К теории параллельной работы альтернаторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

А, П о т е б н я.

(5

-sy~

~С>

Къ

теоріи

ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

АЛЬТЕРНАТОРОВЪ.

~\^&Г

'ё>

ТОМСКЪ.

Паровая типолитографія П. И. Макушина, Благовѣіц. пер., соб. д.

<?Л алмсяііиму «Г

1903.

Теоріи параллельной работы альтернаторовъ за послѣднія два десятилѣтія въ электротехнической литературѣ былъ посвященъ цѣлый рядъ статей. Началомъ этого ряда можно считать статью I. Гопкинсона, помѣщенную яъ 1884 году въ Jour. Soc. telegr. Engin., въ которой авторъ впервьте указываетъ вліяніе самоиндукціи на успѣшность параллельнаго соединенія машинъ перемѣннаго тока и приходитъ къ наиболѣе выгодному соотношенію между омическимъ сопротивленіемъ и реакціей самоиндукціи обмотки якоря альтернатора:

г : < *> L=t, .

гдѣ г—омическое сопротивленіе, L—коеффиціентъ самоиндукціи, а)=2л:со, со—число періодовъ въ секунду.

Идеи Гопкинсона вызвали между электриками оживленные споры относительно вліянія самоиндукціи. Явились сторонники какъ возможнаго увеличенія самоиндукціи въ машинахъ, такъ и уменьшенія ея до предѣла указаннаго Гопкинсономъ.

Дальнѣйшая практика показала, однако, что относительная величина самоиндукціи играетъ далеко не первую роль въ явленіяхъ происходящихъ при параллельномъ соединеніи альтернаторовъ, и что на успѣшность ихъ работы вліяетъ цѣлый рядъ другихъ причинъ, и главнымъ образомъ возбужденіе обѣихъ динамомашинъ, степень равномѣрности хода машинъ двигателей и соотношеніе моментовъ инерціи вращающихся массъ относительно оси вращенія.

Новѣйшія работы, трактующія интересующій насъ вопроса., касаются главнымъ образомъ изслѣдованія относительныхъ колебаній, совершаемыхъ вращающимися частями соединенныхъ параллельно машинъ, Еще въ 1892 году Boucherot ’) далъ формулу

Ц „La. Lum. El.“ Т. Л5 стр. 265.

для опредѣленія продолжительности этихъ колебаній. Въ томъ-же году подобное-же изслѣдованіе далъ Blonde] '). Онъ также даетъ формулу для вычисленія періода относительныхъ колебаній, разлагая эти колебанія въ рядъ Фурье, Оба автора указываютъ на опасность интерференціи колебаній движушей машины и собственныхъ колебаній вращающихся частей альтернатора. Ври этомъ Блондель особенное вниманіе обращаетъ на величину моментаинерціи, тогда какъ Бушеро приписываетъ ему сравнительно незначительную роль. Тогда-же Hutin и Leblanc * 2) предложили свое приспособленіе для успокоенія колебаній Математической теоріи успокоенія ни одинъ изъ названныхъ авторовъ не даетъ.

Въ 1899 году G. Kapp 3) далъ очень простой методъ разсчета періода колебаній работающихъ параллельно машинъ перемѣннаго тока. Главную трудность параллельнаго соединеніи альтернаторовъ онъ видитъ въ интерференціи колебаній. Въ 1900 году Gorges 4) въ статьѣ „Ueber das Verhalt, parall. gesell. Wechselstrommaschinen“ даетъ простой графическій способъ представленія явленій, происходящихъ при параллельномъ включеніи альтернаторовъ, и, предполагая напряженіе на клеммахъ всѣхъ параллельно включенныхъ альтернаторовъ постояннымъ, выводитъ дифференціальное уравненіе колебанія каждой группы (машины двигателя съ соотвѣтственнымъ альтернаторомъ) въ отдѣльности. Интегрируя его, онъ опредѣляетъ періодъ колебанія и условія устойчивости движенія. Наконецъ въ 1899 году Dettmar 5) указываетъ на нѣкоторыя затрудненія при параллельномъ включеніи альтернаторовъ приводимыхъ въ движеніе газовыми двигателями и на средства избѣжать ихъ, и Meyer6) въ 1901 г. пытается изъ опытныхъ данныхъ установить предѣльныя величины синхронизирующаго тока.

Частнымъ случаемъ разсматриваемой задачи является работа синхроничнаго двигателя въ цѣпи перемѣннаго тока. Изучая явленія параллельной работы альтернаторовъ не трудно убѣдиться, какъ теоретически, такъ и экспериментально въ обратимости машинъ перемѣннаго тока, т. е. въ возможности пользоваться од-

!) „La. Lnm'. El.“ Т. 45 и 4b.

2) „La. Lum El.“ T. 40 стр. 601.

' 3) „Е Т. Z1899 г. стр. 134.

4) „Е. Т. Z.“ 1900 г. стр. 188.

5) ,,Е. Т. Z.“ 1899 г. стр, 728.

6) „Е. Т. Z.“ 1901 г. стр. 90S.

нимъ и тѣмъ-же альтернаторомъ какъ генераторомъ или какъ двигателемъ по желанію, подъ условіемъ чтобы двигатель былъ предварительно приведенъ къ скорости соотвѣтсвующей тому-же числу періодовъ, какое имѣетъ питающій его генераторъ.

Изъ числа появившихся за послѣднее время изслѣдованій по теоріи синхроничныхъ двигателей можно указать: G-. Ossana Е. Т. Z. 1896 и Р. Steinmetz „Theory of the Synchronous motor (Trans, of the Amer. Inst, E. E. 17 okt. 1894 г. и 18 іюня 1902 г.). Кромѣ этого очень полно даетъ теорію синхроничнаго двигателя книжка А. ВІопсІеГя „Moteurs Synchrones а courants alternatifs“ 1901 г.

Не смотря на то, что какъ видно изъ приведеннаго перечня, теорія параллельной работы альтернаторовъ уже всесторонне разработана, я позволяю себѣ выступить съ предлагаемой статьей во первыхъ, потому, что въ русской технической литературѣ вопросъ этотъ затрогивался сравнительно мало, а во вторыхъ потому, что при выводѣ нѣкоторыхъ формулъ я старался избѣжать допущенія постоянства напряженія на клеммахъ, которое положено въ основаніе разсужденій Görges’a и другихъ, вслѣдствіе чего предлагаемыя здѣсь формулы носятъ болѣе общій характеръ.

I. Выводъ основныхъ формулъ.

1. Въ послѣднее время задача параллельнаго соединенія альтернаторовъ получила особенно важное значеніе, во первыхъ вслѣдствіе все большаго распространенія перемѣннаго тока сравнительно съ постояннымъ, во вторыхъ вслѣдствіе стремленія примѣнять на центральныхъ станціяхъ возможно большія единицы изъ экономическихъ соображеній, въ третьихъ вслѣдствіе болѣе и болѣе входящаго въ употребленіе непосредственнаго соединенія динамо и паровой машины, при чемъ очевидно неправильности хода машины двигателя гораздо сильнѣе отзываются на колебаніяхъ электродвижущей силы, чѣмъ при ременной или канатной передачѣ, и наконецъ, въ четвертыхъ вслѣдствіе распространенія непрямого распредѣленія энергіи при помощи вращающихся трансформаторовъ (особенно для цѣлей электрической тяги), преобразующихъ перемѣнный токъ въ постоянный, и представляющихъ

со стороны перемѣннаго тока пи что иное, какъ синхроничные двигатели.

Основное условіе возможности параллельной работы машинъ перемѣннаго тока есть равенство чиселъ періодовъ.

Условіе ото вызываетъ требованіе къ машинамъ, движущимъ альтернаторы: передача силы отъ двигателей къ динамомапіинамъ должна происходить такъ, чтобы при равенствѣ чиселъ періодовъ не происходило скольженія ремней, и чтобы ни ремни, ни соотвѣтствующіе органы передачи не подвергались чрезмѣрному напряженію.

