ЗАПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯ (Обзор) Текст научной статьи по специальности «Физика»

В.Д.Эрекаев

ЗАПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯ

(Обзор)

Каждая идея и каждое открытие имеют свою историю. Понятие запутанного (entangled) квантового состояния также имеет собственную историю, состоящую из четырех основных этапов. Во-первых, рождением самой идеи запутанного квантового состояния можно считать появление в 1935 г. статьи Альберта Эйнштейна, Бориса Подольского и Натана Розена (ЭПР) в журнале «Physical review» под названием «Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным?» (5). Сразу же после ее появления в ответ на затронутые авторами проблемы Н.Бор опубликовал свою точку зрения, после чего проходили длительные бурные споры между Эйнштейном и Бором. Бор сумел отстоять идеологию квантовой механики (КМ), но не убедил Эйнштейна в ее полноте. Во-вторых, в том же 1935 г. вышла статья Э. Шрёдингера (22), также посвященная обсуждению свойств запутанных состояний1.

Третий этап можно отнести к 1964 г., когда Дж. Белл (см. 7) вывел свои знаменитые неравенства, которые придали новый импульс исследованиям в этой области, а также позволили сформулировать ЭПР-парадокс в простой и наглядной форме (3; 4). Наконец, четвертый этап связывается с прогрессом исследований в области квантовой информации, а также,

1 Отметим, что само выражение «запутанное состояние» придумал Шрёдингер и впервые употребил в указанной выше статье. Русское слово «запутанность» соответствует английскому «entanglement», которое, в свою очередь, соответствует немецкому «Verschrankheit». Оно имеет также значение «скрученность» (contortedness). Его употребление имело своей целью попытку понять природу корреляций в классических терминах.

судя по всему, с качественно новым уровнем квантовых измерений - так называемой «экспериментальной метафизикой» (8).

Существенно отметить, что «новые приложения, объединенные термином "квантовая информация", возникли не столько при исследовании концептуальных проблем КМ, сколько при анализе специфики квантовой теории по сравнению с классической» (4, с.632). При этом характерна следующая оценка соотношения прикладных и концептуальных составляющих современной физики, высказываемая некоторыми физиками: «При желании вполне можно сказать, что работа над новыми экспериментами и новыми приложениями - это настоящая и притом очень интересная физика, тогда как парадоксы КМ - всего лишь философская (концептуальная, метафизическая) надстройка над ней» (там же). Другие же физики считают, что после появления статьи ЭПР, «запутанные состояния вот уже несколько десятилетий неразрывно связаны с обсуждением основ квантовой механики» (1, с.625). При этом «запутанные состояния являются основным объектом, позволяющим сделать выбор в пользу квантовой теории» (там же). Однако «безусловного экспериментального разрешения этого концептуального спора до сих пор не получено» (там же; см. также 20).

1. Что такое запутанные состояния?

В современной литературе запутанные состояния обсуждаются в основном с точки зрения их практического использования. Считается, что принципиальных проблем в этом вопросе не существует. «Для людей, профессионально работающих с квантовомеханическим формализмом (т.е. для большинства физиков), нет ничего парадоксального ни в ЭПР-парах, ни даже в очень сложных запутанных состояниях с большим числом слагаемых и большим числом факторов в каждом слагаемом» (4, с.636). В связи с этим физическая природа этих состояний почти не обсуждается, а практически полностью сводится к специфике КМ. Тем не менее, при внимательном чтении соответствующей литературы возникает много вопросов, которые не получили достаточного обоснования. Более того, складывается впечатление, что само существование запутанных состояний и успехи в их практическом использовании подтверждают и даже усиливают точку зрения, высказанную Р.Фейнманом, о том, что мы можем успешно применять КМ, но совершенно не понимаем ее. В пер-

вую очередь это касается вопроса о природе квантовых корреляций и нелокальности КМ.

Что же представляют собой запутанные состояния? Как они определяются в современной физике. Из стандартного курса КМ известны представления о трех основных видах состояний квантовых систем. Это чистые, смешанные и собственные состояния. Бурное развитие исследований запутанных состояний позволяет говорить о расширении списка фундаментальных квантовых состояний, к которым приковано самое пристальное внимание исследователей. Причем, как будет видно из дальнейшего, запутанные состояния могут быть как чистыми, так и смешанными. Сразу же отметим методологическую специфику определения понятия запутанных состояний: в подавляющем большинстве случаев они определяются через математические формулы, т.е. формально. Например, состояние квантовой системы без запутывания определяется с помощью выражения вида I*F> = Iy> 1ф>, где Iy> и 1ф> — состояния соответствующих подсистем. Подобное состояние называется факторизованным и фактически описывает автономность каждой из подсистем данной квантовой системы. Их автономность определяется тем, что произведение состояний дает возможность работать с совместными вероятностями, которые необходимы для расчетов конкретных значений соответствующих физических величин в КМ.

