CC BY
7
ИСТОРИЯ НАУКИ
УДК 314.82
Самарская Лука: проблемы региональной и глобальной экологии.
2021. - Т. 30. - № 3. - С. 75-77.
ЗАМЕТКА О ЗАКОНЕ РОСТА НАСЕЛЕНИЯ
Пьер-Франсуа Ферхюльст
Как хорошо известно, знаменитый Мальтус установил в качестве принципа, что человеческая популяция имеет тенденцию к росту в геометрической прогрессии, чтобы удваиваться через определенный период, например, каждые двадцать пять лет. Это утверждение неоспоримо, если пренебречь все возрастающей трудностью прокормить население, которое приобрело определенную степень агломерации; или [если оно пренебрегает] ресурсами, используемыми в своем росте, даже когда общество все еще находится в зачаточном состоянии (например, большее разделение труда, существование регулярного правительства и средств защиты, которые обеспечивают общественное спокойствие, и т. д.).
Фактически, при прочих равных условиях, если одна тысяча душ превратилась в две тысячи по истечении двадцати пяти лет, эти две тысячи станут четырьмя тысячами по прошествии того же периода времени.
В наших старых европейских обществах, где подходящие земли уже давно возделывались, все возрастающие усилия, направленные на улучшение уже обрабатываемого поля, могут добавлять к урожаю только все уменьшающиеся количества. Если допустить, что в первые двадцать пять лет можно было удвоить продукцию полей, то во втором периоде едва ли удастся заставить её производить еще треть. Таким образом, эффективный рост населения находит предел в размерах и рождаемости в стране, и, как следствие, численность населения все больше и больше становится стационарной.
В некоторых случаях это не так, что, конечно, является чисто исключительным случаем; например, когда цивилизованный народ возделывает плодородную территорию, которая до тех пор оставалась необитаемой, или когда он проявляет изобретательность, которая дает большие временные выгоды. Большая семья тогда становится источником богатства, и второму поколению легче утвердиться, чем первому, потому что ему нет
необходимости вести борьбу с препятствиями, которые дикая земля предлагала первым колонистам.
Чтобы судить о скорости роста населения в данной стране, необходимо разделить прирост населения за каждый год на численность населения, которое его обеспечило. Отношение, не зависящее от абсолютного размера популяции, можно рассматривать как меру этой скорости. Если она постоянна, популяция увеличивается в геометрической прогрессии; если она увеличивается, прогрессия больше, чем геометрическая, и меньше, чем геометрическая, если она уменьшается.
Можно делать различные предположения о сопротивлении или сумме проблем, препятствующих неограниченному росту населения. Г-н Кетле полагает, что оно пропорционально квадрату скорости, с которой это население растёт1.
Рост численности населения можно сравнить со свободным падением тела с учетом сопротивления среды. Результаты этого сравнения удовлетворительным образом согласуются со статистическими данными и с теми, которые я получил по моим собственным формулам, если предположить, что в слоях среды тело проходит через неограниченно возрастающую плотность.
Рост населения неизбежно имеет предел, хотя бы в размере территории, необходимой для проживания этого населения. Когда нация съела все плоды своих полей, она может быть уверена, что закупит припасы из-за границы путем обмена другой своей продукции, и таким образом поддержит новый прирост населения. Однако очевидно, что такой импорт должен иметь ограничения и прекратится, прежде чем вся страна будет преобразована в города. Таким образом, все формулы, с помощью которых пытаются представить закон численности, должны удовлетворять условию допуска максимума, который достигается
Verhulst P.F. Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement // Correspondance mathématique et physique. 1838. V. 10. P. 113-121. Перевод с французского Г.С. Розенберга.
1 Quetelet A. Sur l'homme et le développement de ses facultés ou essai de physique sociale. Paris: Bachelier, Imprimeur-Libraire (Quai des augustins, 55), 1835. P. 277.
[https://archive.org/details/surlhommeetled00quet/page/n 345/mode/2up].
только в бесконечно далекую эпоху. Этот максимум будет численностью населения, когда оно станет стационарным.
Я долгое время пытался определить вероятный закон роста численности; но я отказался от этого типа исследования, потому что данных наблюдений слишком мало для проверки формул таким образом, чтобы не осталось сомнений в их точности. Тем не менее, поскольку шаги, которым я следовал, кажутся мне неизбежно ведущими к познанию истинного закона, когда данных станет достаточно, и поскольку полученные мной результаты могут представлять интерес, по крайней мере, как объект для предположений, я подумал, что должен принять приглашение г-на Кетле и довести их до сведения публики.
Пусть p обозначает численность населения и представим через dp бесконечно малое увеличение, которое она получит в течение бесконечно короткого времени dt. Если бы популяция росла в геометрической прогрессии, мы имели бы уравнение dp/dt = mp. Но поскольку рост населения замедляется из-за роста числа жителей сам по себе, мы должны вычесть из mp неизвестную функцию p; так что формула для интегрирования становится:
dp / dt = mp - (fp) .
Простейшая гипотеза, которую можно сделать относительно формы функции fp) - предположить, что ffp) = np2. Затем для интеграла приведенного выше уравнения
t = 1/m [lnp - ln (m - np)] + const ,
и трех наблюдений будет достаточно для определения двух постоянных коэффициентов m, n и произвольной const.
Решив последнее уравнение относительно p, получим
p = {m p' exp(mt)} / {np' exp(mt) + m - np'}, 1
где p' - численность населения, которая соответствует t = 0. Если допустить t = да, можно увидеть, что соответствующее значение p будет равно P = m / n. Таким образом, это и будет верхний предел численности населения.
