Динамика вращающихся сферических частиц, падающих в неподвижной жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

http://vestnik-nauki.ru/

Вестник науки и образования Северо-Запада России

2016, Т 2, №1

УДК 532.529

ДИНАМИКА ВРАЩАЮЩИХСЯ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ, ПАДАЮЩИХ В НЕПОДВИЖНОЙ ЖИДКОСТИ

В. А. Наумов

DYNAMICS OF ROTATING SPHERICAL PARTICLES FALLING IN A STATIONARY FLUID

V.A. Naumov

Аннотация. Выполнен анализ формул, используемых для расчета коэффициента силы Жуковского-Магнуса, действующей в вязкой жидкости на дисперсные частицы. Все формулы прогнозируют уменьшение указанного коэффициента с ростом чисел Рейнольдса. Показано, что результаты расчета по этим формулам согласуются с многочисленными опытными данными, по крайней мере, качественно. Числовые коэффициенты в эмпирических формулах нуждаются в уточнении, особенно при больших числах Рейнольдса. Требуются дополнительные экспериментальные исследования.

Ключевые слова: дисперсные частицы; вращение, коэффициент силы Жуковского-Магнуса; числа Рейнольдса, эксперименты; расчет.

Abstract. The analysis of the formulas used to calculate the force Zhukovsky-Magnus acting in a viscous fluid dispersed particles was performed. All formulas also predict the decrease of the coefficient with increasing Reynolds number. It is shown that the results of calculation by these formulas are in agreement with numerous experimental data at least qualitatively. The numerical coefficients in empirical formulas need to be clarified, especially at high Reynolds numbers. Additional experimental studies are needed.

Keywords: dispersed particles; rotation, force ratio Zhukovsky-Magnus; Reynolds number; experiments; calculation.

Моделирование динамики дисперсных частиц представляет большой интерес для исследования течения запыленных потоков через решетки профилей осевых турбомашин [1], сопла ракетных двигателей [2], в технологических аппаратах [3], при обтекании аэрокосмических [4] и других объектов [5-7]. Наличие дисперсной примеси в потоке часто приводит, к нежелательным эффектам, например, к абразивной эрозии поверхностей, к потерям импульса или энергии. Твердые частицы в результате соударения с твердыми поверхностями и друг с другом могут приобретать большие угловые скорости [8-10]. Вращательное движение частиц существенно искажает их траектории. Для корректного математического описания движения необходимо знать силы, действующие на вращающуюся дисперсную частицу.

При вращении твердого тела в вязкой среде на него действует поперечная (подъемная) сила, которую называют силой Жуковского-Магнуса и обычно выражают в виде

Введение

FM = CM (S/2)3р [Ùrx VR ] , nR =ùf-ùp, Vr = Vf -Vp.

В формуле (1) i2f, i2p - векторы угловой скорости частицы и окружающего ее

элемента жидкости (газа), соответственно; Vf,Vp - векторы скорости центра масс частицы

и окружающего ее элемента жидкости, соответственно; S - диаметр частицы; pf - плотность жидкости.

Значение коэффициента CM при Re = VR 5/v << 1, Rea = ¿2R S/v << 1 (где v -

коэффициент кинематической вязкости жидкости) нашли Рубинов и Келлер [8]: CM = CM = п. Для другого крайнего случая Re ^го, Rem^ го в [9] приводится асимптотическое значение CM = 8п/3. Однако многочисленные экспериментальные исследования [10-17] показали, что коэффициент CM уменьшается с ростом чисел Рейнольдса.

