CC BY
41Логика альтернативного отношения следования1
В.И. ШАЛАК
abstract. In the present paper we present the logic corresponding to our alternative definition of logical consequence. We prove soundness and completeness theorems for this logic.
В настоящей статье будет построена логика ACL, являющаяся аксиоматизацией альтернативного отношения логического следования, определенного в [4|.
1 Логика ACL
Фиксируем язык:
1. Var — множество пропозициональных переменных;
2. & , V, — — логические связки.
Определение формулы — обычное.
Пусть Val = {0, l}Var — множество приписываний истинностных значений пропозициональным переменным нашего языка. Обычным образом мы распространяем функции приписывания истинностных значений па все формулы языка:
1. v(—A) = 1 - v(A);
2. v(A & B) = min(v(A),v(B));
3. v(A V B) =max(v(A),v(B)).
'Работа поддержана РГНФ. Грант .V® 04-03-02660.
По определению вводим связки: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. A D B = -A V B ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. A = B = (A D B)&(B D A)
Теперь мы хотим определить па семантическом уровне отношение следования Г = A.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Из множества формул Г = [Bl,...,Bk} A (Г |= A)
ет булева функция f : {0,1}k —> {0,1}, которая позволяет для произвольного приписывания v Е Val на основании оценок v(Bi),... ,v(Bk) вычислить оценку v(A) то есть v(A) = f (v(B1),...,v(Bk)).
{B\,... ,Bk} = A ^ 3fVv(v(A) = f (v(Bl),v(Bk)))
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Выводимостью будем называть выражение вида Г Ib A, где A — формула, а Г = {Bi,..., Bk) — конечное множество формул логики высказываний. Будем называть множество формул Г посылками выводи мости, а формулу A — заключением.
Аксиоматизацию отношения следования представ»™ в виде набора выводимостей и правил перехода от одних выводимостей к другим. Формулы, доказуемые в классической логике выска-зываттии, будем обозначать посредством b A.
А.1 A V-A
А.2 A,B Ib A & B
A.3 A Ib -A
R.l b A = B A Ib B
R.2 Г Ib A и A, A Ib B =ф Г, A Ib B
Заметам, что в правиле R.l мы используем ссылку па доказуемую в классической логике эквивалентность. Эта ссылка позволила нам дать компактную аксиоматизацию, по не является обязательной. С равным успехом мы могли бы оставить одно лить правило R.2, a R.1 заменить па несколько аксиом, соответствующих аксиомам булевой алгебры, по правилу: если A=B
A I B B I A
Дадим определение доказательства в нашем исчислении.
261
В.PL ilicuictk
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Доказательством называется непустая конечная последовательность, каждый из элементов которой является либо доказуемой формулой классического исчисления высказываний вида A = B, либо аксиомой-выводимостью А.1-А.З, либо выводимостью, полученной из предыдущих элементов последовательности по правилам R.1-R.2. Доказанной считается выводимость, являющаяся конечным элементом последователь-поста.
Покажем непротиворечивость построенного исчисления. Для этого нам надо показать, что всякая доказуемая выводимость обладает свойством следования.
ТЕОРЕМА 6. Логика ACL непротиворечива. Если Г Ib A, то Г |= A.
Доказательство. Для начала проверим аксиомы А.1-А.З.
A.I v(A V-A) = max(v(A), v(-A)) = max(v(A), 1 - v(A)) = 1.
A.2 v(A&B) = min(v(A),v(B)).
A.3 v(-A) = 1 - v(A).
Теперь проверим, что правила R.1-R.2 сохраняют свойство следования.
Если Г = {Bi,... ,Bk}, то v(r) будет служить сокращением для < v(B1),..., v(Bk) > R.l
+1. h A = B
v(B) = v(A) v
R.2
+1. v(A) = f (v(r)) +2. v(B)= g(v(A),v(A))
3. v(B) = g(f (v(r)), v(A)) - из 1, 2 подстановкой
Покажем, что построенное нами исчисление нетривиально, то есть существуют выводимости, которые в нем недоказуемы. Для этого достаточно привести пример выводимости, не обладающей свойством следования. Самый простой пример такой выводимости — это 0 I р. Так как множество 0 пусто, то значение v(p)
должно быть константным во всех моделях, что очевидным образом не имеет места. Q.E.D.
