13,8944 • ф +18.4222 • ф2 -10.2599 • ф3 ), D( ф ) = exp(1,4681 +12,2584 • ф - 20.7322 • ф2 +15.8855 • ф3 ).
Формулы Ganser [9] для изометрических частиц:
CG »,Re)=Jl.(1 + 0,119 • Re,2 ) + 0,4305 ; (15)
K1( ф ) Re12 1 1 + 3305/Re12
ReX2 = K/ф) • K2(ф) • Re, К1(ф) =1 + K2(ф) = 101,8148(-ф)0 5743.
3 3 ^ф
Формулы Hölzer A. & Sommerfeld M. [11]
Cr- =-V + 3 / 4V + 042 .100-4(, ф)02, (16)
R Re.j^ Re.y/ф ф3/4 .yR ф±
где фц, ф^ - коэффициенты продольной и поперечной сферичности, соответственно.
По рис. 4-5 ни одна из зависимостей (14)-(16) не может быть использована при малых числах Рейнольдса для расчета динамического коэффициента частиц произвольной формы, так как приведет к большим погрешностям.
http://vestnik-nauki.ru/
1 т ■ „ * * г т* г / г ! >
4 / »» У * Л / * *
2
3 »
0.001 0.01 0.1 1
Рисунок 4 - Динамический коэффициент формы окатанной частицы (□ = 0,855; ^=1,17) в линейной области сопротивления: 1 - по формуле (16), 2 - (14), 3 - (15), 4 - (8)
Рисунок 5 - Динамический коэффициент формы неокатанной частицы (□ = 0,667; = 1,5) в линейной области сопротивления. Обозначения, как на рис. 4
Рисунок 6 - Динамический коэффициент формы окатанной частицы (^=0,855; ^=1,17) в переходной и квадратичной области сопротивления: 1 - формула (16), 2 - (14), 3 - (15), 4 -
(12), 5 - (13)
Вестник науки и образования Северо-Запада России
— http://vestnik-nauki.ru/ -------
~~^ --2015, Т.1, №1
Г|- I Mill- | Mill- MIHI- IIIIII- IIIIII
Ке
Рисунок 7 - Динамический коэффициент формы неокатанной частицы (0=0,667; £=1,5) в переходной и квадратичной области сопротивления. Обозначения, как на рис. 6
Гидравлическая крупность частиц песка
Важно, что вышеуказанные формулы получены, главным образом, при анализе течений газовзвеси. Остается открытым вопрос, будут ли справедливы эти формулы при движении несферических частиц в жидкости. Лишь для линейной области сопротивления опубликованы исследования динамического коэффициента формы частиц неправильной формы в жидкости, подтверждающие справедливость формул (5)-(8) (см., например, [20]).
Установившуюся скорость осаждения частиц в неподвижной воде Ж0 называют гидравлической крупностью. Величина Ж0 используется при расчете параметров гидротранспорта, гидротехнических и очистных сооружений.
В наших работах [6,16] найдена величина динамического коэффициента формы частиц по известным шкалам гидравлической крупности частиц (песка):
1 - Таблица В.Н. Гончарова, приведенная в справочнике [21];
2 - Таблица лаборатории наносов Государственного гидрологического института (ГГИ), авторы - В.В. Архангельский, А.П. Зегжда, Г.Н. Лапшин, В.В. Романовский, взята из [22];
3 - Наставление гидрометеорологическим станциям и постам, 1957 г. (старая шкала ГГИ), по данным [23];
4 - Наставление гидрометеорологическим станциям и постам, 1978 г. [24] и действующая редакция [25].
На рис. 8 представлены результаты расчета динамического коэффициента формы частиц в линейной области сопротивления. Расчет по опытным данным [24], и особенно [23], приводит к неравенству Г<1, что может получиться из-за погрешностей при измерении скоростей осаждения мелких частиц.