На основании экспериментальных данных, полученных в Институте проблем энергосбережения НАН Украины [15] для Rea = 2,5-103-3,9-104, автор предложил в первом приближении при 100 < Rem < 3,6-104 пренебречь зависимостью CM (Re) и использовать в расчетах следующую формулу [16]:

Cm /п= 6,05 / Re°'39. (2)

Причем в [16] было отмечено, что формулу (2) нельзя считать окончательной. В ходе дальнейших экспериментальных исследований выражение (2), несомненно, должно уточняться с целью получения зависимости См = См (Яеа, Яе). Действительно, вскоре в [17] была предложена зависимость

C

M

п

1 при Y < 0,225

0,225

(

- +

Y

1 -

0,225

Y

• exp(-0,075• Re0,7-г0,4) при у > 0,225

(3)

где у = 0,5£

nR

VR

отношение модулей относительном окружной скорости на

поверхности частицы и скорости ее центра масс. В [4] формула (3) преобразована так

C,

M

п

1 при Re J Re < 0,45

0,45^ +

Re0

f

1 - 0,45

Re

V

Re

0} J

exp(- 0,0568 • Re0,3 • Re°o;4) при > 0,45

Re

(4)

Выражение (4) можно использовать в диапазоне параметров экспериментальных исследований [17]: 10 < Re < 140, 5 < Rem < 420. Заметим, что в указанных условия диапазон отношений у = 0,5Reaf Re от 0,25 до 1,5. В [18] диапазон у указан от 1 до 6.

Данная статья посвящена исследованию возможности применения формул (3), (4) при падении сферических частиц с большими угловыми скоростями и числами Рейнольдса.

Постановка задачи

Пусть сферическая частица, вращающаяся с угловой скоростью Q0, находится на поверхности неподвижной жидкости. Причем Vp (0) = 0, где вектор Ур представляет собой скорость центра масс частицы. Ось Oz направим вертикально вниз, ось Ох - параллельно

поверхности в сторону векторного произведения П0 х §. Тогда вектор угловой скорости

будет иметь проекцию только на ось Оу. При записи дифференциального уравнения движения центра масс частицы необходимо учесть силы тяжести и Архимеда, силу гидродинамического сопротивления, силу Жуковского-Магнуса и эффект присоединенных масс [10, 12]:

01У- г г г г г

т-Т = С+рА + р + Рм + Р . (5)

аТ

Проекции (5) на оси координат:

аир 1 2 г 83 1 аир

т~ТР = -1 Скп5*ргирУр + См РГ - П. Жр - - т^, (6)

8 р 2 7 ат

/ \ 1 2 8 1

т= т§(1 -Л)-^Скп82рг Жр\Жр\-Смрг — ирП--тг-Т-. (7)

ат

Уравнение кинетического момента дает проекцию только на ось Оу:

85

1с (1 + к .Л))^ = -0,5Сарг [18]

П

р

Пр. (8)

где к - коэффициент присоединенных масс при вращательном движении; 1С - момент инерции частицы относительно оси, перпендикулярной основной плоскости и проходящей через центр масс частицы 1С =а т82; для сферического, однородного тела а = 0,1.

В качестве независимых характерных величин выбираем Ь* = Н, П* = П0, тогда

характерная скорость будет Ж* = Н ■ П0 . Запишем систему уравнений (6)-(8) с начальными условиями в безразмерной форме

— = -К ■ СЯ (Яв). и|и| + 3См ■ ^ иК; (9)

ёг 4п Л

— =—-К ■ Ск (вв).м-—■ и®К; (10)

а г РгП 4п Л

а х . . а г . .

— = и(г), — = м>(г); (11)

аг аг

аи ВС и и В з-Л Л Р . (12)

и = "В Сииа, В1 = 32а(1 + к. Л) ' Л = рр ' (12)

х( 0) = 0, г( 0) = 0, и( 0) = 0, м>( 0) = 0, и( 0) = 1; (13)

■»2

К = 3ЛЛ Л = Н, ргп-_ (1+ Л 2 )рг0 , РГ0 = ; (14)

4 ^(1+ Л/ 2) 8 П §(1 -Л) §

Пр ип Wn X I

и=, и = —^, w = —^, х = —, г = —, г = ТП0. (15)

П0 П) н П0 н н н

Кривую сопротивления сферической частицы будем использовать в виде [18]

http://vestnik-nauki.ru/

Cr (Re, Re.) = (l + 0,043 • Re^f )• CR (Re); C. (Re, ReJ = (l + 0,0044 • Re0,5 )• Co° (Re).

(16) (17)

Стандартная кривая сопротивления CR (Re) хорошо описывается зависимостью [11]:

Co =

R

— (1 + 0,15 Re0,687 ) при Re < 1000 Re .