Доказанная выше теорема хоть и названа нами теоремой о непротиворечивости, по это скорее дань традиции, так как пи о какой непротиворечивости в объектном языке речь не идет. Мы всего лить показали, что аксиомы обладают свойством вычислимости истинностного значения заключения па основании истинностных значений посылок, и правила вывода сохраняют это свойство.
Доказательство теоремы о непротиворечивости интересно тем, что оно более глубоко раскрывает суть предложенной семантики. Каждой из аксиом А.1-А.З мы сопоставили свою функцию (свой алгоритм) вычисления истинностного значения заключения на основании истинностных значений посылок. Аксиоме А.1 мы сопоставили константную функцию, которая может принимать лить значение 1. Аксиоме А.2 мы сопоставили стандартную функцию, которая вычисляет истинностное значение формулы конъюнктивного вида па основании истинностных значений конъюнктов — min(x, у). Аксиоме А.З мы сопоставили функцию, вычисляющую значение формулы, главный знак которой отрицание — 1 — x. Правилу R.1 мы сопоставили тождественную функцию id(x) = x, а правило R.2 — это правило суперпозиции функций, позволяющее строить из простых функций более сложные, или, если говорить об алгоритмах, это правило Pix сочленения. Семантическим коррелятом любой доказуемой выводимости всегда будет некоторая суперпозиция исходных функций. Ни о какой истинности аксиом речь не идет и вообще идти не может. Функции и алгоритму нельзя сопоставить никакого истинностного значения. Каждый алгоритм правилен по определению, так как он позволяет вычислять именно то, что он вычисляет. Истинными или ложными могут быть лить утверждения о свойствах алгоритмов. Например, действительно ли они позволяют вычислять то, к чему Pix хотят применить, по это уже совершенно другой вопрос.
Теорема о непротиворечивости имеет очевидное, по очень важное следствие.
СЛЕДСТВИЕ 7. По всякому доказательству Г lb A в логике ACL мы можем синтезировать функцию, которая вычисляет
A
Г
Смысл этого следствия в том, что как»тм бы сложным тти было рассуждение, построенное в рамках этой логики, знание истинностных значений посылок является достаточным условием знания истинностного значения заключения, к которому это рассуждение привело.
ЛЕММА 8. Следующие выводимости доказуемы в логике A CL.
Доказательство. A l A Т.2 h A =^lb A
T.3b A (Г, A lb B Г lb B) T.4 I—A (Г, A lb B Г lb B) T.5 h A = B (Г lb A Г lb B) T.6 h A = B (Г, B lb C Г, A lb C) T.7 Г, A lb B ^ Г,-A lb B Т.8Г lb A ^ Г lb -A T.9 A,B lb A V B Т.10Г lb A Г^ lb A
A l A 1. h A = A A l A
- КИВ
- из 1 по R.l
T.2 h A =^lb A hA
2. h (A V-A) = A
3. A V-A lb A lA
- из 1 по КИВ
- из 2 по R.l
- из 3, А.1 по R.2
Т.З Ь А =Ф (Г, А II В =Ф Г II В) +2. Г, А II В
3. II А -из 1 по Т.2
4. Г II В - из 2, 3 по 11.2
Т.4 I—'А (Г, А II В Г II В) +2. Г, А II В
3. II -А - из 1 по Т.2
4. II --А - из 3, А.З по 11.2
5. Ь --А = А - КИВ
6. --А II А - из 5 по 11.1
7. II А - из 4, 6 по 11.2
8. Г II В - из 2, 7 по 11.2
Т.5 Ь А = В (Г II А =ф Г II В) +2. Г II А
3. А II В - из 1 по ИЛ
4. Г II В - из 2, 3 по 11.2
Т.6 Ь А = В (Г, В II С
+2. Г, В II- С
3. А II В
4. Г, А II С
Г, А II С)
- из 1 по 11.1
- из 3, 2 по 11.2
T.7 Г, A II B ^ Г,-A II B Г, A I B
2. -A II --A
3. h -A = --A
4. -A II A
5. Г,-A II B
- A.3
- КИВ
- из 2, 3 по T.5
- из 4, 1 по R.2
+1. Г, -A I B
2. A II -A
3. Г, A II B
- А.З
- из 2, 1 по R.2
Т.8Г II A ^ Г II -A
2. A II -A -А.З
3. Г II -A - из 1, 2 по R.2
Г I A
2. -A II --A
3. h A = --A
4. -A II A Г I A
- А.З
- КИВ
- из 2, 3 по Т.5
- из 1, 4 по R.2
A, B I A V B
1. -A, -B II -A & -B - А.2
2. -A, -B II -(-A & -B) - из 1 по Т.8
3. h -(-A & -B) = A V B - КИВ
4.-A, -B II A V B -изЗпоТ.5 A, B I A V B
Т.10 Г lb A
Г,В lb A
Г l A
2. A, В у-В lb A&(B У-В)
3. b A&(B У-В) = A
4. A, В У-В lb A
5. В, -В lb В У -В
6. В lb В У -В A, В l A
Г В l A
- А.2
-кив
- из 2, 3 по Т.о
- Т.9
- из о по Т.7
- из 4, 6 по R.2
- из 1, 7 по R.2
Лемма доказана.
