CC BY
28Зарубежные направления в философии математики и их преломление в философско-логической и историко-математической мысли России ХУШ^начала XX века. (Продолжение)1 Б.В. Бирюков, З.А. Кузичева
12 Марксистские интерпретации «Введения» в учение о линейных протяженностях
Прежде чем приступить к изложению материала настоящего параграфа, мы вынуждены сделать несколько замечаний к статье В.А. Бажаттова «Партия и логика. К истории одного судьбоносного постановления ЦК ВКП(б) 1946 года», опубликованной в «Логических исследованиях» (№ 12, 2005, с. 32-48).
В.А. Бажаттов ошибочно указывает, что бывший работник НКВД А.И. Асеев в 1940 г. был назначен директором Института философии (с. 38). В действительности, отт стал директором МИФЛИ (Московского института истории, философии и литературы). Далее, В.А. Бажаттов написал о «деле К).А. Гасте-ва», возникшего после выхода кттиги последнего «Гомоморфизмы и модели» (с. 45), тте разобравшись в сути вопроса. Заметам, прежде всего, что отт называет вторым редактором этой кттиги (наряду с Б.В. Бирюковым) В.С. Ттохтитта, тогда как им был К).А. Шрейдер (держал ли В.А. в руках книгу Гастева?). Но самое досадттое то, что В.А. Бажаттов повторяет легенду, распространявшуюся самим К).А. Гастевым, о причине гонений тта
'Работа подготовлена при подаержке Российского гуманитарного научного фонда, проект У® 03-()3-()()096а, 05-03-03522а.
его труд. Не вдаваясь в детали, отметим, что причиной созда-ттия комиссии АН СССР, разбиравшей факт выхода «порочной» книги, рт принятия соответствующего решения РИСО АН СССР было то, что в Предисловии к пей было упомянуто имя «диссидента» A.C. Есепипа.-Вольпипа, находившегося уже за границей. Никаких других вопросов кроме этого комиссией и РИСО не поднималось (по рт этот вопрос весьма показателен!) Председатель РИСО, врще-презрщепт Академрш паук П.Н. Федосеев, подпрт-савпшй план, по которому была ИЗДс1Нс1 КНИГЕ1 Гастева, не был заинтересован в раздувапрш этого дела. Все это В.А. Бажапов мог бы выястшть, просто сняв телефонную трубку.
Вернемся, однако, к паучпо-фртлософской тематртке. До cpix пор мы занршалргсь прершуществеппо логртческртмрт — даже pic-торр1ко-логр1ческр1МР1 — вопросамрь Обратршся теперь к пробле-матртке фртлософско-математртческой. Из трех паправлетшй, выкристаллизовавшихся в этой сфере: аксргоматртческой методоло-rpipi, теоретртко-мпожествеппой установке pi гепетртческого подхода — мы здесь уделим внимание главным образом последнему
В 1913 г. под редакцией уже знакомого нам математика A.B. Васильева pi выпускника Сорбонны П.С. Юткевича стал выходить непериодический сборник «Новые идеи в математике». В его первом выпуске был опубликован перевод «Введения» в «Учение о линейной протяженности» Г. Грассмапа [1, с. 78-95]. Примечательно, что переводчиком оказался социал-демократ pi оппонент В.И. Ульянова-Ленина". Видимо, в этом введении содержалось нечто, привлекавшее марксистскую мысль. Правда, разные марксисты по-разному вычитывали мудрость из философских строк Г. Грассмапа.
Владимир Ильич помянул Г. Грассмапа еще до публикации Васильева-Юткевича. Речь идет о книжке «Материализм pi эм-
2Павел Соломонович Юшкевич (1873-1945), уроженец Одессы, участник революционной борьбы против «царизма», отец упоминавшегося в первой части настоящей статьи Адольфа Павловича Юшкевича. После «ссылки» (в город Кишинев!) П.С. эмигрировал из России, и образование закончил во Франции, окончив Парижский университет. Участие в издании «Новых идей в математике» — светлая страница в его жизни, участие в спровоцированном большевиками «русском бунте, бессмысленном и беспощадном» (который он, по свидетельству ILA. Бунина в «Окаянных днях», оправдывал) составляет его теневую сторону. В советские годы П.С. отдал много сил переводам на русский язык философских классиков.
пириокритицизм», в которой ее автор, имея в виду «Учение о протяжетттгостях», оцепил взгляды Г. Грассматта как «материалистические». Материализм отт усматривал в грассматтовском утверждении о согласии мышления с бытием и согласованности процессов мысли друг с другом. Неужели невдомек было будущему «вождю мирового пролетариата» задаться простым вопросом: а не был ли Г. Грассматт верующим? Утвердительный ответ па этот вопрос — а именно отт является верным — обесценивал все ленинские рассуждения о грассматтовском материализме.
В.Ф. Кагатт в своей большой энциклопедической статье, посвя-щеттттой философским вопросам математики, в частности геометрии, дал идеям Г. Грассматта иную оценку [2, столб. 406407]. Кагатт отмечает, что Г. Грассматт подразделял все пауки тта «реальные» и «формальные», и что формальные пауки, по Грассматту, «имеют своим предметом то, что предложено самой человеческой мыслью, и истинность их заключается во взаимном согласии процессов нашего мышления». На этом основании Кагатт причисляет Г. Грассматта к родоначальникам конвенционализма, наряду с Фреге, Пеатто и Пиери. Эта оценка — так же как приводимые Каганом и мало совместимые друг с другом имена — тте ттамттого убедительней ленинской.
