Математическая модель сопряженной задачи теплообмена при турбулентном течении в каналах сложной геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.5:621.694

Багоутдинова А.Г. - кандидат технических наук, доцент

E-mail: bagoutdinova@rambler.ru

Золотоносов Я. Д - доктор технических наук, профессор

E-mail: zolotonosov@mail.ru

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, ул. Зеленая, д. 1

Математическая модель сопряженной задачи теплообмена при турбулентном течении в каналах сложной геометрии

Аннотация

Работа посвящена разработке математической модели гидродинамики и теплообмена при турбулентном течении жидкости в каналах сложной конфигурации. Предложенная математическая модель основана на решении осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса, энергии и уравнения теплопроводности стенок канала. Для замыкания системы уравнений Рейнольдса выбрана двухпараметрическая модель турбулентности Ментера с учетом геометрии рассматриваемого канала. Предложены подстановки, позволившие записать исходную систему уравнений в безразмерном виде и преобразовать физическую область течения с криволинейными границами в область с прямолинейными границами.

Ключевые слова: математическая модель, граничные условия, турбулентное течение.

1. Основные уравнения

В декартовой системе координат х1, х2, х^ (с осью х3 вдоль канала) уравнения

Рейнольдса несжимаемой жидкости с замыканием по гипотезе Буссинеска записываются в виде [1]:

г г . w

dv, дх,

Г ~ W

dv, dp д pv j — н = — дх; дх; дх

(M + Mt)

dv, dv, дх: дх,

v = JL

J дх дх

К V ' ' (1)

г \

( , А

(а + а,) —

v 1) дх

J у

д_ дх:

г \ д^

дхп

о;

где V, (/ = 1,2,3) - осредиениые компоненты вектора скорости в декартовой системе координат; к - кинетическая энергия турбулентности; ¡л - динамическая вязкость; ¡лг -турбулентная вязкость; р - осредненное давление; 1Ж - осредненная температура жидкости; (с - температура стенки; а - коэффициент температуропроводности.

Здесь а = ^ , где Рг^ - турбулентный аналог числа Прандтля, обычно

РРгг

полагаемый равным константе (Р^ = 0,9).

В системе уравнений (1) и далее подразумевается суммирование по дважды повторяемому в одночленах индексу.

Система уравнений (1) является незамкнутой. Для замыкания системы уравнений (1) необходимо привлечь соотношения, позволяющие находить д и к . При этом модель, их описывающая, должна быть относительно простой, что важно при расчете сложных пространственных течений. В то же время она должна быть справедлива как для полностью развитых турбулентных течений, так и для течений в пристеночных областях. Наиболее подходящей с точки зрения данных требований является хорошо зарекомендовавшая себя в последнее время модель Ментера [2]. Эта модель была предложена Ментером в 1993 году и на сегодняшний день, по совокупности своих качеств, является одной из лучших среди существующих моделей турбулентности, базирующихся на осредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье-Стокса [1].

Модель Ментера представляет собой комбинацию к -г и А: — со моделей, обеспечивающих сочетание лучших качеств этих давно известных моделей. Так, к -г

модель хорошо зарекомендовала себя прн расчете свободных и струйных сдвиговых течений, а к - со модель обеспечивает существенно более точное описание пристеночных пограничных слоев. С учетом этих обстоятельств, Ментером было предложено объединить модели с использованием специально сконструированной для этого эмпирической функции , обеспечивающей плавный переход от к - со модели в пристеночной области к к-г модели вдали от стенки. Таким образом, модель Ментера записывается путем суперпозиции моделей к-г и к- со, помноженных соответственно на весовую функцию и (1-^). Функция конструируется таким образом, чтобы быть равной единице на

верхней границе пограничного слоя и стремиться к нулю при приближении к стенке.

