Замкнутые системы уравнений турбулентного течения среды с тепломассообменом Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 532 (075.8)

Б01: 10.21779/2542-0321-2017-32-3-55-66 К. Ф. Рустамова, П. Ф. Гахраманов

Замкнутые системы уравнений турбулентного течения среды

с тепломассообменом

Сумгаитский государственный университет; Л25008, Азербайджан, г. Сумгаит, 43-й квартал; polad49@mail.ru

Применение полученных систем уравнений переноса для осредненных величин при исследовании турбулентных течений позволяет избежать использования информации о нерегулярном поведении физических переменных и тем самым с математической точки зрения упростить задачу исследования. Однако система уравнений переноса является незамкнутой, так как ее уравнения при турбулентном течении содержат ряд дополнительных членов, явный вид которых неизвестен. Таким образом, возникает нетривиальная проблема замыкания системы уравнений переноса для осредненных величин, которая в теории турбулентности является центральной. Для этого необходимо установить дополнительные зависимости или принять какие-то гипотезы о связи между кажущимися турбулентными величинами и параметрами осреднен-ного потока.

Наиболее строгим является метод получения замкнутой системы уравнений турбулентного переноса, основанный на сравнительной оценке величины членов этих уравнений. Этот подход имеет несколько ограниченное применение, так как допущения о сравнительной малости соответствующих членов уравнений переноса оказываются справедливыми лишь для узких областей течения. Для нахождения замыкающих соотношений для системы уравнений турбулентного переноса часто используются методы теории подобия и анализа размерностей. В настоящее время наиболее широко используются подходы к решению проблемы замыкания, составляющие основу так называемых феноменологических теорий турбулентности. Общим признаком этих теорий является установление замыкающих соотношений, позволяющих выразить турбулентные напряжения и тепловые потоки через локальное значение осредненных характеристик течения.

Необходимо отметить, что феноменологические теории турбулентности развиваются в направлении получения таких замыкающих соотношений, в которые в качестве параметров входили бы константы, являющиеся одинаковыми для возможно более широкого класса течений. Эта теория турбулентности довольно широко применяется на практике в качестве основы для расчетов характеристик турбулентных потоков, учитывая то обстоятельство, что замкнутые системы уравнений переноса, которые удается получить в рамках этих теорий, являются относительно простыми.

Ключевые слова: турбулент, осреднение, вязкость, тензор, напряжение.

Постановка задачи

Рассмотрим турбулентное течение несжимаемой вязкой среды в целом с учетом внешнего тепломассообмена. Для математического описания рассматриваемого потока приводимая система уравнений переноса несжимаемой среды с тепломассообменом является исходной для дальнейших выкладок. Имеем: уравнение неразрывности

дих дЫу ди„

■ + ■

дх ду дг

= Ч ■

(1)

уравнения динамики:

дих + их дих + и. дих + и дих = К' 1 дР

а х дх у ду дг х р дх

диу + их диу + и. диу + и диу = К 1 дР

дг х дх у ду дг у р ду

ди ди ди ди = К - 1 дР

+ их + и. + и

дг х дх у ду дг рд

+ (и*х - их )ч + ^

д2их д Ыу д2п„

+-

+-

V

дх2 ду2

дг2

у

222

д иу д иу д иу

+-Т- +

дх2 ду

2

дг

2

(2)

у

222 д и д и д "

V

дх2 су2

+

и

дг2

уравнение внутренней (тепловой) энергии

дТ_ ~дя

+ их

дт_

дх

+ иу

дТ_ ду

+ и„

дт_

дг

= а

гд2т д2т д2тЛ

+-

+-

у дх ду дг у

+ (( - Т) + О*/ ре .

(3)

Здесь их, и у, и г - составляющие вектора действительной (мгновенной) скорости

в данной точке; ч - удельная присоединяемая (или отсоединяемая) масса внешней среды; Кх, Ку, Кг - составляющие вектора массовых сил; Р - давление; р, V - плотность и коэффициент кинематической (молекулярной) вязкости среды; а = Л / ре - коэффициент температуропроводности; Л - коэффициент теплопроводности; е - теплоемкость (в несжимаемой среде е = еу = ер ); Т, Т* - температуры основной и присоединяемой

(или отсоединяемой) массы среды; и *х , и*у , и*г - составляющие вектора мгновенной

