Заметка о теорiи евклидовскаго действiя (Ротапринт)

Коссера Эжен; Коссера Франсуа

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

5

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

6

КОССЕРА Э. и Ф.

ЗАМѢТКА

о

ТЕОРІИ ЕВКЛИДОВСКАГО ДѢЙСТВІЯ

Э. и Ф. КОССЕРА.

ВВЕДЕНІЕ.

Механика, какъ и всѣ науки, имѣющія предметомъ ощутительные факты, основана, прежде всего, на опытѣ и индукціи; такимъ характеромъ она, естественно, и должна обладать въ Руководствѣ классическомъ. Но можно попытаться пріурочить Механику и къ единственной общей идеѣ, придавъ ей форму дедуктивную; этимъ путемъ,мы сообщимъ ей новую силу для открытій и найдемъ объясненіе тѣхъ понятій, которыя уже пріобрѣтены индуктивно. Таковъ былъ замыселъ Лагранжа, въ его Mecanique analytique, болѣе вѣка тому назадъ.

Въ наше время, попытка такого рода заслуживаетъ возобновленія, потому что область явленій, находящихся въ большей или меньшей зависимости отъ Механики, значительно расширилась. Одинъ изъ путей, которому можно слѣдовать, указанъ былъ Гельмгольцомъ; отправной точкою онъ беретъ методъ перемѣннаго дѣйствія Гамильтона, такъ что понятіемъ, изъ котораго, посредствомъ дедукціи, должны вытекать всѣ индуктивныя начала Механики, является подходящимъ образомъ задуманное понятіе о дѣйствіи; однако, Гельмгольцъ не достаточно опредѣленно выдѣлилъ то, что въ этомъ первоначальномъ понятіи служитъ основнымъ, позволяющимъ обобщить его. Чтобы дать вполнѣ стройное опредѣленіе этому понятію, надо принять во вниманіе, что дѣйствіе, въ томъ видѣ, какъ его ввелъ въ Механику Мопертюи, представляетъ ннваръяптъ въ группѣ евклидовскихъ перемѣщеній. Эту же особенность, присущую дѣйствію, мы находимъ снова въ статикѣ измѣняемыхъ (deformables) тѣлъ, обоснованной на разсмотрѣніи ds2 пространства. Въ Физикѣ, теорія явленій, происходящихъ отъ тяготѣнія, теплоты и электричества, зависитъ (какъ это показали первыми Ла-

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 7 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

бгз

пласъ, Фурье и Максуэллъ) отъ изученія дифференціальныхъ параметровъ, которые также служатъ инварьянтами въ группѣ перемѣщеній.

А. Пуанкаре написалъ, что понятіе о группѣ предсуществуетъ въ нашемъ умѣ, по крайней мѣрѣ ввидѣ нашей способности, и обязательно проявляется (s’impose а nous) въ насъ, не въ формѣ нашей воспріимчивости чувствомъ, а въ формѣ нашего разумѣнія. Въ силу этой философской идеи, вся классическая Механика и вся теоретическая Физика, повидимому, могли бы быть выведены изъ одного единственнаго понятія объ евклидовскомъ дѣйствіи. Мы и поставимъ себѣ задачею сдѣлать такой выводъ въ предлагаемой Замѣткѣ, по крайней мѣрѣ по отношенію къ тому, что затрогиваетъ вопросы, входящіе въ обычныя рамки Механики. Мы изложимъ, поэтому, теорію евклидовскаго дѣйствія для протяженія и движенія; а такъ какъ намъ не будетъ никакой надобности пользоваться словомъ вещество (matiere), то соображенія наши будутъ примѣнимы равнымъ образомъ и къ эфиру; для всесторонняго уясненія понятія о веществѣ, надо сопоставить это послѣднее понятіе съ понятіемъ объ энтропіи, слѣдуя глубокому взгляду, проведенному Липпманномъ въ электрическія теоріи; такая постановка вопроса не можетъ быть, однако, включена въ предѣлы нашей работы.

I. Статика измѣняемой линіи и динамика трехгранника (triedre).

і. Измѣняемая линія. Естественное состояніе и деформированное состояніе. Возьмемъ кривую (М0), описываемую точкой М0, координаты которой х0, у, z0, относительно трехъ неподвижныхъ прямоугольныхъ осей Ох, О у, О^, представляютъ функціи одного и того же параметра, напр., дуги s0 кривой, отсчитываемой отъ опредѣленнаго начала, въ опредѣленную сторону. Пріобщимъ къ каждой точкѣ Mft кривой (М0) прямоугольный трехгранникъ, оси котораго М0х'0, М0г/0, М0£'0 имѣютъ, по отношенію къ осямъ Ох, Оу, 0,j, направляющіе косинусы а9, и'о, «"о; р0, ft'0, /?%; Yo> т'о> 'Го» соотвѣтственно, причемъ эти косинусы—функціи того же самаго параметра у0. Сплошная совокупность, одного измѣренія, такихъ трехгранниковъ М0х'0)/0;{'й и будетъ тѣмъ, что мы назовемъ измѣняемой линіею (ligne deformable).

Сообщимъ точкѣ М0 перемѣщеніе М0М; пусть х, у, і—координаты точки М относительно неподвижныхъ осей Ох, Оу, О^. Сообщимъ, кромѣ того, трехграннику М0х'0 f/o^'o вращеніе, которое, въ окончательномъ видѣ, приведетъ его оси къ осямъ трехгранника Mx’y'z, пріобщаемаго къ точкѣ М; будемъ опредѣлять такое вращеніе, задаваясь направляющими косинусами а, а', а"; ft, ft', ft"; у, у', у" осей Мх', Мг/', М^', по отношенію къ неподвижнымъ осямъ Ох, Оу, О^. Сплошную совокупность, одного измѣренія, трехгранниковъ Мх'уѴ будемъ называть деформированнымъ состояніемъ разсматриваемой измѣняемой линіи, первоначальное состояніе которой назовемъ естественнымъ состояніемъ.

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

8

КОССЕРА Э. и Ф.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

614

Предположимъ, что s0 мѣняется, и что, на мгновеніе, мы заставили бы ее играть роль времени; обозначимъ, приэтомъ, черезъ £0, £0

проекціи скорости начала М0 осей M0*'0, МоУ'а, М0*'0 на эти оси и че_ резъ р0, qQ) г0—проекціи, на тѣ же оси, скорости мгновеннаго вращенія трехгранника М0я:'0/0^0. Означимъ черезъ £, q, t, и p, q, г—аналогии’ ныя количества для трехгранника Мх'у'^, если отнести его, какъ и трехгранникъ М0х'0г/0^'0, къ неподвижному трехграннику Оху%. Значенія введенныхъ нами элементовъ будутъ таковы

(і)

dx К1Г, -J- a' dy ds0 + «" ds0 *

dsn + /?' dy_ ds0 dA ds0 ’

dx + / dy_ dso + /' ds0 ’

2' it = ds0 -2* dy f ~J * ds0

dy ds0 ~ ■2» da ds0 ’

2' da ds0 ■2- .d£m ds0 '

(2)

Въ этихъ количествахъ, линейный элементъ ds кривой, описываемый точкою М, опредѣлится формулой

(3) ^2 = (l2 + ^ + S2)^20.

Означимъ черезъ х\ г/, ^'—проекціи отрѣзка ОМ на оси Мх', Мг/, М^', такъ что координатами неподвижной точки О, относительно этихъ осей будутъ — х', — у', — получимъ извѣстныя формулы ’

(4)

t dxJ , , ,

+r,i =0’

+*'=°-

дающія новыя выраженія для ц и

Предположимъ, что каждому изъ трехгранниковъ деформированнаго состоянія сообщено безконечно малое перемѣщеніе, могущее непрерывно измѣняться вмѣстѣ съ этими трехгранниками. Обозначимъ черезъ ох, 8у, Ь%, Ьх\ 8у', Ь^} Ы, оа', 07" соотвѣтственныя измѣненія х, у, і, х , if, і, а, а', ..., 4", Измѣненія 8«, Іа' ..Ьу" выразятся такими формулами ■

(5) о а = — -бу',

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 9 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

2. Евклидовское дѣйствіе деформаціи на измѣняемую линію* Внѣшніе сила и моментъ; усиліе и моментъ деформаціи въ какой-либо точкѣ деформированной линіи. Возьмемъ функцію W отъ

двухъ безконечно сосѣднихъ положеній трехгранника Шх'у\, т.-е. функцію отъ J0, отъ х,у,і, сс, и', •{' и отъ ихъ первыхъ производныхъ по 50. По-

смотримъ, какова должна быть форма функціи W для того, чтобы измѣненіе интеграла распространеннаго на какой-нибудь участокъ

линіи (М0), равнялось нулю, когда совокупность всѣхъ трехгранниковъ измѣняемой линіи, взятой въ своемъ деформированномъ состояніи, подвергается одному и тому же любому дифференціальному преобразованію группы евклидовскихъ перемѣщеній. Итакъ, требуется опредѣлить W такимъ

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

10

КОССЕРА Э. и Ф.

біб

образомъ, чтобы dW = o, когда, съ одной стороны, начало М трехгранника Мх'г/Ѵ испытываетъ безконечно малое перемѣщеніе

(9)

fSx = (й! + <02z — (vzy) 8t, - - (й2 -f W3x — a»!*) St, h = Оз + «й!/ — <°2*) St,

гдѣ «!, д2> a$i ©2> шз~шесть произвольныхъ постоянныхъ, а St— безконечно малое количество, независимое отъ j0, и когда, съ другой стороны, этотъ трехгранникъ Шх'у'і подвергается безконечно малому вращенію, составляющія котораго, по осямъ Ох, Оу, Оі, суть aijtf/, <o2St, o>3tfL Въ настоящемъ случаѣ, варіаціи d£, бу, d£, Sp, Sq, dr шести выраженій £, ц, £, р, q, г равны нулю, какъ это слѣдуетъ изъ хорошо извѣстной теоріи движущагося трехгранника; стало быть, мы получимъ рѣшеніе вопроса, если примемъ за ѴѴ произвольную функцію отъ j0 и шести выраженій £, ц, £, р, q, г. Такимъ образомъ, мы получимъ общее рѣшеніе (!); въ самомъ дѣлѣ, зависимости (2) позволяютъ выразить первыя производныя отъ девяти косинусовъ а, а’, ..., у", по 50, посредствомъ этихъ косинусовъ и р, q, г; съ другой стороны, формулы (і) даютъ девять косинусовъ сс, а', у” посредствомъ £, ц, £ и пер-

выхъ производныхъ отъ х, у, z по s0; стало быть, мы можемъ написать окончательно .

W^W (50|

dxdydz

Х’ У’ *г dsa ’ dsn ’ ds0 ’ Ъ P’ q' Г)•

Такъ какъ измѣненія 2£, 2£, Ip, Sq, Sr—нули, то, по формуламъ

(9), при какихъ угодно at, a2, д3> а>2, со3, мы должны имѣть

f)W, dW, dW„

_S.,+ 8j +

ш

^ dx dsr,

8^4 dW J& + dW § dx_

ds0 ^ А A ds 0

dsQ ds0

= о.

Замѣнимъ Ьх, 8у, 8% ихъ значеніями (9), а 8 , 8 с^~ , 8 —■ тѣми

ds$ IISq USq

значеніями, которыя получаются изъ нихъ дифференцированіемъ; мы находимъ слѣдующія шесть условій;

(*) Въ послѣдующемъ, мы предполагаемъ, что измѣняемая линія доступна всякимъ возможнымъ деформаціямъ, а слѣдовательно, что деформированное состояніе можетъ бытъ взято безусловно произвольнымъ; это можно выразить, говоря, что измѣняемая линія свободна.

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 11 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

617

aw

()Х

д\Ѵ

aw

dij °> ді °’

aW aW dij

d <h_ ds0

d ds0 ds0

aw dx

■t <h_ *0

ds 0

aw dij

— о,

= o,

^ dx ds() r/j0

Л'о

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^ dxp ds0 dsQ

aW dx

— = 0.

^ *o

Первыя три условія показываютъ, что W не зависитъ отъ х, у,

три послѣднихъ выражаютъ, что W зависитъ отъ , — , — лишь

ds0 dsq ds§

/Jx\2 fAu \ 2 \2

черезъ посредство количества J + ) , которое, на осно-

ваніи (з), равно ?2 + 72+ѣ2; въ концѣ концовъ, мы видимъ, что искомая функція W имѣетъ замѣчательную форму W П0, д, г/, Д р, у, г).

Подобно тому, какъ значеніе интеграла dsa, взятаго между двумя точками и Вц кривой (Mq), опредѣляетъ длину дуги между двумя соотвѣтствующими точками А и В кривой (М), точно также, пріурочивая въ нашемъ умѣ понятіе о дѣйствіи къ переходу отъ естественнаго состоянія (Мп) къ деформированному (М), мы пріобщимъ функцію W къ элементамъ опредѣленія измѣняемой линіи и будемъ говорить

что W*0j взятый между тѣми же точками А0 и В0 линіи (М0), пред-

t,

ставляетъ дѣйствіе деформаціи на деформированную линію между точками А и В. Будемъ говорить также, что W представляетъ плотность дѣйствія деформаціи въ точкѣ деформированной линіи, отнесенную къ

J

единицѣ длины не деформированной линіи; W —9 будетъ такою плот-

ds

ностью дѣйствія въ точкѣ, отнесенной къ единицѣ длины деформированной линіи.

Разсмотримъ какое уюдно измѣненіе дѣйствія деформаціи между двумя точками А и В линіи (М), а именно:

« i’So

•п.

-f:

W*0

В а f r)W . \ (,§

, dw ? r)w f)w . , dw s , awMJ

Ц+Жсі + ~р йр + 1ц ^ + ^7 И По-

имѣй въ виду формулы (7) и (8 > п° т и интегрируя по частямъ чле-

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

12

КОССЕРА Э. и Ф.

6і8

ни, содержащіе въ себѣ производную по j0 явно, можно будетъ написать

S Г 0 W*0 = [F'o'.x- + G'6'г, + Ш'„- -f гді' + ]'bf 4- K'Sk']°

J Ao A0

- ]"** (XV'* + YV'i, + Z\6\ + + МѴ/ + NV^) dsQ,

гдѣ обозначимъ черезъ

F' =

dW

^ :

(io)<

drj

v, d dW . <JW dW Xo = ^-#+*-«-r

G' — ~ Н'-Ж V-m V Ш V' Ш

м“аГ’ dp’

,, idW dW IW, dW

L"~irslf + ‘> dT_’'d7+’' dT

Y, __d_d_W 0 ^0 cty

dW

d dW

d\V

dW

Ш dr} dW

1 и \if tt V * v , v VV VVV , (? VV . (7 W

+ TT + r IT —P ^7+? 3F—

, d dw aw aw Z° df *

ds0 dq 1 ' dp r dr ‘ 3 dg 3 a£

v, d aw aw aw , aw aw

0 ds0 dr dq ^ dp dr} П ‘

Принимая, сначала, во вниманіе интегралъ, участвующій въ выра-

женіи для 61 \ѴЛ0, будемъ называть внѣшнею силою и внѣшнимъ мо~

J л0

ментомъ въ точкѣ М, отнесенными къ единицѣ длины не деформированной линіи, отрѣзки, исходящіе изъ М, проекціи которыхъ на оси Мл/, Мг/, М^' соотвѣтственно суть Х'0, Y'0, Z'0 и L'0, М'„, N'e. Принимая, затѣмъ, во

вниманіе проинтегрированную часть отъ S I Wrfj0, будемъ называть

внѣшнимъ усиліемъ и внѣшнимъ моментомъ деформаціи въ точкѣ В отрѣзки, исходящіе изъ В, проекціи которыхъ на оси Мл/, М^, М^, соотвѣтственно, представляютъ значенія, которыя получаютъ въ точкѣ В0 выраженія — F', — G', — Н' и — Г, — J', — К'. Будемъ называть внѣшнимъ усиліемъ и внѣшнимъ моментомъ деформаціи въ точкѣ А аналогичные отрѣзки, образуемые значеніями, которыя принимаютъ въ точкѣ А0 выраженія + F', +G', +Н' и +Г« +J\ +К. Точки А и В выразились здѣсь не одинаково, потому что мы условились отсчитывать дугу s0 въ сторону А0В0.

Предположимъ, что мы перерѣзали деформированную линію АВ въ точкѣ М и мысленно отдѣлили обѣ части AM и МВ; можно считать оба отрѣзка (— F',— G', — Н') и (— Г, — J', — К'), опредѣляемые для точки М, за внѣшніе усиліе и моментъ деформаціи части AM въ точкѣ М а два отрѣзка (+ F', + G', + Н') и (4- Г, + J', + К'), опредѣляемые для той же точки М,—за внѣшніе усиліе и моментъ части МВ въ точкѣ М. То же самое выйдетъ, если, вмѣсто того чтобы брать AM и МВ, будемъ разсматривать два участка измѣняемой линіи, соотвѣтственно принадлежащіе AM и МВ и оканчивающіеся въ точкѣ М. На основаніи

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 13 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

619

этихъ соображеній, будемъ говорить, что —F', —G', —К' и —1', — J', —К суть составляющія по осямъ МД, МД, МД усилія и момента деформаціи въ точкѣ М, производимыхъ на AM и на всякую частъ линіи AM, оканчивающуюся въ М, а + F', + G', -j-H' и + Г, +J', + К' суть составляющія

3. Уравненія лорда Кельвина и Тэта. Теорема Вариньона. Понятія энергіи деформаціи и естественнаго состоянія измѣняемой

линіи. Различные элементы, введенные въ предыдущемъ нумерѣ, связаны между собою слѣдующими соотношеніями, непосредственно вытекающими изъ сравненія формулъ, которыя ихъ опредѣляютъ:

Можно задаться преобразованіемъ написанныхъ нами соотношеній, независимо отъ значеній (вычисленныхъ посредствомъ W) тѣхъ количествъ, которыя участвуютъ въ этихъ соотношеніяхъ. Въ самомъ дѣлѣ, вмѣсто того чтобы опредѣлять отрѣзки, пріуроченные нами къ точкѣ М, проекціями ихъ на оси МД, Му, МД, мы можемъ не менѣе хорошо опредѣлять ихъ проекціями и на другія оси. •

Возьмемъ, сначала, неподвижныя оси Ох, Оу, О^. Означимъ черезъ Х0, Y0, Z0 и черезъ L0, М0, N0 проекціи на эти оси внѣшнихъ силы и момента въ какой-либо точкѣ М деформированной линіи, а черезъ F, G, Н и I, J, К—проекціи усилія и момента деформаціи, проекціи которыхъ на оси МД, МД, МД были F', G', Н', и Г, J', К'. Мы можемъ считать внѣшнюю силу и внѣшній моментъ какъ бы непрерывно распредѣленными вдоль линіи и отнесенными здѣсь къ единицѣ длины не деформированной линіи; для полученія внѣшнихъ силы и момента, отнесенныхъ къ единицѣ длины деформированной линіи, достаточно

гдѣ ds—линейный элементъ деформированной линіи, соотвѣтствующій линейному элементу не деформированной линіи. Введемъ проекціи X, Y, Z, L, % N, на неподвижныя оси Ох, Оу, 0%, внѣшнихъ силы и момента, отнесенныхъ къ единицѣ длины деформированной линіи; мы получимъ зависимости:

по осямъ МД, МД, МД усилія и моментъ деформаціи въ течкѣ М, произво димыхъ на МВ и на всякую частъ отъ МВ, оканчивающуюся въ М.

(12)

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

14

КОССЕРА Э. и Ф.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

620

одинаковыя съ тѣми, которыми пользовались лордъ Кельвинъ и Тэтъ; но эти послѣдніе получили ихъ примѣненімъ того, что въ классической Механикѣ называется началомъ отеердѣванія, исходя отъ апріорнаго понятія о силахъ и парахъ, которыя выражены были затѣмъ, а posteriori, и (въ силу гипотезъ) въ функціи отъ деформаціи. Къ тому же, лордъ Кельвинъ и Тэтъ разсматривали только безконечно малыя деформаціи, тогда какъ здѣсь мы ставимъ себѣ самый общій случай.

Пусть, теперь, прямоугольный трехграникъ Мх\у\ движется

вмѣстѣ съ М, а его ось Mx'j, вынуждена быть направленной по касательной къ кривой (М), проведенной въ сторону возрастающихъ дугъ. Означимъ, въ отношеніи къ трехграннику Мх'у\, черезъ I, 1', Г — направляющіе косинусы для Мх\ черезъ т, т\ т"—направляющіе косинусы для Мг/'і и черезъ п, п', п"—косинусы M^'t; полагая € =Ѵ^ + + Х?>

£. п t

мы получимъ l = - , I' = 1, I" = - ; сверхъ того, w/g -f- m'q 4- m"t — о,

-ф- n’rj -f- »"£ = о. Если отнести трехгранникъ къ неподвиж-

ному трехграннику Охуі, а х0 играетъ роль времени, то проекціи pi, q\, rl мгновеннаго вращенія трехгранника на оси Mx'1(

Му\, выразятся такими формулами:

Означимъ, съ другой стороны, черезъ X'lf Y'l9 Z\, L't, M'lt N't— проекціи на Mx'l9 Mj/lf внѣшнихъ силы и момента въ любой точкѣ М деформированной линіи, отнесенныхъ къ единицѣ длины линіи не деформированной, черезъ F'lt G^, Г*, J'lf K't—проекціи усилія и

момента деформаціи. Преобразованныя уравненія (и) будутъ, очевидно, таковы:

Если, въ четвертомъ уравненіи (13), имѣемъ Ьф = о и ^ = о, то

откуда вытекаетъ то предложеніе, доказанное Пуассономъ, что, при ІД о, M't = о, = 0, qt = о, если J'j — о, то Г] = пост.