Модель, записанная в терминах к (кинетическая энергия турбулентности) и со (удельная скорость диссипации), записывается в виде:

дк дх,

ду,

дх

(3 р£(о +

дх,

дк дх,

ды

дх]

со ду, ■ у—%—;

к дх

о 2 д

(Зрсо + —— дх

дс£> дх,

+ 2(1-^)раю2

1 дк д<х> со дх] дх]

(2) (3)

где

А

ду ду)

дх, дх,

Эмпирические константы модели определяются через соответствующие константы к-г и к - со моделей с помощью весовой функции :

^ = + (1 , сгет = ^сг^ + (1 - ^ )оет2, (3 = ^(3! + (1 , у = ^хУ! + (1 - )у2 ■ Индексы «1» и «2» в (8) относятся соответственно к константам к -г и А: — со моделей:

>н

0,5,

'(01

0,5, р1= 0,075

Ъ

Р*

°*2=1> Сю2 =0,856, (32 = 0,0828, у2

Р2

#

'оо2г

Р* #

а остальные константы равны: (3 = 0,09, к = 0,41.

Весовая функция определяется следуюпщм образом:

= 1апЬ^аг§141, аг§х = шт

Г у/к 500у " / ' = шах V

шах * 2 ' о

1Р У ® у СОыу2

2рас

1 дк да> ю дх] дх]

10

-20

Здесь у - расстояние от рассматриваемой точки до ближайшей точки твердой поверхности (стенки).

Член а^, очевидно, стремится к нулю по мере удаления от твердой стенки,

поскольку выражения типа у~1 и у~2 присутствуют во всех его составляющих.

Для определения турбулентной вязкости по известным значениям А: и со в модели Ментера используется не стандартное соотношение = рАг/со, а выражение, базирующееся на известной гипотезе Брэдшоу [3] о пропорциональности напряжения сдвига в пристеночной части пограничного слоя энергии турбулентных пульсаций:

р ахк _ к

где

/

ду, ду

0,31

\

шах (ОР2) шах (со, SF2 ¡ах)

инвариант тензора скоростей деформации £

дх. дх,

\ ] г у

компоненты тензора скоростей деформации, □ =

Q,

дх, дх,

V J 1

компоненты тензора завихренности. Эмпирическая функция Р2

2 л/к 500у

рассчитывается по формуле: F2 = tanh ( arg22 j, где arg2 = max

(3 юу у CO

Для однозначной разрешимости системы уравнений (1)-(3) запишем граничные условия:

- на входе в канал:

для скорости: = 0, у2 = 0, у3 = и0 (Здесь и0=<2!8, где <2 - расход жидкости, £ площадь входного сечения в канале);

для температуры жидкости tж=t0; для температуры стенки (с = г0;

для кинетической энергии турбулентности и ее удельной диссипации со = С—,

го

vг=10"3v (у- кинематическая вязкость), A: = vгсо, где рекомендованные в [2] значения константы С лежат в диапазоне 1^-10; для давления р = р0;

- на выходе:

Ох?, дхъ дхъ дх3 дх3 дх3 - на внутренней стенке: для скорости - условия прилипания = 0, у2 = 0, у3 = 0 ;

для удельной диссипации со = 10 ; для кинетической энергии турбулентности

РхАУ

. дг . Ы

к = 0; для температуры (ж={с, = где п

дп дп

(4)

нормаль к стенке,

р1 = 0,075, а Ау - величина первого пристеночного шага сетки [2]; - на внешней стенке:

для пара = апаР {*пар ~К) > гДе гпаР ~ температура пара.

Решение системы уравнений (1)-(3) будем искать в виде:

Ч = )' ¿=1,2,3,

р— р0 = и0рР(х1,х2,х3 1Ж — (0ТЖ (х1,х2,х3), ^ = (0Тс (х1,х2,х3

щ

гп

(5)

2 W

— Z^q li\. ^ ЭС^ ^ Х^ j ^ j 03 — ~ fP ( Ху Х^ 5 -Xj ) ■

где хх = —, х2 = —, х3 = — - безразмерные переменные, Уг, Р, К , И7 , Тж, Тс ■ го го го

безразмерные функции, щ - начальная скорость, р0 - начальное давление, г0 геометрический размер канала.