Расчеты по опытным данным [25] не противоречат гипотезе [4]: в линейной области сопротивления динамический коэффициент формы не зависит от числа Рейнольдса. По точкам 2 [25] среднее значение Г1 = 1,15, что в согласно формулы соответствует геометрическому коэффициенту формы £=1,43. В [4] приводятся данные нескольких авторов, полагающих геометрический коэффициент формы частиц зернистого (неокатанного) песка равным £ = 1,5, что близко к полученному результату. Расчет по точкам 1 [21] дает среднее значение Г1 = 1,32; £=1,92. Последняя величина кажется нам завышенной для обычных речных наносов. Впрочем, известно, что песчинки могут быть самой причудливой формы. Возможно, авторы данных, приведенных по гидравлической крупности в [21], использовали именно такой песок.
http://vestnik-nauki.ru/
Рисунок 8 - Зависимость динамического коэффициента формы от числа Рейнольдса частицы в линейной области сопротивления. Точки - опытные данные: 1 - [21]; 2 - [22]; 3 - [23]; 4 -
[25].
На рис. 9 приведены результаты расчета динамического коэффициента формы частиц в переходной и квадратичной области сопротивления. Принято: плотность рр = 2650 кг/м3; £ = 1,23 при 15 °С. Результаты оценки заметно отличаются от рис. 6-7. Причем, квадратичная область наблюдается при меньших значениях Яв. Неопределенность вносит отсутствие коэффициента сферичности в шкалах гидравлической крупности [21-25], тогда как мог быть использован песок различной формы. Поэтому предложенные нами в [6] формулы (17), (19) нужно рассматривать как первое приближение, требующее дальнейшего теоретического и экспериментального исследования.
ГГ £,Яв) =
Г/£), при Яв < 0,2;
Г3Г£,Яв), при 0,2 < Яв < 1162;
Г2Г£ ), при Яв > 1162.
Г/£) = 1 + 0,348 • (£ -1), Г2(£) = 10,0 - 9,0 / £,
Г3Г £,Яв) = Г/ £ ) + ((£ )-Г/ £ ))•
Яв- 0,2 1162,8
..0,44
(17)
(18) (19)
Рисунок 9 - Зависимость динамического коэффициента формы от числа Рейнольдса частиц песка в переходной и квадратичной области сопротивления. Линия - результат расчета по формуле (17). Точки - опытные данные: 1 - [22], 2 - [23], 3 - [24], 4 - [21]
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
--2015, Т.1, №1
Заключение
Таким образом, до сих пор не решена фундаментальная проблема определения зависимости силы гидродинамического сопротивления частиц произвольной формы (в частности, песка) в капельной жидкости от их несферичности и от Яв во всем диапазоне чисел Рейнольдса.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Турбулентные течения газовзвеси / А.А. Шрайбер, Л.Б. Гавин, В.А. Наумов, В.П. Яценко. Киев: Наукова думка, 1987. 240 с.
2. Crowe C.T., Sommerfeld M., Tsuji Y. Multiphase Flows with Droplets and Particles. Florida, CRC Press, 1998. 471 p.
3. Наумов В.А. Механика неоднородных сред: учебник. Калининград: Изд-во КГТУ, 2005. 125 с.
4. Горбис З.Р. Теплообмен и гидромеханика дисперсных сквозных потоков. М.: Энергия, 1970. 424 с.
5. Великанов Н.Л., Наумов В.А., Корягин С.И. Моделирование форм твердых частиц, перемещаемых гидротранспортом // Вестник машиностроения, 2014. № 4. С. 50-52.
6. Великанов Н.Л., Наумов В.А. Взвешенные частицы в водотоке и их осаждение // Вода: химия, экология, 2014. № 2. С. 114-119.
7. Вахрушев, И.А. Общее уравнение для коэффициента лобового сопротивления частиц различной изометрической формы при относительном движении в безграничной среде // Химическая промышленность, 1965. № 8. С. 54-57.