Въ числѣ теоремъ, которыя можно вывести изъ системъ (и) и (хг), остановимся на слѣдующемъ основномъ предложеніи Статики, идея котораго, кромѣ настоящей его формы, принадлежитъ Вариньону-

^і = 7/> + Г?-Н'Ѵ+2

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 15 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

621

Предложеніе это найдется снова въ истолкованіи Сенъ-Гильема (Saint Guilhem) тѣхъ соотношеній, которыя связываютъ между собою, въ Динамикѣ, внѣшнія силы и количества движенія. Уподобимъ усиліе и моментъ деформаціи, въ точкѣ М линіи (М),—общей равнодѣйствующей и равнодѣйствующему моменту системы векторовъ, относящихся къ точкѣ М; пусть Рѵ и Per—общая равнодѣйствующая и равнодѣйствующій моментъ для точки Р пространства. Уподобимъ также внѣшнюю силу и внѣшній моментъ въ точкѣ М, отнесенные къ единицѣ длины линіи (М), общей равнодѣйствующей и равнодѣйствующему моменту системы векторовъ, относящихся къ точкѣ М; пусть PN и PS—общая равнодѣйствующая и равнодѣйствующій моментъ для точки Р пространства; будемъ имѣть такое предложеніе: если уподобитъ дугу s времени, то скорости геометрическихъ точекъ ѵ и а соотвѣтственно равны и параллельны отрѣзкамъ PN и PS. Предложеніе это, очевидно, является переводомъ уравненій (12). Можно получить его также и слѣдующимъ способомъ. Придадимъ названіе внѣшней работы на деформированной линіи АВ, въ любой возможной (virtuelle) деформаціи, такимъ равнозначащимъ выраженіямъ:

гдѣ 8г, 8/, bk—проекціи на неподвижныя оси отрѣзка, проекціи котораго на оси МУ, Мг/', М*' суть Ы', 8/, 8У. Тогда,

гдѣ 8&е взято между А и М. Такъ какъ 8W должно тождественно равняться нулю, въ силу неизмѣняемости (инварьянтности) W въ группѣ евклидовскихъ перемѣщеній, если измѣненія 8х, 8у, S-j; даны формулами (9), а = 8у=ій28^, §£ = (t>3St, и притомъ каковы бы ни были

значенія постоянныхъ alt д2, д3, tot, а>2, <і>3,—то заключаемъ изъ этого, что

8ge = — IF'8'х + G'S'y + m'z + Г8Г + J'8/ + К’ЩВА

+ Г (Х'8'х + Y'8'j + Z4\ + L'Si' + М'8/ + N'SV) ds

А

*= — [FSx + Gby + H8* + I8i + jSj + K8jfe]J + [B (Xbx + Yhj + Zh + LS* -f М8/ + mh) ds,

A

’o ■— °&e>

A

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

16

КОССЕРА Э. и Ф.

622

и двѣ другія аналогичныя формулы; въ этихъ зависимостяхъ, можно пред-ставлятЪ' себѣ М какъ перемѣнную и, такимъ образомъ, онѣ равнозначащи уравненіямъ (12). Надо замѣтить, что формулы эти легко выводятся изъ тѣхъ, которыя обычно пишутся при помощи начала отвердѣванія.

Разсмотримъ два состоянія (М0) и (М) измѣняемой линіи и возьмемъ какой-нибудь рядъ состояній, исходящихъ отъ (М0), чтобы закончиться въ (М); съ этой цѣлью, достаточно взять функціи х, у, а, а', отъ 50 и перемѣнной Ь, которыя, при нулевомъ значеніи Ь, соотвѣтственно приводятся къ *0, Уо, ?0, «0, «V ... , Т"0, а при значеніи h — приводятся къ X, у, z, «, а'... у", относящимся къ (М). Мѣняя параметръ Ь, отъ о до /;, непрерывнымъ путемъ, получимъ непрерывную деформацію, позволяющую перейти отъ состоянія (М0) къ состоянію (М). Въ этой непрерывной деформаціи, полная работа, выполняемая внѣшними силами и моментами, приложенными къ различнымъ элементамъ линіи, а также усиліями и моментами деформаціи, приложенными на концахъ, — найдется интегрированіемъ отъ о до Ь дифференціала, получаемаго замѣною въ варіацій отъ х, іу, а, а'.. .f' частными дифференціалами, соотвѣтствующими приращенію dh параметра h,

Разсматриваемая работа не зависитъ отъ промежуточныхъ состояній а только отъ состояній крайнихъ (М0) и (М); а это приводитъ къ понятію объ энергіи деформаціи, которое слѣдуетъ отличать отъ понятія о дѣйствіи, разсмотрѣннаго выше; будемъ говорить, что—W есть плотность энергіи деформаціи.

Мы разсматривали естественное состояніе, какъ начальное для цѣлаго ряда состояній деформированныхъ; внѣшняя сила и аналогичные, отно -сящіеся къ нему, элементы не будутъ обязательно нулями. Кромѣ того, важно замѣтить, что, по существу, оно не отличается отъ другихъ состояній и можно любое деформированное состояніе заставить играть роль состоянія естественнаго. Пусть (М(0)) такое состояніе, въ которомъ обозначимъ дугу черезъ j(0); обозначая, сверхъ того, черезъ £(°), 7?(°), £(о), />(о), q( О), и о) то, во что обращаются £, tj, £, р} г, если за-

ставить 5(о) играть ту же роль, которую играла j0, такъ что, напр., I = , намъ будетъ достаточно взять функцію

W(°)(50, §<0)} ^(о), £(о)? pi0)f 5(о), г(о))5

представляющую выраженіе для

I

'ds(o) ’

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 17 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

623

ds(o)

въ которомъ 50, замѣнены въ функціи отъ s(o). Стало быть,

вмѣсто того, чтобы понятію „естественное состояніе" пріурочивать просто представленіе о какомъ-либо частномъ состояніи, можно, въ болѣе общемъ видѣ, пріурочивать къ названному понятію представленіе о любомъ состояніи, начиная съ котораго мы изслѣдуемъ деформацію.

4. Нормальная Форма уравненій измѣняемой линіи. Начало наименьшей работы, Кастильцно. Можно считать уравненія (ю) п°2 за дифференціальныя уравненія для неизвѣстныхъ х, у, z и трехъ параметровъ Xj, Х2, Х3, посредствомъ которыхъ выражены а, у".

Допустимъ, что Х0, Y0, Z0, L0, М0, N0—данныя функціи отъ s0, х, у, z, ^2 > ^з‘> выраженіе для W будетъ, въ свою очередь, опредѣленной

функціею отъ s0, — — — 1-1-1- --1 —2

симости,

(Ч)

~г~ > у— > ~г~ . h, > ~г > т2> > и, въ силу зави-

ds0 ds(f ds о 0 ds0 dsQ dsa ’ J

6 i eWrfj0 + dge = o,

JA0

можно будетъ замѣнить систему (іо) равнозначащими ей уравненіями

(15)

d aw

ds0 dx ds0

— X0 — o,

d dW

ds$ ^ dif ds0

■ Y0 — o,

d dW ds0 d dz ds0

— Z(j — o,

dsa

r)W dW _ d dW dW „ d dW

d$fs ;i 0 Ъ 1 J'-'Cs 1 II О £■1 d^ dsn m»-0' ds0 ds0

dW

ax3

гдѣ 20, 3fi0, 9?0 означаютъ выраженія такого же свойства, какъ и Lo, М„, N0, извѣстныя въ то же время, какъ и эти послѣднія.

Введемъ вспомогательныя зависимости

(і5')

F =

dW dW H dW

dx 7 0 G — dy‘ ~d&'

ds0 ds0 ds0

dW dW d\Y

О = ks d^ II

ds0 ds0 ds0

Изъ этихъ шести зависимостей, предполагая, что гессіанъ (і) отъ

W. dx d 11 dz i/X. d^a dd q

, по отношенію къ —, ~ , —A, , не нуль, можно наити

as0 uSq uSq uSq d$0 uSq

(!) Симметричный функціональный опредѣлитель Гессе.

(Примѣч. переводчика.)

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

18

КОССЕРА Э. и Ф.

624

значенія этихъ послѣднихъ шести производныхъ въ функціи отъ F, G, Н, q, it. Введемъ эти значенія въ выраженіе

G =

dx д W

іУл'і) ^ (іх

dsn

dy dW d% dW vi d't-f dW dsg dy_ ds0 ^ d^^~ rfj0 A ' dsQ ds0 dsg

Послѣ подстановокъ, мы получимъ функцію отъ j0, Х2, Х3,

F, G, Н, £5, с^, $?, которую будемъ продолжать обозначать буквою G. Очевидно, полный дифференціалъ этой функціи таковъ

^ dF + р- dG + ^ dH dsg 1 ds0 d s0

1 A ,, d)-2 , , dt.4 _ dW T 'Vi dYV

+ АЖ A + -71 dSt' — — Л0 — >, —

rfjQ dsо ^ t&Q d$Q

а слѣдовательно, форма системы, опредѣляющей л, у, Хь F, G, Н, Qj, с-, ft, будетъ

Л»

с//

dW

j/x

А

dG

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

t)F

А

dF

А

<3CS

dG '

dz

dig

dG

dH'

A = dG A

A_____ dG (Ад

A’

(An

A dsg

X2 , Xg,

dG

d.St

— X0 — o,

d G v dH „

—-Y0_°, — -Z0_o,

A

^■fo

dG

A

dG

X2

(Ш1

— + Ж~*0 = о’ А+А-Ж°~°' А + А-9г° = °*

dG

X3

Мы полагали, что, въ силу формулъ, опредѣляющихъ х, у, ^ Xt, Х2, Х3 въ функціи отъ j0, X0, Y0, Z0, S0, 33f0, 9f0 выражаются въ функціи отъ Sf х, у, z, А Х2, Х3; это возможно сдѣлать безчисленнымъ множествомъ способовъ, и можно всегда подобрать новыя формы для Х0, Y0, Z0, 20, ЯР0, А такъ, чтобы онѣ соотвѣтственно были частными

д® da? da? da? da? da? , , 4

производными — , — , , ^y-, (съ измѣненнымъ знакомъ) отъ

одной и той же функціи 35, независимой или зависящей отъ і0. Предположимъ, что это такъ и сдѣлано, и обозначимъ черезъ 3S функцію отъ х, у, z, Xj, Х2, Х3 (а можетъ быть и отъ j0), опредѣляемую формулой 31? = G + а?; предыдущая система принимаетъ видъ

dx d3S dy das A = das

А :"dF ’ A dG' ’ A Ж ’

А das dXn dat? dH _ das

dig A ’ II ke A ’ d r0 Ж ’

dF __ dat? dG _ das dH das

A dx ’ A dr ’ A “ dz ’

das rf3 das (/it das

A "A ’ II 1 ® “A' Ид' dX3

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 19 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

Здѣсь, передъ нами уравненія, имѣющія форму уравненій Гамильтона для Динамики. Если мы, въ частности, предположимъ, что новыя формы для Х0, Y0, Z0) Р0, ІОІ0, 9І0 подобраны (что всегда возможно) такъ, чтобы j0 въ нихъ не участвовало, и чтобы онѣ были частными производными функціи ІВ отъ х, у, )2, і а, кромѣ того,

предположимъ, что W (j0, ?/, t, р, q, г) не зависитъ отъ j0, то (въ

еще болѣе частномъ видѣ) мы получимъ систему каноническихъ уравненій.

Для случая, когда внѣшніе силы и моменты—нули, уравненіе (14) соотвѣтствуетъ началу наименьшей работы, Кастильяно, уже разсмотрѣнному Веномъ (Ѵёпе), Курно (Cournot), Менабреа и другими. Нормальная форма уравненій измѣняемой линіи также приводитъ къ тому, что называютъ теоремами Кастильяно. Въ самомъ дѣлѣ, имѣемъ, напр.

если предположить, что Х0 = Y0 ~ Z0 = о, то усиліе F, G, Н не зави симо отъ j0 и можно написать

а равно и другія аналогичныя формулы.

5. Понятія о скрытомъ трехгранникѣ и скрытомъ дѣйствіи.—Гибкая и растяжимая линія Лагранжа. Гибкая и нерастяжимая нить классической Механики. При изученіи измѣняемой линіи, естественно •обращать особенное свое вниманіе на кривую, описываемую вершиною трехгранниковъ, и считать а, а' какъ бы вспомогательными; та-

кимъ путемъ, мы приходимъ къ необходимости ввести понятіе о скрытомъ трехгранникѣ и сдѣлать классификацію различныхъ обстоятельствъ ? которыя могутъ встрѣтиться при выключеніи к, а' ..., у". Можно также не принимать въ ’расчетъ и деформаціи, позволяющей перейти отъ состоянія (М0) къ состоянію (М); въ классической Механикѣ нерѣдко и ставятъ себя на такую точку зрѣнія. Можно, наконецъ, дѣлать частныя гипотезы относительно трехгранника, пріуроченнаго къ точкѣ М, и даже относительно кривой (М); это все равно, что разсматривать частные деформированные виды вполнѣ свободной измѣняемой линіи. Если ограничительныя зависимости связываютъ между собою только

?/, 'С, р, q, г, то можно принимать ихъ въ расчетъ при вычисленіи \\ и выводить изъ W болѣе частныя функціи; тогда, вопросъ будетъ заключаться въ томъ, чтобы ввести прямо эти частныя формы и, въ нѣкоторомъ родѣ, считать общее дѣйствіе, которое послужитъ отправной точкою, какъ бы отчасти или вполнѣ скрытымъ. Мы сейчасъ покажемъ, что, приэтомъ, подъ видомъ частныхъ случаевъ, имѣющихъ какъ бы одно и то же происхожденіе, возможно собрать воедино уравненія, изслѣдованныя нами до сихъ поръ.

Руков, теор, мех.

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

20

КОССЕРА Э. и Ф.

626

Предположимъ, сначала, что W зависитъ только отъ j0, £, tj, тогда, уравненія (15) сводятся къ слѣдующимъ:

_d_ dW_ x - — —~Y — d aW

^ dx о °> ^ jy 0 °> ^Jo ^

^і'о

— Z0 — o,

dW

dlt

-b So — o,

aw

d).a

+ 3Jio —■ °>

aw

dh

+ 9?0 — °*

Разсмотримъ случай, когда функціи Go, Й^о> ЗД0 — нули; уравненія

aw

dW dW

dh “ °’ oh ~ °’

’ аіо

= о становятся такими

_F _ G _ Н

dx dy d\' ds ds ds

и, если обозначить черезъ—T общее значеніе этихъ отношеній, то результатъ выключенія 11} h> ^з> по отношенію ‘къ деформированной линіи, можетъ быть написанъ такъ

(іб> і(т!)+х=°-

*ѴТз) + 2

О.

Въ этомъ случаѣ, усиліе сводится къ усилію натяженія Т. Пусть, даны два состоянія линіи (М0) и (М); когда функціи S0, Ш0, 9f0—нули, такой результатъ можетъ представиться случайно, ѣ.-е. для нѣкоторой совокупности частныхъ деформированныхъ линій; но можетъ случиться также, что онъ представится и для любой деформированной линіи (М), какъ слѣдствіе формы функціи W. Тогда, функція W зависитъ просто отъ и отъ £2 -J. грі _|_ или, что все равно, отъ 50 и отъ

ds , . '

f.i ~----і (и—линейное расширеніе въ точкѣ М), и мы будемъ имѣть

dsf, ‘

„ dW _ „ „

Т =-----Если возьмемъ частный случаи, въ которомъ 50 явно не

0(1

участвуетъ, то мы получимъ, такимъ способомъ, теорію гибкой и въ то же время растяжимой и сокращаемой нити Лагранжа, теорію воспроизведенную, послѣ него, Ламэ и Дюгемомъ; намъ нѣтъ никакой надобности пріурочивать къ этой теоріи, даже косвенно, понятіе о динамической силѣ, по замѣчанію Ж. Бертрана, единственно допускаемое въ Механикѣ Лагранжа; мы разсуждали только о силѣ статической,. измѣряемой посредствомъ деформаціи.

Какъ же, оставаясь на этой же самой точкѣ зрѣнія, можемъ мы представить себѣ нгітъ гибкую и нерастяжимую? Для этого, достаточно слѣдовать, но въ обратную сторону, обычно принятому пути. Ограничимъ измѣняемую линію общаго типа (п° 2), условіемъ, чтобы какая угодно часть линіи (М) была такой же длины, какъ и соотвѣтствующая часть линіи (М0), или, что все равно, подчинимъ х, у, і условію

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 21 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

627

ds~ds0. Вмѣсто того чтобы разсматривать любую деформированную линію (М) изъ естественнаго состоянія (М0), обратимъ наше вниманіе на такія деформированныя линіи (М), для которыхъ ds — ds0. Установимъ, для опредѣленія силы, формулы п°2, примѣняя ихъ къ тѣмъ положеніямъ измѣняемой линіи, которыя совпадаютъ съ положеніями данной нерастяжимой линіи. Если, въ частности, мы будемъ разсматривать гибкую и нерастяжимую линію, то можно будетъ опредѣлить силу X, Y, Z системою (іб), гдѣ Т представится функціею отъ s,

опредѣляемой изъ формулы Т = — ^J ^ При этомъ, для полученія опредѣленной задачи, не будетъ надобности предполагать, что функція Т извѣстна; достаточно присовокупить къ системѣ (іб) подходящія условія на концахъ.

Не будемъ останавливаться на случаѣ, когда С0, Ш?е, не нули; онъ соотвѣтствуетъ случаю, разсмотрѣнному Дарбу, когда линія подвержена вліянію внѣшняго момента, аналогичнаго магнитному моменту.

6. Измѣняемая линія, когда ось Мл' касательна въ точкѣ М къ линіи (М). Линія лорда Кельвина и Тэта. Уравненія Вине и Ван целя- Возьмемъ только тѣ деформированныя линія (М) отъ общей измѣняемой линіи, для которыхъ ось МУ касательна къ кривой (М) въ каждой ея точкѣ, а для того чтобы такія деформированныя линіи образовали непрерывные ряды, начиная отъ М0, предположимъ также, что и М0 х'0 касательна въ М0 къ (М0). Такое предположеніе равносильно условіямъ , с:0' = ^ , а0"= ^; а = — , ^ , «" = dA

ds о ds0 ds{] ds ds ds

или = ц ~ o, feo = <з = о. Ограничить ли изученіе деформированныхъ линій отъ (М0) только тѣми изъ нихъ (М), которыя удовлетворяютъ послѣднимъ условіямъ, или же допустить новое представленіе о такой линіи, которая пригодна лишь для разсматриваемыхъ деформацій, можно признать, въ данномъ случаѣ, одинаковымъ; это совершенно согласуется съ началомъ отвердѣванія, вводимымъ классическими писателями въ порядкѣ, обратномъ тому, которому слѣдуемъ мы.

Пусть /?/, направляющіе косинусы главной нормали кривой (М) въ точкѣ М, относительно неподвижныхъ осей Ох, Оу, О^; ylt ур, у1" таковые же косинусы для бинормали; со— уголъ между осью Му и главной нормалью. Будемъ имѣть формулы

ds0 1 dw

Р ds ~ г ds

sin со dsn cos со

■-----> Г ~ =---------------,

Q ds 9

если положить

і _ V л * т -ѵ

о — 2d ^ ds’ г ~ 2,

с(ip 1

7і

ds

и припомнить, что

ds — °* Выраженія Для - и - , по абсолютной величинѣ, равны

40*

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

22

КОССЕРА Э. и Ф.

6а8

кривизнѣ и крученію (вшибу, cambrure, Барре де Сенъ-Венана; tortuosity— лорда Кельвина и Тэта) кривой (М) въ точкѣ М.

Если принимать въ расчетъ ограничительныя условія для деформированныхъ линій (М), то можно представить себѣ, что дѣйствіе W частію скрыто и опредѣлено просто знаніемъ функціи W (j0, £, о, о,

ds

р, q, г); если положить £ = — = і + ft, то F, G и Н будутъ тремя вспо-

uSq

могательными, въ отношеніи которыхъ намъ извѣстно только, что

F-- + G^ + H^ = ^ —— т.

ds ds di дц

Можно задаться выключеніемъ ихъ изъ системы (12), и тогда получимъ четыре уравненія

въ которыхъ надо будетъ замѣнить I, J, К, Т ихъ значеніями въ функціи отъ направляющихъ косинусовъ осей трехгранника Мх' у ^ и производныхъ отъ (частію скрытаго) дѣйствія W по р, q, г и Если s въ числѣ данныхъ явно не участвуетъ, то, для выключенія ds, можно

висимости (17) дадутъ четыре дифференціальныхъ уравненія, опредѣляющія X, у, I И <0 въ функціи ОТЪ 50.

Замѣчательно то, что система (17) можетъ быть приведена къ формѣ, выводимой изъ варіаціоннаго исчисленія. Мы не будемъ вдаваться въ подробности вычисленій, приводящихъ къ такому виду, и укажемъ только на результатъ. Въ данномъ случаѣ, выраженіе W(50, 1ц, о, о, р, q, г), кромѣ $0, зависитъ, черезъ посредство р, q, г, отъ

аргументовъ со, — и производныхъ трехъ первыхъ порядковъ отъ ds0

х, у, z по 50. Мы получимъ систему, которую можно объединить въ уравненіе:

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 23 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

629

если положить

d2

Х“ + 5?

Tie

лл*

dsj

L'o

+ 4-

Tie

d'2 5

<A<)2 t / —П

ds\s \ds$.

вмѣстѣ съ двумя другими аналогичными формулами, и написать, со-

dx jг dy dz

образно съ прежними обозначеніями, ІЛ = L0 — -}- М0 -f -f- N0—•

ds as as

Съ предшествующими соображеніями связана измѣняемая линія,

изслѣдованная лордомъ Кельвиномъ и Тэтомъ, получить которую

можно или изъ предыдущей или же разсматривать прямо; достаточно

присоединить къ взятымъ условіямъ слѣдующее: ц — о, т,-е. £ = і; для

(dx\2 . {dy\* ( dz.

такого случая, въ силу — -г- + -Д

\dsj V dsj \dso,

уравненіе (18), и мы будемъ просто имѣть

і, будетъ пригодно

*о = х° + £2 (Ті eL'„) + ^ («'N„ - и"М0),

и двѣ другія аналогичныя формулы.

Вмѣсто употребленія уравненій (17), можетъ оказаться удобнѣе возвратиться къ отправнымъ уравненіямъ. Предположимъ, напр., что Х0, Y0, Z0—нули; изъ этого мы заключимъ, что F, G, Н—постоянныя, равныя значеніямъ Fa0, Ga0, На0 для одного изъ концовъ А0, и будемъ имѣть три уравненія

£ + Hi“*_GA"S_Lo=0’ .

dK

dx

dy

dsQ ^A° ds0 ^A° dso

N0 = o,

т.-е. первоначальныя уравненія, полученныя, въ разбираемомъ случаѣ, выключеніемъ Т въ системѣ (17). Если, сверхъ того, L0, М0, N0—нули, т.-е. если деформированная линія (М) подвержена только силамъ, приложеннымъ на обоихъ концахъ ея, то

{I На0ѵ — Ga0 z = пост.,

J + Fa^ — HaoX = пост.,

К + Ga0.t — Fa0j = пост.