Жесткое механическое соединеніе машинъ перемѣннаго тока между собою не можетъ считаться хорошимъ средствомъ синхронизаціи, такъ какъ не допускаетъ взаимнаго регулированія фазъ между машинами. Такое соединеніе какь-бьт обращаетъ весь рядъ соединенныхъ между собою машинъ въ одну динамомашину. Такъ какъ измѣненіе угла фазъ при такомъ соединеніи невозможно, то неодинаковость возбужденія, а слѣдовательно разница между электродвижущими силами машинъ вызовутъ чрезмѣрные паразитные токи. Такое устройство можно встрѣтить только на очень старыхъ установкахъ, напримѣръ на городской станціи въ Vevey—Montreux въ Швейцаріи, устроенной въ 1887 году.

Второе важное условіе удовлетворительной работы параллельно включенныхъ альтернаторовъ есть равномѣрная скорость вращенія, т. е. постоянство чиселъ періодовъ.

Вообразимъ два альтернатора, вращаемые двумя независимыми одна отъ другой одноцилиндровыми паровыми машинами. Если ихч> кривошипы случайно станут ьподъ угломъ 90°, вращательный моментъ одной машины будетъ достигать наибольшей величины, въ то время какъ поршень другой будетъ находиться въ мертвомъ положеніи, и наоборотъ. Вслѣдствіе этого одинъ альтернаторъ начинаетъ вращаться быстрѣе, въ то время какъ вращеніе другого замедляется. Если маховыя колеса не достаточно тяжелы, то получается замѣтное колебательное движеніе, а въ силу этого миганіе лампъ включенныхъ въ цѣпь, соотвѣтственно періоду вращенія паровой машины, вслѣдствіе перехода части нагрузки отъ одного альтернатора къ другому. Явленіе это можетъ принять такіе размѣры, что дальнѣйшая совмѣстная работа машинъ сдѣлается невозможною. .

Очевидно, изъ различныхъ типовъ современныхъ двигателей лучше всего удовлетворяютъ второму условію тюрбины, водяныя и паровыя и водяныя колеса, а хуже всего—термическіе двигатели, работающіе взрывами.

Разсматривая явленія, происходящія при параллельной работѣ машинъ перемѣннаго тока нужно различать два періода: періодъ неустановившагося движенія, когда къ ряду уже работающихъ машинъ привключается новая машина, или случайно одна изъ работающихъ параллельно машинъ получаетъ возмущеніе, выводящее ее изъ синхронизма съ другими, и рабочій періодъ, когда всѣ машины находятся въ синхронизмѣ.

Какъ извѣстно, передъ соединеніемъ двухъ альтернаторовъ параллельно, они должны быть приведены къ приблизительно равной періодичности и равнымъ электродвижущимъ силамъ, и затѣмъ включаются въ моментъ приблизительнаго совпаденія фазъ, о чемъ судятъ по фазовымъ лампамъ или по указанію другихъ аналогичныхъ приборовъ.

При современной конструкціи машинъ равенство электродвижущихъ силъ далеко не такъ важно, какъ одинаковая періодичность. Благодаря обратимости альтернаторовъ полное совпаденіе фазъ въ моментъ включенія тоже не имѣетъ очень важнаго значенія. При разности фазъ между обѣими машинами, кромѣ рабочаго тока, устанавливается еще токъ, не выходящій во внѣшнюю цѣпь. Токъ этотъ ускоряетъ движеніе одной машины и тормозитъ другую, пока не установится полное равенство фазъ и періодичности.

Въ современныхъ альтернаторахъ съ желѣзомъ въ якорѣ этотъ обмѣнъ энергіи почти никогда, даже при сильномь отклоненіи отъ синхронизма, не достигаетъ опасныхъ размѣровъ. Синхронизирующій токъ ослабляется реакціей самоиндукцій.

Въ машинахъ съ очень малой реакціей якоря передъ включеніемъ нужно съ гораздо большей тщательностью удостовѣриться въ равенствѣ періодичности, возбужденія и фазъ, иначе обмѣнъ тока достигаетъ такой величины, что машина подвергается опасности порчи вслѣдствіе толчка. Машины безъ желѣза въ якорѣ иногда оказываются настолько чувствительными въ указанномъ отношеніи, что приходится отказаться отъ ихъ параллельнаго соединенія.

Разъ приведенные въ синхронизмъ, почти всѣ типы работаютъ удовлетворительно. Тѣмъ не менѣе въ современныхъ машинахъ

стараются, чтобы величина реакціи якоря оставалась въ нѣкоторыхъ предѣлахъ *).

Если реакція якоря слишкомъ слаба, то въ случаѣ какого либо несчастія (короткаго замыканія, внезапнаго размыканія внѣшней цѣпи и т. п.) машина можетъ получить серіозныя поврежденія. Если реакція якоря очень велика, то движущая сила должна быть весьма постоянна, такъ какъ синхронизирующая сила динамомашинъ будетъ недостаточна для компенсаціи неравномѣрности хода машинъ-двигателей.

Изложивъ, вкратцй сущность явленій происходящихъ при параллельной работѣ альтернаторовъ, перейдемъ кт» ихъ аналитическому изслѣдованію, которое и составляетъ цѣль статьи.

2. При послѣдующихъ разсужденіяхъ мы будемъ предполагать какъ токи, такъ и электродвижущія силы синусоидальными.

Векторы, представляющіе эти величины, будемъ изображать символически комплексными величинами, при чемъ ось вещественныхъ значеній будемъ считать положительною вправо, а ось мнимыхъ значеній вверхъ. Фактору j —j/~—1 припишемъ свойство вращать множащійся на него векторъ на уголъ ^-противъ движенія часовой стрѣлки и въ ту же сторону будемъ считать положительными углы разности фазъ и аргументы векторовъ.

Тогда электродвижущая сила илщ напряженіе представится въ видѣ

E = e+je’ ,

а токъ '

J = і .І і' »

гдѣ е, і суть проекціи соотвѣтствующихъ векторовъ на ось абсциссъ, а і’, е’—на ось ординатъ.

Кажущееся сопротивленіе представится тоже векторомъ

Z = r-f-j s,

гдѣ г—омическое сопротивленіе, а s реакція самоиндукціи и емкости:

*) Въ новѣйшихъ машинахъ (о Ц=(2—10) г.

2 тг СО С

2 тг со L

гдѣ оо —число періодовъ, L н С коеффиціентъ самоиндукціи и емкости.

Примѣчаніе. Выраженіе кажущагося сопротивленія въ видѣ вектора r-f-js предложено Штейнмецомъ и видоизмѣнено Guilliert’oM'b (Lmn. El. Т. 50 с. 451) Штейн-мецъ предложилъ форму г— js. Однако нѣтъ никакихъ основаній брать второй членъ со знакомъ (—), такъ какъ при умноженіи вектора тока на s мы получимъ векторъ электродвижущей силы самоиндукціи, находящійся впереди вектора тока на уголъ 90°, и если векторъ тока будетъ совпадать съ положительнымъ направленіемъ вещественной оси, то произведеніе этого вектора на s будетъ векторъ, совпадающій по направленію съ положительной осью мнимыхъ значеній.

Представляя синусоидальныя функціи, вводимыя нами въ формулы, въ видѣ х —j у, гдѣ х2_(_у2 есть амплитуда волны, мы

предполагаемъ періодичность всѣхъ функцій одинаковою, и всѣ X, у постоянными. Но тѣмъ же представленіемъ можно пользоваться и при различныхгь числахъ періодовъ, входящихъ въ разсмотрѣніе функцій, если обусловимъ извѣстнымъ образомъ примѣненіе комплексныхъ величинъ, и будемъ смотрѣть на х и у какъ на функціи времени.

Пусть имѣемъ двѣ синусоидальныя функціи ,

гдѣ

а = А sin (oöj t Yi)

[3 = B sin (ü>2 t -j- y2)

(J)1 = 2 Ti ССЦ , ÜX2 = 2 TT co2

а Yx, Ys—положительные или отрицательные углы опереженія этихъ функцій относительно нѣкоторой синусоиды, направленіе вектора который мы приняли за начало отсчета угловъ.

Мгновенное значеніе результирующей функціи есть

с = А Sin (<*>! t -f- 'а) -f- ß Sin (ü>21 + ya).