Подставляя формулы (5) в уравнения (1)-(3), получим безразмерные уравнения. Уравнения движения:

J дх } щ дх } Уравнение неразрывности:

Уравнение энергии:

^ дТ

j дХ;

1 1

- + -

Re Re,

Щ dVj

——н——

дх, &с,

v j !

\\

J J

EL

dXj

д f /

diCj

1 1

— + —

Ре Ре

\

^дТ

< , дх •

i / J /

(6)

(7)

(8)

Уравнение теплопроводности стенок канала:

дх

/ \ дТ

дх

\ J J

0

Уравнение переноса для кинетической энергии турбулентности:

У

дК О

] дХ] Яе/

; дХ; V } 1 /

дXj дXj

Яе Яе

дК

г

дх,

(9)

(10)

Уравнение переноса для удельной скорости диссипации:

тд1¥ О Ж

У-= у--

3 дх] Яе, К

дх,- дх: \ ) 1

дх^ дх^

Яе Яе

дШ

t У

+2(1-^)^

1 дК дШ Ж дЬс • дXj

(П)

Граничные условия: -на входе в канал:

для скорости: У1 = О, У2 = О, У3 = 1; для температуры жидкости Тж = 1; для температуры стенки Тс = 1; для кинетической энергии турбулентности и ее удельной диссипации IV = м?0, К = к0; для давления Р = 0; -на выходе:

^-0.^ = 0.^ = 0.^ = 0.^ = 0.^ = 0;

дх?

дх.

дХг

дх?

Ч «^з

-на внутренней стенке:

для скорости - условия прилипания Уг = 0, У2 = 0, У3 = 0

ттг 60 й}Рг для удельной диссипации \¥

(12)

РЛ/Яе

т . аг

Гс, Аж — = Яс —-, где и - нормаль к стенке;

дп

для кинетической энергии турбулентности К = 0 для температуры Тж -на внешней стенке: для пара = - Тс), где 1пар - температура пара.

Здесь - эквивалентный диаметр канала, Яе

число Рейнольдса, Яе

турбулентное число Рейнольдса, Вг

число Био, в

геометрическии

симплекс, ре = и° 3 - число Пекле, р^ = и° 3 - турбулентное число Пекле.

а аь

2. Построение математической модели с учетом геометрии канала

Рассмотрим систему уравнений (6)-(11) с граничными условиями (12) при турбулентном течении в каналах, стенки которого описываются параметрическими уравнениями:

= хъ =г<£(г,е), 1нач<1<1к0н, енач <е<еган,

где г0 - характерный размер канала.

Так, например, для пружинно-витого канала теплообменная поверхность (стенка) описывается параметрическими уравнениями [4, 5]:

хг =г0£(*,е), х2 = г0<;(*,6), = /•<£(*, 6), (13)

где

„/ с cbsin^siní / • С . . cisin^cosí g{t,9) = cosí--eos61 eosíh--. ; g[t,e) = siní--costfsiní

£(/,*) = -/+ Г™* - O<Í<27W,^<0< ro 2

5n

T

причем при уравнения (13) описывают внутреннюю стенку канала, а при

2 2

* < е < — - внешнюю. Здесь г0 - радиус подложки канала, п - число витков проволоки.

2 2

Тогда проточную часть пружинно-витого канала (рис) можно описать уравнениями вида: X! = гг0£(г,е), х2 = гг0<;(г,е), Хз = , (14)

где 0 < г < 1. При г = 1 уравнения (14) описывают стенку канала, при г = 0 - ось канала.

