CC BY
30
УДК 51-72:532.529
В.А. Наумов
ВЛИЯНИЕ ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА НА ПОПРАВКИ К СИЛЕ
САФФМЭНА, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА ЧАСТИЦЫ В СЛОЕ КУЭТТА
Калининградский государственный технический университет
Аннотация: Численным методом решена задача динамики дисперсной частицы в слое Куэтта с учетом действия на нее поперечной силы Саффмэна. Наибольшее отличие от единицы поправочного коэффициента к этой силе наблюдается на внешней границе слоя. Здесь величина силы может составлять всего 20 % значения, рассчитанного по классической формуле. Чем больше числа Рейнольдса, тем влияние поправки сильнее.
Ключевые слова: дисперсная частица, сила Саффмэна, формула, поправочный коэффициент, слой Куэтта, уравнения движения, числа Рейнольдса.
UDC 51-72:532.529
V.A. Naumov
EFFECTS OF REYNOLDS ON AMENDMENTS TO THE SAFFMAN
FORCE ACTING ON PARTICLES IN THE LAYER COUETTE FLOW
Kaliningrad State Technical University
Abstract: The problem of dispersed particles dynamics in the layer Couette flow given the Saffman transverse force action was solved by numerical method. The biggest difference from one correction factor to the force observed at the external border of a layer. Here the magnitude of the force may be only 20% of the value calculated by the classic formula. The more the Reynolds number, the effect of the amendment stronger.
Keywords: dispersed particle, force of Saffman, formula, correction factor, layer Couette flow, equations of motion, Reynolds numbers.
В расчетах дисперсных течений в водотоках, в системах гидро- и пневмотранспорта, при математическом моделировании образования ветропесчаных потоков необходимо исследовать движение частиц вблизи твердой поверхности [1-4]. При движении дисперсной частицы в сдвиговом потоке возникает поперечная сила, обусловленная разностью давлений в направлении градиента скорости [5-8]. В работе Саффмэна [9] для случая линейного профиля скорости несущей среды и сферической частицы получена формула
К
3
С8а/^Р/ ■ (и/ - ир) ■
у /
1 / 2
V
дУ
(1)
У
где р/ - плотность жидкости; 3 - диаметр частицы Ц/ , Цр - продольная скорость жидкости и частицы; У - поперечная координата; V - коэффициент кинематической вязкости
жидкости. Причем коэффициент С = = 6,46. Анализ Саффмэна был ограничен
условиями малости чисел Рейнольдса [10]
Яв
V
Я
3/у << 1; Ява
а
Я
32
32у << 1; ЯвА = — у
ди
&
дУ
<< 1:
Явр
А = -ГР2 << 1'
ЯвА2
(2)
где
V,
Я
а
Я - модули относительной линейной и угловой скорости частицы.
Значительный интерес представляет определение величины силы Саффмэна вне области (2). Зависимость поправки от А была вычислена Е.С. Асмоловым [10] с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений при Яв << 1, А < 3, который в последующем предложил эмпирическую формулу
•1 + 0,5
С8/ = С°8а/(1 + 0,581А2 - 0,439а"3 + 0,203А
'Г-
(3)
*
1!
Указанных ограничений лишена формула, приведенная в [11]:
(1 - 0,3314 )■ вхр(- Яв/10)+ 0,3314 , при Яв < 40 0,01832 + 0,03637 ■лГЯ, при Яв > 40
/0 (Яв,Я) =
Я-Явз
Л
Я-ея = Л = §
у 3
«0 =
0,5Я
Яв
(4)
В данной статье исследовано влияние чисел Рейнольдса на поправки к силе Саффмэна, действующей на частицы в слое Куэтта.