Второй членъ правой части напишемъ такъ:

В Sin (<*>21 -4- y3) = В Sin [<.0!^ t —f- («>2—toi) t -J— y2]

t. e. представимъ волну ß имѣющей ту же періодичность, и слѣдовательно ту же угловую скорость «>1 какъ и волна а но перемѣнный уголъ опереженія

І = Та Н-(°Ѵ—«Ч) t-

Тогда

с — [А Cos уу -}- В Cos у'j Sin t 1 А Sin yt -)- B Sin у'] Cos ш, t,

т. e. съ формальной стороны результирующая волна представится такъ же, какъ и въ случаѣ <о1 = ш2 == («, только, конечно, это уже не будетъ синусоида, такъ какъ выраженія въ скобкахъ зависятъ отъ времени.

Сказанное имѣетъ слѣдующій геометрическій смыслъ: если представимъ синусоиды а и ß, имѣющія различную періодичность въ видѣ векторовъ, отнеся ихъ къ одной и той же системѣ осей, то векторъ ß будетъ вращаться по направленію возрастанія положительныхъ угловъ со скоростью «>о — <мь а мгновенное значеніе результирующей функціи будетъ равно значенію синусоиды . 1

съ періодомъ Т =—, представляемой въ данный моментъ геоме-

СО y

трической суммой векторовъ а и ß.

Пояснимъ сказанное примѣромъ. На фиг. 1 показанъ случай сложенія векторовъ въ предположеніи, что направленіе вектора а нринятоза ось, и что оба вектора постоянны по величинѣ. Тогда значеніе результирующей функціи для момента t будетъ равно значенію для того же момента синусоиды, представленной векторомъ ON, гдѣ точка N есть пересѣченіе окружности описанной радіусомъ ß изъ конца Оі вектора а, съ прямой N проведенной

a>j_) t къ оси OX, т. e. для каж-

подъ угломъ N (ф X — у2 + (t02 — даго момента будетъ

с — О N Sill К t + L N О! X).

Принимая во вниманіе все сказанное, мы можемъ пользоваться символическимъ изображеніемъ электродвижущихъ силъ и токовъ такъ же и въ случаѣ не одинаковой періодичности вводимыхъ въ вычисленіе величинъ, помня, что получаемыя формулы представляютъ не постоянныя, а мгновенныя значенія.

Представленный на фиг. 1 случай предполагаетъ постоянство амплитудъ синусоидъ а и ß; если бы амплитуды эти были функціями времени, то геометрическое мѣсто точки N было бы не кругъ, а нѣкоторая а priori не извѣстная кривая, которую однако для каждаго даннаго случая можно построить.

3. Пусть имѣемъ п машинъ перемѣннаго тока, работающихъ параллельно на одну общую внѣшнюю цѣпь (фиг. 2). Найдемъ соотношенія между электродвижущими силами альтернаторовъ, напряженіемъ на сборныхъ шинахъ, токами доставляемыми каждымъ изъ альтернаторовъ и токомъ идущимъ по сборнымъ шинамъ во внѣшнюю цѣпь, въ зависимости отъ омическихъ сопротивленій и самоиндукціи якорей машинъ и внѣшней цѣпи.

Пусть Еь Е2.......Е„—векторы, представляющіе электродви-

жущія силы альтернаторовъ, Jb J2 . . . Jn — токи, протекающіе черезъ ихъ обмотки, Z1? Z2 . . . Zn —кажущіяся сопротивленія ихъ якорныхъ обмотокъ, Е0—векторъ, представляющій разность потенціаловъ на сборныхъ шинахъ, J0, Z0—векторы тока и кажущагося сопротивленія внѣшней цѣни.

Тогда какъ извѣстно

Еі — Е0 Ji Z\ Ёо ~ Е0 -1- J2 /о

Е„ = Е0 -f- J„ Z„ Eq — 'То ЙО )

(1)

т. е. векторы электродвижущихъ силъ альтернаторовъ равны геометрическимъ суммамъ вектора напряженія на сборныхъ шинахъ и вектора электродвижущей силы, теряемой вслѣдствіе кажуща-

poch сопротивленія обмотки якоря, а векторъ напряженія на сборныхъ шинахъ равенъ электродвижущей силѣ, теряемой вслѣдствіе кажущагося сопротивленія внѣшней цѣни.

Между величинами Jo, Jj . . . Jn существуетъ зависимость

Jo — -Ti ■"hJa'j-- • - ~t- (!’)

t. e. векторъ тока, протекающаго во внѣшнюю цѣпь, равенъ геометрической суммѣ векторовъ токовъ, протекающихъ черезъ обмотки альтернаторовъ.

Представляя всѣ перечисленные векторы символически въ видѣ комплексныхъ величинъ будемъ имѣть

Е0 = е0 -f-jet/, Ek = ei -|-je^ .E„ = e„ -f-.lVn

Jo = i0 -j-jV, Ji — ii -\~ j^i ..Jn — in — jifn

= r0 js0, Ъ\ — Гі —jsi .....*. Zn = rn —j sn

Относительно значенія всѣхъ этихъ величинъ нужно сказать слѣдующее: выраженія V еь2 + еѴ и / і к2 -\- і'р мы будемъ, чтобы не

вводить поправочнаго множителя, считать равными дѣйствующимъ

/--------

напряженіямъ и токамъ. Кромѣ того величины |/ ек2 еѴ будемъ

предполагать зависящими только отъ числа оборотовъ машины и силы тока въ возбуждающей обмоткѣ магнитовъ, и не зависящими отъ размагничивающаго дѣйствія якоря.

Въ дѣйствительности sk есть сумма реакціи самоиндукціи и члена зависящаго отъ размагничивающаго дѣйствія якоря, такъ что

sk = 2т: со Lk -(- Kk sin (Ek Jk)

гдѣ Kk коеффиціентъ зависящій отъ конструктивныхъ особенно- ' стей машины *), Дйлая второе предположеніе мы пренебрегаемъ вторымъ членомъ въ выраженіи для sk.

Всѣ эти выраженія и всѣ послѣдующія разсужденія относятся къ однофазнымъ машинамъ или къ одной фазѣ многофазныхъ машинъ.

*) См. G. Kapp. Dyn. f. Gl. und Weeks 3-te Aull § 103.

Вставляя выраженія (2) въ уравненія (1) и(І'), и приравнивая отдѣльно вещественныя и мнимыя части получимъ систему 2 п -|- 4 уравненій:

е„ + іі гі — і'і sj = ej '

е0 + іі sL ф- і'і г — е'і

ео -j- іп i’n — i'u s„ — en

e0 -j- i„ su -j- i,/ г» — ej

e0 — io i’o io' s0 = 0

6o lo So lo l’o — U

П

Іо' — ^ Ік = О

1

П

i'o — ^ ik' = О

1 )

(3)

Наибольшій практическій интересъ представляетъ случай, когда къ ряду уже находящихся въ установившемся синхроническомъ движеніи п—1 машинъ привключается новая n-я динамомашина.

Мы можемъ представить себѣ совокупность раньше находившихся въ работѣ и—I машинъ одной фиктивной машиной, сопротивленіе которой R и реакція якоря S опредѣляются уравненіями ,

11 — 1 П —1

1 _Ѵ 1 1_ѵ —

R* “ - - Sk '

Эта фиктивная машина очевидно должна доставлять токъ А = а 4- ja' равный суммѣ токовъ доставляемыхъ п—1 дѣйствительными машинами, а потому

п-i

V • ■'

а = у ik , t а

п - 1

Электродвижущая сила фиктивной машины Е = s -f- jV должна быть равна геометрической суммѣ дѣйствительнаго напряженія на

сборныхъ шинахъ е0 —f— je0 и электродвижущей силы, теряемой вслѣдствіе прохожденія фиктивнаго тока a-j-ja по арматурѣ съ фиктивнымъ кажущимся сопротивленіемъ R-f-jS , т. е.

е =е0 +aR-a'S і г' — е(/ а S а' R I

ГІослЁднія 6 уравненій системы (3) и уравненія (7) достаточны для опредѣленія е0, е0', а, а'1? і'п, і'п въ зависимости отъ величинъ s, гг, е0, б</-

Распредѣленіе токовъ между всѣми п -- 1 альтернаторами найдемъ изъ 2 (п—1) первыхъ уравненій системы (3) и уравненій (4), задаваясь величинами электродвижущихъ силъ каждаго альтернатора.