0,44 при 1000 < Re < 2 -105

(18)

При Re. < 40 коэффициент момента сопротивления равен [10]:

Cj = 64 п/Re.

(здесь наблюдается аналогия с законом Стокса). Для чисел Рейнольдса Rea предложено использовать формулу [12, 19]:

(19) 0^4000

Cj =

64п

Rej

при Re. < 32,26

12,6 128,4 „ „„„^ +-— при Re. < 32,26

Re!/2 Re.

(20)

Числа Рейнольдса по безразмерным скоростям вычисляются так

Re. = Re0J, Re = Re0•A^u2 + w2 Re0 =—°—

v

(21)

Расчет коэффициента силы Жуковского-Магнуса

В табл. представлено сравнение опытных данных [20] с результатами расчета по формуле (3). Видно, что качественно зависимость коэффициент См от числа Рейнольдса и величины у одинаковая. Количественное различие может достигать 40 %. Следовательно, числовые коэффициенты в формуле (3) нуждаются в уточнении, особенно в области больших чисел Рейнольдса.

Таблица - Коэффициент силы Жуковского-Магнуса CM / п

Y Источник Re

0,5 8 17,1 34,2 68,4

1 Опыты [20] 1,00 0,601 0,498 0,402 0,363

Формула (3) [17] 0,965 0,787 0,673 0,544 0,408

2 Опыты [20] 1,00 0,563 0,425 0,338 0,250

Формула (3) [17] 0,948 0,693 0,544 0,387 0,245

3 Опыты [20] 1,00 0,533 0,375 0,267 0,201

Формула (3) [17] 0,936 0,637 0,471 0,308 0,173

4 Опыты [20] 1,00 0,490 0,331 0,238 0,181

Формула (3) [17] 0,927 0,595 0,420 0,257 0,133

5 Опыты [20] 1,00 0,455 0,305 0,225 0,160

Формула (3) [17] 0,920 0,563 0,328 0,221 0,106

http://vestnik-nauki.ru/

На рис. 1-3 представлены результаты расчета зависимости коэффициента силы Жуковского-Магнуса от чисел Рейнольдса при различных значениях у. В диапазоне Яею < 400 коэффициент См заметно уменьшается с ростом у, пока у < 1 (рис. 1). А вот при у> 1 зависимость См(у) становится несущественной (рис. 2).

-М

7Г 0.8

0.6

0.4

0.2

-V—

V- •V • * • + * * -Т- ш

• —Л

... 4

0

50 100 150 200 250 300 350 400 Не

Рисунок 1 - Зависимость коэффициента силы Магнуса от числа Рейнольдса Яею при различных значениях у < 1: 1 - у = 0,3; 2 - у = 0,4; 3 - у = 0,6; 4 - у = 1

7Г

0.8

0.6 0.4 0.2

и 50 100 150 200 250 300 350 400 Ке^ Рисунок 2 - Зависимость коэффициента силы Магнуса от числа Рейнольдса Яею при различных значениях у > 1: 1 - у = 1,2; 2 - у = 2,0; 3 - у = 3,5; 4 - у = 6

При Яе ю > 1000 влияние величины у на коэффициент См заметно при любых значениях у (рис. 3). Однако признать значения См, рассчитанные по формуле (3), достоверными нельзя, так как в опытах [17] число Рейнольдса Яею не превышало 420. Поэтому при Яе ю > 2000 в расчетах пришлось использовать формулу (2), предложенную в [16], но с уточненными числовыми коэффициентами:

См/п= 25,6 / Яе0а5. (22)

http://vestnik-nauki.ru/

Уточнение числовых коэффициентов в формуле (22) связано с тем, что в [16] не учитывался взаимный эффект поступательного и вращательного движения по формулам (16)-(17).

а

м

7Г 0.6

0.3

0.1 0.06

0.03

■ 1

м, - 2

* + • 1 • • 1 ъ. * 3 ■

1

1

• .