8. Ahmadi G. Drag Force and Drag Coefficient // Clarkson University. Turbulence & Multiphase Fluid Flow Laboratory [Электронный русурс]. URL: http://web2.clarkson.edu/projects/crcd/me537/ (Дата обращения 01.08.2015).
9. Ganser G.H. A rational approach to drag prediction of spherical and nonspherical particles // Powder Technology, 1993. V. 77. P. 143-152.
10. Haider A. & Levenspiel O. Drag coefficient and therminal velocity of spherical and nonspherical particles // Powder Technology, 1989. V. 58. P. 63-70.
11. Holzer A. & Sommerfeld M. New simple correlation formula for the drag coefficient of nonspherical particles // Powder Technology, 2008. V. 184(3). P. 361-365.
12. Leith D. Drag on nonspherical objects // Aerosol science and technology, 1987. V. 6. P. 153-161.
13. O'Brien V. Form factors for deformed spheroids in Stokes flow // AIChE Journal, 1968. V. 14(6). P. 870-875.
14. Pettyjohn E.S. & Christiansen E.B., Effect of particle shape on free-settling rates of isometric particles // Chemical Engineering Progress, 1948. V. 44, No. 2. P. 157-172.
15. Великанов Н.Л., Наумов В.А., Примак Л.В. Осаждение частиц взвесей в воде // Механизация строительства, 2013. № 7. С. 44-48.
16. Наумов В. А., Маркова Л. В. Скорость осаждения несферических частиц в линейной области гидродинамического сопротивления // Вестник Российской академии естественных наук. Вып. VII. - Калининград: Изд-во ФГБОУ ВПО «КГТУ», 2013. С. 94-100.
17. Brenner H. The Stokes resistance of a slightly deformed sphere // Chem. Eng. Sci, 1964. V. 19(8). P. 519-539.
18. Cox R.G. The steady motion of a particle of arbitrary shape at small Reynolds numbers // J. Fluid Mech., 1965. V. 23(4). P. 625-643.
19. Великанов Н.Л., Наумов В.А., Космодамианский А.С. Моделирование осаждения твёрдых частиц в пульпопроводе// Наука и техника транспорта, 2011. № 2. С. 69 - 78.
Вестник науки и образования Северо-Запада России
http://vestnik-nauki.ru/ -------
--2015, Т.1, №1
20. Тимошенко А.Н., Коняев Е.А. Анализ и математическое моделирование процесса отстаивания механических примесей в топливе // Научный вестник ГосНИИ ГА, 2011. № 1. С. 67-70.
21. Справочник по гидравлическим расчетам / П.Г. Киселев, А.Д. Альтшуль, Н.В. Данильченко и др. М.: Энергия, 1972. 312 с.
22. Караушев А.В. Речная гидравлика. Л.: Гидрометеоиздат, 1969. 416 с.
23. Шамов Г.И. Речные наносы. Л.: Гидрометеоиздат, 1959. 381 с.
24. Наставление гидрометеорологическим станциям и постам. Вып. 6, часть 1. Гидрологические наблюдения и работы на больших и средних реках / Под ред. О.Н. Потаповой. Л.: Гидрометеоиздат, 1978. 384 с.
25. Правила проведения гидрологических наблюдений и работ. Технический кодекс устоявшейся практики ТКП 17.10-08/1-2008. Минск: Минприроды, 2008. 328 с.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Наумов Владимир Аркадьевич ФГБОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет», г. Калининград, Россия, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой водных ресурсов и водопользования, действительный член Российской инженерной академии, действительный член Российской академии естественных наук, E-mail: [email protected].
Naumov Vladimir Arkad'evich FSEI HPE «Kaliningrad State Technical University», Kaliningrad, Russia, Chairman of The Water Resources Department, Doctor of Technical Science, Professor, Member of Russian Engineering Academy, Member of Russian Academy of Natural Science, E-mail: [email protected].
Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 236022, Калининград, Советский пр., 1, КГТУ, ГУК, каб. 372. Наумов В.А.
8(4012)99-53-37