Сдѣлавъ эти соображенія, возьмемъ случай, когда функція W отъ

х ■

Jo, р, q, г будетъ вида - А {q* -j- г2) + Bp -J- С, гдѣ А, В, С —постоянныя.

Тогда, мы получимъ Г = В, J' = Aq, К' = Аг; векторъ (Г, J', К') или (I, J, К) будетъ равнодѣйствующимъ постояннаго вектора, равнаго В,

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

24

КОССЕРА Э. и Ф.

630

направленнаго по касательной Мх', и вектора, направленнаго по бид

нормали, имѣющаго такое же абсолютное значеніе, что и — • Три

Р

уравненія (19), кромѣ обозначеній, будутъ одинаковы съ уравненіями

^4fj^s£v = ^ + c]l_K + au

» ^ ~ ^ = е | « + и,

_ dx cfi ѵ — d\ d2 x n d%

=5 * +bx - “4 + c‘ •

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

<i>

разсмотрѣнными Бине, Ванцелемъ и Эрмитомъ, гдѣ ш, Ѳ, а, Ъ,‘ с, at, Ьі, ct—постоянныя. Лагранжъ разбиралъ случай, въ которомъ 0 = о, а Ж. Бертранъ—случай, когда три уравненія

су — Ьі -г яі = о, а,і — сх -\- Ь± = о, Ъх — ау + = о

представляютъ прямую, т.-е. случай, когда пара (іа„, Ja0, Ка0) и усиліе (Fa., Ga0> На,,) приводятся къ одной равнодѣйствующей.

Можно представить себѣ все предшествующее слѣдующимъ образомъ. Если усиліе деформаціи линіи, разсматриваемой въ началѣ этого

. „ dW dW

нумера, перпендикулярно къ главной нормали, то г —------ а = о;

■ оу or

если предположить, что условіе это вытекаетъ изъ природы линіи, то, стало-быть, W должно зависѣть отъ д я г только черезъ посредство д2-\-г2. Если мы предположимъ условіе это осуществленнымъ, то уравненія задачи, по замѣчанію Пуассона, указанному въ п° 3, влекзгтъ за собою равенство V = пост. Если мы предположимъ, что такое заключеніе вытекаетъ изъ природы линіи, то оно сводится къ условію

aw

~¥=в’

гдѣ В—постоянная, и мы находимъ

W — В р -{- <f,

причемъ <р—функція отъ д2 г2 = ; предполагая, что <р первой сте*

Q

пени относительно д2 -j- г2, снова находимъ дѣйствіе, разсмотрѣнное нами выше.

7. Измѣняемая линія, когда плоскость Мх'г/ будетъ соприкасающейся въ точкѣ М къ кривой (М); линія Лагранжа, обобщенная Бине и изслѣдованная Пуассономъ. Вмѣсто предположенія, что Мх' касательна къ кривой (М), мы можемъ разсматривать случай, ко-

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 25 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

631

гда плоскость Мд/ ij будетъ соприкасающейся съ этой кривою, тогда, мы имѣемъ соотношенія »/0 = щ = о, = £ = °> </о — <? — °, къ которымъ, для упрощенія вопроса, прибавимъ условіе нерастяжимости (і = о или £ = і, Будемъ продолжать обозначать черезъ ЛД —дѣйствіе, отчасти сокрытое,

Л\'(50, і, о, о, р, о, г)

и предположимъ, что извѣстна только эта функція. Количества F , G , IP, J' становятся четырьмя вспомошшсльиыми, и мы просто будемъ имѣть

зависимости I'= Д—> К'= —— • Три згравненія (и.) прямой даютъ, въ

dp or

дТ t т

частности, -—~ rV = о, когда данныя функціи Ец , , Nq равны нз7лю;

ds о

если функція IV не зависитъ отъ b, то получимъ I'= о, а слѣдовательно, J' = о, если предположить г 4= о; поэтомз7, въ разбираемомъ сл}7-чаѣ, моментъ деформаціи направленъ по бинормали къ кривой (Mj. Такимъ образомъ, мы получимъ линію, которую разсматривалъ Лагранжъ; найденный резз7льтатъ относительно момента деформаціи и зфавне-нія (іа) прямой даютъ возможность положить

d US а’ТО,

лт-

as

если мы подставимъ эти значенія въ лѣвыя з7равненія (12), то ползт-чимъ самыя уравненія Лагранжа

Xds - іі + d* Cy<2 ѵ) = о, as

Yds — + (Д/2у) = о,

as

Yds - d 4- d- (ѴУЙ) - о,

as

Въ этомъ родѣ измѣняемой линіи, моментъ деформаціи нормаленъ къ соприкасающейся плоскости; Бине предложилъ разобрать случай, когда моментъ деформаціи просто перпендш<з7ляренъ къ главной нор-

„ dV

мали Гипотеза ]'= о влечетъ за сооою — = о, и, если мы допзтстимъ,

что результатъ этотъ зависитъ отъ того, что для W взято частное значеніе, то, слѣдовательно, будемъ имѣть W = r)-\-mp, гдѣ m

д<г

постоянная. Въ частности, предполагая, что — приводится къ выраженію, вида и (г — г0), гдѣ н—постоянно,—получимъ, замѣняя г0 въ функціи отъ ^0, гипотезу, сдѣланную явно Бине и подробно разработаннзчо, впослѣдствіи, Пуассономъ. Если, приэтомъ, кривая (М„) представляетъ прямую, а X, Y, Z—нули, такъ что перемѣна (М0) на (М) вытекаетъ

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

26

КОССЕРА Э. и Ф.

632

единственно изъ усиліи и моментовъ деформаціи, приложенныхъ къ концамъ, то мы придемъ снова къ задачѣ Бине и Ванцеля, которой занимались въ предыдущемъ нумерѣ. Предполагая т = о, сталкиваемся опять съ вышеупомянутымъ случаемъ Лагранжа.

8. Измѣняемая линія, подчиненная связямъ. Каноническія уравненія. Во всемъ предшествующемъ, мы разсматривали измѣняемую линію, названную нами свободной, т.-е. такую, теорія которой развивается безъ необходимости вводить внѣшніе элементы, и составленную, при посредствѣ функціи W, изъ собственныхъ элементовъ линіи въ естественномъ ея состояніи и въ состояніи деформированномъ.

Обращая наше вниманіе на нѣкоторыя деформированныя линіи, мы сумѣли, благодаря понятію о скрытомъ W, найти вновь уравненія, предложенныя разными писателями для различныхъ линій.

На ряду съ такимъ изложеніемъ молено поставить и другое, въ которомъ измѣняемая линія разсматривается sui generis, и полученіе ея зависитъ уже отъ опредѣленныхъ условій, удовлетворяемыхъ частными деформаціями, изслѣдованными нами раньше.

Замѣтимъ, сначала, что ограничительныя условія для функцій х, у,

а, а', ..., у" могутъ быть двухъ сортовъ: і) условія между этими функціями и ихъ производными, каково бы ни было л0; 2) условіями, справедливыми для нѣкоторыхъ значеній ^0.

Если мы ограничимся лишь условіями перваго рода и если (для опредѣленности представленія) = о, /2 = о—два условія или уравненія связи, то будемъ допускать, что тождество и0 2, которое вводило опредѣленія силъ и усилій, въ разбираемомъ случаѣ, должно быть пригодно, въ силу двухъ уравненій связи; или же будемъ разсматривать измѣняемую линію, теорія которой, по опредѣленію, вытекаетъ изъ функціи W (50, с, у, £, р, q, г) и двухъ вспомогательныхъ функцій 12 отъ s0, при помощи тождества,

гдѣ, на этотъ разъ, всѣ измѣненія (варіаціи) произвольны.

Замѣтимъ также, что, для случая когда нѣкоторыя изъ первыхъ частей fi, ..., уравненій связи содержатъ въ себѣ лишь аргументы, участвуюіціе въ W,—можно себѣ представить, или, что поступаютъ такъ, какъ мы только что говорили, или же, что, путемъ замѣны вспомогательныхъ, въ функцію W вводится а priori данная изъ этихъ частныхъ уравненій связи; это приводитъ снова къ понятію о скрытомъ W. Такой новый пріемъ разсмотрѣнія особенно интересенъ при изученіи частныхъ линій, которыя мы разбирали раньше, и ведетъ именно къ распространенію на всѣ случаи выводовъ Клебша, а также къ приведенію въ каноническую форму, сдѣланному для гибкой и нерастяжимой нити Аппеллемъ, Легу, Марколонго.

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 27 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

633

9. Состояніе безконечно близкое къ естественному состоянію. Модули деформаціи Гука и общіе модули. Критическія значенія общихъ модулей. Возвратимся къ измѣняемой линіи въ общемъ ея видѣ. Предположимъ, что, въ естественномъ состояніи, дѣйствіе будетъ нулемъ, равно какъ усиліе и моментъ деформаціи, а также внѣшнія силы

и моментъ. Въ этомъ случаѣ, не только функція W должна тождественно обращаться въ нуль, но также и шесть частныхъ производныхъ отъ W по у, 'С,р, q, г, для значеній $0, щ, р,, q,, г, этихъ буквъ. Допустимъ, кромѣ того, 4ToW, по сосѣдству съ £ = с0, ?/= %, Ь = Р — Ро’ Q = do> г= г0, можно развернуть въ рядъ по цѣлымъ положительнымъ степенямъ отъ с-— £0, 1] — у,, ... , г — г0;при этихъ условіяхъ, будемъ имѣть

w = w2 + ws + ...,

если черезъ \Ѵ2, \Ѵ3, обозначить однородные многочлены степени 2, з, отъ разностей £ — ?0,»? — %»•• •. г — ?'о-

Если координаты точки М0 линіи (М0) въ естественномъ состояніи и три параметра, посредствомъ которыхъ выражаютъ направляющіе косинусы осей трехгранника, пріуроченнаго къ этой точкѣ, соотвѣтственно будутъ х,, ?/о 1 Ліо> ^20) ^зоі—то предположимъ, что коорди-

наты х, у, -z соотвѣтствующей точки М въ деформированномъ состоя. . . .. . ______________________________________________________

ніи (М) и параметры

^1) ^2

)3, для осей пріуроченнаго къ ней трех-

гранника, будутъ функціями отъ и Ъ, развертываемыми по степенямъ Ь, по формуламъ

х — + • • • + + • • • )

У = 1/о + ?/і + • • • 4* !/» 4- • • • , і = -іо “Ь 4~ • • • “Ь Yi 4" * ■ * s

Ч — ^10 4" ^11 4" • • • + ^1г 4~ • * • > 4 — 4о 4і 4- ■ • • 4- 4> Н~ ■ • • ’

>•3 = 4о + 4і + • * • 4- 4- • • •;

въ которыхъ Х{, уі, q_i, 4?:. 4і> означаютъ члены, содержащіе мно-

жителемъ /Л Для краткости изложенія, введемъ эти разложенія въ рядъ и допустимъ, что онѣ поддаются обыкновеннымъ пріемамъ вычисленія. Формулы (15) и (15') позволятъ намъ вычислить разложенія

& cy,fl';X0,Y0, Zo.J?0. % по степенямъ h; члены, неза-

Т'. ГТ гч, гдѵ Л7 ЛГ

01 9

для F, G, II, S ...................... ^ г

висимые отъ Ь, будутъ нулями, а члены lj, G^, ІД, -^011 ^

У Q.. 'Ю?_. пгтрлѣттохга Лптѵмѵттяіии

Z<h>

Fi =

аэтоі. 37п1 опредѣлятся формулами dWa

ѵй

> dxO)* ds0 (іЛ\2 , dltW ’

Gi =

О

гѴі

ds,

Xm = 4—

о

d ()W9

JyO) ’ ds„ dW2 d}£) ’ ds.

Hi =

Mi

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

dW2

ds,

f)\V2

, dhp) ’

dSn

чл ds, dxO) ds 0 J ™Tt

*01 =

dso^ d)^W

t>W2

4,0)

ds

0

Y _ d 01 ds, f)Wa dtjQV z0i - d ds0 oW ik0) ’

ds, " ds.

ip d дЩ - dW* V , _ d ()W2

Kl ~ ІЧ ) dl2W 420)’ ' (>1 ds0

ds, ds.

4,0)

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

28

КОССЕРА э. и ф. ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

634

гдѣ положено

.■ѵР) = ,г0 4* ді»

Если мы, подъ именемъ состоянія деформаціи, безконечно близкаго къ естественному состоянію, разсматриваемъ состояніе (М), когда координаты точки М суть л-0), р(!>, Д1), а параметры пріуроченнаго къ ней трехгранника имѣютъ значенія /ДД Дб), /Зб) ; если, съ другой стороны, мы назовемъ усиліемъ и моментомъ деформаціи, внѣшней силою и внѣшнимъ моментомъ, ддя этого состоянія, векторы (Ft, G1: Гф), Q, Qj, МД, (Х01, У01> 2оі), (І-оі 1 Моы ^оі)> ГД^ Ьоь Мщ, ^оі вычисляются посредствомъ /10, ^20 5 у-80 j '01) "*оі) -^оі такъ же, какъ L„, М0, К0 при посредствѣ L,

?о> ®()) '-Іі>;—то мы придемъ къ гипотезамъ, обычно принимаемымъ классическими писателями, гдѣ два первыхъ вектора представляютъ линейныя функціи элементовъ, характернзз'ющнхъ разсматриваемое деформированное состояніе; слѣдовательно, мы находимъ снова то, что называютъ обобщеннымъ закономъ Гука, но, ограничивая его, какъ это и умѣстно, условіемъ соотвѣтствія началу сохраненія энергіи. Для удовлетворенія этому условію, въ классическомъ методѣ, надо продѣлать въ обратн)гю сторону тотъ путь, которому мы слѣдовали въ нашемъ изложеніи.

Коэффиціенты линейныхъ функцій, выражающихъ законъ Гука, суть модули деформаціи измѣняемой линіи, въ ея состояніи безконечно близкомъ къ естественному состоянію; въ данной точкѣ на линіи—они неизмѣняемы. Такое понятіе о модулѣ можетъ быть обобщено, если разсматривать первыя и вторыя производныя отъ функціи W; на ряду со случаемъ, когда общіе модули опредѣлены н непрерывны, можно разсматривать и такой случай, когда они принимали бы критическія значенія.

Предшествующія соображенія легко повторяются для разнообразныхъ частныхъ измѣняемыхъ линій.

іо. Динамика трехгранника. Динамика трехгранника стоитъ въ совершенно прямой связи со всѣмъ предшествующимъ. Достаточно считать дугу s0 за время і, а измѣняемую линію—за траекторію-, такое простое утвержденіе непосредственно объясняетъ тѣ аналогіи, которыя уже издавна признаются между классической динамикой точки и неизмѣняемаго тѣла со статикою измѣняемой линіи. Въ прежней нашей работѣ (1), къ которой мы здѣсь возвращаться не будемъ, мы разсматривали Динамику съ только что указанной нами точки зрѣнія.

(1) э. и Ф. Koccepa, Nolc sur Іа dynamique du point cl du corps invariable (Trade de Physique О. Д. Хвольсона, франц. изд. т. I, стр. 236—273; Парижъ, 1906).

У0) = Ѵч 4^=41) +al,

),2(1) = ф0 -{- ).21 , ),3(1) = ).30 + )31,

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 29 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

635

Напомнимъ только, что классическая Динамика является какъ бы изслѣдованіемъ состоянія движенія, безконечно близкаго къ состоянію покоя. Кинетическая масса, что уже и замѣтилъ Ламэ, представляется какъ бы степенью (puissance) или коэффиціентомъ сопротивленія перемѣнѣ движенія, опредѣленіе аналогичное опредѣленію коэффиціента упругости. Можно, вмѣстѣ съ Лапласомъ, разсматривать состояніе любого движенія, не безконечно близкаго къ покою, но тогда слѣдуетъ различать отъ кинетической массы массу гамильтоньанскую и массу моиертюнзь-анскую (').

Возьмемъ, для простоты, случай, когда W независимо отъ р, q, г и когда нѣтъ внѣшняго момента; тогда, единственнымъ аргументомъ дѣйствія будетъ скорость ѵ, а аналогіей усилію деформаціи будетъ ко. личество движенія въ траекторіи. Въ классической динамикѣ, работа количества движенія не связана (подобно работѣ усилія деформаціи измѣняемой линіи) съ работою внѣшней силы, но она стоитъ въ связи съ измѣненіемъ дѣйствія, для того чтобы ввести понятіе кинетической энергіи. Для того простого случая, который мы разбираемъ,

Количество

(22)

представляетъ, то, что называютъ кинетической энергіей. Для случая статики измѣняемой линіи,—энергія деформаціи равна, но по знаку nponiuejno-ложпа, дѣйствію деформаціи W, какъ мы показали это въ п°з; впослѣдствіи, мы еще вернемся къ этому существенному различію между дѣйствіемъ деформаціи и энергіей деформаціи.

II. Статика измѣняемой поверхности и дина- миі{а измѣняемой линіи.

іі. Евклидовское дѣйствіе деформаціи на измѣнямую поверхность. Внѣшніе сила и моментъ; усиліе и моментъ деформаціи.

Подробности, въ которыя мы вошли по отношенію къ измѣняемой линіи, позволятъ намъ быть болѣе краткими относительно теорій измѣ- ' няемой поверхности и измѣняемой среды трехъ измѣреній. Сохра-

f1) Т.-е. массу, по опредѣленію Мопертюи.

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

30

КОССЕРА Э. и Ф.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

636

нимъ прежнія обозначенія, но предположимъ, что ѵ, у, у",

вмѣсто того чтобы зависѣть только отъ одного параметра so, будутъ функціями двухъ параметровъ (>] и Тогда, трехгранникъ опи-

шетъ то, что мы назовемъ измѣняемой поверхностью и, вмѣстѣ съ Дар-бу, намъ придется разсматривать двѣнадцать кинематическихъ аргументовъ щ, pi, qi, rt (і = і, я), опредѣляемыхъ формулами (і) и (2), гдѣ обыкновенныя производныя по sq должны быть замѣнены частными производными по сг. Линейный элементъ поверхности опредѣлится формулой

гичныя этимъ формулы получатся и для не деформированнаго состоянія, которое будемъ продолжать обозначать, ввидѣ указателя, ноликомъ.

Если мы положимъ Л0 = ]/(5-0(У0 — <у02, гдѣ 60, іу0 > (^о . Для естественнаго состоянія, аналогичны (5, [у 11 11 если будемъ искать, какова

должна бытъ функція W отъ двухъ безконечно сосѣднихъ положеній

взятаго для любого участка поверхности (М0), равнялось нулю, при одномъ и томъ же, какомъ угодно, дифференціальномъ преобразованіи группы евклидовскихъ перемѣщеній,—то мы придемъ къ замѣчательной

разсужденіе одинаково съ тѣмъ, которое мы дѣлали въ п° 2.

Означимъ черезъ А количество, аналогичное съ J0, опредѣляемое

изъ формулы = Если мы умножимъ ДѴ на элементъ пло-

щади

поверхности (Mq), то произведеніе ЛХ A^dp^dр2 оудетъ, для группы евклидовскихъ перемѣщеній, инварьянтомъ, аналогичнымъ элементу площади

поверхности (М). Подобно тому, какъ интегралъ 1 | j Aodp^dc^

J J с0 о

Adpidpz, взятый внутри контура С0 поверхности (М0), или соот-

вѣтствующаго контура С поверхности (М), опредѣляетъ площадь области, выдѣляемой на (М) контуромъ С, такъ же точно, пріурочивая въ умѣ идею дѣйствія къ переходу отъ естественнаго состоянія (М0) къ состоянію деформированному (М), мы пріобщимъ функцію Д\ къ элементамъ опредѣленія измѣняемой поверхности, и будемъ говорить,

трехгранника Мх'і/Ѵ, для того

формѣ

УѴ (рі, р2» ^1 > rh> > Pit ?1j rl > ^2» Хі> ?2 » Pi’ di’ r2)»

do q — Afjdpidp^

A

дѣйствіе деформаціи, внутри

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 31 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

б37

контура С, на деформированную поверхность. Съ другой стороны, будемъ говорить, что W есть плотность дѣйствія деформаціи въ точкѣ деформированной поверхности, отнесенная къ единицѣ площади не

деформированной поверхности; ЛѴ будетъ такою же плотностью въ

точкѣ, отнесенною къ единицѣ площади деформированной поверхности. Возьмемъ какое угодно измѣненіе дѣйствія деформаціи внутри конт}фа С

поверхности (М), а именно 6 W •'V^rfpa; въ силу формулъ (7) и (8),

распространяемыхъ на случаи двухъ независимыхъ параметровъ р1 и р2, и примѣнивъ формулы Грина къ членамъ, явно содержащимъ производную по или производную по р2, мы получимъ, обозначая черезъ ds9 абсолютное значеніе элемента дуги контура С0, начерченнаго на поверхности (М0),—

о (Г \ѴДо dQi d@2

J J Со

—_ Г (F'0 д'х Д G'0 o'ij Д Н о о'% Д Г0 оі' Д J'0 dj' Д К'0 dso

JC0

_ f f (Х'о д'х Д Y'0 Ѵѵ Д Z'0 оД Д L'n 8Г Д М'0 8j' Д N'0 о Г) Д0 dQl d9i,

kJ J Ci>

гдѣ

A /дѴ7 d(>2 aw dQi\

* 0 — До \ ад dsQ dsaJ

G'n — Дп (W dQ.j aw dQi']

и V дѵі dsfj ds0J

Л £ ''О dQ 2 aw dQi\

0 — Д dso 1 ^ 1 dsQ J

v — До (д w d? 2 aw dQi\

10 — Wl ds 0 1 СЧ Д' ds0J

V . д /dW d@2 aw dQi\

Jo — д ѴДі dsQ dq2 dso)

T rt Л /dW dQ-2 aw афЛ

К 0 — До Wi ds 0 dr.2 dj

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

знаки при dQi и dопредѣляются стороною положительнаго пути криволинейнаго интеграла. Сверхъ того,

y’«=2[

i L

*.=2[

dW дог V“° dfi

Д ?» aw aw

Жі~ - и dm

+ ri aw aw'

^ " -Pi dm

pi aw aw'

dm -a

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

32

КОССЕРА Э. и Ф.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

638

и

г *-

М', = У [і--!