Вместо того, чтобы полагать fp) = np2, можно взять ffp) = npa, а как [любое число], или f(p) = n ln p. Все эти предположения одинаково хорошо удовлетворяют наблюдаемым данным, но дают очень разные значения для верхнего предела численности населения.
Я предполагал последовательно
Ф) = np2, fp) = np3, fp) = np4, ffp) = n lnp;
и различия между расчётными значениями и данными наблюдений были более-менее одинаковыми.
Когда популяция растет быстрее, чем в геометрической прогрессии, член —у(р) становится +^(р); затем дифференциальное уравнение интегрируется, как и в предыдущих случаях, но при этом следует помнить, что максимального предела численности населения больше не может быть.
Я рассчитал табличные значения по формуле (1). Цифры по Франции, Бельгии и графству Эссекс были взяты из официальных документов. Те, что относятся к России, можно найти в работе доктора Садлера «Закон о народонаселении»2, и я не могу гарантировать их достоверность, не зная, каким образом они были получены. Я мог бы расширить таблицы для Франции и Бельгии до 1837 г. с помощью справочников (ежегодников), издаваемых в этих двух странах с 1833 г., и таким образом проверить свою формулу; но мои занятия не оставили мне досуга. Моя работа была прекращена в 1833 г., и с тех пор я к ней больше не возвращался.
Попутно отмечу, что табл. 13, относящаяся к Франции, кажется, демонстрирует, что формула особенно точна, поскольку наблюдения [для Франции] относятся к самым большим числам и были сделаны с большей тщательностью. В остальном, только будущее может открыть нам истинный способ действия тормозящей силы, которую мы обозначили как ф(р).
2 Примечание переводчика. Майкл Томас Садлер (Michael Thomas Sadler; 1780-1835) - британский экономист, член Лондонского королевского общества (1832). Цитируемая работа - SadlerM.T. Low of Population. London: John Murray, 1830. V. 1. 639 p. В этой работе Садлер выступил оппонентом Т. Мальтуса, считая, что народонаселение не растет столь быстро, в геометрической прогрессии, а меняется более медленно.
3 Примечание переводчика. В данном варианте пере-
вода в целях экономии места представлены только табл. 1 и 4 (для Франции и России); с табл. 2 и 3 (для Бельгии и Германии) можно познакомиться по первоисточнику: rhttps://books.google.ru/books?hl=fr&id=8Gs EAAAAYAAJ&jtp=113&redir esc=y#v=onepage&q&f= false].
Таблица 1
Рост численности населения Франции с 1817 по 1831 год по данным ежегодника за 1834 год
Годы 1 2 3 4
1817 29,981336 29,981336 0,0 7,4768
0,195902 0,208281
1818 30,177238 30,189500 +0,0004 7,4799
0,161948 0,204500
1819 30,339186 30,394000 +0,0018 7,4828
0,199863 0,200500
1820 30,539049 30,594500 +0,0018 7,4856
0,188227 0,197300
1821 30,727276 30,791800 +0,0021 7,4884
0,212144 0,192700
1822 30,939420 30,984500 +0,0014 7,4911
0,198634 0,189500
1823 31,138054 31,174000 +0,0012 7,4938
0,221286 0,185223
1824 31,359340 31,359340 0,0 7,4964
0,220546 0,182777
1825 31,579886 31,542000 -0,0012 7,4989
0,175974 0,178000
1826 31,755860 31,720000 -0,0011 7,5013
0,157533 0,175000
1827 31,913393 31,895000 -0,0005 7,5037
0,189071 0,172000
1828 32,102464 32,067000 -0,0011 7,5061
0,139402 0,168000
1829 32,241866 32,235000 -0,0002 7,5083
0,161074 0,164500
1830 32,402940 32,399500 0,0 7,5105
0,157994 0,161434
1831 32,560934* 32,560934 0,0 7,5127
Примечания. 1 - фактические данные (млн. чел.); 2 - расчет по формуле (1); второе число - прирост населения за год (млн. чел.); 3 - относительная ошибка; 4 - логарифм рассчитанной численности населения (^p); * - данные переписи (1 января).
Численность населения России (православные)
Таблица 4
Годы 1 2 3
1796 29,177980 0,461521 29,177980
1797 29,639501 0,461525 30,332000
1798 30,101026 0,428248 31,424000
1799 30,529274 0,432418 32,456000
1800 30,961692 0,440000 33,350000
1801 31,401692 0,453205 34,338000
1802 31,854897 0,616097 35,191000
1803 32,470994 0,475372 35,988000
1804 32,946366 0,568469 36,731000
1805 33,514835 0,542701 37,423000
1806 34,057536 0,500662 38,065000
1807 34,558198 0,468508 38,661000
1808 35,026706 0,462478 39,213000
1809 35,489184 0,466712 39,723000
1810 35,955866 0,471546 40,195000
1811 36,427442 0,369779 40,630000
1812 36,797221 0,293033 41,031000
1813 37,090254 -0,002740* 41,401000
1814 37,087514 0,389255 41,741000
1815 37,476769 0,407473 42,055000
1816 37,884242 0,637247 42,342000
1817 38,521489 0,670045 42,606000
1818 39,191534 0,556441 42,849000
1819 39,747975 0,603025 43,071000
1820 40,351000 0,662719 43,276000
1821 41,013719 0,600591 43,463000
1822 41,614310 0,562735 43,634000
1823 42,177045 0,663345 43,791000
1824 42,840390 0,713285 43,935000
1825 43,553675 0,633405 44,067000
1826 44,187080 0,450386 44,187080
1827 44,637466
Примечания. 1 - фактические данные (млн. чел.); 2 - прирост населения за год (млн. чел.); 3 - расчет по формуле (1); * - Отечественная война 1812 г. Примечание переводчика. Максимальная относительная ошибка - 0,122 (в 50 раз больше, чем для Франции).