Простейшее запутанное состояние имеет вид:

I¥> = 1/V2(I^j> 1ф1> + Iy2> 1ф2>). (1)

Если полная система находится в состоянии (1), то состояние каждой из подсистем не является определенным. «Существует лишь корреляция, которую можно охарактеризовать так: если первая система находится в состоянии Iyi> (i= 1,2), то вторая — в состоянии 1ф>> (4, с.633). В более общем случае запутанное состояние имеет вид: I¥> = (1/Vn) S Iyi> L^>, т. е. может содержать более двух компонент или даже быть непрерывным.

Понятие корреляции играет, фактически, определяющую роль для понимания запутанных состояний. В большинстве случаев запутанные состояния определяются именно как состояния с квантовой корреляцией. Так, Б.М. Менский пишет: «Квантовая корреляция или запутанные (entangled) состояния (иначе, ЭПР-состояния) могут возникать в такой системе, которая состоит из двух (или более) взаимодействующих подсистем» (4, с.633). Из цитированных слов можно сделать вывод, что союз «или» указывает на тождественность (или, по крайней мере, на равно-

значность) этих понятий. Авторы статьи (1) также отмечают, что «запутанность» (entanglement) есть всего лишь особая квантовая форма корреляций. Однако следует четко различать два разных вида корреляций: квантовую и классическую. Квантовые корреляции невозможно описать, исходя из классических представлений, и это порождает трудности их понимания. В частности, оказалось, что понимание реальности (элемента реальности) в квантовой теории радикально отличается от классических представлений о ней, которые отстаивал Эйнштейн.

Обычно в качестве примера, при рассмотрении которого наиболее удобно провести различия между классическими и квантовыми корреляциями, выбирают так называемую ЭПР-пару, т.е. систему, состоящую в начальном состоянии из двух частиц со спином V и с равным нулю полным спином. В честь авторов статьи ЭПР, в которой впервые и были рассмотрены запутанные состояния, аналогичным образом называются ЭПР-состояния и ЭПР-корреляции. Физический смысл системы, состоящей из ЭПР-пары, довольно прост: первоначально имеется система с нулевым спином, которая распадается на две частицы со спином V, разлетающиеся на достаточно большие расстояния вплоть до пространственно-подобных.

2. Типы квантовой запутанности

Исследования последних двух десятилетий показали, что существуют различные типы запутанных состояний, причем, можно предположить, в дальнейшем будут обнаружены новые их типы. Приведем формулировки запутанных состояний для уже упоминавшихся чистого и смешанного состояний. При описании типов запутанных состояний будем следовать схеме, предложенной в статье (1).

2.1. Чистые запутанные состояния

«Чистым запутанным состоянием называется такое состояние составной квантовой системы р=Л + В +..., волновую функцию которого нельзя представить в виде тензорного произведения волновых функций составляющих ее частей» (1, с.628), т.е. в виде:

Тр Ф Та ® ... (2)

Волновые функции, которые можно представить в виде произведения (2), называются факторизуемыми и не содержат никаких корреляций. Методологическим критерием определения наличия корреляций здесь может служить операция усреднения операторов квантовой теории: если применить эту операцию к факторизуемому состоянию, то усреднение будет производиться для каждой части составной системы независимо. Естественно, при этом между частями отсутствуют какие бы то ни было корреляции. Из того, что наличие квантовой коррелированности ассоциируется с наличием запутанности, следует вывод, что факторизуе-мые состояния не могут быть запутанными. Следует также отметить, что невозможность представить запутанное состояние в виде тензорного произведения следует из его инвариантности относительно любых вращений системы координат. Однако оказывается, что между чистыми состояниями могут существовать корреляции и, следовательно, запутанность.

Таким образом, «чистые квантовые состояния бывают либо кван-тово-коррелированными (запутанными), либо вообще некоррелированными» (1, с.628). Примером чистого запутанного состояния является ЭПР-состояние. Особенностью ЭПР-состояния является то, что оно не просто запутанно, т.е. коррелированно, но еще и максимально запутано. Последнее означает, что для двухсоставной квантовой системы в запутанном состоянии частичная матрица плотности чистого состояния пропорциональна единичной матрице. Частичная матрица плотности представляет собой матрицу плотности, которая получается после частичного усреднения (на математическом языке - взятия частичного следа) по переменным любой из составляющих частей квантовой системы. Оказывается, что полученные в результате подобных операций матрицы плотности обладают способностью описывать состояния частей квантовой системы по отдельности.

Имеется существенное отличие частичных матриц плотности запутанных состояний от просто чистых квантовых состояний. Это отличие связано с энтропией системы: если для запутанных состояний частичные матрицы плотности обладают отличной от нуля квантовой энтропией, то энтропия чистого состояния составной квантовой системы равна нулю. Это отражает наличие или отсутствие взаимосвязи между флуктуациями

отдельных частей составной квантовой системы. «При этом степень их корреляции тем больше, чем более случайными они являются по отдельности, поскольку флуктуации в обеих независимо рассматриваемых частях составной системы обусловлены единым источником — чисто квантовыми флуктуациями в составной системе» (1, с.628). Последнее можно трактовать как переход (при независимом рассмотрении отдельных частей системы) чисто квантовых флуктуаций, отвечающих чистому запутанному состоянию составной квантовой системы, в классические флуктуации соответствующих частичных распределений вероятности (т.е. частичных матриц плотности). Такие флуктуации описываются энтропией распределений.