г L

N". = 2

If), z/0 <)Qt ' ‘ 0

л <nv\ dW f)W . f)W . awl ^0—H- Tl- - r<-—+Vi—_Si _ j

#,(л

f)W

fi/'i ‘ dq,

cm

dbJ ' u tpi P

w., dW_ _ ,)W]

' dri + -* d|< ?i' ^ J

<>W\ f)W r)W , „ dW dW

^ ' + * 0(h qi <>pi ^$г ~&й ~ Гіі Ж

Принимая, сначала, во вниманіе двойной интегралъ, участвующій

въ выраженіи для 0 И W. /(| dnl Jq., , назовемъ внѣшней силою н внѣги-

J и Ц,

пит, моментомъ въ точкѣ М, отнесенными къ единицѣ площади нс деформированной поверхности,—отрѣзки, начало которыхъ въ М, а проекціи на оси Ms', Му', М*', соотвѣтственно, суть Х'0, Y'0, Z'0 nL'0, М'0, N'0. Принимая, затѣмъ, во вниманіе криволинейный интегралъ, будемъ называть внѣшнимъ усиліемъ и внѣшнимъ моментомъ деформаціи въ точкѣ М контура С деформированной поверхности, отнесенными къ единицѣ длины контура С0, отрѣзки, исходящіе изъ этой точки М, проекціи которыхъ на оси МИ, Му', М<' соотвѣтственно суть—F'0, — G'0, — Н'0 и—Г0, _)'0|__к'0. Легко видѣть, что эти шесть послѣднихъ количествъ, въ опредѣленной точкЬ М ^контура С, зависятъ только отъ направленія внѣшней нормали къ кривой С0> проведенной въ точкѣ М0, въ плоскости касательной къ (М0); онѣ остаются неизмѣняемыми, если, при измѣненіи разсматриваемаго участка (М0), это направленіе внѣшней нормали не мѣняется, и мѣняютъ свой знакъ, если направленіе нормали мѣняется на противуположное.

Предположимъ, что внутри деформированной поверхности, ограниченной контуромъ С, проведена линія 2, объемлющая (circonscrivant), или одна, или же съ частью контура С, какую-либо часть (А) поверхности, и означимъ черезъ (В) то, что остается отъ поверхности внѣ части (А). Пусть і0 кривая поверхности (М0), соотвѣтствующая кривой ^ поверхности (М), чі пусть (А0) и (В0) участки поверхности (М0), соотвѣтствующіе участкамъ (А) и (В) поверхности (М). Отдѣлимъ мысленно обѣ части (А) и (В); можно будетъ считать два отрѣзка ( ^ П'о) и (—І'о, — J'o, — К'о), опредѣляемые для точки М и

для направленія нормали, проведенной къ S0 въ касательной плоскости къ (Мп), внѣ части (А0), за внѣшніе усиліе и моментъ деформаціи въ точкѣ М контура 1 участка (А); можно считать также два отрѣзка (+ F 0, + G 0) 4~ Н'о) и (+ І'ю + J'o, 4- К'о) за внѣшніе усиліе и моментъ деформаціи въ точкѣ М контура 2 участка (В). Ввиду этого, будемъ говорить, что -F'0;-G'0,_H'0 и - I'0l-J'0,-К'0 _ составляющія по осямъ Мт', Му', М4 усилія и момента деформаціи, производимыхъ въ точкѣ М 1

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 33 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

б39

иа часть (А) поверхности (М), а + F'e, + G'fl, + П'о и 1'0, + J'„f + K'0_

составляющія по осямъ ММ, М/, M,-' усилія и момента деформаціи, производимыхъ въ точкѣ -VI на участокъ (В) поверхности (М).

12. Различныя спесиФикаціи (т.=е. различныя подробныя обозначенія) усилія и момента деформаціи. Понятія энергіи деформаціи и естественнаго состоянія. Положимъ

) ч

I

vWa

<№ В'і = . д\ѵ

— л wr = Ч х— ’ ді)і С'< = л

— А д\Ѵ Q'< - f)W

дрі ’ : Л ~— Г (>9і R'i = л:

, —V С', и Ѵ(% і ѵЩ Р' т Ѵі% V т (і)п

<)\ѵ

*Г’

fW

. ^ ' s ** ѵ і *ѵч ^и*ійі и ліимента десрорма-

ЦІИ, производимыхъ въ точкѣ М на кривую, допускающую такую же касадельнуго, что и (>1 = пост.; это усиліе и этотъ моментъ деформаціи отнесены, къ единицѣ длины контура нс деформирован паю. По отношенію къ (i.j — пост., проекціи усилія и момента деформаціи соотвѣтственно суть

ѵ~ГА2’ Г(Т С'я И цгг ^'2’ mT^Q'2’ “77= Новыя (только что

* 1 ^0 I А) V (Д Ѵ(у0 Иу()

опредѣленныя нами) усилія и новые моменты деформаціи связаны съ элементами, введенными въ и» и, слѣдующими соотношеніями:

J0X'0= V

д с) А',

■ ()Qi

9і^г гі ’

TV __ ѵ '^2 ^Р|

г 0— А[Т------а2Т- >

“■'« «-'о

° о — ьіТГ ’

*0

d.Cn

д0-.

;■ + Рі й'г — ал.\\ .

тт/ си г•' dQi

1Jo-ti7-------'-г

(‘S( * (Isq

A) L'o — ^ + qi К'; — ггО'г -f Tj • Ci'j

\ 'Ѵг

fdO';

. ___l-TV 1 и ___p/ ^'2 т>/ a?i

1 1 Ц l A13 г j ’ 1 0 — 1 1 -r------T ,

ds(t ds0

do,

^ + r*p/~^R/* + ^A'*-^C'0> J'o =Q\p-Q'2p ,

i 14 ' ds0 dsn

J° N'o = 2 ' IT + Pi Vi + A',) , K'0 = R'j ~ —R'2 .

i. ■ 11 / dsn d $n

Можно задаться, какъ въ п°з, преобразованіемъ написанныхъ нами

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

34

КОССЕРА Э. и Ф.

640

соотношеній, независимо отъ значеній тѣхъ количествъ (вычисленныхъ посредствомъ W), которыя участвуютъ въ этихъ соотношеніяхъ. Въ самомъ дѣлѣ, вмѣсто того чтобы опредѣлять отрѣзки, пріуроченные нами къ точкѣ М, проекціями ихъ на МУ, Мif, М4', можно не менѣе хорошо опредѣлять ихъ проекціями и на другія оси.

Возьмемъ, сначала, неподвижныя оси Ох, Оу, О4. Означимъ соотвѣтственно черезъ Х0, Y0, Zq и черезъ L0, Mo, N0 проекціи на эти оси внѣшней силы и внѣшняго момента въ какой нибудь точкѣ М деформированной среды; черезъ F0,G0,H0 и черезъ І0, Jo, К0 проекціи усилія и момента деформаціи, относительно направленія (dp dp%) касательной къ кривой С, которыя отнесены къ единицѣ длины не деформированной кривой С0 и были опредѣлены нами раньше; черезъ At-, Вг, Сі и черезъ Р,:, Qj, R* проекціи усилія (А'*, В^, C'f) и момента деформаціи (Р'і, Q'j, К'г-). Преобразованныя изъ предыдущихъ зависимостей будутъ, очевидно, таковы

Х0

Л0 Yn

^0

Lo

do М0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

dn N„

дА^ dpi , AV, Bo — Ai l!h- ds0 -A2 d?lt ds 0'

_r)Bt , dli, Go — Bi dps _ dso -B2 dpi d$o'

_dCt dsi , ^C2 H0 = ct dp., d$o -C2 ^l, ds 0

dp 1 + —+ Cl dpi + Q A- dps T> ^ ■4,- -B.2 d\ dps' I. = Pi d?s_ cIsq -pa dpi ds0 ’

__dCU dpi At A dpi + X2 jk _ dps r dx “Cl dpi~ -c2 dx ¥2’ Jo = Q.i d?s_ dso -q2 dpi ds o’

dR1 ~ dpi ^>2 ^ dx dH 4“ B2 dx dp2 A d,J -1 «1 -A2 d_y_ dp-2 K0 = Ri a?2_ dsi} -r2 dpi. ds о ’

если обозначить черезъ Х0, |irt, направляющіе косинусы, относительно неподвижныхъ осей, внѣшней нормали къ С0, а черезъ 1, ц, г направляющіе косинусы внѣшней нормали къ С. Уравненія эти даютъ, въ частности, уравненія для безконечно малой деформаціи плоской поверхности, которыми пользовались лордъ Кельвинъ и Тэтъ, 1

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 35 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

641

Вмѣсто того, чтобы относить элементы точки М къ неподвижнымъ осямъ Ox yz, возьмемъ прямоугольный трехгранникъ МлД ііцДД котораго ось М.Д нормальна къ поверхности (М) въ точкѣ М, и отнесемъ его къ трехграннику Мх' і/Д; пусть, относительно осей этого послѣдняго, I, V, Г—направляющіе косинусы оси Мх/; т, т , т"—направляющіе косинусы МгД и п, п', «"—направляющіе косинусы МД. Косин}щы п, п" опредѣлятся точно, посредствомъ формулъ

n = j(Ti 1 Ь2

Д),

п> — -J (?1 $2 — isi Si) t

=Jj (-1 О '2 Vi)’

Будемъ допускать, что трехгранникъ МхД у\ Д расположенъ такъ же, какъ и другіе, и, на время, не будемъ дѣлать никакой частной гипотезы относительно другихъ косинусовъ. Означимъ, при этомъ, черезъ 5Д), т,Д), Д(Р составляющія скорости начала М осей МхД МД, МД по этимъ осямъ, когда мѣняется только рі и играетъ роль времени; равнымъ образомъ, пусть /Д1), Д1), г.Д) проекціи, на тѣ же оси, мгновеннаго вращенія трехгранника МдД Д Д, по отношенію къ параметру рг-; само собою, прн этихъ послѣднихъ опредѣленіяхъ, трехгранникъ М.х\ Д Д отнесенъ къ неподвижному трехграннику Oxyz- Будемъ имѣть

$,.(!)= Д + /ДД Ѵ%і , тДі) = ѵііі + т'щ + ш’%і ,

ДО) = пЧ “Ь п'гч Д 11>>Ч = °

и три формулы, подобныя слѣдующей

РіѴ — Чч + 1>с1і + 1">Ч + 2 11 доі ’

причемъ предполагается, что разсматриваемые трехгранники расположены одинаково.

Означимъ, соотвѣтственно, черезъ X"n, Y"0, 2Д и черезъ БД, МД, N"0 проекціи на МхД МД, МД внѣшней силы и внѣшняго момента въ какой либо точкѣ М деформированной поверхности, отнесенныхъ къ единицѣ площади не деформированной поверхности; черезъ F"0, G"0, Н"0 и черезъ ІД, J"0, КД проекціи, на тѣ же оси, усилія (Fn, Gfl, Н0) и момента (І0, Jo, К0); черезъ АД, БД, СД и черезъ РД, ОД, КД— проекціи усилія (АД ВД С',) и момента (РД ОД КД), опредѣленныхъ раньше. Преобразованныя изъ предыдущихъ зависимостей, или изъ зависимостей первоначальныхъ, бзшутъ, очевидно, таковы:

Руков. теор. мех, 41

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

36

КОССЕРА Э. и Ф.

642

X"o = =2 І (d\v Wfi + tf/1) C"t - Ф B", )■ F"o — A"i ^0 ~ A772

Y"0 = = 2' i (dBV Ц?i A", -pp) C", )■ G"0 = B"i dp2 dso -B772 £pi ^0 r

Z”o = =2' i (0C”i l dp* + M‘> В"* - Ф A "t )■ H"0 = C77! d? 2 _ C” ^ 2 dpi ds0 *

L"o = =2' i V dpi + Ф R"* — rp) Q." + t,A> C",). I"o = P"l f?£s_ A'o -P"2 <*Pl V

M"0 = =2' VQ!',: v d?i + r/D P"( ~pf 1) R"f + VD C",), J"o = Q"i Ір2_ ^0 - Q."s ipi

N"°=2 (^г+р/-1) ~qfV) р/,':+^(1) в"> Т|'(1) А"ѵ

K"0 = R"1^-2-R"2^i.

dsa ds0

Здѣсь можно замѣнить ^ ^ черезъ — (X77 £2(і) 4- и" тЛ1))

as as d ' л

и

і

— (X" qO) -[- И-" т4(і)), если обозначить черезъ X", ,и", о—направляющіе косинусы, относительно трехгранника М.х\ у\ внѣшней нормали къ контуру С; такимъ образомъ, получимъ

F »1Г~1 ”-------—-j——'

*0 _ ѵ/ ^(1) Р", + 'ф Р"а , т./1? Р"і + І2<» Р"2

I'/ Ііп! — У 1 “

d

+И-''

и двѣ системы аналогичныхъ формулъ.

Формулы эти приводятъ къ замѣнѣ двѣнадцати вспомогательныхъ А"і, IVі , С"і, I"';, Q.7',;, R'^ двѣнадцатью новыми вспомогательными, которыми будутъ коэффиціенты при к" и [л" въ предыдущихъ выраженіяхъ для усилій и моментовъ, отнесенныхъ къ единицѣ длины контура С, или связанныхъ съ этими коэффиціентами простымъ образомъ. Положимъ

— (S/1) A"j А"2) — >

А (,,(1) А"! + та(і) А"2) = Т - S8,

- &(і) В77! + Sad) В"2) = Т + S3, j (т4(і) В77! + т,2(і) В772) = Na,

~(lp) C"1 + ^P)C"2) = Sa,

/.]

-JtuiVC”i + 4VC\) = Si,

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 37 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

643

вводя шесть первыхъ вспомогательныхъ Nt, N2, T, S2, S3, и точно также

вводя шесть другихъ вспомогательныхъ. Двѣнадцать только что написанныхъ нами уравненій могутъ быть разрѣшены непосредственно относительно первоначальныхъ вспомогательныхъ АД, ВД, СД, РД, ОД, КД; если принять во вниманіе, что St(i) r,gW — гДР = Д то получимъ

и шесть аналогичныхъ формулъ для РД, ОД» КД, съ нѣмецкими прописными буквами во вторыхъ частяхъ. Введеннымъ нами составляющимъ усилія и момента деформаціи, очевидно, можно придать обозначенія, аналогичныя обычно употребляемымъ для измѣняемой линіи. Такъ, можно назвать черезъ Nb N2 іусилія натяжснія\ составляющія Т — S3, Т-f-S3 представляютъ усилія скалывающія (tranchants), въ плоскости касательной къ деформированной поверхности; составляющія Sls S2—усилія рѣжущія (tranchants), нормальныя къ деформированной поверхности. Точно также, составляющія 9?,, Э(2 момента деформаціи можно считать за моменты крученія; составляющія ^ — ©3, -ф- ©3— имѣютъ характеръ моментовь изгибающихъ; составляющія ©lt ®2 могли бы быть названы моментами геодезическаго изгиба (moments de ilexion geode-sique).

Понятія объ энергіи деформаціи и естественнаго состоянія являются здѣсь въ точности такими же, какъ и для измѣняемой линіи.

13. Гибкая и растяжимая поверхность Пуассона и Ламэ. Жидкая перепонка (la membrane fluide), заключающая въ себѣ, какъ частный случай, поверхность, разсмотрѣнную Лагранжемъ, Пуассономъ и Дюгемомъ. Гибкая и нерастяжимая поверхность геометровъ. Читатель распространитъ самъ на измѣняемую поверхность общія соображенія, изложенныя нами въ концѣ п° 3 по поводу измѣняемой линіи и, въ началѣ п° 5, по поводу понятій о скрытомъ трехгранникѣ и скрытомъ дѣйствіи.

-у (т^Ш РД -ф- Тіа(1) РД) — & — ©3,

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

38

КОССЕРА Э. и Ф.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

644

Предположимъ, сначала, что W зависитъ только отъ plt р2, Sj,

£lf Щ, ?з5 для этого случая, уравненія п° 12 приводятся къ слѣдующимъ:

а а (wJo) , (3 (wj0)

° ° , дх др.) . ах

ат~

ОРі

д?2

а а(WJ0) a a(Wj0)

0 ° д± ^ д?2 ()д± ’

?1

а? о

—

aw

а)-! 1

aw

ГЛ, ’

^ ѵ _ а а (Wj0) , a a(WJ0) в в“5Рі^*' + 5£“^Г

api

ар2

aw

гдѣ Х2, Х3 — три параметра, посредствомъ которыхъ выражаются а, а', ... , у", а W—функція здѣсь только отъ рь р2, ^ >3;

значеніе Й0, 9)І0, 9ift то же, что и въ п° 4. Разберемъ случай, когда

х • о w п, • aw aw aw

Функціи g0, 2R0, Э?0—нули; тогда, уравненія^- = о, о, -г- = о

обращаются или въ: ,

Т- С1 — г- В1+ Г- С2— т- В2 = о. арі 1 аРі 1 ар2 2 ар2 2

ді д% Г , ^ д

^Аі-“Ч+”Л2-

г)*

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ds-.

в,

арі

дц_

арі

’п

дх ~

-С2=°,

А , ^ п ОЦ

Аі + — В2 — тг А2 — °»

арз

дРа‘

или же въ —о, такъ что усиліе, въ любой точкѣ кривой,

находится въ плоскости, касательной къ деформированной поверхности, а усилія скалывающія (рѣжущія, tranchants), производимыя по двумъ взаимно-перпендикулярнымъ направленіямъ, равны между собою.

Пусть, даны два состоянія поверхности (М0) и (М); равенство функцій 80, Я)і0, —нулю можетъ представиться или случайно, или же

для любой деформированной поверхности (М), какъ слѣдствіе формы функціи W. Тогда, функція W зависитъ просто отъ р1; р2, С£, $, и

Nj

Jn fdW

aw

aw,

+ да**).

(НУ

аз

j0/ aw

, ЯЛ . .... r)W г)\Ѵ \

т = —J ( 2 ^і1) J/ji1) -f- -щ (?2(1)tq1(1) + ri2(l)) -j- 2 ^7 £2^ 'гі2<йу ,

at J0 A)W .... aw aw

N==2 s iwTil< * + +i®

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 39 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

645

Треугольникъ скрытъ совершенно, и мы можемъ считать поверхность просто точечною.

Разсмотрѣніе безконечно малой деформаціи (въ примѣненіи къ предыдущей поверхности), приведетъ насъ къ поверхности или перепонкѣ, изслѣдованной Пуассономъ и Ламэ.

Интересный частный случай, который мы назовемъ случаемъ жидкой перепонки, получится въ предположеніи, относительно трехъ найденныхъ нами, такимъ путемъ, функцій, что Т = о, ^ = N3; легко видѣть, что, приэтомъ, W зависитъ отъ ($, g, © лишь черезъ посредство количества А = і/(£©— g2, а слѣдовательно, W является

функціей отъ р1? р2 и отъ ^ = 4-1. Продолжая обозначать черезъ W

выраженіе для W посредствомъ сІ9 р2, /г, находимъ

Если мы, сверхъ того, предположимъ, что W зависитъ только отъ щ то передъ нами окажется поверхность, разсмотрѣнная Лагранжемъ и изслѣдованная Пуассономъ и Дюгемомъ. Если ввести перемѣнныя х, у, то мы придемъ къ системѣ

гдѣ и —главные радіусы кривизны деформированной поверхно-

сти (М).

Возвратимся къ общему случаю, когда W—любая функція отъ fii р2* ©> g, Мы м°жемъ себѣ представить, что наше вниманіе обращается только на тѣ деформаціи поверхности, для которыхъ: (y = (g0, g = g0> © = 630. Достаточно ввести такія предположенія въ опредѣленія силъ; приэтомъ, обычныя задачи, соотвѣтствующія заданію функціи W и случаю, когда ($ — (S0, 5 — go> ® — ©о? вообще говоря, не будутъ нулями, могутъ быть поставлены только тогда, когда указаны частныя заданія.

Если мы предположимъ, что задана только функція W0, получаемая изъ W (plt р2, ($, g, ©) подстановкою © = ($0, g~g0, © = ©0; что значеній производныхъ отъ W по (£, g, ©, при ($ — ©„, g = g0, © = ©0, мы не знаемъ, и что, такимъ образомъ, дѣйствіе скрыто, то мы увидимъ, что Nb Т, N2 становятся тремя вспомогательными, которыя надо пріурочить къ х, у, jj, для того чтобы, въ случаѣ, когда даны силы, дѣйствующія на элементы поверхности, имѣть шесть уравненій въ частныхъ производныхъ съ шестью неизвѣстными; приэтомъ, задача будетъ опредѣленной только тогда, когда мы присоединимъ дополнительныя

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

40

КОССЕРА Э. и Ф.

646

условія. Если деформированная фигура назначена а priori, то получимъ три уравненія между неизвѣстными функціями Nn Т, N3.

Найденныя, такимъ путемъ, уравненія будутъ тѣми, которыя опредѣляютъ гибкую и нерастлжимую поверхность геометровъ. По отношенію къ этой поверхности, повторяются соображенія, относившіяся къ гибкой и нерастяжимой линіи; такимъ образомъ, эта поверхность можетъ быть опредѣлена а priori.

14. Измѣняемая поверхность, когда ось М^' нормальна къ (М) въ точкѣ М. Поверхность Софьи Жерменъ и Пуассона. Поверхность лорда Кельвина и Тэта. Зададимся условіемъ, что М47 нормальна къ поверхности (М); это можетъ быть сдѣлано, или исходя отъ общей измѣняемой поверхности, опредѣленной раньше, если изучать для нея только тѣ деформаціи, которыя удовлетворяютъ условіямъ = £2 = °> или же опредѣляя новую измѣняемую поверхность, теорія которой разрабатывается по аналогіи съ теоріею первой, но принимая во вниманіе условія £л = £ij = о.

Если мы поставимъ себя на первую точку зрѣнія, то достаточно будетъ присоединить заданія ^ = о къ формуламъ, служащимъ для

опредѣленія силъ и аналогичныхъ элементовъ* Мы видимъ, что, если функція W, служащая отправной точкою, задана, то нельзя произвольно задаваться внѣшними силами и моментами, вслѣдствіе того что къ опредѣляющимъ ихъ шести уравненіямъ добавлены два уравненія = £2 = О.