Рис. Проточная часть канала, построенная по уравнениям (14) при г, изменяющемся от 0 до 1 с шагом 0,1

Отобразим физическую область течения с криволинейными границами в область с прямолинейными границами, используя преобразование координат.

Для этого произведем замену переменных в уравнениях математической модели (6)~(11), с граничными условиями (12), приняв за новые независимые переменные ^ = г,

Чг = *, = Э :

Ъ=<&(Я2><Ь)> Х2=ЯАЯ2>Яъ)> Ъ =^{Я2>Яъ )• (15)

Запишем формулы для вычисления частных производных в новых переменных. Рассмотрим функцию V = V ). Продифференцируем её по с[х, с[2 с{ъ:

ду ду дхл ду дх-, ду дхг ду дх;

(16)

dqx дхх dqx дх2 dqx dx3 dqx dxj dqx '

dv _ dv Щ ^ dv dx¡ dq2 дх2 ш2 ^ dv dx3 dx3 dq2 _ dv dXj_

dq2 dq2 dxj dq2

dv _ dv Щ ^ dv dx2 ^ dv dx3 _ ^ dXj_

dq3 дхх dq3 дх2 дq3 дх3 dq3 дXj dq3 ду ду ду

Решая систему (16) относительно-, -, -, получим:

щ дх2

дхо

dv ^\{я\^Я2,Яъ) ду = k2{ql}q2>q3) ^ Л^^Лз) Щ A(qlfq2tq3) ' йг2 А[я\,Я2,Яъ) ' А{я1>Я2,Яз)

(17)

где

дх?

а^ а^ dq1

ÔXj а*2

а*2 ^3

dq3 dq3 dq3

q{q2ß) 0 dt de dt

dq2 dq2

3Ç

<h

<h

дЧъ

<h

dq2 aç_ dq2 d^

а^з а^з а^з а^з

dq3

aç

dq3 dq3

Д1 ):

ôv a<?i ^2 a<?i ^3 a<?i dv dq1 0

ôv а^з dv ag dq2

a?2 dq2 a?2

ôv а^з dv ag а^з

а^з а^з а^з а^з а^з

Чу

aç_

ôv ôv

a<?i aç a^2

а^з а^з

q(q2,q3) 0

dq aç

ql

dq3 dq3

dv 09

${<h><h) 0 aç aç

dq2 dq2

кг(я.\>ЧгЯъ)

Щ dv dx3

dqx dqx dqx

dv fà3

dq2 dq2

dv ^3

dq3 dq3 dq3

<h

<h

dq2

а^з

-<h

av

a^i

dv dq2

%(.<h><h) 0

et aç

q1

dq3 dq3

0

dv_ dq1

dv dt;

dq2 dq2

dv сÇ

dq3 dq3

dv dq3

q2,q3) 0

dt ac

a^2 dch

ôv a<?i Ç(?2 >Чъ) ôv dqx

dv a^ aç dq2 ôv

dq2 a^2

dv a^ ft — а^з aç ft— а^з ôv

а^з а^з

<h

ôv dq2

dqx _aç_

а?з а^з

<h

dv dq2

а?з а^з

ôv

а^з

а^2 а^2

Равенства (17) можно записать следующим образом:

ду дхг = 4 ду ддх + а2 ду дд2 + А3 ду дд3 II ду дд/

ду дх2 ду ддх + В2 ду $42 + В3 ду ду дд} '

ду дх3 ду ддх + с2 ду дд2 + С3 ду дд3 = CJ ду дд/

(18)

где важно отметить, что коэффициенты А1,В1,С1 (I = 1,2,3) зависят только от д1, д2

Д

с.

Тогда

Л

А 3^

$42 $42

д А д^

дд3 дд3

$42 $42

д ас

л

' Сг

дд3 дд3

а<; ас

Я.\

дд3 дд3

<;(д2,д3) 0

а<; ас я.\ —^

дд2 дд2

В.