Следующая теорема дает ответ па вопрос о том, достаточны ли принятые нами способы умозаключений для представления всех возможных выводов, которые согласуются с новым понятием следования?
ТЕОРЕМА 9. Логика ACL полна. Если Г = A, то Г lb A.
Доказательство. Пусть Г = {В\,..., В^}, и существует такая булева функция f, что для произвольного приписывания истинностных значений v имеет место v(A) = f (у(В\),..., у(Вк))■ Это означает, что существует состоящая из формул В\,..., В^ булева комбинация A', которая эквивалентна A.
Доказательство будем проводить индукцией по степени формулы A' рассматривая формулы В\,..., Вk как атомарные. Возможны четыре случая:
[1] A' = Вг f (v(Г)) = v^i)
1. Вг lb Вг - Т.1
1.В1,...,Вк lb Вг - из 1 по Т.10
[2J A' = -В
f НГ)) = 1 - д^(Г))
Г l В
- иттд. дотт
- из 1 по Т.8
Г l В
270
В.PI. IlIcUIctK
[3] A' = B&C +1. Г ив
+2. Г l С
3. B,C l B&C
4. Г l B&C
f (v(r)) = min(g(v(r)),h(v(r)))
- иттд. доп.
- ИТТД. доп.
- A.2
- из 1, 2, 3 no R.2
[4J A' = B V C +1. Г l B +2. Г l C B, C l B V C Г l B C
f (у(Г)) = тях(д(у(Г)),Н(у(Г)))
- ИТТД. доп.
- ИТТД. доп.
- Т.9
- из 1, 2, 3 по R.2
Теорема доказана.
Возможна натуральная ACN формулировка логики.
Правила ВЫВОД £11
N.l A V —A
N.2 A =^—A
N.3 A,B A&B
N.4 (h A = B и A) B
Г
A
тельность формул < Ai, A2,..., Ak >, каждая из которых либо
Г
мул последовательности по одному из правил вывода N.1-N.3, либо классически эквивалентна одной из предыдущих формул последовательности N.4, pi конечным элементом последовательности является формула A (Ak = A).
Доказательство эквивалентности двух формулировок тте представляет никакой трудности. Легко показать, что выводимость Г l A доказуема в ACL, е. т. е. существует натуральный вывод формулы A из множества формул Г в логике ACN.
Г
ством гипотез, так как понятие гипотезы песет ненужную смысловую нагрузку, предполагая, по крайней мере, веру в ее истин-
Г
тте важны.
2 Теории на основе логики ACL
Ценность классической логики заключается не столько в ней самой, сколько в том, что на ее основе мы можем строить теории, принимая в качестве дополнительных аксиом формулы, не являющиеся логически общезначимыми. Возможны ли аналогичные построения па основе логики ACL? Да, возможны. Для построения теорий па базе логики ACL мы добавляем к логическим аксиомам-выводимостям дополнительные постулаты-выводимости, а па уровне семантики каждому такому постулату сопоставляем свою булеву функцию, позволяющую вычислить истинностное значение заключения па основе истинностных значений посылок.
£1 lb Ai -yv(v(Al) = fi(v(£1))
£2 lb A2 -yv(v(A2) = h(v(E2))
£n lb Ara -Vv(v(An) = fn(v(£n))
Если сравнить это построение с построением теорий в классической логике, то можно провести следующее различие. В классической логике, добавляя новые аксиомы, мы ограничиваем множество моделей, в которых они истинны, pi тем самым увеличиваем информативность теории. В логике ACL ситуация несколько иная. Каждая новая аксиома в пей содержит информацию о том, как связать булевой функцией посылки pi заключение. Если теоррш на базе классической логики можно назвать теориями знания, то теоррш па базе ACL являются теориями умений. Каждая новая аксиома-выводимость фиксирует некоторое умение. ACL-теория — это некоторое множество алгоритмов, а не множество формул, которые могут быть истинными или ложными. Относительно набора внелогических постулатов-выводртмостей имеет смысл лить вопрос о том, действительно ли сопоставленные им алгоритмы решают именно те задачи, которые PiM атрибутируются?