Если мы хотимъ преслѣдовать идею ограниченія общей поверхности частными условіями, то не слѣдуетъ предполагать, что функція W задана, а вводить понятіе о скрытомъ дѣйствіи, которое принимаетъ здѣсь совершенно особенный внѣшній видъ.

Въ силу условій = о, трехгранникъ, вмѣсто того чтобы за-

висѣть отъ шести параметровъ х, у, ).t, 12, )3, зависитъ только уже отъ четырехъ параметровъ, напр., отъ х, у, z и т< причемъ этотъ послѣдній параметръ представляетъ уголъ между Мх' и кривою (р2) поверхности (М). Поступательныя движенія могутъ быть найдены изъ системы

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 41 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

выраженія для вращеніи оудутъ такими:

647

Pi = GiD' - УЭ), р2 == (У>" - УУ),

Si — Я2 — т‘2^), <72 — ~п — ті2Й')і

/Р

dm HjJ

’■-“йТДтг’

J2

I

J2

?'2 — —

Эпг S2z/

dy2 + Ж ■

Если подставить эти значенія въ функцію, получаемую изъ ЛѴ при ^і = ?2~°) то получимъ функцію W0) зависящую отъ р1? р2, т,

дт дт

, отъ х, у, 7 и отъ ихъ первыхъ и вторыхъ производныхъ, черезъ посредство девяти независимыхъ выраженій т, (5, Д, (>3, гг, Го, D, D', D", тогда какъ ЛѴ, помимо р1; р2, Іл, £2, содержало десять аргументовъ. Такое сокращеніе происходитъ въ силу одного изъ уравненій, которымъ Дарбу даетъ названіе уравненій Кодаццщ въ данномъ вопросѣ, оно напишется такъ: ptr,2— уД2—р2Т\і~\~ SPi~ Стало быть, въ концѣ-кон-цовъ, если будешь извѣстна только функція ЛѴ0, мы получимъ три вспомогательныхъ неизвѣстныхъ; тѣмъ не менѣе, всѣ эти три вспомогательныя выключатся, хотя (въ связи съ другими элементами, опредѣляемыми посредствомъ ЛѴ0), общій итогъ ихъ и превышаетъ на единицу число уравненій.

Мы снова находимъ тотъ замѣчательный результатъ, на который уже указывали для измѣняемой линіи; ограничимся и здѣсь только его изложеніемъ. Уравненія статики измѣняемой поверхности, разбираемой въ настоящемъ случаѣ, могутъ быть объединены въ слѣдующей зависимости:

jp (W0J0) -f Д, (Х0Ьх -f-зу ѵ + Зо8* — N'08|»)] dptdfa = о,

гдѣ

дх

ду

дт

Л*о— ЛХГ)—-7 Y (L() -7- + М()-Д + N0 -Д ) —

,2

<Ѵ2.

,, дх ^ ОХ

п

М

4,N'o

_д_

др2

вмѣстѣ съ формулами, аналогичными этой, причемъ 7, 7', у" — направляющіе косинусы нормали МД къ поверхности (М). Интересенъ тотъ частный случай, когда ЛѴ0 не зависитъ отъ г1( г2 и имѣетъ аргумен-

тами только р2 и два выраженія

і

ЭІДіо

DD" — Г)'2 і і _ СИУ + GD" — яДО' й4 ’ Эіі Уі2 — J2

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

42

КОССЕРА Э. и Ф.

648

гдѣ ЭД и Э?2—главные радіусы кривизны поверхности. Если принять х и у за перемѣнныя, мы придемъ къ обобщенію уравненій, разсмотрѣнныхъ Софьей Жермэнъ, Лагранжемъ и Пуассономъ.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для болѣе подробнаго обозначенія (спесификаціи) усилія и момента деформаціи можно принять и двѣнадцать вспомогательныхъ N1} Т, N2, St, S2, S3; ЛД, i>i2, Q>2> то обстоятельство, что, при

Сл = С2 = о, когда W скрыта, проекціи усилія С\, С'.2 становятся неизвѣстными,—переводится, въ этомъ случаѣ, словами, что двѣ вспомогательныя St и S2 будутъ неизвѣстными. Предположимъ, теперь, что \Ѵ0 не содержитъ аргументовъ г2, г2 и зависитъ отъ pVl ql} р2, q2 лишь черезъ посредство выраженій

Рі Si Vl 1 рі $2 Н- Чі т*2 ~Гр2 Si ~г ?2 И > р2 S2 4“ <?2 ті2 5

будемъ имѣть зависимости — '23 = ©3 = о. Три предыдущихъ выраженія представляютъ, для разбираемаю случая (£х = £3 = о), коэффиціенты при dcp, dptdp2, do22 въ дифференціальномъ уравненіи линій кривизны поверхности (М),

Предшествующее позволяетъ безъ труда перейти къ безконечно малой деформаціи, единственно разсмотрѣнной лордомъ Кельвиномъ и Тэтомъ, и найти снова тотъ случай, когда ихъ теорія даетъ результаты, высказанные, сначала, Софьей Жерменъ и Пуассономъ.

15. Динамика измѣняемой линіи. Динамика измѣняемой линіи стоитъ въ связи съ предыдущимъ изложеніемъ, гдѣ достаточно считать одинъ изъ параметровъ (напр., р2) за время /; тогда, мы получаемъ совмѣстное дѣйствіе деформаціи и движенія. Подъ вліяніемъ трехгранника, скорость точки измѣняемой линіи входитъ въ W тремя аргументами q2j т,2, Ь2> и мы встрѣчаемся съ понятіемъ о кинетической анизотропіи (*), уже разсмотрѣннымъ Ранкиномъ; съ тѣхъ поръ, понятіе это введено во многія теоріи Физики, напр., въ теоріи двойной рефракціи и вращательной поляризаціи свѣта. Даже если W независима отъ вращеній и приводитъ къ нулевымъ внѣшнимъ моментамъ, аргументъ чистой деформаціи £t2 ѵд2 -j- tp* и аргументъ чисто кинетическій $22 + т,22 -J- і2а, вообще говоря, сопровождаются смѣшаннымъ аргументомъ іj$2 -4- т,1ѵ;2 -j- С^-2і такого рода аргументъ уже не новъ въ Механикѣ; а именно (какъ мы покажемъ дальше), онъ появляется въ теоріи силъ на разстояніи. Если W не содержитъ смѣшаннаго аргумента ^і'2 + тЦті2 + ?іЬ2і то н ад о, вообще, разсматривать состояніе деформаціи и движенія безконечно близкое къ естественному состоянію, чтобы

(*) Анизотропными тѣлами называются такія, строеніе которыхъ по различнымъ направленіямъ неодинаково, напр., большинство кристаллическихъ системъ; вмѣстѣ съ этимъ, будутъ неодинаковы въ нихъ и другія свойства, какъ то теплопроводность, электропроводность, распространеніе свѣта.

Примѣчаніе переводчика.

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 43 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

649

поставить себя въ случай классической Механики, когда дѣйствіе деформаціи совершенно отдѣлено отъ дѣйствія кинетическаго. Тогда, мы получимъ начало д’Аламбера, предполагая, что внѣшняя сила и внѣшній моментъ—нули, т.-е. выражая, что измѣняемая линіи не подвержена никакому воздѣйствію внѣшняго міра, а слѣдовательно, вводя основное понятіе объ изолированной системѣ, необходимость котораго, для раціональнаго построенія Механики, показалъ Дюгемъ.

III. Статика и Динамина измѣняемой среды

іб. Евклидовское дѣйствіе деформаціи на измѣняемую среду. Внѣшніе сила и моментъ; усиліе и моментъ деформаціи. Изложенныя нами теоріи измѣняемой линіи и измѣняемой поверхности приводятъ къ болѣе общему пріему разсмотрѣнія измѣняемой среды о трехъ измѣреніяхъ, нежели пріемъ, обычно употребляемый въ теоріи упругости. Возьмемъ пространство (М0), описываемое точкою М0, координаты которой, относительно трехъ неподвижныхъ прямоугольныхъ осей Ох, О у, суть х0, і/0, ^0; мы могли бы считать эти коор-

динаты за функціи трехъ параметровъ р1( р2, рз> выбранныхъ какъ угодно; но, для упрощенія дѣла, будемъ предполагать, что x0 = flT у0 = р2, 4о — рзj а слѣдовательно, будемъ пользоваться, смотря по удобству, то обозначеніемъ х0, і/<у, то обозначеніями ^ , р%, р3. Сохраняя другія принятыя нами обозначенія, предположимъ, что х, у, «, к',.. .,f" функціи отъ л'о, г/0, тогда, трехгранникъ Mx'i/z опишетъ то, что мы называемъ измѣняемой средою, и мы будемъ имѣть восемнадцать кинематическихъ аргументовъ Е/, тІг-, рг, q.h rt (г = 1,2,3), опредѣляемыхъ формулами (і) и (2), гдѣ обыкновенныя производныя по 50 должны быть замѣнены частными производными по х0, t/0, ^0, или же» если угодно, по рі. Линейный элементъ деформированной среды (М), отнесенный къ независимымъ перемѣннымъ х0, у0, zot опредѣлится формулою

гдѣ еІ5 е2, е3, уі, у2, у3 вычислятся изъ слѣдующихъ формулъ:

ds2 = (1 -}- 2et) Jx02 -j- (1 -\- 2s2) dijo1 -Ь (1 -j- 2%) dzo2 + ^Yidyodzo + ay8^0rfx0 + 2ysdx0dij0,

£;i — Vi2 + £i2 — l)> Уі — £г£з + '/Аз "V ?а?з>

е2 — 2 (§22 + ?/22 + ^22 — 0>

Ізіі + ѴзѴі “Ь £з?і

«3 = \ (’З2 + ПІ + ?32 —. Й> Уз — ^1'2 + Wh + •

2

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

44

КОССЕРА Э. и Ф.

650

Аналогичныя формулы мы получимъ и для не деформированнаго состоянія (М0), которое будемъ продолжать обозначать указателемъ-ноликомъ. Введемъ также извѣстное количество опредѣляемое фор. D (х, у, %)

мулою z? _ щ——, квадратъ котораго выражается въ функціи отъ е,2, е3, у\, }'2, Уз слѣдующимъ образомъ:

і 4- stl Уз Уз

Уз I + 2£.2 Уі

Уз Уі I +2J?.

J* =

Если мы ищемъ, какова должна быть функція ЛѴ для двухъ безконечно сосѣднихъ положеніи трехгранника Мх'у'і', чтобы измѣненіе

интеграла jj'J » взятаго для любой части пространства (М0),

равнялось нздію, при одномъ и томъ же дифференціальномъ преобразованіи группы евклидовскихъ перемѣщеній, то, какъ и раньше, мы будемъ приведены къ замѣчательной формѣ

^ (Л(Ц Уо і -гО > -г» рі > Уіі гі)>

разсужденіе всегда останется одинаковымъ съ тѣмъ, которое мы дѣлали въ п° 2,

Если мы з^множимъ W на элементъ объема dx^dy^d^ пространства (М0), то полученное произведеніе V\Tdx0dy0dz будетъ, въ группѣ евклидовскихъ перемѣщеній, инварьянтомъ, аналогичнымъ элементзг объема среды (М). Подобно тому, какъ общее значеніе интеграловъ

Jj dx0dy0d^0,

dxdyd1, соотвѣтственно взятыхъ внутри поверхности S0 среды (М01, и внутри соотвѣтствующей поверхности S среды (М), опредѣляетъ объемъ области, ограниченной поверхностью S, — точно также, пріурочивая въ нашемъ умѣ понятіе о дѣйствіи къ переходу отъ естественнаго состоянія (М0) къ состоянію деформированному (М), мы присоединимъ функцію ЛѴ къ элементамъ, опредѣляющимъ нзмѣняемз’ю средз% и будемъ говорить, что интегралъ

S представляетъ дѣйствіе деформаціи, внутри поверхности

S, на деформированную среду. Будемъ говорить, съ другой стороны, что W есть плотность дѣйствія деформаціи въ точкѣ деформированной среды, отнесенная къ единицѣ объема не деформированной среды, а

p^j представляетъ плотность этого дѣйствія въ точкѣ, отнесенную къ

единицѣ деформированнаго объема.

Возьмемъ какое гродно измѣненіе (variation) дѣйствія деформаціи внутри поверхности (S) среды (М), а именно

Wdx0dtj0d^0; 1

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 45 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

651

въ силу формулъ (7) и (8), распространенныхъ на случаи трехъ независимыхъ параметровъ л-0, г/0, или рДг = і, 2, 3), и примѣнивъ формулу Грина къ членамъ, содержащимъ производную по одной изъ перемѣнныхъ явно, мы получимъ, если обозначить черезъ /0, т0) п0 направляющіе косинусы, относительно неподвижныхъ осей О.ѵ, Оу, О^, внѣшней нормали къ поверхности S0, ограничивающей среду до деформаціи, и черезъ da0 элементъ площади этой поверхности:

\ J I 5 'WdxQ4y^

= jj (F'o^ + G'0д'у + НѴД -f IW + JV/ + KW ^0

J J J Sq

гдѣ положено,

(X.'0d’x -f- У(і<Уу + -)- IS06ir + W06f -j- N'0o£') dx()dijQilz,) I

(23)

(24)

* 0 — 4) Щ -Z--Щ

Г> - 7 r)W Ш ,

G0_/0_ + W()_+K0

I IT/

r)W , r)W

aw = h aw aw + aw

а;3 ІО dpi + Щ dp2 Uq <^3 ’

aw = k aw + aw + aw

Jo a?i Щ «0 дѣ

aw = k aw aw 4- aw

’ Ко; arj + 1Щ ar2 «0 <W

Y, X1 ( b I AW aw

v, ______^ /І № dVK

0 ^ + ’*■ 5Г

aw aw

■p

г

7, v/d aw aw aw\

0 ~2d {dH a^ ^ ~ v* lij ’

i

T , ^fddVJ aw

L ° ~Z us is +

г

м'„=2'-

агг: r'

d_ aw aw

%

aw i „ aw Y aw\

<% + Vi - Ы

aw ~b <4 aw f aw\

dri dlj ’

aw • > aw aw\

% +'/ -Vi aW‘

Принимая, сначала, во вниманіе тройной интегралъ, участвующій въ выраженіи для о- П ^ Wrf.r0rfi/0^0, будемъ называть внѣшнею силою

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

46

КОССЕРА Э. и Ф.

652

и внѣшнимъ моментомъ въ точкѣ М, отнесенными къ единицѣ объема не деформированной среды, отрѣзки, имѣющіе начало въ М, проекціи которыхъ на оси Мх', Му'М^'соотвѣтственно суть Х'0, Y'0, Z'0 и L'0, М'0, N'0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Обращаясь, затѣмъ, къ интегралу поверхности, участвующему въ

J ’J ,5 назовемъ внѣшнимъ усиліемъ и внѣшнимъ моментомъ деформаціи въ точкѣ М поверхности S, ограничивающей деформированную среду, отнесенными къ единицѣ площади поверхности S0, отрѣзки, исходящіе изъ этой точки М, проекціи которыхъ, на оси Мл', Мг/, М^', соотвѣтственно, суть — F'0, —G'0, —Н'0 и —Г0, —J'0, —К'0. Эти послѣднія шесть количествъ, въ опредѣленной точкѣ М поверхности (S), зависятъ только отъ направленія внѣшней нормали къ поверхности (S); они остаются неизмѣнными, если, съ измѣненіемъ разсматриваемаго участка поверхности (М0), направленіе внѣшней нормали не мѣняется, и мѣняютъ свой знакъ, если это направленіе замѣняется противуположнымъ. Предположимъ, что, внутри деформированной среды, ограниченной поверхностью (S), построена поверхность (2), объемлющая (circonscrivant) или одна, или съ участкомъ поверхности (S), часть (А) среды, и обозначимъ черезъ (В) остатокъ среды, внѣ части (А). Пусть (Х0) поверхность на (М0), соотвѣтствующая поверхности (S) на (М), и пусть (А0) и (В0) участки поверхности (М0), соотвѣтствующіе участкамъ (А) и (В) поверхности (М). Отдѣлимъ мысленно обѣ части (А) и (В); тогда, можно будетъ считать два отрѣзка (—F'0, —G'0, —Н'0) и (—Г0, — J'0, —К'0), опредѣленные для точки М и для направленія нормали, проведенной къ (S0) внаружу участка (А0), за внѣшніе усиліе и моментъ деформаціи въ точкѣ М границы (2) области (А); точно также, можно будетъ считать два отрѣзка (-+-F'0, -f^G'n, + Н'0) и (+Г0, -г Го. + К'0) за внѣшніе усиліе и моментъ деформаціи въ точкѣ М границы (I) участка (В). Ввиду сказаннаго, будемъ говорить, что—F'0, —G'0) —Н'0 и —Г0, —J'0,—К'0— суть составляющія по осямъ Мл', Му', М^' усилія и момента деформаціи, производимыхъ въ точкѣ М на участокъ (А) среды (М), а -[-F'0, G'n, -f- Н'0 и + Г0, 4-Го, —К'о составляющія, по осямъ Мл', Му', М^', усилія и момента деформаціи, производимыхъ въ точкѣ М на участокъ (В) среды (М).

17. Различныя спесиФикаціи усилія и момента деформаціи. Понятія энергіи деформаціи и естественнаго состоянія. Теорема Клапейрона. Положимъ

dW dW dW _dW

дч &П 1 dpi

Q’i =

dW

д‘1і

К i — —— J

гдѣ А';, В'г, С';, P'j, Q'i, R'£—соотвѣтственно представляютъ проекціи на Мл', Му', М^' усилія и момента деформаціи, производимыхъ въ точкѣ М на поверхность, которая, до деформаціи, имѣла внѣшней нормалью въ точкѣ М0 прямую параллельную той изъ координатныхъ осей Ол, Оу, 0%, которая соотвѣтствуетъ указателю і. Это усиліе и

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 47 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

653

этотъ моментъ деформаціи отнесены къ единицѣ площади поверхности не деформированной. Новыя усилія и новые моменты деформаціи, которые мы только что опредѣлили, связаны съ элементами, введенными въ п° іб, слѣдующими соотношеніями:

(25)

(26)

Х'о =2 г (<>A’i V dPi 4- ■ — г.рУ^ )■

Y'o =2 і V dpi + r;A'i - /> A )•

Z'« r/l II V dpi + ' -qA V )•

L'o =2 i (№* \ dpi + ? A — r;Q'i 4 ruC'i

М'о =2 % (dQj V dpi + rP'l ■ -PM 4- KA'i - EiC'i)

N'o =2 Ж V dpi 4- piQ'i — qiP'i 4- 5 A ■

F'o = /0^1 4- *»(АѴ“Ь «<А'з > G'o = /0В'і -ф- ш0В'2 + «оВ'з, H'0=l0C\ + m»C, + n9C's> І'о — 4- «оВ’з»

ІФ = Ш'і 4- moQr2+ «oQ#3> , К'о = А)В'і 4- т0В'2 + «оВ'з.

Можно задаться, какъ въ п°п° 3 и 12, преобразованіемъ написанныхъ нами соотношеній, независимо отъ значеній тѣхъ количествъ (вычисляемыхъ при помощи функціи W), которыя въ этихъ соотношеніяхъ участвуютъ. Въ самомъ дѣлѣ, вмѣсто того, чтобы опредѣлять отрѣзки, пріуроченные нами къ точкѣ М, проекціями ихъ на М.гД Мг/, МД, мы можемъ опредѣлять ихъ не менѣе хорошо и проекціями на другія оси.

Ограничимся разсмотрѣніемъ неподвижныхъ осей Ох, Оу, СД; означимъ, соотвѣтственно, черезъ X0,Y0,Z0 и черезъ Ln, М0, N0 проекціи на эти оси внѣшней силы и внѣшняго момента въ какой-либо точкѣ М деформированной среды; черезъ F0, G0, Hft и J0, Jo, K0 проекціи усилія и момента деформаціи на поверхность, внутренняя нормаль къ которой, до деформаціи, имѣла направляющіе косинусы 1^,т0, п0; черезъ А,-, В.,-, Q и черезъ Рг, (Д-, К,-—проекціи усилія (Л',-, В',-, СД-) и момента деформаціи (Р'#, O',-, К'Д Преобразованныя изъ предыдущихъ соотношеній, очевидно, будутъ таковы:

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

48

КОССЕРА Э. и Ф.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

654

(27)

t)Aj

<Э*о

^А2

дЦй

ко

у _____ФВ2 t)B3

° <К'о дуо А[0

Z = ()Сі I дС2 I дСз

0 dijo ^о’

ду

дІІ

т _ аР1 I ^р2 I ^3 I г дЧ , г °У , г «’.I R <4

ьо — і---------Г' ~;-----1—г~ “г м т----------г '-г 1-----г <~з ч---------£>і ч—

дха Oju ду{і 1 At о 1 й djo J c)r(| J

^4 <А'о

ВЙ^-В3А,

<40

d!/e

О'о

^3+А1 А 4“А2 А + А3 А

N Аі 4.

0 Аѵ0 ду0 1 <^0

Жа 4

<ко

■ г)К

А

ЙХо

А

с)г/0

А

<^0

дх

А',,

„ г)х ,, dx

- 1-----03 Т" *

ОУО А-0

.а А_д А

л2 з-----л3 Ч-^ ’

o'/о Жо

(28)

s + B^ + B^ + b/A-A.A-

Ат0 2 ду0 3 с):^ 1 дхй

/ Fo — ^0А1 4" щА -2 4“ "оАз >

G0 = /цВі + «?оВз -f «о^з)

Н0= /0С, -}- т()С.2 + щС^,

Іо — ІоРі 4- "'0Р2 + «А >

Jo = loQl 4~ w'oQ2 “4 ttoQ3?