4. На основаніи сказаннаго, а также въ виду сложности формулъ, получающихся при рѣшеніи полной системы уравненій (3), мы ограничимся изслѣдованіемъ системы уравненій для случая двухъ параллельно включенныхъ альтернаторовъ.

Система эта, состоящая изъ восьми уравненій, кромѣ величинъ r0, ly, r2, s0, sb s2, которыя мы можемъ считать постоянными, содержитъ двѣнадцать перемѣнныхъ

6] ? е^, в2, е 2, іі, і [, і і 2,1

J

: 0) С? ІО

!

и имѣетъ видъ

ео ~\~ ѣ і'і —- ііг — еі

<ѴН~Іі Й1 ~\~ !‘і — е\

Со -f- Іг R І2 So = е2

e0, Н- І‘2 S‘2 U ' J-2 = е’ 2 ^

е0 —■ Іо !‘о “Ь Іо So = О е</— і0 s0 ■— і?0 і'о — ^ і о — іі — І2 = 0

і'о-іѴ-і-2 =0

Изъ двѣнадцати перемѣнныхъ входящихъ въ эти уравненія величины еь е\, еа, еС являются фактически произвольными: только ихъ мы можемъ по произволу мѣнять, измѣняя возбуждающій токъ

или скорость вращенія. Въ функціи этихъ четырехъ величинъ мы и выразимъ остальныя 8 неизвѣстныхъ.

Опредѣлитель системы уравненій (6) есть

1 о 1‘1 — Si о О О О

о 1 Si 1‘1 о о о о

1 О О о Го —s2 О 0

0 1 о о So Го о 0

1 О о о О О г,“ -So

0 1 О О 0 о So Го

о О 1 о 1 0 1 О

О О 0 1 О ] 0 ]

— S (г,,2 -f- s02) (г22 -f~s22) -f- 2S (sL s2 —i’i T2) (i'o H—Sq"") (7)

(гдѣ S есть знакъ суммы трехъ членовъ, получаемыхъ одинъ изъ другого круговой перестановкой индексовъ о, 1, 2, напримѣръ

s Si s2 = Si So -f s2 s0 + So s,)

Для величинъ проекцій векторовъ тока Ji на оси координатъ будемъ имѣть выраженія

. Дзі ~Ь е/ Азг А е2 Лзз А Аз4

ц-е, д

А Д Д42 А ез А43 А Д А44

Щ-е, д ”

и подобныя же выраженія для проекцій і2, і'2 тока J2, гдѣ Доф есть опредѣлитель миноръ, соотвѣтствующій а-му столбцу и ß-й строкѣ. Разсматривая опредѣлитель Д не трудно найти, что

Дзі = Д42 — Аі ■

Дз2 = Д4І == Ві Л33 ; Д44 — ДэІ Дбі ~ С

Д34 — Д4З — Дб2 — ' Дбі

ДбЗ — Дб4 ~ А 2

Д54 — Дбз = Рз

— D

гдѣ

Ai— (l’i 1 1*2) (r02-[-So2) -f“ (Го+І’і) (r22-bs22) +2r! (ГоГгЧ'йо^)

Bi= (Si+Sa) (r0a+s02) + (So+sJ (r22+s22) -f 2s! (r0r2-j-SoSg) A2= (l’l -fr2) (r02T-s02) + (Го-t- Г2) (гг’-fsi2) ~j-2r2 (ГоГі +SnSi) B2= (Si +s2) (l*02+S02) + (su+SЙ ) (l’i l + S12) +2s2 (гиГ! “j~SuS| ) C= (14-f r2) (r„2+S02) + 1*0 (Г!Г2—SiS2) -fs0 (riS2-f-S!r2) D=(S!-fs2) (r02+So2) +S0(SiS2--------------rjl'a) “l- Г0 (l‘i S2 ( S] r2)

и выраженія для величинъ іъ і/, і2, і2' окончательно напишутся

такъ:

ві Аі -j- е/ Ві — е2 С — ѳ2 D

—

•г__— £і Ві -)- е/ Ai Д е2 В С

---------------л

• _ — Ѳі С — Gi D -{- е2 A2f е2 В2

2 ^

і 2~ еіВ ■ е/ С с2 В2 -f- е2/ Л2

~ Д~

(9)

Изъ послѣднихъ двухъ уравненій группы (6) будемъ имѣть

■ _ ві Мі + е/ Ni + е2 М2 -f- e2'N2 1

g 1

; I_— Ni -[- Gi Mx e2 N2H-e2 M2

” _

гдѣ для краткости

Mi—А, - C= (г0-|-Гі) (r/H-s22) +r0(rir2+s1s2)+s1(r1s2—spV)' Nt=Bi—D — (So+Si) (r2a-f-s2*) — r0(rLs2— S!r2) ^(граДз^) M2 —A2—C= (r0-hr2) (r^+Sj2) +r0(r,r2+SiS2) —So (rts2 —S!r2) N2=B2—D—(S0+S2) (ri2-f-Si2) -(-Го (tiS2—SiS2)+s0 (r^-bSkSg)

(10)

(11)

Вставляя въ уравненія пятое и шестое группы (6) значенія і0 и V изъ (10) и полагая для краткости

K|=M1ru-(-N1So= (rul'i-bSoSj) (l’2J + S22) —j— (г(/—(—So2) (r22~hS22) 4"

+ (r02+s02) (гд'2+s^a).

L,=M,s0 N,r0= (s0r,~r„s.) (r22+s22) (r,s2—s^g) (r02+s02),

K2 —M2ro+N2S0= (r0r2-j-SoS2) (l‘j2-(-S,2) 4- (ri>2+So2) (l’i2 + Si2) -|-

-)-(lV+So2) (r,r2-]-SiS2) ,

L2=M2s,r—'N2r0= (sijig—r„s2) (r,2+st2) ■ (riS2—йіГ2) (r0 4~so)?

получимъ проекцію вектора напряженія на соорныхъ шинахъ

е„ =

___ ві Кі — е/ Li -(- е2 К2 ■ е2 L2

Л “

ei Lt -j~ е/ Кі Н~ e2 L2 e2f К2

" . ' Л

(13)

При помощи уравненій (9) мы можемъ выразить мощности обоихъ альтернаторовъ въ функціи проекцій векторовъ ихъ электродвижущихъ силъ на двѣ взаимно перпендикулярный оси; если W! и W2 эти мощности, то

щ сд _|_е ___(еіЦ-е'і2) Аг—С (еіе2-]-е/е20 Р(еіе2 —е2ег')

^ 414)

^у2=е2і2-1_е2,і2,= (е22~1~еѴ) А2—С (еіе2—{—еі'е2') Н~Р (eie2f—е^ві1) I

2 2 2 2 2 д I

Уравненія (9), (10), (13) и (14) представляютъ величины, характеризующія разсматриваемое соединеніе альтернаторовъ, при чемъ формулы эти имѣютъ постоянное значеніе если періодичность электродвижущихъ силъ обоихъ альтернаторовъ одинакова, (еи е/, е2, e2f постоянны), или временное, только для даннаго мгновенія, если Еъ Е2 имѣютъ различную періодичность (всѣ или нѣкоторыя изъ величинъ е1; е/, е2, е2' перемѣнны). См. § 2.

5. Въ „Electrical Revue. London 1893е Whitwell помѣстилъ статью*), содержащую выводъ формулъ для токовъ и мощностей двухъ параллельно включенныхъ альтернаторовъ въ предположеніи

*) in extenso къ НаікІЬ. <1 El, ѵ. Heinke В. IV. S. 1 8fi (Niethammer).

тождественности машинъ и равенства амплитудъ электродвижущихъ силъ Ех и Е2.

Видъ формулъ Whitwell’a иной, чѣмъ полученный нами, но послѣ нѣкоторыхъ преобразованій ихъ не трудно получить какъ частный случай изъ формулъ (9) и (14).

Пріймемъ за направленіе оси вещественныхъ значеній направленіе одного изъ векторовъ электродвиж} щихъ силъ, напр. Ед тогда, если у уголъ разности фазъ электродвижущихъ силъ, очевидно въ формулахъ (9) и (14) нужно положить

еі=Е,,е,' = о .