4

Ю2 ю3 ю4

Рисунок 3 - Зависимость коэффициента силы Магнуса от больших чисел Рейнольдса Яет при различных значениях у: 1 - у = 0,5; 2 - у = 1; 3 - у = 2; 4 - у = 5 (точки получены после обработки результатов экспериментов [15])

Результаты решения уравнений движения численным методом

Задача Коши (9)-(13) решалась численным методом в среде МаШсаё для условий опытов [15]. На рис. 4-8 представлены результаты расчетов.

Я м

1.4

0.7

и 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 X.. и

Рисунок 4 - Траектории падающей вращающейся сферы при О0 = 25,6 с-1: 1 - расчет с использованием формулы (4); 2 - формулы (22); 3 -экспериментальная точка [15] с указанием среднеквадратической ошибки

По рис. 4 видно, что использование формулы (4) (или (3)) при столь больших числах Рейнольдса (линия 1 на рис. 6 и рис. 7) приводит к существенно завышенной абсциссе осаждения по сравнению с экспериментальной точкой. При О0 = 386,4 с-1 указанное расхождение еще больше. Поэтому далее (рис. 5-8) при Кею > 1500 в расчетах применялась формула (22).

V \ ч \ * 1—о—1 3

" ч 1

* ^ ^ 2 • - -

http://vestnik-nauki.ru/

Н м

1.4

0.7

О

1 • V • V • V • \ • \ • \ • йен 3

\ 1 •

-нЛ- • •. -^сн—1

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Хм

Рисунок 5 - Траектории падающей вращающейся сферы при двух значениях начальной угловой скорости: 1 - Q0 = 25,6 с-1; 2 - Q0 = 386,4 с-1; 3 - экспериментальные точки [15] с указанием среднеквадратической ошибки

По рис. 5-6 видно, что результаты расчетов с использованием формулы (22) хорошо согласуются с опытными данными, полученными в [15], как по координате, так и по времени осаждения. При угловой скорости до значений Rem = 1000 аналогичный результат получается и при использовании формулы (4).

Z м

1.4

0.7

0

--у^п ZX*

W___ ГТГГГ..

W

м/с

0

0 0.15 0.3 0.45 0.6 Г, с

Рисунок 6 - Изменение по времени вертикальной координаты и скорости падающей вращающейся сферы в воздухе. Обозначения, как на рис. 5

3.7x10"

3.4x10

3.1x10

1 2 • •

^__ • а 1

2.6x1 (Г

2.4x10'

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8 Z,m

2.2x10'

Рисунок 7 - Изменение по вертикальной координате чисел Рейнольдса Яет падающей вращающейся сферы. Обозначения, как на рис. 5

http://vestnik-nauki.ru/

Z. ы

Рисунок 5 - Изменение по вертикальной координате чисел Рейнольдса Re падающей вращающейся сферы. Обозначения, как на рис. 5

Согласно рис. 7 величина Rem мало изменяется вблизи 2500, а во втором случае - от 40 тысяч уменьшается до 32 тысяч. В обоих случаях изменение числа Рейнольдса Re практически одинаково: от нуля примерно до 14000.

Заключение

Таким образом, установлено, что формулу (3) для коэффициента силы Жуковского-Магнуса можно использовать и при больших, чем у авторов [17], числах Рейнольдса, вплоть до значений Rem = 1000. Однако при значениях чисел Рейнольдса Rem > 2000 результаты расчетов не соответствуют экспериментальным данным. В последнем случае рекомендуется применять формулу (22). Несомненно, необходимы экспериментальные исследования зависимости указанного коэффициента от значений Re при больших числах Рейнольдса.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Циркунов Ю.М., Романюк Д.А. Течение запыленного газа в решетках профилей // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3). С. 1237-1239.

2. Моллесон Г.В., Стасенко А.Л. Особенности обтекания затупленного тела сверхзвуковой полидисперсной струей с закруткой отраженных частиц // Теплофизика высоких температур, 2011. Т. 49, № 1. С. 73-80.

3. Pan Y., Tanaka T., Tsuji Y. Turbulence Modulation by Dispersed Solid Particles in Rotating Channel Flows // International Journal of Multiphase Flow, 2001. V. 28, No. 4. P. 527-552.