Ни Лепил, тти Кагатт тте отметили одну важную для марксизма черту философии математики Г. Грассматта — ее диалектический характер. Это было сделано — в конце 20-х годов прошлого века — С.А. Яновской. Мы имеем в виду ее статью о категории количества у Гегеля [3]. Она отмечает, что в конце первой половины XIX века, когда идеи Гегеля и его ближайших предшественников еще тте считались столь «одиозными» у математиков, в этот период такой крупный математик, как Герматт Грассматт, например, писал: «Противоположность между дискретным и непрерывным (как и все истинные противоположности) — текучая, ибо дискретное может быть раскрываемо как непрерывное и, наоборот, непрерывное — как дискретное» [4]. Грассматт понимал, продолжала Яттовская, что отсюда вовсе тте следует, что различие непрерывного и дискретного лишено смысла. «Будучи единством противоположностей, заключая в себе момент дискретности, непрерывное, однако, положено в форме непрерывности. Дискретность в ттем содержится лить в скрытой, ттераз-
витой еще форме, именно, как момент. И наоборот, дискретное положено в форме дискретности, заключая в себе непрерывность лить в зародыпте, лить как момент. Недостаточно поэтому сказать «все и непрерывно и дискретно», по в каждом отдельном случае необходимо выяснить, в какой именно форме предстоит перед нами нечто данное, в какой из них оно положено. В каждом отдельном случае мы имеем дело или с непрерывным, или с дискретным. Но это непрерывное содержит в себе момент дискретности, а дискретное — момент непрерывности. Так, относительно непрерывная эволюция в действительности тоже содержит в себе множество разрывов, а дискретный скачок при ближайшем анализе сам выступает, как непрерывная величина.. Задача исследователя состоит, однако, не в том, чтобы все свести только к дискретности или только к непрерывности, по чтобы в каждом отдельном случае подчеркнуть существенный для пего момент» [3, с. 55-56].
Далее Яновская пишет, что для Грассматта была ясной эта черта гегелевской трактовки единства противоположностей, и в подтверждение своей мысли цитирует из его текста другое место, относящееся, правда, не к противоположению дискретного и непрерывного, а равного и различного: «Противоположность между равным и различным, — пишет он [Г. Грассмап], — тоже текучая. Равное различно, поскольку уже то или иное, равное ему, каким-нибудь образом обособлено (ведь без этого обособления оно было бы только одним, значит — не было бы равного); различное — равно, хотя бы постольку, поскольку различные объекты связываются между собою относящеюся к ним деятельностью, т.е. поскольку они являются чем-то связанным. Но это не значит, что оба момента теряются друг в друге, так что нужен масштаб для определения того, сколько следует признать равного и сколько различного между обоими представлениями. Хотя с равным и связано всегда каким-нибудь образом различное, и наоборот, по все-таки в каждом отдельном случае лишь одно из них является моментом рассмотрения, между тем как другое представляет лишь предпосылку и основу первого (Курсив мой. — С.Я.)» [3, с. 56].
Эти высказывания и оценки С.А. Яновской нуждаются в пояснении. Когда она говорит об «одиозности» для математиков
гегелевской диалектики, она имеет в виду утрату гегельянством своего первоначального обаяния. Математики склонны были признавать не гегелевский, а катттовский взгляд на их науку, а после появления неевклидовых геометрий и Кант во многом утратил у них кредит. Далее, С.А. ошибается, однозначно связывая диалектические идеи Германа Грассматта с именем Гегеля. Диалектике братья Грассматты учились не у автора «Науки логики» рт «Феноменологии духа», а у Шлейермахера, основоположника герменевтики. А слитком уж «текучие» грассматтов-ские рассуждения о равном и различном Яновская впоследствии отвергла, и в ее статьях «Количество в математике» и «Равенство (в логике рт математике)» [о] мы не найдем ссылок тш па Гегеля, ни hcl Г. Грассматта. Другое дело — диалектика дискретного рт непрерывного. Ее С.А. осмысливала в связрт с развитием кртберттетрткрт рт цифровой вычислительной техники. Например, в предисловии к русскому переводу книжки А. Тыорипга рт Дж. фотт Нейматта отта писала о позттапртрт непрерывного с помощью дискретного рт обращала внимание тта идею фотт Нейматта, который связывал прогресс логики с использованием такого аппарата, который является гораздо менее комбинаторным (то есть менее дискретным), чем используемый в настоящее время, рт «гораздо более близким к математическому анализу, имеющему дело с непрерывностью» [6]. Мы зттаем теперь, что разработки разного рода «ттепрерывттостттых логик» впоследствии получили значительное развитие (хотя рт тте привели к тому прогрессу в формализации мышления, к которому стремились рт Тьторртттг, рт Нейматт).
Не упоминая Г. Грассматта в свортх последующих работах, С.А. Яновская фактически придавала современную форму его идеям.
13 И.И. Жегалкин: трансфинитные числа и арифметика «четного и нечетного»
У ртстоков математической логики в Россртрт XX столетия сто-ртт H.H. Жегалкрттт3, продолжавший традицию, начало которой
3Иван Иванович Жегалкин (1869-1947) — российский (советский) математик и логик, в 1902-1911 гг. приват-доцент Московского университета; в советское время — доктор физико-математических наук, профессор МГУ.
положил Порецкий. Он был первым в СССР собственно математическим логиком. В частности, он явился создателем и руководителем (совместно с П.С. Новиковым и С.А. Яновской) научно-исследовательского семинара по математической логике в МГУ.
И.И. Жегалкитту принадлежит первая в России монография, посвященная учению о множествах Г. Кантора — «Траттсфипит-ттые числа» [7]. Одна из характерных особенностей его подхода состояла в том, что он начинает с определения понятия конечного множества и па его основе вводит понятое бесконечного множества. Это выглядит так.
Установив понятое упорядоченного множества, Жегалкитт переходит к понятию вполне упорядоченного множества, определяя его как такое упорядоченное множество, всякая часть которого имеет первый элемент. Далее, опираясь па теорему Цер-мело, согласно которой всякое непустое упорядоченное множество может быть вполне упорядочено, он определяет: «Конечным множеством называется вполне упорядоченное множество, всякая часть которого, а, следовательно, и оно само, имеет последний элемент», или также: «Конечное множество есть такое упорядоченное множество, всякая часть которого имеет первый и последний элемент», поясняя, что термин «часть» употребляется им «в широком смысле»; теперь бы мы вместо «часта» сказали «подмножество». Множество, которое не может быть так упорядочено, чтобы каждое его подмножество имело первый и последний элемент, называется бесконечным. Определяющим свойством бесконечного множества является наличие у него собственного подмножества, равпомощпого самому множеству [7, с. 178, 203 и др.].