е2 Е, Cos у ,е.2 =Е2 Sin у

и мы будемъ имѣть

EtAi — Е*(С Cosy+ D Sin y)

= А ~

— Е, В + Е2 (D Cos y — С Sin у)

“ д

Е2 (Ао Cos у f B2Siuy) —EtC

“ А ' “

Ба (А2 Sin у — В2 Cos y) + E1D

Далѣе, изъ уравненій (7) и (8) не трудно видѣть что,

С2 + D2 = (г02 + So2) Д , ■

Аі2 + В!2 = {(г0 -f- rä)2 А (so Дs^)2!' А ’

А22 + В22 — {(г0 -\- Гі)2 -j- (s0 4- sO 2[ А,

По этому, если ввести новый величины <К, ф2, Фз> полагая

!

tg Фі = tg Фа —

D Ь>1

В-.

I

будемъ имѣть изъ (15)

\/~(іо 4“ г2) 2 -|- (s0 s2)2 r0 4"So

іі — Ej r ----------7^=7=-----'----Sin ф2 — E2 -■ - /- • - Sin (7

Ei

Л

|/"(r0 + Г*) 2 + (So 4~ So) '

І2 = E2

/Д

|/"(r0 4- rt) 2 4х (So 4- Si

’ ~~~7л

/А

\f r02+s0s

-Cos'jo-t-E/—7/=-—Cos(y+4»i)

l/"ro4-bSo2.

Sin (у 4~ Фз)—"Ei г—- Sin ф.

У A

Ki 6)

]/~(r0 4-r,|s + (s„ + s,)’ у v,,‘ -+- s,‘

ia =—E21-------r=-----Cos(r+<K) +e7—7^—Cos <K

Мощность первой машины есть

l/^l'o + rO’ + fSo-t-S;)2 А IV+S„“

VV,- --- КГ'---------7 - ----------Kill Гі — Е ЕГ—7- ;-—SinfTI-Г,) (17)

|/А

Ѣа

Мощность второй:

.?і/"(Г°+г4Ч (So + Si)2 l/r02-f-So2 Ѵ

W2=E2--------7=----—Sin4»3+EiE2-—77=— Sin(v—■фх) (17 blJ)

у А У A

Уголъ отставанія тока отъ электродвижущей силы въ пер-

• і

р .

вомъ альтернаторѣ будетъ а = arctg—, а во второмъ у + ^, гдѣ

Ѣ

|3 = arctg ■?-

Для машинъ тождественныхъ и одинаково возбужденныхъ будемъ имѣть

Ei = E2 ~ E, ф2 = фв = ф

Гі = Г, = Г, Sx = S2 = S

Д = (г2 + s2) (г2 н- S2 + 4 (г,,2 + Si/) Ч- 4 (гг0 + SSo) [

Предполагая, что электродвижущая сила перваго альтернатора опережаетъ по фазѣ электродвижущую силу второго, т. е. считая въ формулахъ (16) уголъ у отрицательнымъ, получимъ для мгновенныхъ значеній силы тока опережающей машины выраженіе

Ji=yr2 Е|/ Хі2 + Yi2Sin((.ot— s),

отстающей

Ji = yr 2 Е|/^ Х22 + Y22Sin (со t — £ гдѣ .

}/~ (Го + г)* + (s* + S)2

/д

Эіпф

л/~ (г0 + г)2 + (So + s)2 Го2 + So2

Yx =-----~r=-----Созф— -—7=^— Cos (ф, - т>

'/А

/А

х2

Г.і2 Т So"

' Ca ■Sin(cp-T)—

]/ (l"o + г)2 Ч" (So + s)2 l/r02 + So2

■ - Ca - Соз(ф —у)

Cos фх

и

д

X,

Выраженія (17) и (17Ъі3) пріймутъ тогда видъ', для опережающей машины,

Wi = EJXx,

при чемъ токъ остаетъ отъ электродвижущей сиды на уголъ е, и для отстающей

при углѣ отставанія тока у -f-

Въ такомъ видѣ выраженія для Jj, J2 ,Wi и W2 получены въ цитированной статьѣ \ѴЪйеѵѵе1Гемъ. Особенной выгоды формы эти сравнительно съ полученьями нами не имѣютъ, и выводъ ихъ приведенъ здѣсь только потому, что теорія Whitewell’a помѣщена какъ образецъ математической теоріи параллельной работы альтернаторовъ въ указанномъ выше изданіи V. Heinke, получающемъ большое распространеніе между электротехниками.

6. Уравненія (14) представляютъ зависимость двухъ величинъ Wx и Wo отъ векторовъ электродвижущихъ силъ, или отъ ихъ проекцій на взаимно перпендикулярныя оси. Изслѣдовать эту зависимость удобнѣе представивъ ее геометрически.

Пріймемъ, какъ и въ предыдущемъ параграфѣ направленіе вектора Ег за ось вещественныхъ значеній, и предположимъ, что по величинѣ этотъ векторъ остается постояннымъ. Тогда уравненія (14) обратятся въ

Уравненія эти очевидно суть уравненія геометрическихъ мѣстъ, на которыхъ долженъ оставаться конецъ вектора Ег —e2-j-je'2 для заданныхъ величинъ W, и W2. Эти геометрическія мѣста мы будемъ называть линіями мощности перваго и второго альтернатора.

Первое уравненіе представляетъ при перемѣнномъ параметрѣ Wi пучекъ параллельныхъ прямыхъ наклоненныхъ къ оси X (фиг. 3) подъ угломъ КОХ, опредѣленнымъ изъ уравненія

W2 = Е2 (X 2 Cos у — У2 Sin к)

II. Графическое изслѣдованіе.

Д W, - А, Е,2 - СЕ, е2 — DE, е'2 Д W2 = А2 (е22 + е/22) — СЕ, е2 Д DE,e's

(18)

Второе уравненіе (18) есть уравненіе круга, координаты центра N котораго суть . ■ -

и радіусъ

„ _ Ё, _С _ Е, D_ ?~~2 А2 ,ГІ ^ ’ 2 А,

Р=2Г,

l^W + ^AaAW.

(20)

(21)

Координаты центра отъ W2 не зависятъ, и слѣдовательно, всѣ круги соотвѣтствующіе различнымъ W2 концентричны.

Общій центръ лежитъ, какъ видно изъ уравненій (20) на пересѣченіи перпендикуляра NS къ оси ОХ, возставленнаго изъ точки S лежащей на разстояніи

С С

• отъ начала координатъ, вправо если . >о, и влѣво когда ~г~ < о,

А 2 Аз

и наклонной къ ОХ проведенной изъ точки О подъ угломъ G2 ОХ, который найдемъ изъ условія

tgG2OX = — А (22)

Выведенныя нами формулы относятся, какъ было упомянуто выше, къ самому общему случаю параллельной работы двухъ альтернаторовъ, заключающему въ себѣ какъ случай двухъ работающихъ параллельно на внѣшнюю цѣпь генераторовъ, такъ и случай передачи энергіи при помощи двухъ альтернаторовъ, изъ которыхъ одинъ служитъ двигателемъ, а другой генераторомъ.

Въ первомъ случаѣ оба альтернатора доставляютъ во внѣшнюю цѣпь электрическую энергію, въ обоихъ уголъ между векторами

. 7Г

электродвижущей силы и тока будетъ меньше ~ и слѣдовательно

■ - ' ' 2,

въ этомъ случаѣ

W, > о , W3 > о .

Во второму случаѣ одинъ альтернаторъ (положимъ первый) развиваетъ электрическую энергію поглощая механическую, и питаетъ внѣшнюю цѣпь и другой альтернаторъ, поглощающій электрическую энергію и развивающій механическую. Во второмъ альтернаторѣ, какъ извѣстно, уголъ между векторами электродвижу-

I W

щей силы и тока будетъ больше ъ и слѣдовательно въ этомъ случаѣ будемъ имѣть

' W! > о, W 2 < о .

На діаграммѣ знаки W2 и W2 опредѣлятся слѣдующимъ образомъ.