Рассмотрим теорию, состоящую из следующих постулатов-
272
В.И. Шзлйк
выводи мостей:
Р.1 р 1Ь д -у(д) = 1й(у(р)) Р.2 р 1Ь 8 -у(в) = Ы(у(р)) Р.З 8 1Ь д —и(д) = 1 — ф)
Очевидно, что в ней мы можем вывести р 1Ь д двумя способами. В первом случае вывод состоит из одного птага — это просто постулат Р.1. Во втором случае ттапт вывод будет состоять из применения правила 11.2 к постулатам Р.2 и Р.З. При этом в первом случае мы имеем у(д) = гй(у(р)), а во втором — у(д) = 1 — гё(у(р)). Налицо явное противоречие. Тем не менее, оно тте является критическим, т.е. не разрушает всю теорию. В этой теории мы тте можем вывести все что угодно, в частности, мы не выведем ни д 1Ь з, ни д 1Ь р. Противоречие остается локальным и всего лить сигнализирует о том, что па семантическом уровне постулаты Р.1-Р.З не слринком хоропто согласованы друг с другом рт требуют уточнения. То есть теорртя остается, а требуется изменить семантику. Можно прртвестрт живой пример для иллюстрации сказанного. Когда-то каждый врач умел делать кровопускание, которое, как считалось, помогает чуть ли не пррт всех болезнях. Позже обнаружилось, что в некоторых случаях кровопускание может ухудшить состояние больного. В результате были уточнены те условия, пррт которых кровопускание приносит пользу или вред, рт его применение было продолжено, но в ограниченных случаях.
Попробуем проанализировать данный пример с более общих позиций. В случае чртстой логики АСЬ семантическая связь между посылками рт заключением выводимости основана исключительно па булевых функциях, соответствующих логическим связкам, рт потому проблем тте возникает. Легко показать, что для каждой доказуемой выводимости вида Е\,..., Вк А формула А эквивалентна некоторой булевой комбинации формул В1,..., Вк- Поэтому истинностное значение формулы А однозначно определяется исходя из значений формул В1,..., Вк, а еслрт быть более точным, то исходя ртз истинностных значений, приписанных пропозициональным переменным, входящим в этрт формулы. Еслрт же мы переход»™ к построетппо теорртй тта базе
логики ACL, то ситуация меняется, так как формула заключения постулата-выводимости, как правило, не является логически эквивалентной никакой булевой комбинации посылок. Простой пример — постулат Р.1. Поэтому смысл доказуемых вы-водимостей в теориях меняется. На уровне семантики мы можем рассматривать лить частичные функции приписывания истинностных значений, достаточные для того, чтобы означить все формулы посылок. Заключение же постулата-выводимости па семантическом уровне говор pit нам о том, как эта частичная функция может быть расширена. В случае применения постулата Р.1 нам достаточно рассмотреть лить две частичные
vi v2
определены лишь на переменной p и сопоставляют ей vi(p) = 1 и v2(p) = 0. Семантика данного постулата требует расширить эти функции до vi2 и v22 и определить их па переменной q таким образом, что vi2(q) = vi2(p) = vi(p) = 1 и v22(q) = v22(p) = v2(p) = 0
ирге информации от посылок к заключениям, что классической логике несвойственно.
Возможны pi более сложные случаи. Рассмотрим пример со следующим постулатом:
Р.4 p lb q&s - v(q&s) = id(v(p))
vi v2
лишь на переменной p таким образом, что vi(p) = 1 и v2(p) = 0.
vi vi2 qs
vi2(q) = vi2(s) = vi2(p) = vi(p) = 1. Функция v2 имеет три возможных расширения v22, v23 и v24:
1. v22 (q) = v22 (p) = v2(p) = 0, v22 (s) = 1
2. v23 (s) = v23 (p) = v2(p) = 0, v23 (q) = 1
3. v24 (q) = v24 (s) = v24 (p) = v2(p) = 0
Все четыре функции vi2, v22, v23 и v24 удовлетворяют семан-тртческому условрпо для данного постулата.