Степень запутанности двухсоставных чистых состояний можно количественно охарактеризовать с помощью меры запутанности, которая выражается в данном случае с помощью энтропии соответствующей части системы или через частичный след матрицы плотности. Другими словами, единица меры запутанности определяется основанием логарифма, входящего в формулу энтропии, т.е. по аналогии с единицами измерения информации. Для двоичного логарифма употребляется понятие «один бит запутанности», или e-bit (entanglement bit).

Важно, чтобы определения запутанных состояний и меры запутанности носили непротиворечивый характер. Для этого необходимо выполнение ряда условий, отвечающих смыслу запутанных состояний как «нелокального квантового ресурса» (1, с.628-629). Так, определения и свойства должны сохраняться при выполнении локальных квантовых операций и обмена классической информацией - LQCC-операций (local quantum [operations] and classical communication).

Суть LQCC-операций состоит в следующем. Пусть два пространственно удаленных друг от друга человека, например Алиса и Боб (традиционно используемые имена двух наблюдателей, участвующих в операциях с запутанными состояниями, в частности, в процедурах по квантовой телепортации), обладают разными частями запутанного состояния двухсоставной системы. Ими могут быть, например, спины ЭПР-пары. Алиса и Боб не имеют возможности осуществлять прямое когерентное взаимодействие между частями составной квантовой системы или передавать их друг другу. Общаться они могут только с помощью классических средств, например, передать информацию по почте или, наконец, позвонить друг другу по телефону. Алиса и Боб могут производить над своими частями составной квантовой системы любые квантовые опера-

ции, т. е. унитарные или супероператорные преобразования (2), а также квантовые измерения (в том числе неортогональные) (10). Полученной информацией они могут обмениваться только с помощью классических средств коммуникации. «Математическая структура определенных таким образом ЬрСС-операций очень сложна, но с практической точки зрения она представляется наиболее оправданной» (1, с.629). В результате проведения ЬрСС-операций мера запутанности заданного состояния в среднем может лишь уменьшаться. Это означает, что запутанность нельзя создавать только с помощью локальных средств, что «как раз и определяет смысл запутанных состояний как нелокального квантового ресурса» (там же).

Запутанность чистых состояний можно «разбавлять» или «концентрировать». Под этим подразумевается следующее. Предположим, что между Алисой и Бобом распределено п копий двухсоставных квантовых систем (например, пар спинов каждая из которых находится в запутанном состоянии, так что суммарная запутанность становится равной п-кратной мере запутанности. Тогда существуют такие ЬрСС-операции, которые позволяют из исходных двухсоставных систем получить т двух-составных систем, каждая из которых будет обладать волновой функцией 1у'>, причем в пределе п^да суммарная запутанность новых т-систем останется прежней. «Таким образом, в асимптотике бесконечного числа исходных объектов запутанность можно асимптотически обратимо преобразовывать. в более или менее запутанные состояния. В частности, исходные физические объекты, находящиеся в немаксимально запутанных состояниях, можно с сохранением общего количества запутанности преобразовывать в меньшее число объектов, которые находятся в максимально запутанных состояниях и, таким образом, наиболее полезны для практических приложений» (1, с.629).

2.2. Многосоставные квантовые системы

Изучение свойств многосоставных квантовых систем нетривиально и нередко неоднозначно. Наиболее широкую известность получили исследования ГХЦ-состояния - запутанного состояния трехсоставной квантовой системы, названного так по первым буквам фамилий трех авторов, впервые его рассмотревших (Гринбергер, Хорн, Цайлингер). В более общем случае роль запутанных состояний многосоставных кванто-

вых систем играют состояния типа «шрёдингеровского кота». Примером подобного состояния может служить состояние

= 1_ (|000...0> + |111...1>). (3)

N N

Ввиду большого количества входящих N частиц состояния 1000...0> и |111...1> должны описывать состояния макроскопических объектов. «Соответственно, состояние (3) описывает когерентную суперпозицию макроскопически различных состояний больших объектов подобно суперпозиции живого и мертвого состояний кота» (1, с.629). В последнее время появились возможности экспериментальной работы с аналогичными состояниями, правда, для сравнительно небольшого числа частиц.

Важным свойством многосоставных квантовых систем является невозможность сведения п-частичной запутанности к запутанности более низкого порядка. Это означает, что не существует обратимого преобразования друг в друга, например, двух ГХЦ-триплетов в три ЭПР-пары с помощью ЬрСС-операций даже в асимптотике большого числа их копий. Состояния типа «шрёдинге-ровского кота» как раз и являются примером таких неприводимых многочастичных запутанных состояний.