скорости присоединяемой (или отсоединяемой) массы; О* - диссипация энергии из-за

вязкого трения О = 0,5 Дд и1 / дху + диу / дх1) и присоединяемой (или отсоединяемой)

массы среды Бп = 0,5р[(и*г - и1 )2 - 2Р / р|/, т. е. [2]

О*

2

Г \ 2

ди ди ■ + -

дх,

V у

дх,

+ рр [-и )2 - 2 Р / р\,

(4)

где л - коэффициент динамической вязкости среды; индексы г, у = 1, 2, 3 обозначают номера осей, по которым осуществляется дифференцирование. Повторение индексов в одном члене обозначает суммирование члена по всем трем осям.

Математическое моделирование

В системе уравнений движения несжимаемой вязкой среды с тепломассообменом

(1)-(3) физические величины их, иу, иг, р и Г представляют собой мгновенные (истинные) значения скорости, давления и температуры в рассматриваемой точке пространства. При турбулентном течении среды в системе уравнений движения (1)-(3) мгновенные (действительные) значения физических переменных следует заменить на сумму осредненных и пульсационных составляющих. После чего ко всем членам полученных уравнений применить операции осреднения (осреднение этих уравнений производится по времени в предположении правомерности эргодической теоремы для рассматриваемого турбулентного потока).

Производя осреднение (1) по изложенным правилам [1], приходим к выводу, что уравнение неразрывности не изменяет своего вида:

дих дйу дй2 _ дщ ,с.

—- + —- + —- = ц или —= Ц (5)

дх ду да дх1

Обратимся теперь к уравнению динамики и произведем ее осреднение. Для этого рассмотрим первое уравнение системы (2) и произведем осреднение каждого из их членов. Тогда это уравнение, с учетом уравнения неразрывности (1), после преобразования и осреднения представим в форме

дых д \ у д\ У д\ у - - 1 dp й2и Л

+ — /uxux ) + — Wxuy У+ — \uxuz ) = Fi + u*x4--— +'V

d2ux d uy d2uz

dx2 dy2 dz2 V s У

(6)

л л \ Я Л / \ Л У / /Л \ Л ^ / 1 Л -1 л

dt dx dy dz pdx

В этом уравнении, заменив мгновенные (действительные) составляющие суммой осредненных и пульсационных, можем написать

d ( \ d ¡_ ,\2 d /_2 , -Г-/uxux ) = ^\ux+ux ) \ux +2uxux+ux У

dx dxj dx '

n d\2uxu x) Л

Здесь —^——-1 равно нулю, так как среднее во времени значение ux = 0. Следо-

dx

вательно, д- (и-и- )=^(и22)+д- -2).

дх дх дх '

Аналогичным образом для других членов (6) получается

Ц^)=-кйуи^-Кх);%и;)=ЦйЛ5=и; Е= &. Поскольку

д/ х х' ду дУ ' д^х дг д д дх дх

д\ = д2 (их +и'х) = д2 Щх +дГ ' ' д2и

2- э2\ ■ -•') э2u э u и й'х= 0, то d-Ux =d_Ux. Поэтому

x dx2 dx2

dx2 dx2 dx2 dx

dux

dx

(я 2 ^2 ^2 Л

д ux д ux д ux

V dx2 ду 2 dz2

виду

= VV2u . С учетом этих выражений уравнение (3) преобразуем к

дпх - дых - дых - дых —

—— + Ых—~

дг дх

+ ы,

■ + и 2

1 др „2_

■ + уУ2Ых -

Р дх

ду д2

д

= Рх + Ы

(и*х - Ых )

(и'и')+ —(и'и у )+ —(и'м'2)

дхУ х х' дуУ х у' дИ х

(7)

Выполняя такие же действия со вторым и третьим уравнениями системы (2), можно получить систему динамических уравнений осредненного турбулентного потока несжимаемой вязкой среды с внешним массообменом [2]:

Р

/дих - дих - дих - дихЛ

дг

+ Ых

дх

+ и,

ду

+ и2

д2

Р д Р + д

рРх--— +-

дх дх

Г дих —¡—г М~--Ри хи х

V

дх

+

+ ■

д_ ду

М

дих

ду

Ри 'хи'у

+ ■

д

/ ^-

д2

М

Р

диу - ди у -

+ Ых-- + Ых

дг

дх

V

диу

ду

дих д2

Ри 'хК

+

рри*х - их ),

+ и 2

диу ~д2

-р. д р д = рру - — +-

ду дх

М

диу

дх

Ри >'у

+

+ -

д

ду

диу

- ри 'уиу

V

ду

У

д +—

дг

/

М

ди

Л

V

дг

у р.' и' , р

риги

2у

+ р\и *у - и у

У

(8)