Кругъ соотвѣтствующій мощности W2 = о имѣетъ радіусъ

Ро

/ С2 + D2

х

Е,

2

и проходитъ черезъ начало координатъ. Радіусы круговъ отрицательныхъ мощностей W2, т. е. круговъ соотвѣтствующихъ случаю когда второй альтернаторъ работаетъ какъ двигатель, поглощая энергію развиваемую первымъ альтернаторомъ, будутъ очевидно меньше величины р0, такъ какъ А2 существенно положительно, и слѣдовательно круги мощностей W2 < о будутъ лежать внутри круга W2 = о. Круги положительныхъ мощностей, W2 соотвѣтствующіе случаямъ, когда или оба альтернатора работаютъ какъ генераторы, или второй альтернаторъ питаетъ кромѣ внѣшней цѣпи первый—работающій какъ двигатель, будутъ лежать внѣ круга р0.

Наибольшаго абсолютнаго значенія для случая когда второй альтернаторъ работаетъ какъ двигатель, мощность W2 достигаетъ при р = о. Тогда

W,

С2 + D2 4А2Д

Еі

IVs + S„s „ ä

Е'

это есть наибольшая мощность, которую можетъ развить двига-гатель включенный параллельно съ внѣшней цѣпью имѣющей кажущееся сопротивленіе r0 + j s0, когда электродвижущая сила питающаго альтернатора есть Et.

Обратимся къ прямымъ мощности перваго альтернатора. Прямая проходящая черезъ начало координатъ соотвѣтствуетъ

Wl = й Еі'

это величина всегда положительная. Прямая мощности Wj = о пересѣчетъ ось X—въ въ разстояніи отъ начала координатъ

А,

С

Е,.

Знакъ % зависитъ отъ знака С ; если С < о прямыя мощности идутъ въ порядкѣ возрастающей мощности слѣва на-право; когда С > о, — справа на-лѣво. Знакъ коеффиціента С зависитъ главнымъ образомъ отъ величины г0; обыкновенно эта величина сравнительно съ S! , s2 не значительна, и членъ ( —■ г0 Si ) въ выраженіи С въ уравненіяхъ (8) получаетъ преобладающее значеніе, т. е. С < о. Для случая г0 = со, т. е. для случая передачи энергіи двумя альтернаторами безъ отвѣтвленія тока во внѣшнюю цѣпь, £ = El

7. Построивъ для данныхъ s0, sl5 s2, г0, гъ r2 и даннаго напряженія, т. е. предполагая скорость вращенія постоянною, для даннаго возбужденія одного изъ альтернаторовъ, сѣть прямыхъ и круговъ мощностей, мы легко найдемъ мощность каждаго изъ альтернаторовъ, зная возбужденіе второго альтернатора и уголъ разности фазъ ихъ электродвижущихъ силъ.

На фиг. 3 построены для примѣра (*} линіи мощности двухъ параллельно включенныхъ альтернаторовъ для случая

Е, = 2500 вольтъ

Гі = Га = 1 , Si = Sa= 10 , Го = 0,6, So -- 0,8.

Тогда Го2 + Sy2 — 1

А, = А2 = 180,8 С = — 41,4

D = 111,2

*) Примѣръ взятъ изъ книги С. Р. Steinmetz’a Т. u. В. d. W. стр 291.

- Мы будемъ называть нормальной мощностью ту, которую будутъ имѣть альтернаторы при совпаденіи по величинѣ и направленію векторовъ ихъ электродвижущихъ силъ. По формулѣ (14) найдемъ W, =■ W2 норм, = 99 KW. На діаграммѣ начерчены круги нормальной мощности W2, 3/4, 1/2 и 74 ея. Выбравъ масштабъ напряженія 25 вольтъ = lm/m, по формулѣ 21 найдемъ: '

при W2 норм. = 99 КW р = 11 6тю-при 0,75 W2 норм. р == І02тга

• при 0,5 W2 норм. р = 87тт' .

при 0,25 Wo норм. р = 65,8тт'

Для мощности WT начерчены прямыя нормальной мощности 0.75 и 0,50 ея. Эти прямыя построимъ зная

' С .

tgKOX = — ^^0,372

и вычисливъ по уравненію прямой мощности разстоянія точекъ пересѣченія этой прямой съ осью ординатъ отъ начала координатъ:

OFx _= — 38mm', OF2 = 12,2mm-, OF:3 = 62,Bmm-

Положеніе вектора Eä на чертежѣ соотвѣтствуетъ нѣкоторымъ величинамъ W, и W2, опредѣляющимся прямою и кругомъ мощностей проходящими черезъ точку s2.

Вообразимъ, что мы уменьшаемъ притокъ энергіи къ машинѣ движущей второй альтернаторъ, оставляя электродвижущія силы Еі и Е2 постоянными по величинѣ, т. о. оставляя постояннымъ возбужденіе обоихъ альтернаторовъ. Тогда очевидно мощность второго альтернатора уменьшится и точка г2 принуждена будетъ перейти на кругъ меньшаго радіуса, соотвѣтствующаго нѣкоторой величинѣ мощности Ws — 0W2, гдѣ oW2 измѣненіе мощности, и занять положеніе е'2. Мощность перваго альтернатора при этомъ увеличится до величины W oW15 опредѣляемой прямой мощности, проходящей черезъ точку г\. Уголъ разнести фазъ электродвижущихъ силъ при этомъ, какъ видно изъ діаграммы, увеличится. Продолжая уменьшать притокъ энергіи . къ ,машинѣ двигателю

второго альтернатора мы увидимъ, что точка г2 вектора О е2 будетъ двигаться по кругу Gi£2G2 но направленію движенія часовой стрѣлки, при чемъ мощность перваго альтернатора будетъ возрастать, и слѣдовательно долженъ увеличиваться притокъ энергіи къ машинѣ двигателю перваго альтернатора. Мощность будетъ возрастать при увеличеніи угла разности фазъ электродвижущихъ силъ пока точка е2 не прійдетъ въ точку Gb въ которой кругъ G2 £2 Gj касателенъ къ прямой мощности проходящей черезъ эту точку. Если будемъ далѣе увеличивать уголъ разности фазъ электродвижущихъ силъ, мощность W2 очевидно начнетъ уменьшаться, и равновѣсіе между движущей силой и электрической энергіей нарушится. Прямая OGi на діаграммѣ будетъ границей устойчивости движенія параллельно включенныхъ альтернаторовъ.

Если, исходя изъ положенія вектора Ое2 на діаграммѣ, предположимъ притокъ энергіи къ машинѣ двигателю второго альтернатора увеличивающимся, мы подобнымъ же образомъ увидимъ, что мощность Wj будетъ убывать, а мощность W2 возрастать, пока точка е2, двигаясь цо кругу G2 s2 Gt противъ направленія движенія часовой стрѣлки, не прійдетъ въ точку G2, въ которой кругъ этотъ касателенъ къ кругу мощности, проходящему черезь эту точку. Прямая OG2 будетъ другимъ предѣломъ устойчивости движенія. Изъ условій (19) и (22) имѣемъ

tg G2 OX.tg КОХ= 1;

прямая Gi О перпендикулярна къ прямой КО, слѣдовательно

AG2 OX = OX,

т. е. предѣльный уголъ разности фазъ электродвижущихъ силъ параллельно работающихъ альтернаторовъ опредѣляется условіемъ

tgTm« — - Q- (абсолютн.

велич.)

(23)

Величина эта очевидно зависитъ только отъ кажущихся сопротивленій обмотокъ якорей обоихъ альтернаторовъ и внѣшней цѣпи, и играетъ очень важную роль въ вопросѣ устойчивости двй-

женія альтернаторовъ при разсматриваемомъ ’соединеніи, такъ какъ чѣмъ больше уголъ ушах = Z-Gn OX = OX, тѣмъ на большій уголъ могутъ расходиться векторы электродвижущихъ еилъ, не нарушая устойчивости движенія системы, у.;есть уголъ на діаграммѣ; въ дѣйствительности ему соотвѣтствуетъ значительно меньшій уголъ. Если напр. оба альтернатора имѣютъ одинаковое число паръ полюсовъ р, то углу 2 ~ на діаграммѣ соотвѣтствуетъ

' 2~ -уголъ поворота якоря ——, и углу разности фазъ электродвижущихъ силъ у — уголъ расхожденія осей одноименныхъ полюсовъ

Отсюда ясно, что чѣмъ больше число полюсовъ, тѣмъ, при одинаковыхъ условіяхъ, альтернаторы менѣе приспособлены къ параллельной работѣ.