По-видимому, И.И. Жегалкитт считал понятие коттечттого множества интуитивно более ясным, чем понятие бескоттечттого множества. Кроме того, определение коттечттого мттожества как такого, которое тте является бесконечным, тте представлялось ему логически безупречным. Поэтому построение теории мттожеств И.И. начал именно с ттего. Теперь мы зттаем, что интуиция здесь подводит, так как и в понятии коттечттого мттожества таятся свои трудности.
Спустя двадцать лет, в 1927 г., Жегалкитт опубликовал статью «О технике вычислений предложений в символической логике»,
в начале которой писал: «Настоящую работу по ее содержанию, можно рассматривать как дополнение к капитальному труду Whit.ehead and Russell — "Principia Mathematica"». И далее: «Метод авторов "Principia Mathematica" — непрерывная цепь следующих друг за другом теорем. Давая верные результаты, этот метод не содержит никаких указаний, как надо поступать, чтобы получить не только верные результаты, по и ответы па поставленные вопросы. Если взять из "Principia Mathematica" па выбор любое доказанное предложение и предложить кому-нибудь доказать его, то наша просьба едва ли будет выполнена.
Однако можно, что и является целыо этой работы, усовершенствовать технику вычисления предложений так, что получается возможность, механически применяя раз навсегда установленные правила, убедиться простым вычислением в истинности или ложности всякого произвольно взятого элементарного предложения» [8, с. 9].
Истинность рт ложность предложения, о которых здесь говорится, — это тождественная истинность и тождественная ложность, то есть, соответственно, доказуемость предложения (формулы пропозиционального исчисления) из пустого множества посылок PI опровержршость, то есть доказуемость из пустого множества посылок отрицания предложения (формулы упомянутого исчисления).
Жегалкртп строртт исчисление высказываний, в котором заглавные буквы латинского алфавита, например P,Q,... — символы предложений, а соответствующие строчные буквы p,q,...— их истинностные значения, пробегающие множество {0,1}. Он пишет далее: «будем числовое значение предложения принимать равным пулю, если предложение ложно, и равным единице, если оно истинно» [8, с. 10]. Над истинностными значениями определены операции сложения и умножения, задаваемые следующим образом:
0+0 = 0; 0+1 = 1+0 = 1; 1+1 = 0; 0-0 = 0; 0-1 = 1-0 = 0; 1-1 = 1.
Пусть p обозначает любое из чисел 0,1. Тогда, используя при-
0+
p = p; 0 - p = 0 1 - Р = P P + P = 0 P - P = P- Если теперь определить разность истинностных значений предложений Р и
Q как такое r = p — q, что r + q = p, то, прибавляя q к обеим частям последнего равенства, получаем r = p + q, p + q = r = p — q. А это значит, что вычитание совпадает со сложением. В теоретико-множественном смысле умножение и сложение Же-галкипа соответствуют пересечению и симметрической разности, которая обраттта самой себе. Операции дизъюнкции и отрицания (в теоретико-множественном смысле — объединение множеств рт взятрге дополнения к множеству до универсального множества) — oiiPi составляют базис пропозициональной логики в построениях "^У З1ИТХ6ДВ1 Pi Рассела — получают у Жегалкипа, соответственно, следующее представление:
p V q = p ■ q + p + q и —p = p + 1.
Использованный Жегалкиным базис операций {+, ■, 1} был функционально полой, а построенное на его основе исчисление изоморфно кольцу вычетов по модулю два, то есть «пифагорейской» арифметике четного pi нечетного. В системе Жегалкипа сложение pi умножение ассоциативны pi дистрибутивны, а умножение ртдемпотептпо. Поэтому приведение формул пропозициональной логики к каноническому виду — логическому многочлену Жегалкипа — производится очень просто. Оно сводится к раскрытого скобок pi приведению подобных. В результате любая формула, представленная па языке Жегалкипа, 1X р СуДО'Х cjCyT в виде суммы произведений переменных, включая произведения,
1
четное число одинаковых слагаемых взаимно уничтожается, а любое нечетное Pix число сводится к одному слагаемому. Пусть, например,
f = (x + y)(x + z) + y(z + x).
Нетрудно убедиться, что многочлен Жегалкина для f имеет f = x + yz.
Логический многочлен Жегалкипа для произвольной пропозициональной формулы F, содержащий переменные pi,p2, ■ ■ ■ pn, линеен относительно каждой из них и представляет F однозначно. Проблема разрешения, поэтому, сводится к выяснению того,
F
екая, заявка па работу, в которой пропозициональная логика строилась в виде алгебраического КОЛЬЦсЦ была сделана только
спустя почти двадцать лет (в 1946 г.) Правда, при этом было осуществлено построение, двойственное тому, что осуществил Жегалкип: вместо строгой дизъюнкции использовалась эквивалентен, а вместо конъюнкции — (ттеразделительттая) дизътоттк-
Вслед за статьей 1927 г. И.И. Жегалкип опубликовал серию работ [9], развивавших описанный выше подход. Отт распространил его тта логику одноместных предикатов и получил для ттее решение проблемы разрешения. Отт рассмотрел также некоторые частные случаи узкого исчисления предикатов (тте обязательно одноместных) и нашел решения проблемы разрешения тта конечных классах. Заметим, что в 1950 г. Б.А. Трахтеттброт доказал неразрешимость проблемы разрешения для общего случая.
Стоит заметить, что общелогическое содержание того, чем занимался Иван Иванович, — и прежде всего проблема формализации логического следования — в явной форме им тте раскрывалось. Но, как отмечается в литературе [10], всякий знающий логик его времени понимал: чтобы показать, что ттекоторое следствие ^ выводимо из посылок ^2,... достаточно образовать импликативттуто формулу, антецедентом которой является конъюнкция посылок, а коттсекветттом — данное следствие, построить для этой формулы мттогочлетт Жегалкитта и показать, что отт равен единице.
Ирония судьбы: Иван Иванович при «царизме» мог совершить смелый, как тогда считалось, поступок — покинуть Московский университет в знак протеста против «реакционной» политики министра народного просвещения Кассо', а в советское время отт тте только тте решался рассматривать философское содержание логики. Не решался отт даже прямо сказать, что занимается этой наукой как таковой, а тте только «символической» логикой. Сфера логического была тогда небезопасной областью знания, так как логику в ту пору отождествляли с «формальной логикой», наукой «метафизической» и потому подозрительной с идеологической точки зрения.