Рассмотрим поступательное движение сферической частицы в плоском слое Куэтта. Ось Ох направим по поверхности вдоль течения, а ось 02 - вертикально вверх. Кроме сил тяжести, Архимеда, гидродинамического сопротивления, эффекта присоединенных масс, необходимо учесть силу Саффмэна. Проекции уравнения движения на продольную и вертикальную оси имеют вид [6-7; 12-15]:
Г
1+Л
V 2 у
г
с1и
р
с1Т X
= р /(Яв) ■ (и/ - ир), р
18Лу
(5)
1+-
V 2 у
dW1
р
dT
-Р ■ /(Яв) ■ Wp - & + а ■ (и/ - ир) ■
'д/ дУ
V
1 / 2
2
a =
3,08-Л-4У
S
(6)
Учтем, что в слое Куэтта продольная скорость жидкости растет линейно с расстоянием от стенки = X/ Ь . Перейдем в (5)-(6) к безразмерным переменным на основе их - скорости на границе слоя и его толщины Ь:
ddU = f(Re) Z d t
и
Stk
m
d w dt
= -f(Re)
а =
w
Stk
M
3,084r 1 + 1/ 2
4 + а ■ (z - и) ■ fo (A) ;
(7)
StkM =' ^
ß^ L
f 7 \
|1 + -I
l 2 J
R
f
181
Re = ReSyj(u - z)2 +
1 + 1
i 2 j
U
, 4 =
и
U
R
1 -1
U 2
Fr = U ю
w ■
181 ■ Fr 1 + 1/ 2' g ■ L
^, ,=£, z=1, t=UZ
Urr, L L L
Начальные условия при осаждении частицы:
x(0) = 0, z(0) = 1, Х(0) = u0, z(0) = w0 < 0.
(8)
По формулам (7)-(8) видно, что критериями подобия поставленной задачи являются безразмерные комплексы Res, Fr, Л, X и начальные условия U0 , w0 .
Задача Коши (7)-(8) не имеет аналитического решения из-за нелинейных функций f (Re), f0 (Re, R). Был использован стандартный численный метод решения в среде Mathcad с помощью операторов Given-Odesolve. На рис. 1-10 представлены результаты расчетов. На рис. 1-2 показано влияние поправки к силе Саффмэна f0 на результаты расчета траектории частиц в слое Куэтта. С ростом Res это влияние усиливается, при Res < 10 вносимые изменения - менее 1%.
О.Е 0.6 0.4 0.2
0
V
Li , •
• s. N. \ • •
\l \ \ \ • \2 •
О.Е 1.6 2.4 3.2 ^
Рисунок 1 - Влияние поправки к силе Саффмэна / на результаты расчета траектории частиц в слое Куэтта при X = 0,1; Fr = 2; Л = 20; и0 = 1; wo = -0,8 и различных значениях Ява: 1 - Ява = 20; 2 - Ява = 15. Сплошные линии - расчет при /0 = 1
fr
i
I <
$ *
n &
0.8
0.6
0.4
0.2
0
' • •. ' ■ я
• Sjt \t —-J
\ • 1
\ • \ • \ • \
4
S
Рисунок 2 - Влияние поправки к силе Саффмэна f на результаты расчета траектории частиц в слое Куэтта при X = 0,1; Fr = 2; Л = 20; u0 = 1; w0 = -0,8 и различных значениях Res: 1 - Res = 15; 2 - Res = 10. Сплошные линии - расчет при f = 1
По рис. 3-4 видно, что с увеличение значения Res частицы дольше остаются в слое Куэтта, абсцисса их осаждения растет. Причина этого - большая инерционность частиц при неизменном числе Фруда.
0.8
0.6
0.4
0.2
• *
• . • X • *. ш * Ч 'ч2
Чз • V •4 \ V V ч ч
• • • * * 1 ч % % *
0.5
1.5
2.5
Рисунок 3 - Траектории осаждения частиц в слое Куэтта при X = 0,1; Fr = 1; Л = 20; u0 = 1; w0 = -1 и различных значениях Res: 1 - Res = 12; 2 - Res = 15; 3 - Res = 20; 4 - Res = 25
0.E 0.6 0.4 0.2
0
• . • i •v * ч. V . V •V
• ч • + • ч * • ч ч ч. ч ч
• ч ■ ч • ч ч X ч
Рисунок 4 - Изменение безразмерной вертикальной координаты частиц по времени при различных значениях Res. Обозначения, как на рис. 3
1 2 3 4 5 6 7
Рисунок 5 - Изменение безразмерной горизонтальной координаты частиц по времени при различных значениях Res. Обозначения, как на рис. 3
По рис. 6 видно, что при осаждении частицы модуль вертикальной скорости уменьшается до установившейся скорости. Установившаяся безразмерная скорость осаждения частицы тем меньше, чем меньше Res .