Ко = Z0Rl 4“ m0R2 4* »oR3 *

Зависимости эти обобщаютъ, для трехъ измѣреній, уравненія лорда Кельвина и Тэта для одного и двухъ измѣреній, а также и уравненія, разобранныя нами въ прежней нашей работѣ; мы можемъ преобразовать ихъ такъ, чтобы получить обобщеніе хорошо извѣстныхъ уравненій теоріи упругости, относящихся къ усилію. Обозначая, какъ всегда, черезъ S поверхность среды (М), соотвѣтствующую поверхности (S0) среды (М0), обозначимъ, сверхъ того, черезъ X, Y, Z, L, М, N проекціи на Ох, Оу, О^ внѣшнихъ силы и момента, приложенныхъ къ М и отнесенныхъ къ единицѣ объема деформированной среды (М), и черезъ F, G, Н, I, J, К проекціи на Ох, Оу, 0% усилія и момента деформаціи, производимыхъ въ точкѣ М на поверхность S, отнесенныхъ къ единицѣ площади S. Введемъ, кромѣ того, восемнадцать новыхъ вспомогательныхъ рхх, ..., qxx,____ посредствомъ формулъ

дх

г)х

дх

■4рхх — Аі “ + А2 7GT 4* Аз — > dgxx — Ріу^4“ІЭ2™+В

дУо

'ЧО

ух

=Ai4+a4'-+Aj^

дха Otjo <1

OXn

дц

дх

Ьо <4о

ду

го

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^-Рі£ + Р!^ + Рз^’

= A.ilj-Д.ІІ^Л.ІІ

fk

Jpix _А| А+А2"4'+Лз А- 4<і^—рі А + р2 ~+р

кч

дх*

дуо

А г их

А2> Qi> Аз’ Qn

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 49 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

Значеніе восемнадцати новыхъ вспомогательныхъ рхх, ..., qxx, ..., непосредственно вытекаетъ изъ найденныхъ нами зависимостей. Въ самомъ дѣлѣ, ясно, что коэффиціенты рхх, р pxz при /, въ выраженіяхъ для F, G, Н, представляютъ проекціи на Ох, О у, 0^ усилія, производимаго въ точкѣ М на поверхность, внутренняя нормаль къ которой параллельна Ох, а коэффиціенты qxx> qxy, qxz при /, въ выраженіяхъ для I, J, К,—проекціи на Ox, Oj, 0,j момента деформаціи въ М, относящагося къ той же поверхности. Коэффиціенты при т и п получаютъ аналогичное истолкованіе по отношенію къ поверхностямъ, внутреннія нормали къ которымъ параллельны Оу и О^.

Понятія объ энергіи деформаціи и естественнаго состоянія представляются здѣсь все еще въ точности такими же, какъ для линіи и поверхности; при разсмотрѣніи безконечно малой деформаціи, они непосредственно ведутъ къ теоремѣ Клапейрона.

і8. Сплошная среда въ обыкновенной теоріи упругости. Неизмѣняемое тѣло. Общія соображенія, сдѣланныя нами въ концѣ п°з,

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

50

КОССЕРА Э. и Ф.

656

по отношенію къ неизмѣняемой линіи, и въ началѣ п° 5, по поводу понятій о скрытомъ трехгранникѣ и скрытомъ дѣйствіи, распространимъ! не только на измѣняемую поверхность, какъ мы это уже и говорили въ п° 13, но и на измѣняемую среду, разбираемую нами теперь. Предположимъ, что W зависитъ только отъ количествъ х0, г/0, £?:> Vf> ?іі

но не отъ pit qif г{, въ этомъ случаѣ, уравненія п° 17 приводятся къ слѣдующимъ

Z0 =

д д\Ѵ + д д\У + д r)W д\У

дх9 ^ дх ко ко , дх ’ 20 — д\ь *

ко Фо

д д\Ѵ і д д\У 1 д д\У д\У

дх(І д ду дуо д 1 Фо д дч ’ .!Д0 — ді-2

дхп ко Фо

д д\У д д\У + д д\У = д\У

дХ() д ()1 ко д Гк Фо д ^ ’

<>-Ч ()Уо Фо

гдѣ )„2, )3—три параметра, посредствомъ которыхъ выражаются а,

дх

а',--■>", а W—функція только отъ у0, *0, , ..., , ).1? )-2>

значеніе й0, 'Л>і0, ?і0 такое же, какъ въ п°4. Разсмотримъ случай, когда

становятся такими:

( 1 £ ''О д\У дЛУ

Qyl 1 II С - °’ —г О гі,3

р Ф/ 1 (■' Ф/ _1 Р Ф/ 13 k R к гг fk „

ЧтгтЧтгтЦт------------йіт:-ь2 77-ьз ТГ — °І

().Ѵ0

к

1 дхп

ко

г),

дУо

дх

'40

к

дха

дх

ко

дх

40

дх

“Ь А2 ——1- A3--С, —---С2 —---С3 -J— — о,

ко

В,р- + В * + В, А — А,р— аЛ - А,

с,лп d‘Jt) ко ''А'о дуо

ко

ду

(Ь,1

= О,

то-есть pys=pzy, pxx = pxz, рху~рузг> зависимости,—истолкованіе которыхъ не представляетъ затрудненій.

Установивъ это, замѣтимъ, какъ и раньше, что, если исходить отъ двухъ положеній (М0) и (М), предполагаемыхъ данными, то можетъ статься, когда три функціи $?0, 'Ш0, 9і0—нули, что такой результатъ явится слз'чайно, т,-е. лишь для нѣкоторой совокупности частныхъ деформированныхъ срединъ; но можетъ статься, что случай этотъ будетъ имѣть мѣсто и для любой деформированной среды (М), вытекая изъ формы функціи ЛУ. Разсмотримъ этотъ послѣдній случай, особенно интересный; трехгранникъ скрытъ вполнѣ, и можно считать среду просто точечной; тогда, \Ѵ—простая функція отъ (ij, ^».2, и отъ шести выра-

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 51 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

б57

женій у;, опредѣляемыхъ формулами п° іб, а уравненія п° 17 приводятся: или къ такимъ

^ 0 ^ ^ і Гі^ *) ’ F о — ?о -АД -f- w0A'2 -j- щ А‘

з»

^ 0 ( Дг- f 1 ^ G'o — h\ В\ -Д т(} РД Д щ Р>'3,

2 0 — 2 ( (Д Рі ® і ~ ^ г ) ' й'0 — /0 С\ -j- т0 С'2 -f п0 С'з,

Л' _ A(t dW r)W ЛѴ\ )

a‘-A5'*7+^ + ^J !

3W АЛЛ'.

• (І, j, k—I, 2, 3),

гдѣ

В' _ Ww <>W «АѴ , <AV\

Д/ v Д* w Д?

C't = /I l r(. -A -f £ A 1

Af- A + Д*

или же къ такимъ

гдѣ

и

+Д! До + <Э-А3 До ’ Во — А + «*оА2 + «0А3

+ ы + ^В3 До Во — /о Ві + т0 В2 Д «0 В3

і 2 + ас3 До ’ В^о = /о Сі + Щ С2 + «о С8

А,= = S| дх <>Х(І ^ W ^'_L ^3 1 Г До _ дх ^2 3— > До

А2 = дх _ <А

д дх дх Л <3 V

А3 = Н 2 НН у 1 До Q, — ’ До

В1 = бі д + дх0 ^ V Д L w Д ~Г~ ’ До

в2 = НН — 3 _Д і dr0 о Д , ■'2¥+ Э-и ^ д^’

в3 = НН ^2 dij <А + w Д л_ -‘^ + о дЧ '3 До ’

Сі = йі — + дх0 н.Д+ До w д До’

С2 = Лз А+ ■Ц,Т О Д I . ~г^+' - д До ’

С« = ; — 2 Д I , ^0 + ‘ * А . 1 До р А -3 До’

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Руков. теор. мех.

42

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

52

КОССЕРА Э. и Ф.

6л8

„ д\У д\\г

если, для краткости письма, положить Ц;= -—, Е; = -г— 5

дв} дуі

или, наконецъ, къ такимъ

гдѣ

ѵ дРхх j дРцх і '>Р ZX

у _ дрху I dp. дх ду

уу.

dps

4

dPzz

у____ dpxz I dpys ,

дх + + d-

іГо, (te.

d L '1 ^А‘о

F Ірхя "Ѣ" тРуX 4- ttpzx •)

G = Ірху ~І“ тРуу ~Ь npzy ? Н = Ірха + тРу: + «Рея >

+ 2 Н|

О

дх дх

4/о <4о

, _ г).ѵ дх , _ дх дх

+ 2^2^г г + 2^з

<4о Эд0

dxQ dij

і]

и аналогичныя формулы для рух_______Какъ видно, мы снова находимъ

сплошную измѣняемую среду, которой занимается обыкновенная теорія упругости.

Интересный частный случай получится, если разыскивать, при какой формѣ функціи W мы будемъ имѣть тождества pys — о, рзх = о,

дх

рху — о, каковы бы ни были——»---Находимъ, что W должно быть про-

стой функціей отъ х0, г/0, и отъ выраженія d, опредѣленнаго въ п°15, и что

_ _ д\Ѵ

рхх — Руу Pzz ^ J *

Если предположить, что \Ѵ зависитъ только отъ d и положить р = -j-j > и если X, Y, Z— даны въ функціи отъ х, у, £, то уравненія приводятся къ слѣдующимъ:

X

_ дР

дх

Y = , Z = ^, F = Ip, G = mp, Н = пр,

т.-е. къ уравненіямъ, служащимъ основою для Гидростатики. Если функція W скрыта, то ^ — вспомогательная, значеніе которой хорошо извѣстно.

Будемъ исходить отъ среды, для которой, при скрытомъ трехгранникѣ, W—есть функція отъ лс0, j/0, вІУ •у*. Мы можемъ себѣ представить, что наше вниманіе обращено только на тѣ деформаціи среды, для которыхъ в; = Yp =o. Достаточно, въ опредѣленіяхъ силъ и т. д., ввести эти предположенія и, если силы даны, то ввести и эти шесть условій; въ этомъ послѣднемъ случаѣ, обычныя задачи, соотвѣтствую-

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 53 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

659

щія заданію функціи \Ѵ и общему случаю, когда е.,-, у.г не нули,—могутъ быть поставлены только при частныхъ данныхъ. Если мы предположимъ, что задана только функція \Ѵ0, получаемая изъ \Ѵ при = уі — о, что значенія производныхъ отъ \Ѵ по е{ и , при = уг- ~ о, неизвѣстны и что, такимъ образомъ. ЛѴ скрыта,—то мы увидимъ, что, напр, рхх..-pgg, становятся шестью вспомогательными, которыя надо присоединить къ х, у, такъ что, для случая, когда силы, дѣйствующія на элементы объема, даны,—мы будемъ имѣть д уравненій въ частныхъ производныхъ, съ девятью неизвѣстными. Интегралъ системы €і = = о соотвѣтствуетъ перемѣщенію совокупности среды,

предполагая, что она деформируется непрерывнымъ путемъ; стало быть, остается опредѣлить шесть постоянныхъ интеграціи и шесть вспомогательныхъ рхх, ...,pzz\ какъ видно, если оставить въ сторонѣ опредѣленіе этихъ послѣднихъ,—мы снова сталкиваемся съ обычными вопросами Механики неизмѣняемаго тѣла.

Мы можемъ также представить себѣ, что требуется разсмотрѣть среду sui generis, въ опредѣленіи которой уже приняты въ расчетъ условія a? =Y?: — °* Будемъ исходить отъ тождества

тождество ЭТО должно быть пригоднымъ только ВЪ силу 6І = '(І = °, и мы приходимъ къ необходимости прибавить къ 6W, въ интегралѣ первой части, выраженіе щ + \t2 6s.2 + Уз *'з + Уд rfYi + + lJ6 <*7з,

содержащее шесть вспомогательныхъ функцій [л1? отъ х0, г/0,

Слѣдовательно, мы снова сталкиваемся съ теоріей среды, соотвѣтствующей функціи \УХ = \Ѵ -\- ці с, -j- • • • -j- jj6 73, для которой ограничиваются изученіемъ деформацій, относящихся къ — -f.,; = о. Если, путемъ замѣны вспомогательныхъ, примемъ, въ функціи \Ѵ, въ расчетъ эти послѣднія условія а priori, то мы просто должны примѣнить теорію къ функціи Pi Cjl -(- • • • 4- рц y3 и, предполагая, что и, ... |л6 не извѣстны, снова придемъ къ такой теоріи неизмѣняемаго тѣла, которую можно создать на основаніи идей Лагранжа.

Укажемъ, наконецъ, по лорду Кельвину и Тэту, третій способъ образованія неизмѣняемой среды, все-таки подчиненной тѣмъ же уравненіямъ и представляющей предѣльный случай среды первоначальной; впрочемъ, способъ этотъ, какъ и способъ Лагранжа, примѣнима также къ различнымъ случаямъ измѣняемыхъ линіи и поверхности. Вообразимъ, что функція \Ѵ, опредѣляющая первоначальную среду, была бы перемѣнной; для опредѣленности представленія, предположимъ, что, при £,, ..., 7з близкихъ къ нулю, W можно развернуть въ рядъ Макло-рена, по формулѣ

W = \\ф -ф- N\ 2 Н“ ■ • • ^ / + • * • >

42:

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

54

КОССЕРА Э. и Ф.

66 о

гдѣ W* выражаетъ совокупность членовъ і - той степени, и допустимъ, что коэффиціенты въ W2 (которые могутъ зависѣть отъ х0, ij0, ^0), при своемъ измѣненіи, безгранично возрастаютъ; если намъ угодно, чтобы W сохраняла конечное значеніе, мы должны предположить, что e.lt f* стремятся къ нулю; иначе говоря, мы можемъ тогда разсматривать только тѣ деформаціи, которыя удовлетворяютъ si = ^ = о, а тѣло, къ которому мы подойдемъ въ предѣлѣ,можетъ принимать лишь перемѣщенія всей совокупности. Придадимъ сказанному большую точность, считая коэффиціенты въ W2... за такія функціи параметра Ь, что, когда h стремится къ нулю, то коэффиціенты въ W2 возрастаютъ безгранично; пусть, напр., это будутъ линейныя функціи относительно

h

Будемъ предполагать, съ другой стороны, что х, у, % измѣняются вмѣстѣ съ h такимъ образомъ, что ег-, •/і могутъ быть развернуты по положительнымъ степенямъ Ь, причемъ первые члены разложенія будутъ членами съ Ь. При такихъ условіяхъ, W стремится къ нулю, а

t)W дЛѴ . ^ ,

-г— , —— стремятся къ нѣкоторымъ предѣламъ (которые могутъ быть

функціями отъ Х0> у0, £0); уравненія п° іб, служащія для опредѣленія внѣшнихъ силы и момента, приведутъ насъ, въ окончательномъ видѣ Къ формуламъ, въ которыхъ понятіе о функціи W окажется исчезнувшимъ и гдѣ будутъ участвовать шесть вспомогательныхъ F'0, G'0, Н'0, Г0, J'0, К'0.

Чтобы не выходить изъ рамокъ настоящей Замѣтки, т.-е. оставаться въ области Механики въ собственномъ смыслѣ слова, мы должны будемъ ограничиться указаніемъ, что случай, когда функціи й0, ЭЯ0, 9І0— не нули, приводитъ къ разсмотрѣнію такихъ срединъ, какъ напр., сжимающійся эфиръ (ether contractile) лорда Кельвина. Упомянемъ такжет что самый общій случай, когда, въ выраженіяхъ для внѣшняго момента, остается слѣдъ производныхъ отъ дѣйствія W относительно вращеній pit qi, rft приводитъ самымъ естественнымъ путемъ къ понятію о магнитной индукціи, введенному Максуэлломъ.

19. Евклидовское дѣйствіе деформаціи и движенія на сплошную движущуюся среду. Понятіе евклидовской энергіи деформаціи и движенія. То, что мы сказали въ п® 15 по поводу динамики измѣняемой линіи, распространимо безъ всякаго затрудненія и на динамику измѣняемой поверхности. Такъ какъ мы не касаемся здѣсь статики срединъ, зависящихъ болѣе чѣмъ отъ трехъ геометрическихъ параметровъ, то мы изложимъ прямо теорію движенія измѣняемой среды о трехъ измѣреніяхъ. Функціи х, у, %, а, к', будутъ за-

висѣть, приэтомъ, отъ х0, і/о, to, U т.-е. отъ координатъ х0, ij0, *0, опредѣляющихъ положеніе въ мгновеніе /0. Сплошная совокупность о трехъ измѣреніяхъ трехгранниковъ Мх'у'%, для даннаго значенія времени t, будетъ тѣмъ, что мы назовемъ деформированнымъ состояніемъ разсматриваемой измѣняемой среды, для этого мгновенія /; сплошная совокупность о четырехъ измѣреніяхъ трехгранниковъ МУг/У, получаемая при измѣненіи t, оудетъ траекторіею деформированнаго состоянія * измѣняемой

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 55 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

. 66і

среды. Говорятъ, что, въ своемъ первоначальномъ состояніи, въ мгновеніи t, среда находится въ естественномъ состояніи, а ея траекторія если, приэтомъ, мѣняютъ /, будетъ траекторіею естественнаго состоянія, или же естественнымъ состояніемъ движенія среды.

Къ кинематическимъ аргументамъ пг, pit qt, ?-г- п° іб прибавятся шесть новыхъ аргументовъ

(3° bis)

г dx , dy „ dz <; = «—-р , dt dt dt ' = 2^-

т , , п dx dy dz т,-'?л+',Т(+'? *•

dx f dtj * pt Л+1 it' '-2>£

Посмотримъ еще, какъ опредѣлить такую функцію W отъ двухъ безконечно сосѣднихъ положеній трехгранника М.г'гД', чтобы измѣненіе (varition) четверного интеграла ГI Г Г W Jx0 dyо Д0 dt, распространя-

емаго на любую часть пространства (М0) и на промежутокъ времени, заключающійся между мгновеніями tt и t2, равнялось нулю, если подвергнуть совокупность всѣхъ трехгранниковъ того, что мы назвали траекторіею деформированнаго состоянія, одному и тому же, какому угодно, дифференціальному преобразованію группы евклидовскихъ перемѣщеній; мы всегда придемъ къ замѣчательной формѣ W(x0, jy0, ^0, t, £г» Тн, pt, qh rif S, i), £, p, q, г). Будемъ говорить, что интегралъ

представляетъ дѣйствіе деформаціи и движенія внутри поверхности S на деформированную среду, въ промежутокъ времени, заключающійся между мгновеніями и t2, Будемъ говорить съ другой стороны, что W есть плотность дѣйствія деформаціи и движенія въ точкѣ деформированной среды, взятая для даннаго мгновенія, плотность, отнесенная къ единицѣ объема не деформированной среды и къ единицѣ времени; если

. ■ ЛѴ

придать 4 такое же значеніе, какъ въ п° іб, то будетъ плотно-

стью этого дѣйствія въ данной точкѣ и въ данное мгновеніе, плотностью, отнесенной къ единицѣ объема деформированной среды и къ единицѣ времени.

Разсмотримъ любое измѣненіе (variation) дѣйствія деформаціи и движенія (31); путемъ вычисленія, совершенно такого же какъ въ п° іб, мы будемъ приведены къ такимъ формуламъ, какъ (23), (гдѣ надо при-

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

56

КОССЕРА Э. и Ф.

662

дать Л\ ея значеніе для разбираемою случая), и къ шести слѣдующимъ новымъ формуламъ:

(32) А'=~, В'=. ™ Cr = d_W ,__aW aW <ЛѴ

’ '<Ѵ дГ dp' g ~~bf> R =17 5

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

сверхъ того, къ формуламъ (24), соотвѣтственно, прибавятся

члены

(33)

d д\\Т L л aW d\V d aw + У aw aw aw

dt г q ~dE — r — , dr. dt dp dr r дУ + r,

d 3W dW d\Y d aw -hr aw aw aw

dt or. <3; ~РЖ' dt dq dp + К a;

d f)W dW aw d aw +P aw aw aw

dt dS dr, q a; ’ dt dr dq -,¥ + e dr,

dr)

II мы получимъ

(34) *

= [ULP'0'*+ в'!'9 + с’^ + р'гі' + й'Ѵ + R'fc') іх, da, df, J’

, dt

s (~X'^'x + Y'o$'lJ + z'oS\ + + M'05/ + N'(IW) dx0 dy0 dZl

Назовемъ количествомъ движенія и моментомъ количества движенія въ точкіь М деформированной среды (М), въ мгновеніе і, отрѣзки, начало которыхъ въ м, а проекціи на оси Мх', Щ, М*' соотвѣтственно суть А', В', С' и Р', Q.', R'. Будемъ говорить, что первые члены внѣшней силы Х'в, Y'0, Z'0 и внѣшняго момента L'0) М'0, N'0 опредѣляемые вторыми частями формулъ (24), гдѣ W должно принять значеніе

dt.

Y (Y0> Уоf цъ t, pi, ip, ri} £, r„ p, qt r),

представляютъ статическую часть этой внѣшней силы и внѣшняго момента; добавочные члены (33) будутъ ихъ динамической частью. Кромѣ того, какъ и въ п° 17, мы можемъ ввести различныя спесификаціи усилія и момента деформаціи, равно какъ количества движенія и момента количества движенія. Вторыя части формулъ (25) составятъ статическую часть внѣшнихъ силы и момента; часть динамическую, которую надо будетъ къ нимъ прибавить, дадутъ выраженія

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 57 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

663

--\-qC~ гВ\ Е- + qR’ — rQl Й ДС' — £В',

‘El + г а' ~рс, Ef + rF' _pR> + СА' _ ІС\

-jj+pB' — qA', El + pQ' — qP' -f SB' — TjA'.

Относительно осей Ох, Ог/, О^, статическая часть внѣшнихъ силы и момента опредѣлится вторыми частями формулъ (27), а если означить черезъ А, В, С и Р, Q., R—проекціи количества движенія и момента количества движенія на оси Ох, О у, О 4, то динамическая часть будетъ дана выраженіями

<ІА dP „ dy т, di

Л> л + ст>-вШ'

ав dCt . д dz „ dx

dt ’ dt+ dt~ It’

dC rfR r>dx . dij

It ’ 1i~h Tt~A It’

точно также, къ статической части, представляемой вторыми частями формулъ (29), прибавится часть динамическая, опредѣляемая слѣдующими выраженіями

і dA 1 ^Р С dy В dz

Jit* J dt'h1t~Li1 ’

i rfB 1 dQ_ 1 A C dx

lit * ~3~dt 7t~ lit*

£_ dC i dP В dx A di/

Jit* ~31Г~^ ~A It ~ Jdt"

Если мы напишемъ равенство (34) въ формѣ,

(35) ^ j / J j J s "W dx0 dy0 о dt = — 1<&е,

гдѣ 6&е будетъ возможной внѣшней работою и можетъ принимать различныя выраженія, смотря по спесификаціямъ для усилія и момента деформаціи, для количества движенія и момента количества движенія. Такъ какъ йЛДг должно быть тождественно нулемъ для любого возмож-

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

58

КОССЕРА Э. и Ф.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

664

наго евклидовскаго перемѣщенія, въ силу неизмѣняемости ЛѴ въ труп пѣ евклидовскихъ перемѣщеніи, то будемъ имѣть соотношенія:

и другія равенства, аналогичныя этимъ. Такимъ образомъ, мы получимъ обобщеніе теоремы Сенъ-Гильема, и, вводя понятіе импульса, обобщеніе классической теоріи импульсовъ.