^ЗЫе - ди2 - ди2 - ди2

Р--+ Ых--+ иу—--+ иг

V

дг

дх

ду

дг

д р д

= рРг - — + -

дг дх

г

М

диг дх

Ри'х<

+

+

д

г

ду

ЗЫ2

Г

■2 II

М—-Ри уи '

ду

+

дг

М

ди

Л

дг

2 ,

д/

Ри2Ы2

+ рш *2 - и 2

Эту систему динамических уравнений представим в тензорной форме записи:

Р

^диг - ди, ^

дг

+ и,

дх

-р д р д = рРг - — +

3 У

дхг дх,

диг

- Ри''

дх. V 3

+ р\и

(и *г - Ыг ).

(9)

Теорема. Если в (8) или (9) принять (и* - и = 0 (т. е. рассматривать течение

без учета внешних источников или стоков массы), то в качестве частного случая из них можно получить известное уравнение турбулентного течения вязкой несжимаемой среды О. Рейнольдса:

Р

^ дЫг - дЫг ^

+ и

дг

ч

дх

= РРг +

д

^ дЫг

з У

дх,

Л

М---РЫ''Ы'з

дх ,

V 3

(10)

Следовательно, систему уравнений (8) или (9) можно называть обобщением уравнений турбулентного потока с внешним массообменом.

В динамических уравнениях турбулентного течения (9) величины Рищ,- для

осредненного потока имеют смысл компонент тензора турбулентных напряжений, возникающих из-за наличия турбулентных пульсаций (флуктуаций). Обозначим их через

Тщ =-РЫЫ 3 (11)

и учтем, что турбулентные напряжения обладают свойством взаимности Тг, = Т—. При

д

турбулентном течении физический смысл дополнительных членов в уравнениях динамики (8) или (9) выявляется при сопоставлении с уравнением движения в напряжениях. Левые части этих уравнений равны. Сравнивая правые их части, получим

или

— ди ди , ——

= ~Р5у + + я-)- рии 1

дх, дх.

— ди р +/

(12)

а1 = <

дх, ди ди,

Ри ,и ,, I = 1

(13)

дх , дх,

) ~Ри,и,, I *1

В соответствии с (12) или (13) напишем выражения для полных напряжений турбулентного потока вязкой несжимаемой среды в координатной форме:

— ди г 2 — ди

=-р+2/-х ~Рих; ^=-р+2/~дк

Риу

- О диа ~2 гдих диУч

^ =-Р + -Риа ; ^ху = °ух + -Рихиу,

дх дх дх

(14)

= = /(

дих ди7. ^^ .диу ди7. ——т

-Гх + "Т^ - Рихиг; = °гу = /О+ - Риуиг . дх дх дх дх

—2

-2 —2

Здесь три компонента рих ,ри „ри2 являются нормальными, а рихи = ри их,

(Р1хиг = (Р1гих и риуи2 = ригиу - касательными турбулентными напряжениями. Из (9) и (11) следует, что в турбулентном потоке полные касательные напряжения (г) слагаются из вязкостных (г/) и турбулентных (Т1), т. е. Тп = Т + Т{.

В турбулентном потоке вязкой среды возникают пульсации не только скорости и давления, но и температуры. Для установления осредненного уравнения переноса энергии (распространения тепла) в турбулентном потоке рассмотрим уравнение (3), которое с учетом уравнения неразрывности (1) преобразуем к виду

рс

дТ д д д

д- + д- (ихТ) + д- (иуТ) + д (и2Т)

дХ дх ду дг

= А

д2Т д2Т д2Т

\

■ + ■

• + ■

дх ду дг

+ рсТ*ц + Б*. (15)

Если осреднения, аналогичные тем, которые использовались выше, применить к уравнению переноса тепла, то получим

Рс

дТ д — — д — — д — — дТ + (ихТ) + ду (иуТ) +дг (игТ) дХ дх ду дг

■■ АУ 2Т -

(16)