2.3. Смешанные запутанные состояния

В отличие от чистых состояний, в которых любые корреляции являются квантовыми, смешанные состояния, описываемые матрицами плотности, в определенной степени являются аналогами классических статистических ансамблей, так как они могут включать в себя и классические корреляции. Для разделения корреляций на классические и квантовые вводят представление о сепарабельных (т.е. классически-коррелированных) квантовых состояниях. Их можно записать в виде

(4),

где р - некоторые матрицы плотности составных частей рассматриваемой квантовой системы (1 = 1,..., N 8 = А, В,...). Каждое слагаемое

суммы (4) описывает статистически независимые (мультипликативные) состояния подсистем А, В,... составной квантовой системы Q, а суммирование по индексу i (некогерентное смешивание) определяет наличие классических корреляций. Такие матрицы плотности «можно приготовить локально, т.е. используя локальные квантовые операции и обмен классической информацией, не обладая изначально никакими запутанными состояниями. Именно в этом смысле они не являются квантово-коррелированными. Состояния, которые нельзя представить в виде (4), называются несепарабельными, или смешанными запутанными состояниями» (1, с.630).

Для смешанных запутанных состояний двухсоставных систем можно определить несколько различных мер запутанности. Каждая из них полезна в том или ином случае, но свести их, как в случае чистых состояний, к какой-нибудь одной мере не удается. С практической точки зрения важными являются запутанность формирования (entanglement of formation) и дистиллируемая запутанность (distillable entanglement). Запутанность формирования можно определить как минимальную усредненную запутанность ансамблей чистых состояний, реализующих данное смешанное состояние. Другими словами, запутанность формирования есть минимальное количество «чистой» запутанности, необходимое для того, чтобы создать данное состояние с помощью локальных квантовых операций и обмена классической информацией. Состояния с нулевой запутанностью формирования сепарабельны (и наоборот). Дистиллируемая запутанность определяется как количество чистой запутанности, которое можно извлечь (дистиллировать) из заданного смешанного состояния с помощью произвольных LQCC-операций в асимптотике большого числа копий исходного состояния. Процесс выделения чистой запутанности из смешанной называется «очищением запутанности» (entanglement purification). Поскольку определение дистиллируемой запутанности опирается на некоторый гипотетический оптимальный способ очищения запутанности, математической формулы для этой меры пока не существует.

Вышеприведенные меры запутанности ориентируются на практические методы создания и использования смешанных квантово-коррелированных состояний. Совсем другой подход используется, когда сначала постулируются некоторые аксиоматические свойства, которым должна удовлетворять любая мера запутанности, а уже потом подбирается подходящая функция. Аналогично мере запутанности чистых состояний любая мера запутанности смешанных состояний должна удовлетво-

рять условиям, определяющим смысл запутанности как нелокального ресурса:

- мера запутанности равна нулю для сепарабельных состояний и мера запутанности больше или равна нулю в остальных случаях;

- все меры запутанности инвариантны относительно проведения локальных унитарных операций;

- никакая мера запутанности не может в среднем увеличиваться в результате проведения любых физически реализуемых (т.е. супероператорных) локальных и, следовательно, произвольных LQCC-операций (11, c.2046).

Уже эти условия накладывают ограничения на возможные меры запутанности. Если же к ним присовокупить другие нетривиальные требования, то можно получить новые интересные теоретические результаты. Так, с добавлением условий асимптотической аддитивности и непрерывности дистиллируемой запутанности было показано, что все «хорошие» меры запутанности должны быть ограничены сверху запутанностью формирования, а снизу — дистиллируемой запутанностью.

Помимо поиска адекватных мер запутанности смешанных состояний идет также поиск критериев несепарабельности (запутанность формирования больше нуля) и дистиллируемости (дистиллируемая запутанность больше нуля) смешанных состояний. Особый интерес представляет структура состояний со связанной запутанностью (bound entangled states), для которых запутанность формирования больше нуля, но дистиллируемая запутанность равна нулю (24). К настоящему моменту в этой области получено довольно много интересных результатов, но окончательных ответов пока нет.

Таким образом, проблема адекватных мер и критериев запутанности для смешанных состояний остается пока неразрешенной. Кроме того, положение осложняется в случае попыток обобщения упомянутых выше систем, например, при изучении запутанных состояний систем с непрерывным спектром (т. е. с бесконечным числом уровней) (20) или запутанных состояний многосоставных систем (13). Другим нетривиальным обобщением является недавно возникшая проблема описания нелокальных свойств (запутанности) квантовых операций (10).

3. Применения запутанных состояний

Идеология запутанных состояний применяется для исследования физических основ КМ, метрологических исследований, в физике квантовой информации. Обычно источниками запутанных состояний являются процессы каскадного распада атомных возбуждений и спонтанного параметрического рассеяния света в нелинейных кристаллах. В этих процессах образуются фотонные пары с запутанными состояниями поляризации, которыми управляют зеркалами и поляризаторами. К сожалению, подобные источники обладают определенными недостатками, в частности, распространение фотонных пар со скоростью света затрудняет их локализацию и сохранение для последующего применения. Поэтому в последнее время активно разрабатываются так называемые детерминистические методы создания запутанных состояний массивных частиц -атомов и ионов, захваченных в специальных ловушках. Под детерминистическими методами понимается возможность сформировать нужное запутанное состояние заданных частиц в любой момент времени.