Теперь становится попятным, когда постулаты теоррш могут вступать в протртворечрте друг с другом. Это случается тогда,
27 J
В.PL IlIcUIctK
когда не существует ira одного приписывания истинностных значений, которое одновременно удовлетворяло бы семантическим условиям всех постулатов.
Приведем примеры из реальной человеческой практики, которая может быть охарактеризована с точки зрения логики уметши. Самый яркий пример — это современная медицина. Она представляет собой гигантскую по объему накопленного опыта и очень важную область деятельности, которую до сих пор невозможно описать и систематизировать с точки зрения логики. Как заметил несколько лет назад В.А. Смирнов, единственным теоретическим достижением в медицине является вакцинация с целью выработки иммунитета против различных инфекционных заболеваний. Все остальное — это просто набор рецептов или умений для различных конкретных случаев. Медицинские вузы тте готовят профессиональных врачей. Полноценными врачами становятся лить после многих лет ежедневной практики, с накоплением опыта в своей конкретной области. При этом опыт одного врача может вступать в явное противоречие с опытом другого врача, хотя в то же время оба могут похвастать хорошими результатами в диагностике и лечении заболеваний. С этим фактом уже столкнулись разработчики медицинских экспертных систем. Они знают, что для получения хорошей базы знаний лучше прибегнуть к опыту одного среднего специалиста, чем работать и консультироваться с несколькими высококлассными. Зачастую врачи даже тте могут четко объяснить, почему в том или ином котткретттом случае отти принимают определенное решение. Отти просто принимают решение — и все. Их частный опыт свидетельствует, что в этой ситуации данное рептеттие наиболее оптимально. Полезтто сравнить европейскую медицину с восточной. Там есть теория и есть однозначные правила объяснения, почему в тех или иттых случаях необходимо поступать так, а тте иначе. Европейская медицина очень ттеохоттто пользуется опытом восточной из-за очень спекулятивных и ттеясттых предпосылок, которые лежат в ее осттове. Но факт остается фактом — практически вся европейская медицина — это ттабор уметши, тто тте знаний, как мы их привыкли понимать.
В связи с этим уместно опять обратиться к книге А.М. Алисова [1], где отт пишет о так называемой рецептурой математике.
«... математические знания на Древнем Востоке добывали и обосновывали без строгих рассуждений, т.е. без доказательств! Вместо доказательств учащиеся должны были усваивать разнообразные инструкции по решению математических задач. Это были своего рода рецепты получения ответов, поэтому такую математику и называют рецептурной» (с. 13).
Создается впечатление, что автор преклоняется перед красотой доказательной математики и забывает о том, что равное право па существование имеет вычислительная математика. Возможно, если бы влияние эллинизма не было исторически столь сильным рт подавляющ»™, па Востоке развилась бы именно вычислительная математика, тем более что к этому уже были практические предпосылки. Читаем Д c\i«JT b III О»
«... числа древними представлялись наглядно, например, как ряды камешков или наборы геометрических точек. Результат сложения чисел п и ш мог быть получен путем подсчета соответствующего числа камешков или точек»(с. 13).
Заметам, что если числа представлялись камешками или точ-камрт, то это уже была некоторая абстракция числа. То есть конкретный материальный носитель не был важен, он всего лить служил для наглядного представления числа. Результат, полученный с помощью камептков, затем переносился па яблоки, рабов, метки с мукой и пр. Как тут не вспомнить машину Тьто-ppinra, в которой числа представляются посредством черточек па бумаге, и результат сложения чисел п и т получается путем подсчета соответствующего числа черточек. Не нужно было мептать Pix операциям с камешками. Для них это было естественно. Вот как описываются в книге [2] правила вычисления па абаке — древнем вычислительном устройстве, появившемся у греков в IV веке до паптей эры, то есть именно во времена походов Александра Македонского.
«... будем представлять себе "обычные" компьютеры устроенными примитивно, на уровне каменного века. Его регистры мы представляем себе как емкие нумерованные ящики, способные вместить произвольное число камешков — ни одного, один, два и т.д., так что [п] есть число камешков в ящике с номером п. В роли "машины" действует человек, способный к выполнению двух видов операций:
• добавить один камешек к их груде, лежащей в ящике с номером п,
276
ТЗ.Т'Т. ТТТалак
• забрать один камешек из груды, лежащей в ящике с номером п, если там вообще есть хоть что-нибудь»(с. 82).