4. Ревизников Д.Л., Способин А.В. Алгоритмы прямого численного моделирования динамики дисперсной фазы при обтекании тела запыленным потоком // Труды МАИ. М.: Изд-во МАИ, 2007. Вып. 26 [Электронный ресурс]. URL: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=34045.

5. Volkov A.N., Tsirkunov Yu.M., Oesterle B. Numerical simulation of a supersonic gas-solid flow over a blunt body: The role of inter-particle collisions and two-way coupling effects // Int. J. Multiphase Flow, 2005. V. 31. P. 1244-1275.

6. Голубкина И.В., Осипцов А.Н., Сахаров В.И. Обтекание плоского цилиндра сверхзвуковым слабозапыленным потоком при взаимодействии головной ударной волны с косым скачком уплотнения // Известия РАН. МЖГ, 2011. № 1. С. 70-84.

7. Наумов В.А. Динамика дисперсной частицы в вязкой среде // Математическое моделирование, 2006. Т. 18, № 5. С. 27-36.

8. Rubinow S.I., Keller J.B. The transverse force on spinning sphere moving in a viscous fluid // J. Fluid Mech., 1961. V. 11. P. 447-459.

9. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336c.

10. Turbulent flows in gas suspensions / А.А. Shraiber, L.B. Gavin, V.A. Naumov et al. New York: Hemisphere Corporation, 1990. 242 p.

11. Sommerfeld M. Modelling of particle/wall collisions in confined gas-particle flows. Int. Journal of Multiphase Flow, 1992. V. 18. P. 905-926.

12. Наумов В. А. Механика движения неоднородных сред: учебник. Калининград: Изд-во КГТУ, 2005. 125 с.

13. Barkla H.M., Auchterlonie L.J. The Magnus or Robins effect on rotating spheres // J. Fluid Mechanics, 1971. V. 47. P. 437-447.

14. Tsuji Y., Morikawa Y., Mizuno O. Experimental Measurement of the Magnus Force on a Rotating Sphere at Low Reynolds Numbers // Journal of Fluids Engineering, 1985. V. 107, No 4. P. 484-488.

15. Naumov V.A., Solomenko A.D., Yatsenko V.P. Influence of the Magnus force on the motion of a spherical solid with a large angular velocity // Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 1993. V. 65, No 3. P.852-855.

16. Яценко В.П., Наумов В.А., Соломенко А.Д. О коэффициенте в формуле для силы Магнуса при больших числах Рейнольдса // Моделирование в механике, 1992. Т. 6(23), № 4. С. 150-156.

17. Oesterle B., Bui Dinh T. Experiments on the lift of a spinning sphere in a range of intermediate Reynolds numbers // Experiments in Fluids, 1998. V. 25. P. 16-22.

18. Lukerchenko N., Kvurt Y., Kharlamov A. et al. Experimental evaluation of the drag force and drag torque acting on a rotating spherical particle moving in fluid // J. Hydrol. Hydromech., 2008. V. 56, No 2. P. 88-94.

19. Dennis S.C., Singh S.N., Ingham D.B. The steady flow due to rotating sphere at low and moderate Reynolds numbers // J. Fluid Mechanics, 1980. V. 101. P. 257-279.

20. You Zhàng Fu, Qi Hài Yîng, Xu Xù Châng. Study on particle phase flow problem by force // Beijing Thermal Engineering Tsinghua University, 2007 [Электронный ресурс]. URL: http://www.efluid.com.cn/soft/soft_detail.aspx?id=3077# (Дата обращения: 24.01.2016).

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Наумов Владимир Аркадьевич ФГБОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет», г. Калининград, Россия, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой водных ресурсов и водопользования, действительный член Российской инженерной академии, действительный член Российской академии естественных наук, E-mail: [email protected].

Naumov Vladimir Arkad'evich FSEI HPE «Kaliningrad State Technical University», Kaliningrad, Russia, Chairman of The Water Resources Department, Doctor of Technical Science, Professor, Member of Russian Engineering Academy, Member of Russian Academy of Natural Science, E-mail: [email protected].

Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 236022, Калининград, Советский пр., 1, КГТУ, ГУК, каб. 372. Наумов В.А.

8(4012)99-53-37