3.1. Проверка неравенств Дж.Белла

Как подчеркивают авторы статьи (1), первым серьезным приложением запутанных состояний стала экспериментальная проверка неравенств Дж. Белла. После выхода в свет статьи Эйнштейна, Подольского и Розена и дискуссии Эйнштейна с Бором стали очевидны расхождения между классической механикой и КМ относительно понятий физической реальности и локальности физических взаимодействий1. Лишь спустя 30 лет после выхода в свет статьи ЭПР Беллу удалось сформулировать это отличие математически в виде неравенств, которые позволяют проверить условие слабой нелокальности в КМ. Это условие говорит о том, что два эксперимента, выполненные даже на пространственно-подобном расстоянии, могут оказывать физическое влияние друг на друга. Выполненные многочисленные эксперименты подтвердили наличие подобного свойства. В частности, были экспериментально зарегистрированы корреляции, соответствующие ГХЦ-состояниям (19, с.1345).

1 Более подробно об этом см. обзор А.И.Панченко в настоящем сборнике.

Следует, однако, отметить, что в реальных экспериментах (особенно с атомами) обычно удается создать только смешанные запутанные состояния, которые лишь приближенно отражают свойства чистых состояний, поэтому неравенства Белла трудно использовать для тестирования нелокальных корреляций. Более перспективными оказываются экспериментальные измерения средних значений специальных операторов, называемых «свидетелями запутанности» (entanglement witnesses). «Можно показать, что для любого несепарабельного состояния существует соответствующий свидетель запутанности, детектирующий его..., а также что любому свидетелю запутанности соответствует некоторое неравенство Белла, которое можно проверить экспериментально, исключая тем самым определенный класс теорий локальных скрытых переменных» (1, с.632).

Другим крупным направлением приложения запутанных состояний является изучение процессов декогеренции в квантовых системах. Декогеренцией называют процесс потери когерентности квантовых суперпозиций при взаимодействии квантовой системы с окружающей средой. Именно благодаря эффекту декогеренции мы не встречаем в природе суперпозиции мертвых и живых котов. Однако эксперименты по созданию небольших объектов - «шрёдингеровских котят», состоящих из нескольких фотонов или атомов, - вполне возможны. Теория предсказывает, что время жизни «шрёдингеровских котят» убывает экспоненциально с их размером, а экспоненциальная зависимость приводит к тому, что время жизни когерентных суперпозиций макроскопически различных состояний объектов, соразмерных с реальными котами, должно быть чрезвычайно мало. Кроме того, распространена точка зрения о том, что запутанность проявляется только в системах, состоящих из небольшого числа квантовых частиц. В одном недавно опубликованном препринте сообщается о том, что авторам удалось экспериментально реализовать запутанное состояние двух объектов («газовых образцов» атомов цезия), каждый из которых содержал примерно 1012 атомов. Этого удалось достигнуть воздействием на образцы светового импульса, который осуществлял нелокальное белловское измерение коллективных спинов образцов. При этом запутанное спиновое состояние существовало в течение 0,5 миллисекунды, что позволяет опровергнуть утверждения о почти мгновенном распаде запутанного состояния макроскопических объектов (18).

Вообще говоря, существуют надежды на то, что декогеренция может являться основным процессом, определяющим степень классичности

или квантованности поведения данного физического объекта, и, кроме того, поможет решить проблему квантового измерения в целом1.

3.2. Квантовая информация

Важнейшей областью применения запутанных состояний является квантовая информация. Собственно говоря, благодаря активному исследованию этой сферы в конце ХХ в. теория запутанных состояний получила как бы второе рождение. В теории и практике квантовой информации наибольшее развитие получили следующие три темы: квантовые компьютеры, квантовая криптография и квантовая телепортация. На эти темы написано огромное количество статей и их число продолжает быстро расти.

3.3. Квантовая телепортация

Пожалуй, наиболее интригующей областью применения запутанных состояний является квантовая телепортация. Целью процедуры квантовой телепортации является передача из одной точки в другую определенного квантового состояния, что осуществляется с помощью квантовых корреляций. «По своей физической сути квантовая телепортация является переносом квантового состояния с одного физического объекта на другой без прямого взаимодействия между ними» (1, с.633). В 1993 г. Беннет с соавторами предложили использовать процедуру квантовой телепортации для переноса информации (25). Вообще говоря, термин «телепортация» употребляется в научно-фантастической литературе, а также в древних и в современных духовных практиках для обозначения процесса, при котором телепортируемый объект или личность исчезают в одном месте и мгновенно появляются в другом, причем расстояние при этом не имеет значения. В работах по квантовой телепортации чаще всего обсуждаются два механизма этого процесса: 1) объект или личность «рассыпаются» (3, с.124) в одном месте, а полная информация об их структуре передается в некоторое отдаленное место, где собираются их точные копии; 2) с помощью телепортации может осуществляться только передача

1 См.: Zurek W.H. Phil. trans. / Roy. soc. of London. Ser. A, Phys. Sciences a. Engineering. - L., 1998. - Vol. A 356. - P.1793-1820.

информации. Добавим, что в древних знаниях предполагается еще один механизм телепортации: объект, «не рассыпаясь», полностью исчезает в одном месте и целостно появляется в другом.