- рс

д

их

дх ду дг

Здесь действительная (мгновенная) температура Т представлена суммой осред-

х Т'Ц (Н ()

+ рсТ*ц + Б*

2

ненной температуры T и пульсационной T' . Физические коэффициенты среды: теплоемкость с, температуропроводность a = Л / ре, теплопроводность Л, а также плотность р и молекулярная вязкость ¡и предполагаются постоянными. В силу осредненного уравнения неразрывности

dux duv Quz

■ + ■

+ ■

= q

дх ду дх

уравнение переноса энергии турбулентного потока (16) можно преобразовать к виду

(17)

Ре

dT _ dT _ dT _ дТ

+ U„--h U--h U.

д_

дх

+ ■

д_ ду

dt дх ду dz ^

dT —г^, 1 д ( дT ——'

+--Л--peuzï

дz I дz

дT

— PeuXT '

дх

+

с ^

(18)

Л--peu VT '

ду v ,

+ р(* - T )q + D*

В этом уравнении по физическому смыслу величины

qX =-peu'xT'; qly =-peu\T' ; q\ =-peu'zT'

(19)

являются компонентами потока теплоты, которая переносится турбулентными образованиями.

Перепишем уравнение энергии турбулентного течения несжимаемой вязкой среды с тепломассообменом (18) с учетом суммирования по повторяющимся индексам:

(дт _ дтл * ( ™ ^

--+ и,-

дг 3 дх.

Ре

д

j

дх.

Л- peu'T '

дх,

+

рее(т* - T )q + D*.

(20)

Таким образом, получена система осредненных уравнений гидродинамики турбулентного потока несжимаемой среды с внешним тепломассообменом [1]:

ди]_ дх1

= q или

= q ;

(21)

дUi — дUi ^

р —- + u , —-дt j дх, v J

Г -

дT — дT

--h u ;-

дt J дх у

— д P д = PF,--+

(

у

1 дх i дх j

дUi

- pu^j

\

Pe

j ;

дх,

- дT '

Л--peuT

дх, 1

V J

дх,

V \

+ (u * - ui )q ; (22)

у

+ ре (T * - T )q + D

(23)

Из явного вида полученных уравнений следует, что тензор Ри1и - играет роль, аналогичную роли тензора вязких напряжений М-ди{ / дх -. Поэтому эту величину

называют тензором турбулентных напряжений. Соответственно член РСи'-Т' в уравнении переноса энергии имеет смысл плотности турбулентного потока скалярной субстанции (теплоты). Таким образом, физические величины вида Ри\и' и РСи'Т'

представляют добавочные напряжения, обусловленные переносом импульса и энергии (тепла) пульсациями в турбулентном потоке. Отметим, что полученные уравнения турбулентного потока несжимаемой среды с тепломассообменом (21)-(23) остаются спра-

д

ведливыми и для ламинарного течения, если в них пульсационные величины puiu. и

1 rpt

pcu ji положить равными нулю.

Система уравнений переноса (21)-(23) является незамкнутой, т. к. ее уравнения при турбулентном течении содержат ряд дополнительных членов (турбулентные напряжения и турбулентные тепловые потоки), явный вид которых неизвестен.

Буссинеск первый предложил определять турбулентное касательное напряжение (т. е. взятую с обратным знаком плотность потока импульса) в плоскопараллельном течении вдоль оси х по формуле [4]:

dux

dy '

(24)

где /— - динамический коэффициент турбулентной вязкости (турбулентного обмена).

Переходя к описанию пространственного (трехмерного) осредненного движения, естественно обобщить гипотезу турбулентности Буссинеска (24) подобно тому, как в уравнениях ламинарного течения обобщена гипотеза Ньютона о вязком трении, т. е. положить, что тензор турбулентных напряжений есть однородная линейная функция тензора осредненных скоростей деформации:

(25)

Fiuj =MtDH

где Dj - компоненты тензора осредненных скоростей деформации:

тт du.i du..

Di = dx

J

Pu'iu'j =^TDtj -àij-p,

2

3'

(26)

(27)

где д, - символ Кронекера; к - кинетическая энергия турбулентности в единице массы:

k = M« + u'yu'y + u'zu'z )=0,5(uiu; ).