Какъ было сказано, почти всѣ авторы статей по разсматриваемому вопросу, начиная съ Гопкинсона, обращали вниманіе на вліяніе отношенія реакціи самоиндукціи якоря къ его омическому сопротивленію, на способность альтернатора къ параллельному включенію. Изслѣдуемъ въ этомъ отношеніи формулу (23).

Пусть

Sj s2

■ а1 — "jTj'T2 = “ '

Тогда уравненіе (23) можно написать такъ:

(Г02-І~ So*) “hS° -H’n (aL+a2)

tgy шах =----------J--------------------------------(абс.знач.) (23Us)

(r02 + S02) + (1--Зіа2) + So (3l+a2)

Если составимъ частныя производныя отъ этого выраженія по Oj и 02, то увидимъ, что эти производныя всегда положительны и въ нуль для вещественныхъ значеній ot и о2 не обращаются. Это значитъ, что при возрастаніи о: и о2, tgymax возрастаетъ, при чемъ абсолютная величина его возростегь если tgyraax, положителенъ и убываетъ въ обратномъ случаѣ. Наиболѣе выгоднымъ въ смыслѣ устойчивости параллельно включенныхъ въ цѣпь альтер-

71 f ' —

наторовъ будетъ случай когда у та*. — "gf > Т* е- когда ЧзУтах.—

= zt оо, а это будетъ въ случаѣ такой комбинаціи отношеній реакцій самоиндукцій якорей къ ихъ омическимъ сопротивленіямъ аі и 02, при которомъ знаменатель выраженія 23 Ьі3 обращается въ нуль, т. е. когда

г0 аі а2 — So (оі + а2) — (г02 + So2) (”+~) “ Го = о.

Въ случаѣ если имѣемъ два тождественныхъ альтернатора т. е.

73

аі — а2 ~ а, Г1 = Г2 = Г, ТО У max, = ± ПЦИ

So 4 ]/ So2

Н~ 4 г0

2

(г02 S02) го

2 г,

Абсолютная величина выраженія 23 bs при оі = ог = оо есть

So

а при Оі=о2=о, это выраженіе обращается въ--------------р:-----

(r„! + s„’) І“ + 7г) + г»

Эти выраженія показываютъ, что какъ при очень большой самоиндукціи сравнительно съ омическимъ сопротивленіемъ, такъ и при очень малой, устойчивое движеніе альтернаторовъ включенныхъ параллельно возможно только при значительной самоиндукціи внѣшней цѣпи.

На практикѣ оказывается, что присутствіе желѣза въ якоряхъ альтернаторовъ современныхъ конструкцій гарантируетъ величину самоиндукціи, при которой уголъ ути_ остается достаточно большимъ

8. Выведенныя выше формулы и діаграммы не трудно примѣнить къ случаю передачи работы при помощи двухъ альтернаторовъ, изъ которыхъ одинъ работаетъ какъ генераторъ, а другой какъ синхроничный двигатель, и изъ діаграммы фиг. 3 получить извѣстную діаграмму ВІоікІеГя *). Полагая г — оо въ формулахъ (9), (10), (13) и (14) получимъ

*) А. BlondeL Moteurs Synchrones. Стр. 82. См. такъ же С. Томсонъ Динамоэл. маш. Русскій переводъ Голова, стр. 841 іт 847. ■

e0 =

. _ . __ (i’i + r2) (ei — e2) + (s! + sa) (e/ — e2')

ll“~l2_“ “ (i’i + r2)2 + (sx + se)“

, m (S1 H~ s2) (el —■ ^2) ~1~ (Г1 ~1~' Г2) (elf~e2p 11 12 fa -\~ Г2)* + (Si + s2)2

І„ = 0; Іо' = 0

ei [r2 (ri+r2) -|-s2 (Si —j—s2)] +e2 [r, (r0+r2) +Si (Si+s2] -f - 4-(riS2--s»r2) (e2'—e/)

e0 = -

(i’i“!-r2)* + (Si—}—s2 )2

е/ [r2 (ri+r2) +s2 (Si +s2)] -j-e2' [h (rL+r2) -f-st (s,-fs2)]+ + (r1s2—s1r2) (e2—ei)

. (25)

W1 =

Wo

(ri+ra) (ei'+e/2—e!e2—ejV) —(s,+s2) (еге2—e2e/)

(Гі-f r2)2 + (Si+S2)a

(i-!+r2) (€22-he2'—eie2—e1'e2f)-|-(s1H-s2) (eie2'—eaeiQ (ri (si 4-s2)2

■(26)

. Уравненія линій мощностей пріймутъ въ предположеніи г = со слѣдующій видъ: .

{(гі -fra)2 + (sl-hs2)2}W1== (rL +r2) Et2— (г!+г2) Ete2—

— (s1^-s2)E1e2/

{Ob ~1J 1*2 )2 (Sl+S2)2}W 2 = (l’l (^-22—}“^2/2) (fl+12)^1 e2-[-

"b (si+^2)^162'

(27)*

въ которыхъ по прежнему е2 и е'2 считаемъ за текущія координаты. Діаграмма прійметъ видъ фиг. 4. На этой діаграммѣ обозначенія остаются тѣ-же что и на фиг. 3

Центръ круговъ мощности лежитъ , на пересѣченіи перпендикуляра возставленнаго изъ середины отрѣзка О Ери наклонной, проведенной изъ точки О подъ угломъ N О Ej = 7 max къ ОЕі, при чемъ

tgT

S1 ~bS8

rt + r2 ■

Кругъ ' мощности W2 = о проходитъ черезъ точки О и Е1; а прямая мощности W, = о черезъ точку Е, и касательна въ этой точкѣ къ кругу Ws — о. Очевидно, что если точка Е2 лежитъ въ части плоскости (заштрихованннй на чертежѣ) заключенной между кругомъ W2 = о и прямой W1 = о, то оба альтернатора работаютъ какъ генераторы, т. е. поглощаютъ механическую энергію и развиваютъ токъ, энергія котораго вся идетъ на нагрѣваніе обмотокъ; передачи энергіи въ этомъ случаѣ не будетъ.

Векторъ Еі Е2 на діаграммѣ представляетъ очевидно потерю электродвижущей силы вслѣдствіе кажущагося сопротивленія въ арматурѣ и соединительныхъ проводахъ альтернаторовъ (rb r2, st и я* мы предполагаемъ заключающими въ себѣ также омическія сопротивленія и реакціи самоиндукцій соединительныхъ проводовъ). По величинѣ векторъ тока ’протекающаго черезъ оба якоря будетъ равенъ .

• ( ..... Ei Ivj_________ .

■ У (Гі -f- Г2)2 4- (Si + S2)3 ’

такъ какъ знаменатель этого выраженія есть для данныхъ альтернаторовъ величина постоянная, то отрѣзокъ Et Е2 мы можемъ считать равнымъ току J, измѣряя его масштабомъ въу^(ri+r2)2+(si-fs2)2’ разъ большимъ чѣмъ масштабъ электродвижущихъ силъ.

Примѣчаніе. Въ уравненіи (24) векторы токовъ Ji , J2 получились съ обратными знаками, хотя очевидно эти векторы представляютъ одинъ и тотъ же токъ, протекающій послѣдовательно черезъ обмотки обоихъ альтернаторовъ, Эта кажущаяся несообразность получается вслѣдствіе того, что направленіе тока разсматриваемъ по отношенію къ электродвижущимъ силамъ Е1} Е2, векторы которыхъ для удобства предполагаемъ расположенными

7Г

подъ угломъ у меньшимъ -ур Если бы мы располагали

. векторы Еі и Е2 подъ угломъ тг —|— У, знаки J, и J2 были

, бы одинаковы.