4Л.А. Кассо занимал этот пост в 1910-1914 гг., и в советских справочниках можно прочитать, что он преследовал «прогрессивную профессуру и револю!(ионное студенчество».
Известно, что И.И. готовил учебник логики, по рукопись его не сохранилась. Это очень похоже па судьбу книги A.B. Васильева. ...
14 Три направления в философии математики. Первый опыт построения рекурсивной арифметики
Известно, что математика, математическая логика, ряд разделов физики (прежде всего классическая механика), некоторые применения математики и информатики в сфере гуманитарных паук (в Pix числе структурная и математическая лингвистика), — словом, то, что можно назвать дедуктивным знанием, — используют ныне самые многообразные методы. На первое место среди них, пожалуй, следует поставить построение аксиоматических систем, предполагающих всегда те или иные интерпретации. К аксиоматизации естественным образом оказывается «привязанным» аппарат логического вывода, а также эврртстртческрге nppie-мы анализа и синтеза, к которым прибегают и nppi формулировке требующихся аксиом, и nppi портске нужных интерпретаций. В качестве более общего подхода следует назвать формализацию содержания и идеализацию понятий — то и другое идет рука об руку PI приводит к соответствующим структурам абстрактных объектов. Однако па протяжении всей истории дедуктивного знания в нем — с той или ригой мерой четкострт — присутствовали: теоретико-множественный подход (первоначально в виде логики объемов понятий) и генетический метод. Сущность последнего заключается в порождении объектов по определенным правилам и в последующем Pix исследовании — в частности, с помощью указанных выше «альтернативных» методов и nppie-мов.
Хотя PI аксиоматизация, и генетическая установка, и oneppipo-ватше с классами (множествами) как объемами понятой проходят через всю историю математики и логики, не все они в равной мере удостаивались внимания со стороны математического философствования. В наибольшей мере осмыслялись аксиоматизация PI учение о множествах — особенно с тех пор, как Г. Кантор разработал свое учение о множествах, и оно было сочтено базой всей математики. Между тем генетическая методология —
рт связанный с пей сталь мышления — может гордиться такими именами, как Евклид, Декарт, Паскаль, Лейбниц, как Пуанкаре, Брауэр рт Г. Вейль, да и Георг Кантор тоже, так как его актуальные бесконечности мыслятся генетически порождаемыми. А в Россрш в этом контексте надо назвать Лузина, IX р то™"
ля так называемого эффектавртзма — концепции, предварявшей появление математического и логического конструктивизма: выдвигалось требование конструктивного осмысления континуума без ясной идеи конструктивности используемых методов0. Таковая оформилась только после создания теоррш алгорифмов.
Начиная с третьего десятилетия прошлого века, генетическая методология привела к конструктивистской концепции в философии математики и методологии пауки. В паптем отечестве эту концепцию представляла, прежде всего, пткола A.A. Маркова, хотя в менее «жестком» варианте она присутствовала и в математической «классике», например, у А.Н. Колмогорова. В последующем развитии генетическая концепция слилась с теорргей алгорифмов, языками программирования и компьютерной наукой PI практикой.
В течение длительного времени в философско-математичес-kpix pi логико-методологических работах акцептировались, прежде всего, аксиоматика и теоретико-множественная установка; в Россрш последняя была представлена трудом И.И. Жегалкрша «Трансфрпгатпые числа». Что касается генетического подхода — не забудем, что представление о нем получило известность благодаря Д. Гильберту, — то в «докиберпетическуто» эру он как бы оставался в тени. И это nppi том, что, начиная с последней трета XIX столетия, в математике и логике подход этот взаимодействовал с аксиоматическим и теоретико-множественным стилями мышления, обогащая математико-логическое видение мира.
Недооценка генетического подхода приводила к вполне конкретным фртлософско-математаческрш и историко-математичес-kpim упущениям, когда, например, из поля зрения исследователей выпадали определенные стороны творчества Лейбница и
°Термин «эффективизм» обычно связывают с французской школой теории множеств и функций (Борель, Лебег, Бэр и др.), установки которой принял и развивал H.H. Лузин. См. [11J.
Паскаля, тте усматривалась внутренняя связь идей Пуанкаре, Сколема, Г. Вейля, Лузина. Это суживало представления об идейных линиях, приведших к теории алгорифмов — абстрактной и прикладной, к уяснению логических основ обработки информации. Не случайно при разработке языков программирования обращение к математической логике произошло с большим запозданием.
Генетическая концепция построения строгой пауки в четкой форме и па прочном алгебраическом фундаменте впервые была явлена в творчестве Германа Грассматта: именно от него отталкивался А.Н. Уайтхед в своем известном «Трактате об универсальной алгебре» (1898). В развернутом виде, но без учета наследия Г. Грассматта и «учения о величинах» его брата Роберта, концепция эта обрела новую жизнь в «рекуррентном способе мышления» Т. Сколема (1923). От его результатов прямой путь вел к теории алгорифмов...
Первым опытом осмысления в отечественной литературе генетического подхода к основаниям математики, представленного в «Учебнике арифметики» Г. Грассматта (1861), можтто считать работу В.Ф. Кагатта, о который речь пойдет ниже. Для этого, однако, ттам придется предварительно остановиться тта грас-сматтовском построении6. Говоря современным языком, отто было основано тта индуктивном порождении системы величин, тта которой задавались некоторые операции. Заметам, что подобный метод впоследствии получил у Г. Вейля (следовавшего, впрочем, примеру А. Пуанкаре) название метода итерации'.
Г. Грассматт начинает с того, что строит систему величин, названную им основным рядом. Члены системы порождаются из единственного элеметтта — «положительной единичности» (отт обозначается буквой е) — посредством прибавления к уже построенным величинам либо элемента е, либо «отрицательной единичности», —е. В результате получается потенциально бесконечная линейно упорядоченная система
... ,е +—е +—е +—е, е +—е +—е, е +—е, е,е + е,е + е + е,...;
6Мы будем следовать при этом тому конспективному изложению, которое представлено в тезисах [12].