Далее в [2] показывается, что с помощью такого «примитивного» устройства вычислимы все (!) рекурсивные функции. Народам Древнего Востока нужно было и далытте упражняться в счете па абаке, по па их беду пришли эллитты со своими взглядами па то, что достойно внимания «истиппого» ученого, а что — нет, рт занятие счетом было прервано. Ученые рассуждали о вечных идеях, а счет был отдай людям более низкого звания — купцам рт торговцам. Грекрт, находясь под гршпозом ртдей сво-pix велрткртх фртлософов, оказалртсь просто неспособны увртдеть в абаке большее, пежелрт простое перекладыватгае камептков для вычисления n + m. Понадобилось пройти тысячелетиям, чтобы pickvcctbo счета вновь стало предметом научного апалртза, воз-тгакла теоррга вычртслршых функций и появились компьютеры. Следующее утверждение А.М. Атгасова [1] весьма пеодпозпач-
«Одним из отличительных признаков научного знания является доказательность. Отсюда получается, что рецептурное знание, в частности, рецептурная математика Древнего Востока, науки не образует и наукой не является. Математика стала наукой лить тогда, когда древние греки открыли идею математического доказательства»(с. 15).
Если в качестве одного из обязательных признаков научного знания принять его доказательность в том же смысле, как погашал его Аристотель, и понимают его последователи вплоть до сегодняшнего дня, то вполне естественно, что математика Древнего Востока наукой не является. Но выше мы уже показали, что классическое определение отношения следования базируется па вполне определенных и давно устаревших философских предпосылках, имеет много недостатков и никоим образом не может претендовать па роль Богом данного и единственно правильного. В основе рецептурной математики лежит логика, аналогичная построенной нами логике ACL, отношение следования в которой имеет вычислительную природу. Путем построения выводов в такой логике легко синтезировать правила сложных вычислений па основе набора более простых. Вряд ли можно
оспаривать тезис о том, что паука должна быть доказательной, по не следует сводить при этом понятие доказательства к тому специальному виду, как его понимали древние греки. Возможно, в данном случае более уместно было бы говорить не о доказательствах, а о дедукции, как более общем понятии.
В связи с этим в заключение мы хотели бы обратиться к работе В.А. Смирнова [3], в которой он рассматривает генетический метод построения научной теории. Дело в том, что развиваемый нами подход, если говорить о его идейной стороне, далеко не нов. К этому же в разное время, каждый по-своему, обращались и многие другие исследователи. В.А. Смирнова интересуют общие принципы построения таких теорий, суть которых он видит в следующем.
«При генетическом подходе отправляются как от исходного от некоторых наличие данных объектов и некоторой системы допустимых действий над объектами. В генетической теории процесс рассуждения представлен в "форме мысленного эксперимента о предметах, которые взяты как конкретно наличные"» (с. ••123).
Он задается вопросом «Существует ли вообще аксиоматическое исчисление, полностью формализующее генетическую систему мышления»? Возможным ответом является логическое представление теории рекурсивных функций.
«ТТо такой путь уточнения генетического метода построения научных теорий приводит нас к необходимости расширить область логического и сделать предметом изучения логики такие элементы, как действия, аналогично тому, как это имело место с отношениями, и такие формы мысли, как предписания и системы предписаний (алгоритмы). В этой связи ясно, что системы общерекурсивных функций (или эквивалентные им уточнения, как нормальные алгорифмы Маркова, машины Тьюринга и т.д.) являются логичеекми формализмами, т.е. формализмами, представляющими логический процесс в широком смысле. В таком случае под логическим мы понимаем не только доказательство (обоснование одних высказываний посредством других), но и процесс сведения одних "стратагем действия" к другим»(с. '130).
В.А. Смирнов делает интересное наблюдение.
«Если мы обратимся к истории, то увидим, что так же как и аксиоматический, генетический метод имеет далекую родословную. В частности, мы считаем, что метод "ТТачал" Евклида и дедуктивный метод Декарта ближе к генетической форме дедуктивного метода, чем к аксиоматической.
Обращаясь к античному миру, — а в нем умозрительный, дедуктивный метод был господствующим, — мы обнаруживаем не одну, а три концепции дедуктивного метода, три теории доказательств: платоновскую, аристотелевскую
278
В.ТТ. ТТТалак
и евклидову. Первые две можно рассматривать как прототипы современного аксиоматического метода. ТТо концепция, проводимая в "Началах" Евклида, скорее является прототипом генетического метода, чем аксиоматического, хотя впоследствии "ТТачала" Евклида толковались в духе аксиоматического метода. Тот факт, что "ТТачала" Евклида не являются прототипом осуществления аксиоматического метода, осознается рядом логиков и математиков.