^{Ч2'Чз) 0

ае, ас 41 д% д%

, в,

, Сз

^{Ч2'Чз) 0

ае, ас % -3-

дд2 дд2

дд2 дд2

дх.

ддх

ГаИ д а 3 {

+ А2- + А3- = 4 — ддх{

дд2 К ;

А

ду

+ Ап

ду

ддх дд2

■ +А*

ду_

+Ап

дд7

ау

2 а V

1 ^

ддх

+ А

2 а у

2

дд2

ду дд2

+ Л

ду

дд

+ Ао

з )

дд3

ду

ду

ду

ддх дд-

дд

2 а V

+А

+Ао

/дА1 ду дА0 ду дАх ду +—--+

дд3 Ч

— + 2А1А2

а V

ддгдд:

■+2А1А3

а V

ддхддг

з )

а V

дд2дд3

ддх ддх ддх дд2 ддх дд3

дА1 ду дА0 ду дА? ду 1 +—--+ 3

+ Ап

Г дА1 ду дА2 ду ^ дА3 ду Л дд2 ддх дд2 дд2 дд2 дд3 )

дд3 ддх дд3 дд2 дд3 дд3 Аналогично:

я2

А,А)

а2у

дд^

+ 4

д^_вв д^ 1ВдВ;ду. ду =Сс

^2 ' ' гят 2 ' ]

дА] ду дд1 дд]

д£у

дд1дд] дд дд] д^'

дЯ^Я]

д1у дххдх2

д1у

дqiдqj дххдхъ дд1 дqj

дЯ дЯ]

52.

дд1 дд]

дЯ^Я]

дх2дх3 дд} дд

Запишем уравнения математической модели в новых переменных:

Л 1 Л ^ Я 5 7!

0 < дх < I, 0 < д2 < 2пп, —<д3< —.

Уравнения движения:

дУ

дУ

дУ

УхА! -А. + У2В, -А. + У3С, -А + А

дд

дд

дд.

+ВВ„

Ч

1 1

— + —

Яе Яе

V

дР дд1

У/

2 ПА,

Ч

1 1

— + —

Яе Яе

г У

а/Л

3 дд

з У

\\

г УЧ

Т, ак , дУ2 В, - +А} -

Ч Ч ; )

+ ВС„

Ч

1 1

— + —

Яе Яе

V

\\

гУЧ

„ ак , дУ С — + А-—-

Ч Ч;;

(19)

у^уЛ+уг^в^вв^

дд; дд. дд. ддк

(г

+ОА

_д_

дЯк

V Ке+ м

\л г А

\ / Л л

Л.—-+ В —±

Ч ^ у у

_д_

дЯк

Яе Яе

г

л дУл

г У

\У

. Яе + Яе ,,

г уч

о У

7 дд 3 дд

(20)

к , к, ^ + кзс дЛ + г^=2ВСк —

дд; дд. дд; дд; ддк

(с

Яе Яе

I у

ВА,

_д_

дЯк

\(

. Яе + Яе ,,

Ас. в1/>

3 дд1 3 дд

+ ВВ,.

•> уу

_д_

дЧк

\(

. Яе + Яе ,,

ЧЧ t у\

(21)

Уравнение неразрывности:

дУ, дУ, дУ,

дЧ] дд]

Уравнение энергии:

КЛ,

дТ

ж

дд.

■+У2В]

дТ

■+К С,

дТ

( с

дд

( с

+ВВ,.

дЯк

1_

Ре Ре,

В.

дТ

г У

дд

ЭА

+ ва

Ре Ре,

А

дТ

з У

Ч^

1_

Ре Ре,

С.

дТ

з У \

г У

дд

3 У

Уравнение теплопроводности стенок канала:

д2Т дА. дТ д2Т дБ, дТ

4 А;—^ + 4 3 ' ~

■+В.В,

■+в.