'Впрочем, метод этот, обогащенный за счет логики предикатов, был неср сшнб нно более мощным и пригодным обоснования
величина e +—e именуется нулем и обозначается обычным знаком 0. Естественно принять, что в этой системе каждый ее член отличен от всех остальных, и тогда она получает наименование «основного ряда»8. Предполагается, разумеется, что в нашем распоряжении имеется неограниченно много «положительных едиттичпостей ».
e
e
положительную часть основного ряда. Члены, предшествующие e
каждый член в этой части основного ряда представляет собой
e
дательных едиттичпостей.
На осттовттом ряде рекурсивно определяется бинарная операция сложения; при этом используются операции «порождения непосредственно последующего» и «непосредственно предшествующего» члена ряда (при произвольной величине a в роли параметра); эти операции вытекают из построения осттовттого ряда. При вычислении сумм, каковыми являются члены осттовттого ряда, используется отношение раветтства, основывающееся тта графической одинаковости величин. Величины, таким образом, оказываются, говоря современным языком, словами (определенного вида) в алфавите знаков
e, +, —,
что приводит к тому, что отношение раветтства (соответственно неравенства) величин сводится к отношению их графической одинаковости/неодинаковости.
Не станем прослеживать дальнейшие детали теории осттовттого ряда. То, что следует отметить, так это способ перехода от осттовттого ряда к ряду целых чисел. Совершается отт, когда рекурсивно определяется операция умножения, причем «едиттич-
e1 вится «числовым» (линейно упорядоченным мттожеством всех целых чисел) в результате определения: a ■ 1 = an установления
8Вместо ряда здесь было бы более уместно говорить последовательность. но мы будем придерживаться уже сложившейся терминологии.
того, что числовой ряд — это такой основной ряд, единичность которого есть 1.
Для чего же основной ряд строится как в некотором смысле предшествующий числовому? Ответ: для того чтобы ввести именованные числа как величины основного ряда, множество которых изоморфно числовому ряду относительно сложения и вычитания. При этом известные свойства операции сложения (в частности ассоциативность и коммутативность) и вычитания доказываются относительно величин основного ряда в его общем виде, дистрибутивность же умножения относительно операций «+» и « —» вводится уже в предположении числового ряда. Это и понятно: перемножение именованных чисел выводит за пределы основного ряда (аналогично тому как в грассмановском «учении о протяжеппостях» перемножение направленных отрезков порождает ориентированную площадку — объект 2-го порядка).
15 Отечественная наука о грассмановской арифметике
В России в 20-е годы грассмановской арифметикой целых чисел занялся В.Ф. Кагатт. Заметам, что его интерес к обоснованию теории чисел не был случаен — он был связан с его исследованиями в области оснований геометрии. По-видимому, В.Ф. собирался, так сказать, перебросить мост между арифметикой и геометрией. В связи с этим стоит обратить внимание па то, что знаменитые «Principia Matherriatica» Уайтхеда и Рассела были задуманы как четырехтомник, по последний том — он должен был быть посвящен геометрии и написан Уайтхедом — так и не выптел за смертью последнего.
В упоминавшейся выше большой энциклопедической С Т elT (144 столбца!) Кагатт Д В Е1ЖДЫ обращается к обоснованию арифметики. Сначала отт выделяет в построении Грассма-тта часть, касающуюся натуральных (целых неотрицательных) чисел и лить потом переходит к целым числам; отт, таким образом, идет путем, который противоположен оригиналу. Но основные черты грассмановского построения теории целых чисел отт формулирует аккуратно. Для нас особетттто интересно, что В.Ф. четко выявляет особенности конструкции грассмановской арифметики. Это — истолкование чисел как знаков определен-
ттого вида — слов в фиксированном алфавите; порождение чисел с помощью операции взятая непосредственно следующего числа в (бесконечном) числовом ряду; взаимнооднозначность соответствия между любым числом и числом, которое за ним непосредственно следует (свойство, вытекающее из процесса построения числовой системы); попарное различие всех чисел-слов; рекурсивный характер определения основных операций и индуктивный (в смысле «совершенной индукции») характер доказательств теорем; систематическое использование явных («поминальных», как говорят ныне) определений. «Грассман, — пишет В.Ф. Каган, — не только обнаружил, что в арифметике натурального ряда все доказательства могут быть проведены методом совершенной индукции, по и показал, что все основные определения могут быть установлены таким же путем» [2, столб.413], то есть рекурсивно.
Примечательной чертой кагаповского изложения концепции Г. Грассмапа было то, что в чем была показана логическая роль явных определений, а также того, что ныне называют определенными дескрипциями, то есть выражений, вводимых с помощью оператора «тот, который». Основание, па котором покоятся определенные дескрипции, Каган называет «принципом свободного обозначения» и поясняет его так: «если мы вводим новый символ, или термин, который раньше не имел никакого значения, то мы можем условиться разуметь под этим символом, или термином, любой ранее установленный объект» [2, столб. 413].
Каган утверждает, что на этом принципе и на «законе совершенной индукции» основана вся арифметика. Здесь уместно отметить, что кагаттовский «принцип свободного обозначения» был явно указан Т. Сколемом в работе 1923 г. в качестве одного из необходимых логических средств построения примитивпо-рекурсивпой арифметики. В «Учебнике» Г. Грассмапа этот принцип применяется, например, когда вводится операция вычитания.