В современных теоретических и экспериментальных работах по квантовой телепортации рассматривалась телепортация только одного квантового бита (кубита) информации. Общая схема процесса квантовой телепортации, о которой можно достаточно обоснованно говорить на современном уровне знаний, состоит в следующем.

На первом этапе «приготавливается» ЭПР-пара тождественных частиц А и В со спинами ^ (корреляционная линия). Одна из частиц (например, частица А) остается у того, кто хочет отправить (телепор-тировать) информацию (скажем, у Алисы), а вторая (частица В) находится у получателя этой информации (у Боба). При этом Алиса и Боб могут быть разделены значительным расстоянием.

Предположим, что Алиса хочет телепортировать Бобу некоторую третью частицу С, находящуюся в некотором неизвестном ни Бобу, ни Алисе состоянии. Для этой цели ей необходимо осуществить совместное измерение спина в двухсоставной системе - первого партнера ЭПР-пары и третьей частицы, т.е. измерить состояние системы частиц А и С. В момент измерения состояния системы А+С квантовая часть информации мгновенно телепортируется частице В, которая находится у Боба и которая мгновенно изменяет свое состояние. После измерения ни кубит А, ни кубит С не могут находиться в определенном состоянии: образуется запутанное состояние кубитов А и С. Такое измерение может иметь четыре различных результата (состояния).

Далее отправитель Алиса должна переслать результат своего измерения получателю Бобу для восстановления состояния теле-портированного кубита по обычному классическому каналу связи. Например, она может просто позвонить Бобу по телефону. Поскольку число полученных состояний равно четырем, то необходимая для Боба классическая информация должна содержать два бита. Эта информация подскажет Бобу, в какой системе координат находящаяся у него частица (второй партнер ЭПР-пары) приобретает новое состояние. «Разумеется, при таком процессе два кубита классической информации теряются и превращаются в тепло. Теряется также та информация, которая содержалась в ЭПР-паре» (3, с.127). Передача классической информации происходит со скоростью, которая меньше скорости света. «По существу, на этом этапе процедуры квантовой телепортации ключевая информация о

телепортируемом состоянии оказывается зашифрованной в классическом сообщении, передаваемом по обычному классическому информационному каналу» (1, с.633).

Боб как получатель информации не может знать, какой из четырех альтернативных результатов измерения получен, поэтому ему неизвестно, произошла ли после измерения деформация состояния при телепор-тации. Если она произошла, то требуется выполнить корректирующее преобразование. Получив от Алисы классическую часть информации, Боб может построить новое состояние простым поворотом прибора вокруг осей х, y, z относительно имеющегося у него второго партнера ЭПР-пары. В результате Боб получает точную информацию о состоянии третьей частицы С.

Интересным обобщением квантовой телепортации является перенос запутанности (entanglement swapping), целью которого является создание запутанного состояния двух частиц без прямого взаимодействия между ними — путем специальных манипуляций над квантовыми корреляциями, уже существующими в системе. Перенос запутанности уже был осуществлен экспериментально для поляризационных состояний фотонов. Существует своеобразный антипод квантовой телепортации — плотное квантовое кодирование, позволяющее передавать большее количество классической информации через квантовый канал при наличии заранее приготовленного запутанного состояния (12).

3.4. Квантовый компьютер

На практике появляется все больше задач, для решения которых мощности обычных компьютеров уже не хватает. В последнее время появилась надежда на создание квантовых компьютеров - компьютеров, в которых реализуется «квантовый параллелизм», позволяющий осуществлять вычисления, недоступные для классического компьютера. Это новое поколение компьютеров позволит реализовывать преимущества квантовых алгоритмов над классическими. «Задачи, которые могут быть решены на классическом компьютере за экспоненциально большое (т.е. на практике бесконечное) время, на квантовом компьютере могут решаться за полиномиально большое время (которое для ряда практически важных задач вполне достижимо)» (4, с.636). И хотя, согласно некоторым оценкам, создание полноценных квантовых компьютеров вряд ли может быть

достигнуто в ближайшее десятилетие, огромные успехи последних лет позволяют надеяться на решение проблемы.

Одна из ключевых идей создания квантового компьютера связана с существованием суперпозиции квантовых состояний. Как и в обычном компьютере, в кубите квантового компьютера кодируются числа 0 и 1. Цепочка из n кубитов, каждый из которых находится в одном из базовых состояний, кодирующих цифры 0 и 1, позволяет закодировать соответственно n-значное двоичное число длины n. Выполнение с такой цепочкой кубитов серии унитарных преобразований будет соответствовать определенной процедуре обработки информации в двоичных числах. При этом будут параллельно обрабатываться сразу все 2n вариантов входных данных (4, с.636).

Состояние квантового компьютера - это сложное запутанное состояние, состоящее из сумм огромного числа слагаемых, которые являются произведениями возможных состояний кубитов. После унитарных преобразований измеряется полученное состояние, что и является конечной целью вычислений. Квантовый компьютер позволил бы, например, разложить на множители очень большое число, что дало бы возможность легко расшифровывать коды, которые обычные компьютеры выполняют недопустимо долгое время.