Замѣтимъ, что настоящее изложеніе включаетъ въ себѣ, какъ частный случай, статику измѣняемыхъ тѣлъ; въ самомъ дѣлѣ, достаточно взять возможное (virtuelle) видоизмѣненіе, обратимое (reversible) дѣйствію (въ смыслѣ Дюгема), вмѣсто того чтобы разсматривать, какъ дѣлали это мы, возможное осуществимое видоизмѣненіе.

Замѣчаніе это приведетъ насъ къ понятію объ энергіи деформаціи и движенія. Зададимся опредѣленіемъ, для дѣйствительнаго видоизмѣненія, работы внѣшнихъ силъ и моментовъ, а также внѣшнихъ усилій и моментовъ деформаціи, въ теченіе какого-нибудь промежутка времени; для этого, намъ достаточно вычислить элементарную работу за время dt. Послѣдняя такова:

если замѣнить здѣсь Х'0, У'0, ... , F'0) G'0... ихъ выраженіями въ функціи отъ дѣйствія и произвести вычисленіе обратное тому, которое привело къ ихъ опредѣленію, то, въ силу уравненій Кодацци, непосредственно получимъ,

■<

:я.

ж

sc

Ж

о ~t~ о * • •) dxo dyo d^o

T|G'0 ...) do dt;

если положить

(37)

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 59 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

665

Если разсматривать, въ частности, случай, когда W не содержитъ t

(JW • „

явно, такъ что —равно нулю, то предыдущее значеніе ооращается въ

дифференціалъ по времени отъ выраженія

которое можетъ быть названо энергіей деформаціи и движенія во мгновеніе t.

По поводу сказаннаго нами до сихъ поръ, можно сдѣлать нѣсколько весьма существенныхъ замѣчаній, которыя найдутъ себѣ новое примѣненіе въ послѣдующей теоріи евклидовскаго дѣйствія.

Только одного понятія объ евклидовскомъ дѣйствіи деформаціи и движенія достаточно для того, чтобы, въ весьма распространенномъ случаѣ, дать намъ стройное (constructive) опредѣленіе количества движенія и момента количества движенія, усилія и момента деформаціи, внѣшней силы и внѣшняго момента. Сдѣланное нами различіе между динамической и статической частью внѣшней силы и момента, различіе, которое сводится къ группировкѣ съ одной стороны только членовъ содержащихъ динамическое ускореніе, а съ другой — членовъ только содержащихъ то, что можно назвать кинематическимъ ускореніемъ,— очевидно, выражаетъ собою расширеніе начала д’Аламбера.

Точно также, разсужденіе, которымъ мы пришли къ понятію объ энергіи деформаціи и движенія, показываетъ, что есть нѣкоторый родъ раздѣленія этой энергіи на двѣ части: одну—динамическую, другую—кинематическую; если мы предположимъ внѣшнюю работу равной нулю, то энергія деформаціи и движенія—постоянна, а слѣдовательно динамическая и кинематическая совокупность этой энергіи остается неизмѣнной во времени; стало быть, мы получаемъ понятіе о сохраненіи энергіи, которое является простымъ переводомъ гипотезы, что среда изолирована отъ внѣшняго міра. Слѣдовательно, мы снова находимъ всѣ основныя идеи классической Механики, и ясно, что та частная форма, которую онѣ принимаютъ въ этой послѣдней, происходитъ отъ того, что въ ней разсматривается только состояніе движенія и деформаціи безконечно близкое къ естественному состоянію, гдѣ предполагается, что дѣйствіе \Ѵ и его производныя равны нулю.

Сдѣлаемъ еще и то замѣчаніе, что дедуктивный путь, которому мы слѣдуемъ, устраняетъ возраженіе Карно, высказанное имъ еще около вѣка тому назадъ, противъ обратнаго хода въ классической Механикѣ. Въ этой послѣдней, сила и аналогичныя ей количества—понятія апріорныя; правда, динамическая сила можетъ быть опредѣлена такъ, какъ это выражено во второмъ законѣ движенія, установленномъ Ньютономъ въ его Началахъ (Principes); точно также, силу статическую, если угодно, можно считать опредѣляемой закономъ Г ука, когда деформація безконечно мала [какъ это и предлагалъ Ричъ (Reech)]; на-

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

60

КОССЕРА Э. и Ф.

666

конецъ, сила, относящаяся къ состоянію деформаціи и движенія, можетъ выражаться началомъ д'Аламбера; но такія опредѣленія, обладающія нѣкоторымъ характеромъ случайности и произвольности, надо подчинить еще тому условію, чтобы они, въ свою очередь, удовлетворяли апріорному началу сохраненія энергіи, а вводя энергію, какъ понятіе метафизическое, мы только отодвигаемъ этимъ затрудненіе назадъ. Не такъ обстоитъ дѣло съ евклидовскимъ дѣйствіемъ, изъ котораго у насъ вытекаетъ все; оно аналогично разстоянію между двумя безконечно сосѣдними точками, а слѣдовательно, просто выражаетъ идею измѣренія (мѣры, mesure) въ явленіяхъ, и приэтомъ такимъ способомъ, который освященъ всѣми предшествующими опытами.

Казалось бы, наконецъ, что общность формы дѣйствія, усвоенная въ нашемъ изложеніи и отвѣчающая состоянію любого движенія и деформаціи, оправдывается не только разсмотрѣніемъ критическихъ явленій движенія и деформаціи, но также и тѣмъ обстоятельствомъ, что она вводитъ правильный и однообразный методъ, которому надлежитъ слѣдовать въ концѣ-концовъ, даже и тогда, когда ограничиваются состояніемъ безконечно близкимъ къ естественному состоянію, чтобы доказать или удовлетворить закону сохраненія энергіи.

IV. 6ві<лидовсі<ое дѣйствіе на разстояніи. Дѣйствіе принужденія и разсѣивательное дѣйствіе.

го. Евклидовское дѣйствіе деформаціи и движенія на среду не сплошную. Возьмемъ систему отдѣльныхъ п трехгранниковъ (sy-steme discret (!)), гдѣ каждый трехгранникъ будетъ отличаться отъ другого указателемъ і, принимающимъ, послѣдовательно, значенія і, 2, ... гг. Пусть, —трехгранникъ съ указателемъ г‘, координаты

вершины -Мі котораго суть x.h уі} а направляющіе косинусы осей Мjx'i, Мjy'i, М,,/,-, по отношенію къ тремъ прямоугольнымъ неподвижнымъ осямъ Ох, Оу, О-, суть асс%:, /?",■; Ъ, -{<■> т"г- Будемъ

предполагать, что количества хг, yit щ, к'г, ...у",; представляютъ функціи времени t и введемъ шесть аргументовъ тІг-, pif qif rif опредѣляемыхъ формулами (30 bis), съ указателемъ і.

Разсмотримъ функцію W двухъ безконечно сосѣднихъ положеній системы трехгранниковъ Мрг'г:г/,д'г-, т.-е. функцію отъ t, отъ хі} ijh ft,:, а'і, и отъ ихъ первыхъ производныхъ по t (гдѣ і прини-

маетъ значенія і, 2,..., и). Зададимся опредѣленіемъ, какова должна быть форма функціи W, чтобы эта функція оставалась неизмѣнной при всякомъ дифференціальномъ преобразованіи группы такихъ евклидовскихъ перемѣщеній, какъ (9). Замѣтимъ, что зависимости (30 bis) по-

(*) Въ противуположность непрерывной (сплошной) системѣ трехгранниковъ.

Примѣч. переводи нка.

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 61 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

667

зволяютъ, при помощи хорошо извѣстныхъ формулъ, выразить первыя производныя по t отъ девяти косинусовъ сД, ... у''і посредствомъ тѣхъ же самыхъ косинусовъ и количествъ pit qf, rit а съ другой стороны, выразить девять косинусовъ еу, гД, . ..,кД при помощи и первыхъ производныхъ отъ xL, у), fa п0 t. Стало быть, въ окончательномъ видѣ, мы можемъ выразить искомую нами функцію W въ функціи отъ t, отъ X;, уі, fa, отъ первыхъ ихъ производныхъ и, наконецъ, отъ £(-, ту, £;, pi, qi, ?у, что мы и сдѣлаемъ, написавъ

Такъ какъ, въ настоящемъ случаѣ, измѣненія d;,:, 2Д-, Ьр), lqit Sr.)

равны нулю, какъ это вытекаетъ изъ хорошо извѣстной теоріи движущагося трехгранника, то, для новой формы функціи W, мы должны писать, что, на основаніи формулъ (9), взятыхъ съ указателемъ г, при какихъ угодно аІ7 а2, а3, мІ5 будемъ имѣть

Y /oW

К

, , дѵ . aw

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

----- ОХ) Н------Oil) -\------67;

дХ) Оу.) Ofa

. ()W tlx, t)W . dii) . r)\V . dfa

л--------6 .—- -4- ------£ —^ H----------о —-

4 dx; dt , dii-; dt dt

д -Д d d~

dt dt dt

)

= o.

Замѣнимъ dx.:, hu, bfa ихъ значеніями (9), a , S значенія -

n Jl w dt dt dt

ми, получаемыми изъ нихъ посредствомъ дифференцированія; приравняемъ нулю коэффиціенты при аІ5 а.г, а3, ©j ,гю2, ю3; получимъ слѣдующія условія

<38)

^ (Щ _____

Jami дх

^=°’ 2

ДѴ

’У дѵ _

и

(39)

2/ aw aw , dii,- aw dii aw

(к-,— + ^— ■----^—l=o.

(•

dii ' дуі dt ^dfa dt dtp

dt d}

)

и двѣ зависимости, аналогичныя этимъ.

Если мы предположимъ, что точки (лу, у;, fa) моіутъ описывать всевозможныя траекторіи, то мы придемъ, такимъ путемъ, къ тождествамъ,

удовлетворяемымъ функціей W отъ 6п аргументовъ х{, у,-, ц,

dt dt dt

и прежнихъ аргументовъ £у, т,,-, pi, <ін /у, которые, на время, мы можемъ откинуть. Попытаемся выставить на видъ форму, которую принимаетъ при этомъ функція W.

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

62

КОССЕРА Э. и Ф.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

668

Начнемъ съ разбора случая системы трехъ уравненій

(4°)

; = і

і=р

опредѣляющихъ функцію \Ѵ отъ 3 п аргументовъ xt, у{, Мы уже имѣли дѣло съ такой системою, по поводу динамики точки и статики линіи, поверхности и сплошной среды о трехъ измѣреніяхъ, для случаевъ р — і, р — 2, р = 3. Оставимъ въ сторонѣ случай р — і, когда три уравненія сводятся къ двумъ. При р = 2 и р = 3, мы получимъ три уравненія, образующія полную систему. При р = 2, будемъ имѣть три уравненія, шесть перемѣнныхъ и три независимыхъ рѣшенія

при ^ — 3, получимъ три уравненія, девять перемѣнныхъ и шесть независимыхъ рѣшеній

Хі1 У? + Z? 0' = І, 2, з), + (/, / = j, 2, з).

При р > з, система все еще полная; чтобы въ этомъ убѣдиться, достаточно показать, что она допускаетъ 3р — 3 независимыхъ рѣшеній, причемъ число уравненій 3, а число перемѣнныхъ 3р; въ самомъ дѣлѣ, прежде всего, мы имѣемъ р рѣшеній

и наконецъ 2 (р — 2) рѣшеній

ліхг “ЬУіУі КіZb х-іхі -Ь ЧіУі “Н Z2Zt 0 == з> 4> 5і • • * > р)>

всѣ независимыя между собою. Стало быть, W—функція отъ 3 (р— і) независимыхъ аргументовъ, которые мы только что перечислили. Возвратимся, теперь, къ заданной системѣ, образуемой условіями

**2 + у*2 + Zi2 О — 1 ? 2), х{ х2 + Уі 7/2 + zi z-2;

затѣмъ, рѣшеніе

хі -ѵ2 + У1 Уч ZlZ-2 і

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 63 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

669

(38) и (39). Условія (38) показываютъ, что W зависитъ отъ . ..,а-п, yt, ■ ■ •» !/и) К\і • ■ •> Zn только черезъ посредство выраженій

Хо — Л'2 Л'і , Хд -------- -Тз АЗ >

Y2 = )'-2 ' {/1 1 Y3 = Уз — 13 ,

Z2 — -£3 ----------11 >

Z

з — -£з — !

Х,г — хп

*1 ,

Y« — Уп Уі >

Zw — "f и '

■U *

Положимъ, съ другой стороны,

dXj

dt

= Х

и 4- і >

dt

= Y,

Л + і >

d\i___ ^

и напишемъ, что уравненія (39) удовлетворяются функціей W отъ аргументовъ Х2, Х3, • • •, Х2„, Y2, Y3, • •., Y2,j, Z2, Z3, ..., Т-2ѣ • Возьмемъ, напр., первое изъ уравненій (39); находимъ

д\ѵ . т . , лѵ\ , /aw , aw , , aw\

~ vdZ; + дГч + " ‘ ^ ) + Й ( лг + ^ѵ- + • • • +1ѵ)

dZ

п, 4aY2 aY3 ' ’ ’ c)Y„у

* cW

c)Z.2 ѵгі ‘ “a'()Ya

<)W aw

+ (»i+Ya)5f-(«I + Z>)^- +

= о;

Уі и ^ исчезли, и остается первое изъ уравненій

V /ѵ dW 7 _

; — 2

v /V у aw\ 2ilz‘ix;-x‘srJ = 0’

1 = 2

Д(х'ж-Ѵ(ш=0'

i = 2

Слѣдовательно, мы сталкиваемся съ системою (40), въ которой .г;, гу, ^ замѣнены черезъ Хг + 1, Y^ + j, Z,-+1, ар черезъ 2п—і.

Если мы предположимъ, сначала, что п = 2, то увидимъ, что W, не считая аргументовъ ?г-, £,.н pit qif rit будетъ функціей отъ независи-

мыхъ выраженій

Х22 4- Уза 4- Z22 = (jfg - дД2 -[- (у2 — Уі)2 ф- Й2 — 11 )2,

Хз2 + V + (I1)2 + + (&)* = V - + ^2 •

Х42 + Y,» + Z,2^ (^J + fj + (ijfj У + rt22 + у,

Х2Х3 "Г Y2Y3 + Z2Z3 = Й'2 — Xj) ^ + (у2 — уі) + (z2 — *l) ^ 1

Х.Х« + Y2Y4 + Z2Z4 = (хі — Л'і) 44 + 0’2 — + (<2 ~ 1і) ^

Х3Х4 + Y8Y4 + Z3Z4 = ^ + ^-1 ^ ^ •

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3 4 4- 3 4 -Г 3 4 dt dt ~Г dt dt “Г dt dt

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

64

КОССЕРА Э. и Ф.

670

Поэтому, окончательно, W есть функція отъ t, Е*, r\f, ^,р}, qit Гі и отъ

четырехъ аргументовъ

(х.2 Х^)2 -j- (у., — Г;)2 (х2 — ^j)2,

<*» - *і) 1? +(» ~ «> л + '

<х,‘ -х,) \і? + •

^2,

гIt dt dt dt dt dt

Если мы предположимъ n > 2, то увидимъ, что \Ѵ, не считая аргументовъ Eh Y|,‘, /)г., </г., г-і, будетъ функціей отъ 6 (и— і) независимыхъ

выраженій

Х,2 + У2 + 2г*=,

или (х,;—лті)2 + (2/г — Уі)2~+~(-Гі — ^і)2 0'=т,2> •••> и),

или

(§)*+($+(£ T-y+^+w.

^2^з~Ь Y2Y3 + Z2Z3 —(х2—xt) (х3 — xj_) + (//2 — уі) (f/з— ?/і) — fe—-и) (-із — гі)

/ ИЛИ (х2—Xj) (х — xt) -1- (у9—Уі) (Уі—Уі) + fe—Кі) (лі 'll)

Х2Х( + Y2Yi + Z2Zi= |или *L*+ (и_й) iji + (й_й) ,

|ИЛИ (х3-Хі)(х; хі)-Г(Уз—Рі)(і/і—!/і) + Сіа—Ті) (&—<Сі>» Ѵз^ + ад-^или (х3 — х,) ^ + (й — Уі) ^ + (*з —?t) %

Л

с//

Обратимъ вниманіе, что

(Хг; — Ху) (Хг- — Х'і) + (IJi — IJj) (уі — ук)

Ссг ' ‘ у) (\г \к) ■ ~ "Н ^ ^гі:

— г2,.,

/*/) ?

гдѣ г—разстояніе между двумя точками системы. Въ силу симметріи, можно привлечь къ участію въ W аргументы не независимые, и тогда, помимо pi, qі, гіу можно взять слѣдующіе аргументы:

»'8(/ = Оч “ Y')2 + (Vi “ !/j)2 + к* — 4')'г ’

ф1 dj/г % 1 iky

Л dt dt dt dt dt '

=<*< -^ "ІГ+ (»■- »> "if + fe - V> f/:

d\fk

послѣдніе содержатъ въ себѣ аргументы съ двумя указателями >,-,7 и

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 65 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

67і

аргументы съ тремя указателями эти указатели участвуютъ только тогда, когда имѣется болѣе двухъ точекъ; какъ видно, въ этомъ случаѣ, дѣйствіе на двѣ точки возбуждается вліяніемъ всѣхъ остальныхъ точекъ. Легко установить соотношенія, довольно сложной формы, существующія между этими не независимыми аргументами; они аналогичны извѣстнымъ зависимостямъ между разстояніями г^, когда число точекъ > я.

Зная выраженіе для евклидовскаго дѣйствія W на взятую систему трехгранниковъ, мы легко можемъ, посредствомъ вычисленій, повторяющихъ тѣ, которыя дѣлались нами раньше, найти выраженіе для внѣшнихъ силы и момента на любой трехгранникъ. Такъ какъ дѣйствіе W—

есть функція отъ хи yh ~ ^ черезъ посредство r,iJ} ф,;/, liJk,

то, прежде всего, удобно считать W за функцію отъ д7, yh ^,

dxj diji dri.; r

~~dt ' ~dt ' dt И отъ > r‘*:’ > Pi’ (1ь ri> оудемъ имѣть:

д _ dw , о f)W I pW

„ r)W

. $4

* ' *d~t ^ гдгн 1 '■

д\Ѵ r)W ,)W = +t

d4i

dn

n , dw aw , aw

tyi

JW

dqi

dr,- ’

R = a" '1P_ I _1_ v" .dEL 1 ldPiP 4( l<>n

гдѣ (A^, B4-, Q) и (P,;, Q_if R,:) соотвѣтственно представляютъ количество движенія и моментъ количества движенія трехгранника съ указателемъ і. И

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

66

КОССЕРА Э. и Ф.

672

гдѣ (X;, Zt) и (ѣг, Nj) соотвѣтственно суть внѣшняя сила и внѣшній моментъ для трехгранника съ указателемъ і\ въ этомъ вычисленіи, останется (что уже не трудно) выставить на видъ аргументы

\ij 1 Фу > ^ ijk ‘

Замѣтимъ, что выраженіе для внѣшней силы оказывается распадающимся на двѣ части; первая—зависящая отъ отрѣзковъ (Аг-, В4-, СД (Р^, Q.^, R*) и отъ ихъ производныхъ—есть часть собственно динамическая; вторая, •— вытекающая изъ присутствія въ W аргументовъ rij> Фу» hjk> соотвѣтствуетъ силѣ, которой подвергается трехгранникъ съ указателемъ г, подъ вліяніемъ всѣхъ остальныхъ трехгранниковъ системы. Разсмотримъ выраженіе

2 [х‘£+Y‘- -If+z‘ii+L‘ *■< *+a «+л

г

+ Mi («'* Pi + P'i Pi + Yi ri) + N, (а"I pi + fi q-i -\r ft Гі) j dt,

представляющее сумму элементарныхъ работъ силъ, приложенныхъ къ различнымъ трехгранникамъ. Если мы ее вычислимъ, замѣняя Х$, Y^, Zi} Lt, Mif предшествующими ихъ значеніями, то, для элементарной работы внѣыіней силы и внѣшняго момента, относящейся къ динамической ея части, находимъ слѣдующее выраженіе:

_(Ш^ .dWdrt _цд^у|

\%t dt ^ drit dt + "■ 1 drt dt)\at’

аналогичное тому, которое мы уже получили въ п° 19, а для элементарной работы, относящейся къ силамъ, дѣйствующимъ между трехгранниками системы:

dt

dxi д\Ѵ , dVi I d\i d\V \

Л а dxi 1 dt ^ dyi 1 dt d ^ ;

V dt dt dt J

/ д\Ѵ d~x, : 1 dW dPiji 1 aw d2Z,:

дСІХІ ~dfi 1 diji dfi “Г -Л , iki dfl

у dt dt dt

, dW dxi 1 dW d)’i 1 aw

dxt dt d)’i dt 1 дц

d%i

dt

dt.

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 67 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

673

Если мы сложимъ оба эти выраженія и положимъ

Е=У

aw

<)&

aw

1 ar,;

aw

ад

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-pi

aw

dPi

aw . aw

9i TГТ'-»тг

агг-

^ д\ѵ ^л/г. aw dit aw

— W

a — dt a ^ ^ д (ki

dt dt dt

то увидимъ, что сумма элементарныхъ работъ такова:

_ . aw ,

(fE ■ -—-— dt:

1 dt

предполагая W независимымъ отъ t и придавая Е наименованіе энергіи движенія и положенія разсматриваемой системы трехгранниковъ, мы получаемъ предложеніе, совершенно аналогичное таковому въ п° 19.