Следует иметь в виду, что энциклопедическая статья В.Ф. Кагана не была работой историко-математического (и тем более историко-логического) жанра. Автор, судя по всему, уяснял проблему для самого себя. Если рассматривать работу Кагана как реконструкцию грассмаповской теории чисел, то в глаза броса-
тотся допущенные В.Ф. неточности. Так, не соответствует исторической правде утверждение, будто у Г. Грассматта теория натуральных чисел выступает как особая конструкция. На деле она включена в теорию «основного ряда» и арифметику целых чисел. Рассмотрения, характеристичные именно для натуральных чисел, появляются в конструкции Г. Грассматта после построения осттовттого ряда, ряда целых чисел и основных операций, определяемых для этих рядов. У Кагатта (раздел 20 — «Арифметика Грассматта») дело преподносится так, будто у немецкого математика теория натуральных чисел предшествует теории чисел целых9. Реконструируя грассматтовскуто теорию натуральных чисел, В.Ф. Кагатт ведет рекурсию, начиная с пуля. У Г. Грассматта же рекурсивные процедуры ведутся по правой часта «осттовттого ряда» (а потом — ряда целых чисел), начинающейся с единичности «в» (и по левой части, начинающейся с пуля). В разделе 23: «Относительные (положительные и отрицательные) числа» В.Ф. сттова обращается к арифметике Грассматта — тта этот раз к его теории целых чисел, реконструируя грассматтовские рекурсивные определения операций. Но истолкование Каганом операции сложения целых чисел отклоняется от оригинала. В приводимой им системе раветтств, задающих сложение, различаются раветтства, относящиеся к натуральным, с одной сторотты, и к целым отрицательным числам — с другой. Это тте соответствует идее Грассматта — задать операцию сложения для произвольных целых чисел; кроме того, тте отмечетт тот существенный факт, что немецкий математик исходит из более общей структуры — осттовттого ряда. В дшннои В.Ф. Кагаттом характеристике грассматтовских доказательств тте отмечетто использование в ттих иттых, отличных от иттдуктивтто-рекурсивттых, методов.
И все же реконструкция В.Ф. Кагатта для отечестветтттого ис-торико-методологического развития — примечательное явление. Правда, вывод В.Ф.: «Заслуга Грассматта заключается в том, что отт построил строго научную арифметику натурального ря-
9Правда, в подстрочном примечании в конце раздела 20 отмечается, что «Грассман фактически оперирует с двухсторонним натуральным рядом, неограниченно простирающимся как в одну сторону (положительную), так и в другую (отрицательную)», однако эти слова оставляют читателя в недоумении, куда при этом следует относить число нуль.
да и тем заложил фундамент не только научной арифметики, но и всего анализа» [2, столб. 419] — не соответствует реальному вкладу Германа (да и Роберта) Грассматта в основания арифметики. Вклад этот более скромен: обоснованию анализа он заведомо служить не мог, так как для этого требовалась более мощная арифметика — арифметика второго порядка, то есть, говоря логическим языком, теория, содержащая кванторы (без которых Г. Грассматт мог обойтись), пробегающие не только по предметным (числовым) переменным, по и по предикатам. Подобной логической теории в распоряжении братьев Грассмапов не было: при всей детальности алгебрологического построения Роберта Грассматта (к которому мы вскоре перейдем) кванторов — тем более по предикатным переменным — у ттего тте было.
В начале 80-х годов прошлого века тщательный анализ итт-дуктивтто-рекурсивттой методологии Г. Грассматта, как отта была представлена в его «Арифметике», провела Л.Г. Бирюкова, сотрудничавшая в этой работе с одним из авторов этих строк [13]. В то время вклад Г. Грассматта можтто было уже оцепить с позиций сложившейся теории алгоритмов. Но этого тте мог сделать В.Ф. Кагатт в начале века, что тте умаляет его главную заслугу: отт выявил конструктивистскую компоненту построения, представленного в грассматтовском «Учебнике арифметики», хотя, коттечтто, тте мог подойти к вопросу с алгоритмических позиций.
16 Логика в контексте «учения о величинах». Инициатива И.Н. Бродского
Братья Грассматты являли собой необычайное содружество — аналогичные примеры мы вряд ли найдем в истории математики, методологии, философии и логики. Герматт Грассматт, знаменитый ттытте математик и филолог, часть своего жизненного и научного пути прошел вместе с младптим братом, впоследствии оказавшимся чрезвычайно плодовитым автором. Роберт выпустил громадное количество своих работ (благо у ттего были собстветтттая типография и издательство) по самым различным отраслям знания.
Для ттас существенно, что Р. Грассматт явился — в сотрудничестве с братом и независимо от Буля и Джевоттса — одним из основоположников алгебраической формы логики. Работы Роберта
до сих пор привлекают мало внимания за рубежом, в то время как, мы уже говорили, они почти сразу воптли в круг отечественных логических исследований. Быть может, одной из причин этой ситуации было то, что работы Р. Грассматта необычайно многочисленны, разпоплаповы, затрагивают широчайший круг вопросов. Сочинения Р. Грассматта выходили по мттого раз — с начала 60-х годов до конца XIX столетия . Идентификация сочинений Р. Грассматта представляет значительную трудность, так как отт имел обыкновение издавать под разными названиями одни и те же работы. Все это объясняет те трудности, которые доставляют исследователю изучение его литературного ттасле-
Жизтть Роберта Грассматта сложилась так, что его ттаучтто-литературттая деятельность проходила втте академической пауки. Отсюда невнимание к его сочинениям со стороны немецких — и вообще западных — исследователей. Логические идеи в его работах тонули в ворохе вопросов, которыми изобиловали его произведения. Отсюда — пренебрежение к его творчеству.
Иное дело Россия. Русским ученым было недосуг разбираться в потоке работ Роберта, в которых писалось «про все», — внимание обращали только тта его логическое учение. О дореволюционном изложении его концепции логики и ее оценке мы уже говорили. Но о ттем помнили и в советское время: в первом томе «Философской энциклопедии» была помещена небольшая статья о ттем [14].
В 70- X год&х XX века И.И. Бродский, ттытте покойный11, предложил своей аспирантке Г.И. Малыхиттой в качестве темы кандидатской диссертации анализ и осмысление философско-логического наследия Р. Грассматта. Результатом исследований Га-
1 "Библиография трудов Р. Грассмана и тем более зарубежная литература, в которой хоть с какой-то степенью подробности освещаются его идеи, нам не известны. Ни в Каталоге Британского музея, ни в Национальной немецкой библиографии, ни даже в Каталоге Библиотеки Конгресса США — мы не говорим уже о российских библиотеках — невозможно найти полный перечень его работ.
"Иосиф Нусимович Бродский (1924-1994), выпускник Ленинградского университета 1948 г., доктор философских науки и профессор, с 1954 г. до конца дней был членом кафедры логики в своем университете, определяя — вместе со своим коллегой О.Ф. Серебрянниковым — высокий уровень работ ленинградских философских логиков.
липы Ивановны, которые направлял Бродский, явилась ее диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук по специальности «Логика». Подготовленная в Ленинградском университете, она там же была успешно защищена [1о]12.