(28)

Подставляя формулу (27) в уравнения динамики (22), получим систему феноменологических уравнений осредненного турбулентного потока несжимаемой среды с внешним массообменом (источником или стоком массы) [3]:

- Л

du; du. p + Ш.—

dt J dx. V J

- д (- 2 ' PF +d- P + 2Pk dx .; V 3 ,

+p

d

dxJ

dx.

+P( - u ). (29)

А уравнение неразрывности осредненного турбулентного потока несжимаемой среды с источником (или стоком) массы сохраняет вид

§=Ц. (30)

Эта система уравнений (29) и (30) при допущении в них (ищ — и, )ц = 0 и Ц = 0

(т. е. при отсутствии реактивной силы, возникающей за счет присоединения или отсоединения массы) в точности совпадает с динамическим уравнением академика

А.Н. Колмогорова для турбулентного течения несжимаемой среды с постоянной массой

[5]:

л

Ou. ou

р —L + Ou, —:

Ot J Ox, V J

- O (- 2 " = pFt +— P +-рк

Oxi V 3 ,

+р

o

м—D )+—M,)

oxj

oxj

^ = 0.

(31)

(32)

Для определения кинетической энергии турбулентности используется (согласно (к - е) модели турбулентности) уравнение в форме [6, 7]:

Р

Гдк _ дкЛ --+ и.-

Ot J дх v J J

д

дх.

V P дх. J

+ Мт

Ou, Ou. — +-

Ox.

VJ

Ox.

ре,

—J

где е - скорость диссипации турбулентной энергии,

Г - Л f

р

Г Oe _ Oe^ --+ u. —

Ot J Ox, v j J

O

Oxj

МТ Oe

V Pe Ox,

V re J J

+

c1vTe

к

Ou, Ou

л

Ox,

VJ

Ox—

Ou.

OxJ

Pc2e к

(33)

(34)

Уравнения (33) и (34) справедливы при ¡иг >> и [6].

Турбулентная вязкость ¡Т выражается [6] через локальные значения кинетической энергии турбулентности к и скорости диссипации турбулентной энергии е следующим образом:

с0рк 2

Мт

е

(35)

Эта турбулентная вязкость ¡Т используется для связи турбулентных напряжений. Эмпирические коэффициенты, с0, сх, с2,Ркк,Рг , входящие в приведенные выше дополнительные уравнения (33) и (34), равны [6]:

с0 = 0,09; с1 = 1,45; с2 = 1,90; Ркк = 1,0; Ре = 1,3. (36)

Известно, что в феноменологической теории турбулентности Буссинеска предполагается, что тензор турбулентных напряжений (по аналогии с законом Ньютона о вязком трении в ламинарном потоке) есть однородная функция осредненных скоростей деформации:

Щ = УгЦ, (37)

где Уг - кинематический коэффициент турбулентной вязкости.

А турбулентный тепловой поток - peu'.Т' связан с турбулентной вязкостью и параметрами осредненного течения. Он определяется (при помощи алгебраической модели в виде аналогии Рейнольдса, которая основана на подобии между переносом тепла и импульса) по формуле

-Т' Л OT -pcu jT =Лт O—,

(38)

где Лт - коэффициент турбулентной теплопроводности.

Турбулентный тепловой поток - рси',Т' связан с турбулентной вязкостью Рт и >го течения при г

следующим образом [6]:

параметрами осредненного течения при помощи турбулентного числа Прандтля (РГт )

РГ_ дх,

или

/Т дТ

-рсы'Т' = Р |Т (39)

- и' Т' . (40)

7 РТ дх,

г 7

Из сравнения (38) и (39) имеем

= сЖ У . (41)

1 Р Р

Гт Гт

С учетом вышеприведенных выражений для турбулентного напряжения — рси\и! ,'

и турбулентного теплового потока — рси 1 получим систему уравнений движения потока среды с тепломассообменом:

дй, ди, _

— = — = Я; (42)

дх, дх,

1 J

ди, _ ди, — 1 дР д

= Рг —1 дР + + У), ]+ ( — щ ); (43)

—+ и,—- = Ь\---+ у

д дх, р дх, дх,

дТ _ дТ д --+ и,-= а—

д дх, дх,

(1 + аТ!а)дТ

дх7

+

((— Т). (44)

Здесь а и ат - коэффициенты молекулярной и турбулентной температуропроводности:

а = /рс = //Рг, (45)

аТ =Хт1 рс = /т/РТт . (46)

Система (42)-(46) является незамкнутой, так как неизвестны /т и аТ. При математическом моделировании турбулентных потоков наиболее сложной задачей является определение коэффициентов турбулентного переноса (для замыкания системы уравнений движения турбулентного потока), в частности коэффициента турбулентной вязкости /т , входящего в уравнение динамики (43), и коэффициента турбулентной теплопроводности аТ , входящего в уравнение энергии (44).