ддгдд} 1 ддг дд} 3 ддгдд} 1 ддг дд}

д2Т дС} дТ + СгС -С— + Сг—---^- = 0

%% ддг дд;

(22)

(23)

(24)

и

Уравнение переноса для кинетической энергии турбулентности

У. . ч \2

Т7/1 дК Т70 дК т/гг дК

УХА: -+ У2В: -+ У3С, -

дду- дgj дд^

Яе,

Яе,

У Л2 У

№

+

Яе.

у

дУ, дУ

А

\2

вМ

V

Л2 / +

^ ЛГ/ л2 ^

3Ч

в,

дУ

+

у V \2 /

веу>

+

}ддЛ I 3 дд}

С

дУ

+

у V +

у ^2^

с Щ

У

ч У

с6^

У

Ч дЯ] Ч Ч Ч Ч

+Аь

+Сг

д

дЯк д

дЯк

1

+ К

Яе Яе 1

— + —

Яе Яе

А

С

дК

ч

дК

+ ВЬ

д

дЯк

1

+ К

Яе Яе

В.

г\

Ш +

В дК

(25)

/ У

У

7

Уравнение переноса для удельной скорости диссипации:

В'

д№

д!¥

У1А]- + У1В]— + УЪС]-дд} од^ од

з )

УУ 2у К Яе,

А,

дУг

дд.

\2

V "Ч/ У

В,

дУ2

дд.

\2

V ^з

С

Щ

дд.

\2

IV у К Яе,

IV 2у К Яе,

\2

А,

дУ

\2

V ^3 У

в "Л

\2

в,

\2

V У

\2

V

/ \2 „ дУ2 С1 —

V ^3 У

Л 5

г 7

ак2 а^

г 7

да: а^.

+4С,

+А

+Сг

а

1 с —+ —

Яе Яе

1 с — + —

Яе Яе

А.

С

т_

дд}

ш_

дд}

+ Въ

дЧк

Яе Яе

дУъ дУх

\

В

о

д№

г

дд

2 / ^, 1 D ¡¡у

л дК д\¥ дКд\¥ „ „ дК д\¥

А1А;--+ В^;--+ С,С,--

дд( дд] ддi дд] ддi дд] ;

(26)

Граничные условия:

-на входе в канал (0 <? < 27:):

для скорости: У1 = 0, К2 = 0, ^ = 1; для температуры жидкости Тж = 1; для температуры стенки Г, = 1; для кинетической энергии турбулентности К = к0; для удельной диссипации Ж = ; для давления Р = 0; -навыходе (2я(л-1)<*< 2ял):

^ -0,^ = 0,^ = 0,^ = 0,^ = 0,^ = 0;

на внутренней стенке

,371 57Г

г = 1, —<е< — 2 2

(27)

для скорости - условия прилипания Уу = 0, У2 = 0, У3 = 0; для удельной

Ш}Рг

диссипации Ж

РЛ/Яе

для кинетической энергии турбулентности АГ = 0

аг я аг

для температуры ТЖ = ТС, Хж — = Лс ——, где п - нормаль к стенке

дп дп

I , л Л Зл'1 на внешней стенке г = 1, — < и < —

аг

для пара = В1(Тпар - Гс ), где (пар - температура пара.

Эквивалентный диаметр пружинно-витого канала может быть вычислен по формуле:

аэ = —, э 5

где V - объем, £ - площадь смоченной (внутренней) поверхности канала.

Площадь внутренней поверхности вычисляется по формуле:

£ = 27ГП^Го2 +Ъ2 • п • с.

Объем вычисляется по формуле

V = JJ J dxdydz =

1 Зл-/2 2яп

= \dqx J dq2 J

0 njl О

y=q\ç{q ъЧъ)

Численная реализация полученной модели (19)-(27) сопряженной задачи теплообмена при турбулентном течении вязкой несжимаемой жидкости в рассматриваемых каналах позволит определить поле скоростей, давления и температур в проточной части труб со сложной геометрией.