Исходным пунктом методологической концепции Грассманов была теория величин — она была изложена Робертом. Без «учения о величинах» невозможно верно понять особенности грас-смановского логического исчисления. «Учение о величинах» предстает в качестве предельно общей и абстрактной теории, которая «закладывается» в основание логики, арифметики, комбинаторики и того же «учения о иротяженностях». «Учение о величинах» в том виде, в каком оно было развито Р. Грассма-ттом, рассматривалось Г.И. Малыхиттой как предвосхищение — мы должны добавить, весьма отдаленное — общей теории формальных систем, возникшей в XX столетии.
Секрет столь универсального характера грассмаповской теории величин состоит в том, что в пей вводятся «законы связи» величин (то есть законы, относящиеся к бинарным операциям и отношениям), которые являются общими для целого класса математико-логических дисциплин. Реконструируя грассманов-ское учение, мы обнаруживаем основные принципы его построения и его отношение к соответствующей логике (как простейшей из «форм» математики). Последняя представляет собой алгебраически трактуемую теорию понятий, суждений, умозаключений и доказательств: она представлена в работах Р. Грассмана 1872 и 1890 годов.
Анализ логического учения Р. Грассмана требует учета его историко-логического фона, сравнения построения Р. Грассмана с исчислениями Дж. Буля, Ст. Джевонса и Э. Шрёдера. Такой подход позволяет установить историческое место логических сочинений Р. Грассмана в панораме развития логической мысли XIX века, включая формализацию силлогистики. Эта формальная конструкция представляет собой расширение — за счет введения отрицательных терминов и операций объединения и пересечения классов — алгебраически трактуемой аристотелевской теории. Расширение это консервативно, так как не добавляет в
,2Содержание этой диссертационной работы получило отражение в ряде статей Г.И., опубликованных как до, так и после ее защиты.
силлогистику новых правильных модусов. Историческая значимость «Логики» Р. Грассмапа 1872 г. проявляется в том, что она оказала большое влияние па Э. Шрёдера.
Логическое и алгебраическое наследие Г. и Р. Грассматтов в 80-е ГОДЫ было тщательно изучено в работах Б.В. Бирюкова рт Л.Г. Бирюковой, а впоследствии и З.А. Кузичевой. Выяснилось, что, реализуя генетическую программу обоснования математики рт представляя логику, — понимаемую как часть пауки о мышлении, — в качестве одной из «форм математики», братья Грассмапы в своем логическом учении строили структуру, именуемую в современной литературе дистрибутивной решеткой. Введение дополнений превращает ее в булеву алгебру. Постро-enpie последней было сделано совершенно независимо от работ Pix предшественников, причем примечательно: в своей алгебре логики Грассмапы использовали только прямые операции: логическое сложение (объединение классов, дизъюнкцию высказываний), логическое умножение (пересечение классов, конъюнкцию высказываний) и отрицание, трактуемое — в логике классов — как дополнение заданного класса до универсума. Совершенно необычным для алгебры логики того времени было ограничение логики понятиями с конечным объемом, что вызывалось спецификой использовавшихся Р. Грассмапом ипдуктив-по-рекурср1впых доказательств. Что же касается Г. Грассмапа, то выяснилось: в его исходных алгебраических построениях (выполненных до сотрудничества с братом) присутствовала аксиоматика (коммутативной) группы и по сути дела предполагалось понятие полугруппы.
В настоящее время авторами этртх строк подготовлен перевод всех философских и логических работ братьев Грассматтов, снабженный соответствующими научными комментариями рт подробным послесловием, что освобождает от необходимости вхо-
В работах Г.И. Малыхртттой логические идеи Р. Грассмапа были введены в контекст его философских, ттауковедческртх рт тео-логртческртх представлений. Дело в том, что жизненной целью Р. Грассмапа была разработка
энциклопедического « Здаттття зтта-ттртя». Оно должно было охватить, по замыслу, все, что представлялось автору входящим в современную ему ттауку — от есте-ствозттапртя рт техтшкрт до богословия.
Следует сказать, что анализировать грандиозную ттаучпо-фи-лософскуто конструкцию Р. Грассмана не просто. Его «Здание» включает, наряду с философией, естествознание, общественно-политические пауки, тщательно разработанное теологическое учение. Все это Р. Грассман пытается делать, придерживаясь выдвинутого им принципа «строго научного подхода»; однако вне сфер математики и логики использование этого принципа оказывается достаточно призрачным.
Хотя определяющей для всей конструкции Р. Грассмана была установка па разработку строго научной методологии, сопровождаемая критикой «спекулятивной философии», изложенное им «Здание знания» само представляло умозрительное учение. Правда, его онтологическая часть отражала тот значительный интерес, который этот автор проявлял к паукам о природе.
Р. Грассман считал, что построение всеобъемлющей системы научного знания возможно лить па основе «точного формального метода» — метода, копировавшего генетическую конструкцию «теории величин» и переносившего ее па материал, где этот метод заведомо не применим. Впрочем, Р. Грассман был достаточно «методологически чуток» и не противопоставлял свой метод опытному знанию: научная методология, по его замыслу, должна иметь в своей основе триаду «опытный источник знания — математические средства позпания — критический философский анализ утверждений пауки». Что касается методологии, то, по мнению Р. Грассмана, ей необходимо выработать принципы «строго научного мышления». Эту задачу он пытался решить в «Учении о пауке», сочинении, опубликованном в Штеттине (где вышли все работы Р. Грассмана) в 1875/76 гг., а также в двух томах «Здания знания» (1890). Для достижения этой цели Роберт предполагал создать «строго научный» искусственный язык. Этот язык, в отличие от естественного языка, должен был обеспечивать объективность и однозначность научных результатов. Но предлагаемый им вариант такого языка сводился к тому, что было изложено в его сочинении «Учение о формах» (в его вариантах 1872 и 1895 гг.). Очевидно, что язык этот был слитком слаб даже для формализации математики: отсутствие в нем кванторов делало его непригодным для формального представления действительных чисел и анализа.