3.5. Квантовая криптография

С практической точки зрения не менее важным и перспективным является использование запутанных состояний в квантовой криптографии. Один из первых методов квантовой криптографии был предложен в 1982 г.1. В его основе лежит невозможность клонирования квантового состояния. Одним из следствий общей теоремы о невозможности клонирования квантового состояния является разрушение состояния кубита в исходной точке при телепортации квантового состояния. Эта теорема является следствием линейности КМ. «Квантовое криптографическое устройство пересылает вдоль волновода один за другим множество фотонов, причем в поляризациях последовательных фотонов закодирована некоторая информация. Если бы клонирование было возможно, то можно было бы подключиться к волноводу и переписать информацию (скажем, создать точно такую же последовательность фотонов), не нарушая со-

1 См.: Bennett C.H., Brassard G. // Proc. IEEE intern. conf. on computers, systems, and signal processing. - N.Y., 1985. - P.175.

стояния тех фотонов, которые движутся в волноводе. Но ввиду невозможности клонирования каждая попытка получить информацию (подслушать пересылаемое сообщение) с необходимостью приводит к искажению состояний фотонов, движущихся в волноводе. Разработаны специальные процедуры обработки информации, которые позволяют по этим искажениям обнаружить факт подслушивания с любой желаемой вероятностью» (4, с.636). В принципе, это дает возможность построить секретные линии связи с любой степенью защиты от прослушивания.

4. Природа квантовых корреляций и нелокальности

По-видимому, одним из наиболее интересных свойств запутанных состояний является наличие нелокальных корреляций. То, что КМ является нелокальной теорией и что квантовые корреляции имеют сверхсветовой характер распространения, было четко показано, по мнению Б.Б. Кадомцева, в опытах Аспека, Далибарда, Роджера (6) и в эксперименте по схеме Франсона (16). Вместе с тем и в книге Б.Б.Кадомцева (3), и в других работах признание нелокального характера распространения информации (сигнала, корреляций) нередко используется в связке пары не совсем тождественных понятий. А именно подчас говориться о сверхсветовой, а иногда о мгновенной скорости распространения информации или корреляций. Вообще говоря, нахождение некоего предельного или даже фиксированного значения сверхсветовой скорости распространения информации, сигнала, взаимодействия или корреляций могло бы, по-видимому, иметь принципиальное значение и привести к созданию новой фундаментальной теории. Последние эксперименты группы Гисина в Женеве показали, что нижняя граница скорости распространения корреляций («скорости квантовой информации») имеет величины, превышающие скорость света в 2/3-107 раз в системе отсчета Женевы и в 3/2-104 раз в системе отсчета фоновой радиации (15).

В настоящее время практически все авторы, пишущие о запутанных состояниях и квантовой телепортации, сходятся во мнении, что, скажем, при квантовой телепортации «квантовая часть» информации о состоянии квантовой системы мгновенно передается от отправителя к получателю за счет квантовых корреляций (4, с.635). Б.М. Менский делает и такой вывод: «Однако экспериментатор, находящийся в точке В (т.е. получатель телепортируемой инфор-мации. - В.Э.), не может знать, какой из четырех альтернативных результатов измерения в точке А (т.е. в точке

отправления информации. - В.Э.) получен, поэтому каждый раз в момент измерения остается неизвестным, произошла ли при телепортации деформация состояния, которая требует корректирующего преобразования. В итоге мы вынуждены заключить, что сверхсветовая телепортация невозможна даже при заранее подготовленной корреляционной линии» (там же). Иными словами, вывод о невозможности сверхсветовой телепорта-ции связывается со знанием экспериментатора о деформации состояния при телепортации.

Б.Б. Кадомцев подчеркивает, что если состояния коррелированы, то каждое из них не определено, т.е. они перепутаны. Как только осуществляется измерение одного состояния, второе состояние мгновенно приобретает противоположное значение. Некоторой классической аналогией этого процесса может быть следующий мысленный эксперимент. Пусть в коробке лежат два шара: белый и черный. Предположим далее, что мы имеем возможность их квантово «запутать», т.е. перевести в такое состояние, когда черный и белый цвета становятся перепутанно коррелиро-ваными. Это означает, что невозможно с определенностью приписать ни одному из шаров либо только белый, либо только черный цвет, как это имеет место в обычном классическом случае. Допустим затем, что мы имеем такую перегородку, которая могла бы разделить эти шары внутри коробки. Затем две половины коробки с одним из шаров в каждой удаляются друг от друга. При этом они все еще остаются в запутанном состоянии, а состояние каждого из них в отдельности не определено. Далее, как только мы осуществим измерение цвета (наблюдение цвета), посмотрев на шар в одной из половинок коробки (пусть этот шар окажется белым), то второй шар, находящийся даже на большом удалении, мгновенно «окрасится» в черный цвет, которого до этого с определенностью не имел. «Здесь-то мы и встречаемся с нелокальностью» (3, с.357). Далее Б.Б. Кадомцев приводит следующие интересные утверждения: «Поскольку окрашивание шаров происходит при "измерении", т.е. при соприкосновении одного из шаров (или их обоих) с внешним миром, то следует считать, что внешний мир нелокален. Волновые функции внешнего мира опутаны нитями квантовых корреляций, которые мгновенно "срабатывают" при коллапсах волновых функций. Случайность таких процессов позволяет сохранить релятивистскую каузальность, но факт нелокальности следует признать реальным» (там же). Другими словами, согласно Б.Б. Кадомцеву, квантовая частица, только сталкиваясь с внешним миром, приобретает нелокальные свойства.