... Для Евклида изучаемые геометрические объекты не имеют идеального существования. Он не предписывал геометрическим объектам идеального существования, как это делал Платон.
Евклид исходит из элементарных объектов (точки, отрезки) и определенных операций, посредством которых образуются из первичных элементов объекты теории. Постулаты и выражают возможность осуществления определенных операций» (с. 131).
В конце статьи В.А. Смирнов перечисляет ряд выводов, к которым он пришел. Мы процитируем три из них.
«2. В основе генетической системы мышления лежат рекурсивные (алгоритмически развертывающиеся) процессы. Процессы умозаключения мы рассматриваем как один из видов логических процессов, причем сами умозаключения обосновываются алгоритмическими процессами над объектами теории.
6. В настоящее время актуальны разработка генетического метода с общелогических позиций, а также анализ возможностей его применения вне проблем обоснований математики. Актуальность этих проблем диктуется во многом развитием вычислительной техники и ее применениями.
7. Наконец, анализ генетического метода приводит вплотную к задачам создания конструктивной семантики и рассмотрения теории алгоритмов как части логики»(с. 135-136).
Мы не уверены, что В.А. Смирнов согласился бы с нами во всем, и потому не будем утверждать, что развиваем его идеи. Мы сами не во всем с ним согласны, и это нормально. Наши возможные ошибки и заблуждения — это именно ттапти возможные ошибки и заблуждения. В то же время, очевидно, что проблематика, которую затронул в своей статье В.А. Смирнов, теспейпшм образом связана с тем, что интересует и пас. До сих пор логика развивалась в основном как дескриптивная в своей основе, лить относительно недавно с возникновением интуиционизма и конструктивного направления в математике был совершен отход от этого. Тем тте менее, предлагаемые ими решения, па наш взгляд, половинчаты, так как они всего лить пытаются использовать результаты теории вычислимости, а тте включают ее в себя. Генетический же подход и подход логики умений, как мы
ее назвали, непосредственно включают в себя теорию вычислимости.
Все сказанное выше о логике ACL не предполагает, что ее построение завершено и па этом можно остановиться. Наоборот, естественным образом возникает целый ряд задач, решение которых может привести к новым интересным результатам. Перечислим часть этих задач.
• Провести анализ принципов построения теорий на базе ACL. В частности, имеет смысл подумать над обобщением определения понятия следования для теорий.
•
ские условия постулатов-выводимостей задаются не всюду определенными, а частичными функциями. Если вспомнить правило modus ponens из классической логики, то семантически это частичная функция, определенная лить для того случая, когда обе посылки истиппы. Лить при этом мы имеем право перейти от A и A D BkB.
•
до уровня логики предикатов.
•
История не знает сослагательного наклонения, но если бы Платону рт Аристотелю не было свойственно пренебрежительное отношение к изменяющемуся миру явлений, и если бы по-следутощрге поколения не были склонны столь послуптпо принимать все, что было сказано Pix предшественниками, пусть даже PI великими, то и будущее развитие пауки и культуры могло бы пойтр! совсем в другом направлении. Нас бы сейчас не волновали многие псевдопроблемы теоррга множеств и арифметики — существования бесконечных множеств, полноты и непротиворечивости (возможно, что теория множеств вообще не была бы создана, pi6o она является порождением платопистического взгляда па мир), а волновали бы совсем другие проблемы, те, которые изучаются в рамках теоррга вычислимых функций —
280
В.PI. Шзлйк
существования вычислимых функций, сложности вычислений и др. Но об этом можно только гадать, так как история не знает сослагательного наклонеттия.
Литература
[1] Анисов A.M. Современная логика. М., 2002.
[2] Вулис Док., Доксффри Р. Вычислимость и логика. Пер. с англ. М., Мир, 1991.
[3] Смирнов В.А. Генетический метод построения научной теории // Логико-философские руды В.А. Смирнова/ под ред. В.ТТ. ТТТалака. М.: Эдиториал УРСС, 2001.
[1] Шалак В.И. Альтернативное определение логического следования // Логические исследования. Вып. 13. М.: ТТаука, 2007.