Изъ предшествующаго, нетрудно вывести динамику системъ, обосновывая ее по такому же плану, какъ и въ классической теоріи, но не ограничиваясь, какъ въ этой послѣдней, разсмотрѣніемъ центральныхъ силъ. Настоящее изложеніе представляетъ, кромѣ того, еще и ту выгоду, что ставитъ въ связь съ дѣйствительнымъ ихъ происхожденіемъ различные законы силы на разстояніи, изслѣдованные Гауссомъ, Риманомъ, Веоеромъ и Клаузіусомъ, которые всѣ вводятъ исключительно аргументы гд, іу, Дд. Не будемъ останавливаться на этомъ вопросѣ, выходящемъ изъ традиціонныхъ рамокъ Механики и интересующемъ въ особенности теоретическую Физику.

2і. Евклидовское дѣйствіе принужденія и разсѣивательное евклидовское дѣйствіе. Подробно изложенныя нами соображенія по поводу евклидовскаго дѣйствія на разстояніи приводятъ самымъ естественнымъ путемъ къ понятію о принужденіи, установленному Гауссомъ и примѣненному, какъ извѣстно, Герцомъ къ изученію основъ Механики, слѣдуя пути, уже пройденному Бельтрами, Лишиицомъ, Дарбу.

Пусть, для упрощенія, дана точка, описывающая, свободнымъ движеніемъ, траекторію, опредѣляемую тремя функціями х0 у0 отъ времени і\ означимъ, съ другой стороны, черезъ х, у, % функціи отъ времени t, опредѣляющія траекторію точки, когда она подчинена связямъ. Мы можемъ разсматривать двѣ точки (х, у, z), (х0, у0, z0), координаты которыхъ получатся, напр., изъ формулъ

ѵ___ і dx , 1 d2x , „

~ dt ^2 dfi 1

di+i§d'2’

г=<+!л+^л2-

Руков. теор, мех.

. f/.Ѵл , . I d^Xr, , .

x0 — *0 + -Jib dL%’

2 dfl

Уо — Vo

dt 2 dtJ

— \0 +

dt +1

dt

2 dt2

dP,

43

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

68

КОССЕРА Э. и Ф.

674

происходящихъ отъ строки Тайлора, ограниченной тремя первыми членами. Допуская, что связи безъ тренія, можно написать, что, въ разсматриваемое мгновеніе t,

*0 > У — Уоэ \

_______ d jj____

dt dt ’ dt dt ’ dt dt

Тогда, по разсмотрѣніи для точекъ (x, у, z) и (x0, y0, z0), разстояніе между которыми означимъ черезъ г, евклидовскаго дѣйствія на разстояніи, ІД (г),—понятіе о принужденіи, введенное Гауссомъ, сводится къ замѣнѣ г его значеніемъ, такъ что мы приходимъ къ функціи U съ аргументомъ у, опредѣляемымъ изъ формулы

у2 —:

d'2x

dfi

, і (dh _ ^уо\2 . _ fio'

dt* j *r\dt2 dt2 ,/ If//2 dt2

'f.

/

Примѣняя, затѣмъ, методъ перемѣннаго дѣйствія, получимъ

гдѣ

X:

V f/2X0\ dfl J \ d!2 dfi J i~Z[ 4 <Pz V8 № ~

fd2x d2x0\ i JU (d*,j d2Vo\ dt2 ) ’

У dp \dt2 dt2 J 1 у dy \dt2

dt2 )

2 \ ___d*

у dt2 \dfi dt2 ) •

Если, вмѣстѣ съ Гауссомъ, назвать принужденіемъ аргументъ у, то силу X, Y, Z можно назвать силою принужденія, приложенною въ точкѣ (х,у,х), и считать, что ея вліяніе какъ бы заключается въ томъ, чтобы помѣшать точкѣ принять свое свободное движеніе; напротивъ, вліяніе силы

X, Y, —Z, приложенной къ точкѣ (х0, т/о, ^0), состоитъ въ томъ, чтобы измѣнять свободное движеніе въ движеніе вынужденное.

Существенная разница между настоящимъ представленіемъ о силѣ и тѣмъ, которое вытекаетъ изъ законовъ Ньютона, заключается въ слѣдующемъ: въ этомъ послѣднемъ, разсматривается дѣйствіе, относящееся къ двумъ безконечно сосѣднимъ положеніямъ: одному—настоящему, другому будущему, на одной и той же траекторіи; въ представленіи I аусса и Герца дѣйствіе относится къ двумъ будущимъ положеніямъ: одному на траекторіи, называемой свободною, и другому на траекторіи, называемой вынужденною (contrainte); въ обоихъ случаяхъ, очевидно, имѣется теорія, позволяющая предсказать будущее движеніе, что и является цѣлью динамики точки; но, кромѣ того, и это то обстоятельство мы и хотѣли выставить въ особенности на видъ, дѣйствіе это—евклидовское.

Интересно замѣтить, по этому поводу, что Гауссъ наглядно установилъ сопоставленіе между дѣйствіемъ принужденія и закономъ оши- 1

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 69 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

675

бокъ, которыя, и въ самомъ дѣлѣ, одинаковой формы. Такимъ образомъ, видно, что основной характеръ закона ошибокъ—представляетъ евклидовскую неизмѣняемость этого закона, и что новая отрасль Механики, созданная Максуэлломъ, Гольцманомъ и /І\иббсомъ, подъ названіемъ статистической Механики (Mecanique statistique), можетъ также принять дедуктивною форму, которую здѣсь мы пытаемся придать Механикѣ обыкновенной.

Сдѣлаемъ еще то замѣчаніе, что силы связи, какъ въ Механикѣ, обоснованной на идеяхъ Ньютона, такъ н въ Механикѣ, вытекающей изъ понятія принужденія, Гаусса, выражаютъ ту неопредѣленность, которая является въ опредѣленіи силы и ведетъ къ необходимости употребленія множителей Лагранжа.

Идею I аусса можно примѣнить также и къ тренію, если разсматривать евклидовское дѣйствіе на двѣ точки

сіх

(ІХп

X — х -f- — сП, х0 = А'о + clt,

dt

Y — у -\~~r.dt, Y0 = i/o Д7 dt,

dt

(h

dt

dzo

2 — £ ^ dt, Zq — ao H—jr dt,

dt

гдѣ точка X0, 1/0, £0 относится къ траекторіи свободной, а точка .т, у, % къ траекторіи, пробѣгаемой съ треніемъ. Такъ какъ здѣсь дѣло идетъ о треніи при скольженіи, то надлежитъ положить х—х0, у=у0, z — Zo>

dx

dx n

_ _ .. ffy dy{, dt ' dt ’ dt ‘ dt

d\

— = Ц

dt

; стало оыть, мы находимъ дѣйствіе

ввидѣ функціи отъ скорости г'о = |/(^2+^)2+^), сопровождаемой множителемъ і —что именно и отвѣчаетъ понятію разсѣиванія (dissipation) свободнаго дѣйствія на точкі) ,ѵ0, і/0, ^0.

Аргументы ry, Ay, Хук, разсмотрѣнные нами въ н02О, выражаютъ, въ окончательномъ видѣ, идею, аналогичную таковой по отношенію къ трехграннику отдѣльно взятому въ разсматриваемой системѣ п трехгранниковъ; если угодно, можно сдѣлать различіе между этими аргументами и сказать, что г у—есть аргументъ потенціальный, а А.у, разсѣивателъныс (dissipatifs) аргументы; такимъ образомъ, гипотеза центральныхъ силъ сводится въ Механикѣ лишь къ изученію динамики системъ, безъ тренія на разстояніи. Съ дрзщой стороны, изъ аргументовъ Гу, бу, А,у* можно получить частный аргументъ Вебера , и,

dt

если отъ не сплошной среды переходить къ средѣ сплошной, представленіе о которой покоится на принятіи въ расчетъ dfi пространства, то окажется, что въ дѣйствіе \\ надо будетъ ввести аргументы вязкости dZy de 2 ifej d у у dye, dy<>

~Jt ’ ~dt’ It ’ lit ’ ~dt ’ It * “a РЯДУ съ такими аргументами, раземо-

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

70

КОССЕРА Э. и Ф.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

676

трѣнными въ первый разъ Навье и Пуассономъ, слѣдуетъ, очевидно, поставить также и такіе аргументы, какъ смѣшанный аргументъ £1^2 Ѵ1.Ѵ2 Н- * о которомъ шла рѣчь въ п® 15. Мы ограничимся этими

краткими указаніями относительно вязкости, которая до сихъ поръ еще не оыла изслѣдована достаточно систематически.

V. 6ві<лидовсі<ое дѣйствіе съ эйлеріансцой

точци зрѣнід.

^ 22ѣ Дѣйствіе деформаціи и движенія на сплошную среду съ эйлеріанской точки зрѣнія- Понятіе объ излученіи энергіи. Въ

статикѣ и динамикѣ сплошной измѣняемой среды, мы принимали за перемѣнныя независимыя .г0, у0, и х0, у0, ~0l t, соотвѣтственно; для случая статики, х0, у0, —представляютъ координаты точки М0 естественнаго состоянія (М0); для динамики ,г-0,у0, —координаты, въ мгно-

веніе точки М0, приходящей, во мгновеніе t, въ точку М. Принятыя, такимъ образомъ, независимыя перемѣнныя будутъ перемѣнными Лагранжа.

Можно теперь себѣ представить, что производится замѣна перемѣнныхъ независимыхъ; въ частности, по аналогіи съ тѣмъ, что дѣлается въ гидродинамикѣ, можно принять за новыя независимыя перемѣнныя х> У- К или У> Z> t и, при такомъ частномъ выборѣ, получить то, что называютъ перемѣнными Эйлера. Тогда x0, у0, ^0, а, а', ..., у" становятся функціями отъ .ѵ, у, или отъ х, у, & t, смотря по тому, идетъ ли дѣло о статикѣ или о динамикѣ.

Мы разсматривали евклидовскіе аргументы |г-, щ, pit q.t ,-fj с,

?! Р> ?! с, съ перемѣнными Лагранжа. Разсмотримъ, съ перемѣнными Эйлера, новые аргументы (|f), (т,), &), (р-), (?Д (г,); (с), (у), (£), (р), (q), (у)-мы сейчасъ опредѣлимъ ихъ и покажемъ, что они, подобно первымъ, будутъ евклидовскими инварьянтами. Припоминая, что д:0 := , у0 = с2,

Іо = ?з, положимъ 1

съ аналогичными формулами для [/>2], [?2], [г2] и для |>3], [yg], [r3], получаемыми, сначала, замѣною у и на а и у, а затѣмъ на ft и к. Аргументы (£*), (г,г) (£,-) будутъ проекціями на оси Мт', Му, М,-' вектора, проекціи котораго на оси О.ѵ, Оу, суть [<-,], [г,/], [£,]; точно также,

(рг)> (?г)> О',:) будутъ проекціями на оси Мл-', Му', Мс' вектора, проекціи

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 71 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

677

котораго на оси Ох, Оу, суть \рг], [qp, [гг]. Сверхъ того, для случая движенія, примемъ

съ аналогичными формулами для (р2), (q2), 0'2) и для (/>.,), (у3), (73), полу чаемыми замѣною р$ на qit а потомъ на наконецъ

съ аналогичными формулами для (q) и (г), получаемыми замѣною р, рі на ft ft) а затѣмъ на г, 77. Какъ видно, эйлеріакскіе аргументы, будучи функціями только лагранжіанскихъ аргументовъ, несомнѣнно являются также евклидовскими инварьянтами.

Предположимъ, что W, которую назовемъ лагранжіанской плотностью дѣйствія, выражено посредствомъ эйлеріанскихъ аргументовъ (>i)j (Тч)) (?і), (Рі)> (ft)> (ft); (;), (ft), (£), {/>), (у), (г) и полонимъ, что

будемъ называть черезъ £2 эйлеріанскую плотность дѣйствія, которая получитъ замѣчательную форму

Когда интегрированіе по х, у, % бз^детъ распространено, какъ и раньше, на объемъ деформированной среды, ограниченный поверхностью S,

т.*е, на область, мѣняющуюся съ теченіемъ времени,—мы получимъ ла-

Легко видѣть, что

(s) + £ (-1) + т, (тіХ) £ (2Д) = о,

(т<) “Ь * (’2) “Ь (ті2) ? (^2) — °)

(?) + £ (£3) + 'О Йз) + ? (?з) = °)

а затѣмъ, что

(р) — Рі (’) (^“ЬД} (?) 4"Р>

£1 dx diy d% dt.

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

72

КОССЕРА Э. и Ф.

678

гранжіанское дѣйствіе; если, напротивъ, интегрированіе относится до неподвижной области, независимой отъ t,—мы получимъ эйлеріанское дѣйствіе.

Чтобы примѣнить варіаціонное исчисленіе къ дѣйствію, взятому въ той или другой изъ указанныхъ нами формъ, умѣстно установить, по примѣру Пуанкаре, слѣдующее различіе между варіаціями, которыя можетъ принять функція V отъ х, у, L Съ эйлеріанской точки зрѣнія, функція V подвергается измѣненію, которое назовемъ черезъ (tfV), происходящему отъ перемѣны функціи; съ точки зрѣнія лагранжіанской, она подвергается измѣненію

] дх ' ду дц

которое можно назвать полнымъ измѣненіемъ, или лагранжіанскимъ. Та частная ролъ, которую играютъ въ настоящей теоріи функціи д-0, ув, отъ х, у, t, выразится, если написать, что лагранжіанскія ихъ измѣ-нія равны нулю, такъ что будемъ имѣть три формулы подобныя слѣдующей:

о = («0) + ^& + ^ + |и<.

Аналогичное предыдущему различіе должно быть установлено и между производными по времени отъ функціи V; эйлеріанская производная представляетъ то, что обыкновенно обозначаютъ символомъ

дѴ • х

— ; лагранжіанская или полная производная выражается формулою

dV г)V <ЭѴ dx . ЭѴ dy . дѴ

dt dt dx dt' dy c,It' d% dt

Знакъ о мѣняется мѣстами съ -Д-, -Д-, -Д- , — , а знакъ (S) съ

дхв diJo T:0 dt

д д д д „ . „

дх' ф/1 ~dt' іочно также» въ лагранжіанскомъ интегралѣ, ооласть

котораго мѣняется съ теченіемъ времени, нельзя переставлять порядокъ интегрированія по t съ системою интеграцій по х, у, такая перемѣна порядка можетъ быть произведена только при возвращеніи къ перемѣннымъ *0, у0, %0, а интеграціи по частямъ должны произво-

диться надъ лагранжіанскими производными — .

Въ

эилеріанскомъ

интегралѣ, можно перемѣнить порядокъ интеграціи по t съ интеграціей относительно перемѣнныхъ х, у, и, если такая перестановка

порядка сдѣлана, то интеграція по времени должна производиться, считая х, у, % за постоянныя; интеграціи по частямъ должны опирать-

ся на производныя — , а

не на

d

производныя — •

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 73 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

74

КОССЕРА Э. и Ф.

68о

(С'Л = ^

( г) ’

мало этого, если, по аналогіи съ обозначеніями п° іб, положить

(А',) - ;

(А0 =

s;

АО

(Q0) =

(Q0

(Р'О =

(РО = 1

ай

Щ ’

ай

М’

д£і д(рі) ’ ай

АО

(Ву=Щ-

(В') = В?

dip)

д(п)

ай

<%)'

ай

%) :

(С0 =

(R'e)-(R') =

ай W ’

ай 'Н гг) ’ ай aw ’

гдѣ (АР), (ВО), С'О; (РР), (Q'i), (R0); (А'), (В'), (СО; (F) (QO, (R'), соотвѣтственно опредѣляютъ четыре вектора, отнесенные къ осямъ Мд-', Мі/, М^О составляющія которыхъ, относительно осей Од:, Оу, О^, обозначимъ черезъ [A.J, [В,-], [CJ; [Р<], [QJ, [RJ; [А], ]В], [С]; [Р], [QJ, [R],—то найдемъ

J = ~ (АО Ш - (В) [&] - (СО 15,1 - (РО ш - (Q) [р2] - (R0 рхх = я- [А,] &] - [Ая] [|2] - [А3]

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

- [Ріі ІРі] - |Р21 Ы -[Р3][рз\-2%

рух = - [Ві] [111 - [В2] [|2] - [В3] [53]

- [СЦ1 ІРі] - [Оз] Ы - [Оз] М-2%

pzx - - [CJ &] - [С2[ |£2] - [С3] 1|3І

[Rl] [pi] — [R2] [р2І [R3[ [рз]

А

Jdt ’

съ аналогичными формулами для В, С к рху, руу, pzy, рхз, руз, ргз-, сверхъ того, .

Pdx

(7x25 — а [РіН- ft [Рг] + У [Р31 — 2~dt*

_ , Р

<1ух

«[ОіІ+^ІОзН-УІОз]-^,

^Р = ]Р],

Чех — а [Rll ft [R2] + У [R31 — j -jp 1

съ аналогичными формулами для Q., R и qxy, qyy, q3in qxz, qyz, qzz. Эти же результаты получатся и прямо, преобразованіемъ формулъ n° 19, при помощи указанныхъ выше соотношеній между лагранжіанскими аргументами и эйлеріанскими. 1

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЗАМЕТКА О ТЕОРИИ 75 ЭВКЛИДОВСКОГО ДЕЙСТВИЯ

681

Равнымъ образомъ, тѣмъ или другимъ изъ указанныхъ нами путей, мы можемъ получить и плотность энергіи, соотвѣтствующую понятію о лагранжіанскомъ дѣйствіи. Мы видѣли, что эта плотность, когда она отнесена къ пространству Xq, уо> Zo> такова

jw , aw . „aw . aw . aw aw s7{+'r>^ + ,;-Щ+pV+,^ + ,--'

dr

та же самая плотность, отнесенная къ пространству х, у, % и выраженная посредствомъ функціи £2 эйлеріанскихъ аргументовъ (£г), (тД, (£*), (рг-), (?і). О'і); (£>, СО, (5), (р), (?), (г), будетъ

д£2 , , , д£2 , д£2 , , ч д£2 , , % д£2 , , ч д£2 0

■ • ® г «и

Въ п° 19 мы нашли, для элементарной работы внѣшнихъ силъ и внѣшнихъ моментовъ, а также для внѣшнихъ усилій и моментовъ деформаціи, производимыхъ на участокъ (М) среды, который, во мгновеніе t, занимаетъ участокъ (М0) естественнаго состоянія,—выраженіе

1 -■-* г»

іі

} dt>

гдѣ W предполагается независимымъ отъ t. Тотъ же результатъ сохранитъ свою силу, если разсматривать и неподвижный участокъ (М) пространства; если, поэтому, мы примемъ во вниманіе нижеслѣдующее тождество

2^Е —і/Е-■ Д dt dt

д !’Е dx\ , j) /Е dy\ д_ /Е

дх \Д dt ) ду U dt ) \J dt) ’

которымъ пользовался Пуанкаре, примѣнимое къ любой функціи, то, для новой элементарной работы, получимъ выраженіе

Д

Д.

s

г■ г*

Е

—j dx dy d£

или

+

д

~dt

д /Е dx\ д Дь rf[/\ , d^p

дх\Л dt) 1 dy\zl dtj'dzxddly

dx dy dz / dt

^ E , . i 1 E ( dx . dy I dz\ ,

П3з(г л+'“Т.+»-І*

dt

dt.

Двойной интегралъ, находящійся въ коэффиціентѣ при dt, соотвѣтствуетъ тому, что можно было бы назвать потокомъ энергіи деформаціи и движенія сквозь неподвижную поверхность S въ деформированномъ тѣлѣ.

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

76

КОССЕРА Э. и Ф.

682

Разсмотримъ теперь дѣйствіе съ эйлеріанской точки зрѣнія. Прежде всего, интересно удостовѣриться въ томъ, что значенія внѣшнихъ силъ и моментовъ остаются тѣми же самыми, но, въ выраженіяхъ для усилій рхх, рух, pzx исчезаютъ слѣдующіе члены •

А dx _ В dx _ _ С dx

Лхх = — -д -Jt ’ Пуя~ А at ’ zx~ А dt1

а въ выраженіяхъ для моментовъ деформаціи qxx, qyx, q3X> слѣдующіе члены:

. „ _Р ^ - _ _ Q_dx г = _R^x

/хх ~~ А dt’ Аух ~ А di’ Xzx А dt ’

съ аналогичными выраженіями для количествъ ^ху^ ^уу ? • ■ •> Хху> &уу* *9 Изъ этого слѣдуетъ, что къ элементарной работѣ, полученной въ предыдущемъ случаѣ, надо прибавить новый интегралъ поверхности, выраженіе котораго

Можно было бы назвать этотъ новый интегралъ потокомъ лучистой энергіи сквозь границу S деформированнаго тіъла.

Разсужденіе, сдѣланное въ п° 19 и основанное на евклидовской неизмѣняемости плотности дѣйствія, уже не ведетъ для внѣшнихъ силъ и моментовъ, равно какъ и для новыхъ внѣшнихъ усилій и моментовъ деформаціи, къ такимъ же заключеніямъ (36); объяснить это можно, говоря, что новыя усилія и моменты деформаціи уже не удовлетворяютъ тому, что Пуанкаре называетъ началомъ реакціи (principe de reaction). Равнымъ образомъ, это послѣднее заключеніе, какъ извѣстно, мы находимъ опять въ электрическихъ теоріяхъ Лоренца. Но существованіе излученія, которое мы выставили на видъ, позволяетъ сдѣлать сопоставленіе между усиліями и моментами деформаціи яхя, лух, ... , %хх, Хух... и тѣмъ, что Максуэллъ, по соображеніямъ электромагнитной теоріи свѣта, а Бартоли, на основаніи термодинамики,—назвали давленіемъ лучистой энергіи и, такимъ образомъ, снова принять въ уваженіе начало реакціи.

Конецъ ііі-го тома.

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

Заметка о теорiи евклидовскаго действiя (Ротапринт) Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

Аннотация научной статьи по философии, этике, религиоведению, автор научной работы — Коссера Эжен, Коссера Франсуа

Похожие темы научных работ по философии, этике, религиоведению , автор научной работы — Коссера Эжен, Коссера Франсуа

Текст научной работы на тему «Заметка о теорiи евклидовскаго действiя (Ротапринт)»