Здесь, по-видимому, еще предстоит внимательно изучить вопрос о том, что может являться внешним миром для квантовой частицы. Интересна и мысль, согласно которой внешний мир опутан нитями квантовых корреляций, однако ее трудно согласовать с макроскопическим опытом. Таким образом, квантовая нелокальность остается важнейшей проблемой, которую еще предстоит изучать в рамках квантовой физики.

Список литературы

1. Баргатин И.В., Гришанин Б.А., Задков В.Н. Запутанные квантовые состояния атомных систем» // Успехи физ. наук. - М., 2001. - Т.171, N 6. - С.625-647.

2. Гришанин Б.А. Квантовая электродинамика для радиофизиков. - М., 1981. - 203 с.

3. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. - М., 1999. - 405 с.

4. Менский Б.М. Квантовая механика: Новые эксперименты, новые приложения и новые формулировки старых вопросов // Успехи физ. наук. - М., 2000. - Т.170, N 6. - С.631-648.

5. Эйнштейн А., Подольский Б., Розен Н. Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным? // Эйнштейн А. Собр. науч. трудов. - М., 1966. -Т.3. - С.604-611.

6. Aspect A., Dalibard Y., Roger G. Experimental test of Bell's inequalities using time-varying analyzers // Phys. rev. letter. - N.Y., 1982. - Vol.49. - P. 1804-1807.

7. Bell J.S. Speakable and unspeakable in quantum mechanics. - Cambridge, 1987. - XII, 212 p.

8. Boston studies in the philosophy of science / Ed. by Cohen R.S. et al. - Boston etc., 1997. -Vol.193: Experimental metaphysics. - VI, 262 p.

9. Busch P., Lahti P.J., Mittelstadt P. The quantum theory of measurement. - 2 rev. ed. - Berlin, 1996. - 238 p.

10. Collins D., Linden N., Popescu S. The non-local content of quantum operations. -http://xxx.lanl.gov/PS_cache/quant-ph/pdf/0005/0005102.

11. Concentrating partial entanglement by local operations / Bennett C.H. et al // Phys. rev. -N.Y., 1996. - Vol.A53. - P.2046-2083.

12. Dense coding in experimental quantum communication / Mattle K. et al // Phys. rev. letter. -N.Y., 1996. - Vol.76. - P.4656-4659.

13. Exact and asymptotic measures of multipartite pure-state entanglement / Bennett C.H. et al // Phys. rev. - N.Y., 2001. - Vol.A63. - P.12-27.

14. Experimental entanglement swapping: Entangling photons that never interacted / Pan J.-W. et al // Phys. rev. letter. - N.Y., 1998. - Vol.80. - P.3891-3894.

15. Experimental test of relativistic quantum state collapse with moving reference frames / Zbin-den H. et al // http://xxx.lanl.gOv/arXiv:quant-ph/0002031. - (ArXiv:quant-ph. - Geneva, 2000. - Jul. - Vol.3, N5. - 6 p.).

16. Franson J.D. Bell inequality for position and time // Phys. rev. letter. - N.Y., 1989. - Vol.62. -P.2205-2208.

17. Holger F. Causality in quantum teleportation: Information extraction and noise effects in entanglement distribution // http://xxx.lanl.gov/arXiv/quant-ph/0203128. - (2002, vol.1).

18. Julsgaard B., KozhekinA., Polzik E.S. Experimental long-lived entanglement of two macroscopic objects // http://xxx.lanl.gov/ftp/quant-ph/papers/0106/0106057.

19. Observation of three-photon Greenberger - Horne - Zeilinger entanglement / Bouwmeester D. et al // Phys. rev. letter. - N.Y., 1999. - Vol.82. - P. 1345-1349.

20. Parker S. Bose S., Plenio M.B. Entanglement quantification and purification in continuous-variable systems // Phys. rev. - N.Y., 2000. - Vol.A61. - P.323-335.

21. Percival I.C. Why do Bell experiments? // http://xxx.lanl.gov/PS_cache/quant-ph/pdf/0008/0008097.

22. Schrödinger E. Discussion of probability relations between separated systems // Proc. of the Cambridge philos. society. - Cambridge, 1935. - Vol.31. - P.555-563. (Опубликовано также в том же году в Берлине в журнале «Naturwissenschaften».)

23. Shor P.W., Presskill J. Simple proof of security of the BB84 quantum key distribution protocol // Phys. rev. letter. - N.Y., 2000. - Vol.85 - P.441-444.

24. Smolin J.A. A four-party unlockable bound-entangled state // http:// xxx.itep.ru/PS_cache/quant-ph/pdf/0001/0001001.

25. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein - Podolsky - Rosen channels / Bennet C.H. et al // Phys. rev. letter. - N.Y., 1993. - Vol.70. - P.1895-1899.