Заключение

Предложена математическая модель сопряженной задачи теплообмена при турбулентном течении вязкой несжимаемой жидкости на основе осредненных по Рейнольдсу уравнений движения, неразрывности, энергии, теплопроводности стенки и модели Ментера. Для преобразования дифференциальных уравнений к безразмерному виду предложены оригинальные подстановки. Уравнения модели записаны с применением независимых переменных, что позволило преобразовать физическую область течения с криволинейными границами в область с прямолинейными границами. Это позволило существенно упростить процесс построения расчетной сетки и записи граничных условий.

Список литературы

1. Гарбарук А.В., Стрелец М.И., Шур М.Л. Моделирование турбулентности в расчетах сложных течений: учебное пособие. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2012. - 88 с.

2. Menter F.R. Zonal two-equation к- со turbulence models for aerodynamic flows // AIAA Paper № 93-2906, 1993. - 21 p.

3. Bradshaw P., Ferriss D.H., Atwell N.P. Calculation of boundary layer development using the turbulent energy équation, J. Fluid Mech., 1967, v. 28. - P. 593-616.

4. Багоутдинова АГ., Золотоносов Я.Д. Математическое описание и визуализация теплообменных поверхностей в форме пружинно-витых каналов и труб типа «конфузор-диффузор» // Известия вузов. Проблемы энергетики, 2012, № 7-8. - С. 80-86.

5. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д., Мустакимова С.А. Энергоэффективные теплообменные аппараты на базе теплообменных элементов в виде пружинно-витых каналов // Известия КГАСУ, 2012, № 3 (21). - С. 86-95.

Bagoutdinova A.G. - candidate of technical sciences, associate professor

E-mail: bagoutdinova@rambler.ru

Zolotonosov Ya.D. - doctor of technical sciences, professor

E-mail: zolotonosov@mail.ru

Kazan State University of Architecture and Engineering

The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaya st., 1

Mathematical model of the dual problem of heat transfer in turbulent flow in channels of complex geometry

Resume

In this paper the mathematical model of conjugate heat transfer problem in a turbulent flow of an incompressible viscous fluid in a channel complex configuration based on the Reynolds averaged equations of motion, continuity, energy, and thermal conductivity of the wall is shown . To close the system of equations of the Reynolds turbulence model based on Menter geometry of the channel is chosen. To convert the differential equations to a dimensionless the original proposed substitution are formed. The model equations are written with the use of independent variables, which has transformed the physical flow domain with

curved boundaries in the area with straight boundaries. It is possible to considerably simplify the process of building a computational grid and write the boundary conditions.

The numerical realization of the resulting model will identify the main heat-hydrodynamic parameters and clarify the methods of engineering calculation of heat exchangers with heat exchange elements in the form of spring-twisted channels.

Keywords: mathematical model, boundary conditions, turbulent flow.

References

1. Garbaruk A.V., Strelets M.H., Shur M.L. Modeling of turbulence in the calculation of complex flows: a manual / Spb: Polytechnic Univ. Press, 2012. - 88 p.

2. Menter F.R. Zonal two-equation k- oo turbulence models for aerodynamic flows 11 AIAA Paper № 93-2906, 1993. - 21 p.

3. Bradshaw P., Ferriss D.H., Atwell N.P. Calculation of boundary layer development using the turbulent energy equation, J. Fluid Mech., 1967, v. 28. - P. 593-616.

4. Bagoutdinova A.G., Zolotonosov Ja.D. Mathematical description and visualization of heat-exchange surfaces in form the spring-curly channels and pipes of type «confusor-diffusor» // Proceedings of the universities. Energy problems, 2012, № 7-8. - P. 80-86.

5. Bagoutdinova A.G., Zolotonosov Ya.D., Mustakimova S.A. Energy efficient heat exchangers based on the heat exchange elements in the form of a spring-twisted channels // News of the KSUAE, 2012, № 3 (21). -P. 86-95.