В оценке философских взглядов Р. Грассматта мы присоединяемся к квалификациям Г.И. Малыхиттой. Она показала, что ой придавал болыттое значение естественным паукам, считая их фундаментом «здания знания»: согласно Р. Грассматту, пауки о природе призваны вскрыть «первопричины и принципы реально существующего». Онтологическое учение Грассматта содержит положения, относящиеся к различным областям знания. В их числе встречаются механика, физика, химия, астрономия, биология, геология, анатомия, медицина, антропология. К сожалению, многие из этих положений неубедительны. Вместе с тем, отмечала Г.И., этим автором выдвинут ряд свежих идей относительно путей формирования технических дисциплин тта базе взаимодействий и синтеза опытных и теоретических наук. Однако, с увлечением обращаясь к миру естествознания, математики и логики, Р. Грассматт всегда имел в виду то, что было для ттего высшей истиной, — теологическое учение.
В сочинениях Р. Грассматта д. х р од ставл он 3) объективно-идеалистическая картина мира. Мотивом для ее разработки и радикального отвержения «старой» методологии служило убеждение в недостаточности философских принципов материалистической метафизики для решения естественнонаучных проблем. Отсюда критика им прежних философских систем «спекулятивной философии », в частности гегелевской. Правда., следуя Гегелю, в качестве фундаментальной характеристики процесса развития отт признавал диалектические противоречия.
Роберт Грассматт, как и его старший брат — Герман, был глубоко религиозным человеком, и неудивительно, что отт чаще всего обращался к Платону и Лейбницу. Создатель «Здания знания» отвергал катттовский априоризм в вопросе о категориальных формах познания внешнего мира. В этом отношении отт был вполтте «материалистом» в смысле Лепила.
В российской пауке при анализе развития философии математики в конце XIX — начале XX столетия тте всегда подчеркивается различие аксиоматического метода, теоретико-множественного подхода и генетической установки. Это имеет свое оправдание: эти три направления совместны и дополняют друг друга при условии, что противопоставление конструктивного подхода математической «классике» тте заостряется. Мы отчетливо
чувствуем это, например, в работах И.И. Жегалкитта, в которых, как мы видели, присутствует как теоретико-множественное мышление, так и «оперативная» установка, реализованная в его арифметике вычетов по модулю 2, содержится алгоритм доказательства массива теорем пропозициональной логики (Иван Иванович имел перед глазами первый том «Principia Matherriatica»). И мы понимаем, почему И. Бурбаки утверждали, что под чистой математикой Герман Грассмап «отчетливо понимал аксиоматическую математику в современном значении слова». Хотя в явной форме к аксиоматическому («евклидову») способу изложения своего «учения о протяжеппостях» он обратился только во втором издании своего главного математического труда, но уже его арифметика, отчетливо рекурсишго-ипдуктиштая, позволила Хао-Вапу [16] так ее реконструировать, что она предстала в аксиоматической форме и с использованием теоретико-мпожествеппых операций.
Мы показали, сколь многообразны были формы и направления, в которых отечественная мысль на протяжении двух столетий старалась вобрать в себя — и развить далее — достижения мировой философско-логической, логико-математической и историко-ттаучпой мысли. Напт рассказ, разумеется, не претендует па полноту Например, мы оставили в стороне громадную проблему логической классичпости/пеклассичпости. Но основные вехи, как думается, нами расставлены.
Литература
[1] Грассмап Г. Чистая математика и учение о протяженности / Перев. П.С. Юткевича // ТТовые идеи в математике. Сборник 1. СПб, 1913. С. 78-95.
[2] Каган В.Ф. Теоретические основания математики // Энциклопедический словарь «Гранат». Т. 11, VTT.
[3] Яновская С.А. Категория количества у Гегеля и сущность математики. // Под знаменем марксизма. Ежемесячный философский и обществ[енно]-эконом[ический] журнал. М., 1928, № 3. В подстрочном примечании к статье указано: «Из доклада, читанного в семинаре по Гегелю на естественном отделении Института Красной Профессуры».
[1] Грассмап Г. Чистая математика и учение о протяженности. С. 69.
[5] «Философская энциклопедия». 1960. Т. 2; 1967. Т. 1.
[6] Яновская С.А. Предисловие к русскому переводу // А. Тьюринг. Может ли машина мыслить? С приложением статьи Дж. фон ТТеймана «Общая и логическая теория автоматов». Редакция и предисловие С.А. Яновской. М., 1960. С. 10, 17.
[7] Жсгалкин И.И. Трансфинитные числа. М., 1907.
[8] Жсгалкин И. И. О технике вычисления предложений в символической логике // Матем. сб. 1927. Т. 3-1, вып. 1. С. 9.
[9] Жсгалкин И.И. Арифметизация символической логики // Матем. сб. 1928. Т. 35, вып. 3-1; 1929. Т. 36, вып. 3-1; Он Met. К проблеме разрешимости // Матем. сб. 1939. Т.6 (18), вып. 2; Он Met. Проблема разрешимости на конечных классах // Ученые записки. МГУ. 1916. Вып. 3-1.
[10] Шурапов Б.M. Иван Иванович Жегалкин: вклад в математическую логику // Вестник Международного славянского университета. Вып. -1. М., 1998. С. 32-33.
[11] Новоселов H.H. Эффективизм // Философская энциклопедия. 1970. Т. 5.
[12] Бирюкова Л.Г., Бирюков Б.Б. Из истории генетического метода: об одном опыте осмысления грассмановской индуктивно-рекурсивной арифметики (В.Ф. Каган) // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы VI Международной научной конференции. [СПб], Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2000.
[13] Бирюкова Л.Г., Бирюков Б.Б. «Учение о формах (величинах)» Германа и Роберта Грасманов как предвосхищение конструктивного направления в математике Т. // Вопросы кибернетики. Кибернетика и логическая формализация. Аспекты истории и методологии. М., 1982 [Издание научного совета по кибернетике АТТ СССР].
[11] Бирюков Б. Грассман Роберт // Философская энциклопедия. I960.Т. 1.
[15] Малыхина Г.И. Логические исследования Роберта Грассмана. Дисс. канд. фи-лос. наук. ,ГГ., 1981.
[16] Иао Wang. The axiomatization of arithmetic // Journal of Symbolic Logic. 1957. Vol. 22. P. 1 15-158.