Установлено [6], что большинство алгебраических моделей турбулентности хорошо работают, когда турбулентное число Прандтля РГТ близко к единице (т. е. принимают Р1т = 1) [6]. Поэтому при условии РТт = 1 (по аналогии с ламинарным потоком, где принимают Р = 1) можем получить а = / и ат =у. Тогда систему (42)-(44) можем

переписать в таком виде:

ди, ди, _

—=—=q, (47)

дх, дх,

1 J

§+и, дХ±=F, fьу^[(т 1Щ] -й,), (48)

dt дх, рдхi дх

дТ _ дт д

--ь и,-= у—

д дх, дх,

Т / )Т

(1 + Ут И—

дх,

+

((- т). (49)

Для определения коэффициента турбулентной вязкости можно использовать алгебраическую модель турбулентности, основанную на гипотезе Буссинеска. Одну из наиболее удачных моделей этого типа предложил Л. Прандтль:

,2 dU

vT = l2 —, (50)

dy

где l - длина пути смещения (перемешивания); и - компонента осредненной скорости в направлении основного течения; dujdy - градиент осредненной скорости; y - поперечная координата (расстояние от стенки).

Вычисление l, входящей в (50), зависит от типа рассматриваемого течения: пограничный слой, струя, след и т. п. Для пристенных течений (внутренних или внешних) хорошие результаты дает

l = zy(l-e"y/A), (51)

где х = 0,41; A = 26. Выражение в скобках [l — exp(-у/А)[ является демпфирующей функцией Ван Дриста, которая используется для того, чтобы перекинуть мост между полностью развитым пограничным слоем, где l = ХУ, и вязким подслоем, где l ^ 0 [6].

Заключение

Таким образом, с учетом (50) и (51) система (47)-(49) является замкнутой. Следует отметить, что алгебраические модели турбулентности хорошо зарекомендовали себя для сравнительно несложных течений. Причем структура турбулентности остается почти неизменной до чисел Маха Ma < 5. Следовательно, изменения физических свойств среды (плотности и других свойств) могут быть не учтены в уравнениях движения, используемых совместно с моделью турбулентности. При решении некоторых прикладных задач (например, турбулентных струй, распространяющихся в безграничном пространстве, или турбулентности в атмосфере), поступая аналогично Буссинеску, Таун-сенду, Ибадзаде, Маккавееву и др., коэффициент турбулентной вязкости можно заменить его осредненным значением по сечению потока (т. е. принимать Vt = const [7]), тогда система уравнений движения турбулентного потока несжимаемой среды с тепломассообменом упрощается и принимает вид

^ = q ; (52)

dx,

д" _ ди1 - 1 дР / ч<3% /_ ( )

иг+=^ -рдх:+{у+ут V- "• к • (53)

дт+", f+((- ъ- (54>

д1 дх^ дх~

В такой форме уравнения турбулентного движения совпадают с уравнением вязкой несжимаемой среды с тепломассообменом. Различие заключается лишь в значении вязкости. Их анализ показывает, что при отсутствии внешних источников (или стоков) массы Ц = 0, количества движения (("* — ") = 0 и тепловой энергии (г* — Т )ц = 0 из

них как частный случай можно получить известные уравнения математической модели осредненного турбулентного течения несжимаемой вязкой среды постоянной массы [6].

Близкие задачи затрагиваются в ряде статей, например, [8, 9, 11-14].

Литература

1. Гахраманов П. Ф., Исмайлов Р.Ш., Исмайлова Ш.Г. Уравнения турбулентного потока с тепломассообменом // Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (ЫРШ 2010), РАН, МАИ ПРИНТ. - М., 2010. - С. 105-109.

2. Гахраманов П.Ф., Исмайлов Р.Ш. Основные уравнения механики одно- и двухфазных сплошных сред с внешним тепломассообменом // Фундаментальные и прикладные проблемы науки: труды I Международного симпозиума. - М.: РАН, 2010. -Т. 1. - С. 72-83.