О 0.2 0.4 0.6 0.S
Рисунок 6 - Изменение безразмерной вертикальной скорости частиц по высоте слоя при различных значениях Res. Обозначения, как на рис. 3
Числа Рейнольдса частиц уменьшаются, приближаясь к дну (рис. 7), но их величина остается большей единицы даже при Res = 12. Величина а0 у дна увеличиваются (рис. 8), особенно сильно при меньших значениях Res.
0.4 0.6
Рисунок 7 - Изменение числа Рейнольдса частиц по высоте слоя при различных значениях Res. Обозначения, как на рис. 3
Рисунок 8 - Изменение величины а0 по высоте слоя при различных значениях Res. Обозначения, как на рис. 3
Рис. 9 показывает, что величина A > 3 в большей части поля течения Куэтта. Следовательно, пользоваться формулой (3) в рассматриваемых условиях нельзя.
Рисунок 9 - Изменение величины А по высоте слоя при различных значениях Res. Обозначения, как на рис. 3
Рисунок 10 - Изменение поправочного коэффициента f0 по высоте слоя при различных значениях Res. Обозначения, как на рис. 3
По рис. 10 видно, поправочный коэффициент f0 к силе Саффмэна возрастает к дну, причем, чем больше значения Res, тем влияние этой поправки сильнее. На внешней границе слоя величина силы может составлять всего 20 % значения, рассчитанного по классической формуле (1).
Список литературы
1. Великанов Н.Л., Наумов В.А., Космодамианский А.С. Моделирование осаждения твёрдых частиц в пульпопроводе // Наука и техника транспорта. 2011. № 2. С. 69-78.
2. Великанов Н.Л., Наумов В.А. Взвешенные частицы в водотоке и их осаждение // Вода: химия, экология. 2014. № 2. С. 114-119.
3. Клюев С.В., Клюев А.В. Управление проектными параметрами в задачах оптимального проектирования // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2010. № 1. С. 15 - 19.
4. Линькова М.В. Технический анализ: понятие, сущность и аксиомы // Территория науки. 2016. № 3. С. 179-182.
5. Клюев С.В., Клюев А.В. Оптимальное проектирование строительных конструкций на основе эволюционных и генетических алгоритмов: монография. Germany. 2011. 128 с.
6. Naumov V.A. Influence of Saffman's lift force on the motion of a particle in a Couette layer // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 1995. V. 68, No 5. - P. 840-844.
7. Наумов В.А. Динамика дисперсной частицы в вязкой среде // Математическое моделирование. 2006. Т. 18, № 5. С. 27-36.
8. Ткачёв А.Ю. Тестирование многокритериальных алгоритмов поиска парето-оптимальных решений на графе // Территория науки. 2016. № 2. С. 161-165.
9. Saffman P.G. The lift on a small sphere in a slow shear flow // Journal Fluid Mechanics. 1965. V. 22. P. 385-400.
10. Асмолов Е.С. О динамике сферической частицы в ламинарном пограничном слое // Известия АН СССР. МЖГ. 1990. № 6. C. 91-96.
11. Ahmadi, G. Clarkson University. Lift Force [Электронный ресурс]. URL: http://web2.clarkson.edu/projects/crcd/me437/downloads/ (дата обращения: 15.02.2016).
12. Жоробеков Б.А, Сабиров И.О., Зулпуев С.М., Жакыпджанова В.С. Испытание технико-эксплуатационных показателей автотранспортных средств в условиях высокогорья // Территория науки. 2016. № 3. С. 43-47.
13. Клюев С.В. Основы конструктивной организации природных и искусственных материалов // Современные технологии в промышленности строительных материалов и стройиндустрии: сб. студ. докл. Международного конгресса: В 2 ч. Ч. 1. Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2003. С. 161 - 163.
14. Шабданов М.Д. Оценка проектных параметров рабочих арматур в железобетонных конструкциях зданий и сооружений // Территория науки. 2016. № 4. С. 67-74.
15. Crowe C.T., Sommerfeld M., Tsuji Y. Multiphase Flows with Droplets and Particles. Florida, CRC Press, 1998. 471 p.
Информация об авторе: Information about author:
Наумов Владимир Аркадьевич, Naumov Vladimir Arkad'evich,
Доктор технических наук, профессор, Doctor of Technical Science, Professor,
Заслуженный работник высшей школы РФ, Honored Worker of Higher School of Russia,
Калининградский государственный технический Kaliningrad State Technical University, Kaliningrad,
университет, г. Калининград, Россия Russia