3. Исмайлов Р.Ш., Гахраманов П.Ф. и др. Математические модели механики сплошных двухфазных сред с переменной массой // Фундаментальные и прикладные проблемы науки: материалы VIII Международного симпозиума. - М.: РАН, 2013. -Т. 3. - С. 13-23.

4. Дейч М.Е., Зарянкин А.Е. Гидрогазодинамика. - М.: Энергоатомиздат, 1984. -

384 с.

5. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1942. - № 1-2. - С. 56-58.

6. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен: пер. с анг.; в 2 ч. - М.: Мир, 1990. - Т. 1. - 384 с.; Т. 2. - 392 с.

7. Рейнольдс А.Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях / пер. с англ. - М.: Энергия, 1979. - 408 с.

8. Ершов Н.П., Ершов П.Н. Оценка надежности неоднородных оболочек // Фундаментальные и прикладные проблемы науки: материалы VII Международного симпозиума. - М., 2012. - Т. 2. - С. 190-214.

9. Ершов Н.П., Ершов П.Н. Оценка несущей способности неоднородных оболочек // Фундаментальные и прикладные проблемы науки: материалы VIII Международного симпозиума. - М., 2013. - Т. 3. - С. 36-70.

10. Дейч М.Е., Селезнев Л.И., Исмайлов Р.Ш. и др. Обобщенная модель турбулентности в двухфазных средах // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1986. -№ 3. - С. 123-129.

11. Прощекальников Д.В., Кульментьева Е.И., Рамазанов Р.Р., Солодов С.Д. Расчет коэффициентов тепло- и массоотдачи в стволе нефтяной скважины с использованием к-е модели турбулентности // Вестник Казанского ТУ. - 2014. - Т. 17, № 5. - С. 235-238.

12. Насырова А.М., Куряшов Д.А., Башкирцева Н.Ю., Идрисов А.Р. Повышение эффективности солянокислотных обработок нефтяных скважин в карбонатных коллекторах // Вестник Казанского ТУ. - 2013. - № 8. - С. 290-292.

13. Войнов Н.А., Жукова О.П., Курганский О.В., Вырина Е.Е. Массообмен в проточном биореакторе с рециркуляцией жидкости // Химия растительного сырья. - 2014. - № 3. - С. 241-246.

14. Кожогулов К.Ч., Абдылдаев К.К., Кабаев Г.Д. Моделирование напряженно-деформированного состояния прибортового массива при открытой и комбинированной разработке месторождений // Итоги науки. Избранные труды Международного симпозиума по фундаментальным и прикладным проблемам науки. Вып. 26. - М., 2016. -C.24-43.

Поступила в редакцию 14 июля 2017 г.

UDC 532 (075.8)

DOI: 10.21779/2542-0321-2017-32-3-55-66

Closed systems of the equations of the turbulent flow of the environment with thermal

association

K.F. Rustamova, P.F. Qahramanov

Sumgayit State University, AZ5008, Azerbaijan, Sumgayit, 43rd block; polad49@mail.ru

Application of the received transfer systems of equations for average values in case of a research of sinuous flows allows to avoid the use of information on the irregular behavior of physical variables. This also allows to simplify a research problem. However, the system of equations of transfer is not closed as its equations in case of a sinuous flow contain a row of additional members of unknown explicit type. Thus, there is an uncommon problem of closing a transfer equations for average values system. It is necessary to set additional dependences or to accept some hypotheses of correlation between apparent turbulent values and parameters of an average flow.

The method of receiving a closed system of equations of turbulent transfer based on comparative assessment of value of members of these equations is the most strict. The method has a limited application as it is fair only for narrow areas of a current. Methods of the theory of similarity and the analysis of dimensionalities are used to find closing ratios for a system of equations of turbulent transfer. The most popular approaches are solution of the problem of closure based on phenomenological theories of turbulence. The common feature of these theories is establishment of the closing ratios allowing to express the turbulent tension and heat fluxes through local value of average characteristics of a current.

Phenomenological theories of turbulence develop in the direction of receiving such closing ratios which parameters are the constants identical to wider class of currents. This theory of turbulence is widely used for calculations of turbulent flows characteristics, considering that closed systems of equations of transfer received within these theories are rather simple.

Keywords: turbulent, averaging, viscosity, tensor, stress.

Received 14 July, 2017