Предѣломъ отрицательной работы будетъ, какъ и въ общемъ случаѣ, го значеніе величины W2, при которой радіусъ круга мощности W2 обращается въ нуль. Величину эту получимъ изъ условія

г, • ѵ, ѵ \ 2 J

+ (r,+r2)Ws

откуда

Это предѣлъ теоретическій, до котораго величина' мощности никогда не доходитъ, такъ какъ такая мощность всегда соотвѣтствуетъ току значительно большему того, какой могутъ безъ опаснаго нагрѣванія вынести обмотки якорей альтернаторовъ. Если знаемъ этотъ послѣдній токъ, то описавъ изъ точки Е, какъ изъ центра окружность радіусомъ равнымъ этому току, въ соотвѣтственномъ масштабѣ, будемъ имѣть границу, внутри которой должна оставаться точка Е2.

Подобно тому какъ мы строили линіи равныхъ мощностей,, можно построить линіи равныхъ угловъ разности фазъ тока и электродвижущихъ силъ Е: и Е2, т. е. линіи обладающими тѣлъ свойствомъ, что пока конецъ вектора О Е2 остается на ней, уголъ между векторами Е] и J или Е2 и J остается постояннымъ.

Направленіе тока всегда составляетъ съ направленіемъ вектора Е2Е, (считая за полюсъ точку Е»), уголъ у ш, котораго tgym =

=—т-—. Не трудно видѣть, что уголъ между токомъ и электро-

Г1 і~ Г2

движущей силой Ег равенъ углу E2EjN, и при томъ отрицателенъ (токъ отстаетъ) когда точка Е*2 лежитъ лѣвѣе прямой NEi и положителенъ (токъ опережаетъ электродвижущую силу), когда точка Е2 находится правѣе этой прямой для случая когда первый альтернаторъ работаетъ какъ генераторъ, а второй какъ двигатель и обратно въ обратномъ случаѣ. Очевидно что линіей угла разности фазъ (Ei,J) = o будетъ прямая NE1? а линіями прочихъ угловъ (EbJ)—прямыя проходящія черезъ точку Et и наклоненныя къ оси X подъ этими углами. Изъ сказаннаго видно, что при постоянномъ возбужденіи перваго альтернатора уголъ разности фазъ его электродвижущей силы и тока зависитъ только отъ возбужденія второго альтернатора. Возбужденіе второго альтернатора, при которомъ разсматриваемый уголъ равенъ нулю, называютъ нормальнымъ. Очевидно что перевозбужденіе альтернатора

s, + s2

работающаго въ сѣти перемѣннаго тока какъ синхроничный двигатель, будетъ вызывать опереженіе тока относительно первичнаго напряженія и такимъ образомъ компенсировать вліяніе самоиндукціи цѣпи и включенныхъ въ нее трансформаторовъ, асинхро-ничныхъ двигателей и дуговыхъ лампъ. Вопросъ о выгодности въ различныхъ случаяхъ компенсаціи самоиндукціи цѣпи при помощи синхроничныхъ двигателей подробно разобранъ А. ВІопсІеГемъ въ книжкѣ „Moteurs synchrones“ стр. 112 —150; здѣсь мы его касаться не будемъ. •

Чтобы построить линіи равныхъ угловъ разности фазъ тока и электродвижущей силы второго альтернатора Е2, замѣтимъ, что если /_ (Е2, J) = Const, то должно быть такъ-же /_ ОЕіЕ., =Const. Слѣдовательно искомыя геометрическія мъста будутъ круги, проходящіе черезъ точки ОгЕь Е2. Кругъ угла (Е2*Т) = о будетъ очевидно соотвѣтствовать /_ОЕ2Еі~т: — ут, и слѣдовательно будетъ

. ' касательнымъ къ прямымъ N0 и NEt. Кругъ угла (Ej,J)=--p будетъ совпадать съ кругомъ мощности W2 — о. .

Дальнѣйшій разборъ случая передачи энергіи при помощи двухъ альтернаторовъ, т. е. случая г0 = со не входитъ въ программу настоящей статьи*). Здѣсь укажемъ еще только на одно упрощеніе діаграммъ ВІошІеГя. Будемъ считать величину Еі напряженіемъ на клеммахъ второго альтернатора, предполагая какъ и прежде Ej = Const. Это предположеніе равносильно предположенію, что омическое сопротивленіе и реакція самоиндукціи перваго альтернатора такъ малы, что измѣненіемъ напряженія на клеммахъ вслѣдствіе измѣненія нагрузки можемъ пренебречь, другими словами что і‘і = Si — о. Тогда вся діаграмма ,фиг. 4 можетъ быть безъ измѣненія примѣнена къ случаю одного альтернатора, работающаго въ сѣти постояннаго напряженія, безразлично какъ моторъ или какъ генераторъ.

Примѣчаніе. Формулы (24—26) примѣнятся къ этому случаю если замѣнилъ въ нихъ величины въ скобкахъ величиною г2, а формула (28) прійметъ видъ ■

Е/2

w . —______-——

'Ѵ-ітш — £г_2

*) Подробно объ атомъ А. Віошіеі loco cit.

Въ этомъ предѣльномъ случаѣ точка Е2 совпадетъ съ N, и длина вектора потеряннаго напряженія будетъ

соотвѣтствующая сила тока

и коеффиціентъ полезнаго дѣйствія при наибольшей мощности альтернатора, работающаго какъ двигатель, есть

Полученныя уравненія показываютъ, что къ синхроничнымъ двигателямъ примѣнимъ законъ наибольшей мощности (законъ Пкоби для двигателей постояннаго тока) въ слѣдующей формѣ: мощность мотора будетъ при данномъ напряженіи на клеммахъ наибольшею, когда при синхронизмѣ поле его возбуждено такъ, что токъ проходящій черезъ обмотку якоря достигаетъ половины той величины, какую онъ имѣлъ бы при полномъ отсутствіи возбужденія или при неподвижномъ якорѣ. Коеффиціентъ полезнаго дѣйствія въ этомъ случаѣ у — 50°/0.

Въ разсматриваемомъ случаѣ (гх = st = о) Wb будетъ мощность измѣренная на клеммахъ альтернатора, а W2, пренебрегая потерями на треніе и гистерезисъ, электрическая мощность равная механической, доставляемой альтернатору, когда онъ работаетъ какъ генераторъ, или развиваемой имъ, когда онъ работаетъ какъ синхроничный двигатель.

Gorges*) при построеніи діаграммы параллельной работы машинъ перемѣннаго тока, пользуется указаннымъ упрощеніемъ построенія, при чемъ за линіи мощностей альтернаторовъ принимаетъ

4 г

не линіи W2 а линіи \\д, что равносильно отбрасыванію какъ сравнительно малой величины омической потери энергіи.

Если кромѣ того допустимъ, что омическія потери напряженія въ якоряхъ машинъ настолько малы, что ими можно пренебречь но сравненію съ величинами напряженій, теряемыхъ вслѣдствіе ре-

■ . - г>

акцій самоиндукціи, другими словами, если допустимъ— = о, круги

“ s2

и прямыя мощности (ѵр. 26) обратятся въ прямыя параллельныя оси X—въ, т. е. вектору напряженія на клеммахъ Ех. Діаграмма параллельной работы альтернаторовъ при этихъ предположеніяхъ крайне упрощается и принимаетъ видъ, которымъ пользуется С. Гефтеръ въ своемъ мемуарѣ*) **). Такое допущеніе положено также въ основаніе теоріи параллельной работы альтернаторовъ Карр’а ***).

8. Названныя авторы: Gorges, Kapp, Hefter и нѣкоторые другіе въ своихь разсужденіяхъ предполагаютъ постоянство напряженія на клеммахъ. Діаграммы, основанныя на этомъ предположеніи, имѣютъ то преимущество, что при помощи ихъ можно представить работу сколь угодно большого числа соединенныхъ параллельно альтернаторовъ тогда какъ безъ этого допущенія формулами, представляющими работу болѣе чѣмъ двухъ альтернаторовъ, невозможно пользоваться по ихъ сложности. Однако постоянства напряженія на клеммахъ при измѣненіи нагрузки можно достигнуть только соотвѣтственнымъ измѣненіемъ возбужденія динамомашинъ, и если мы разсматриваемъ настолько короткій промежутокъ времени, за который мы не можемъ измѣнить возбужденія, и слѣдовательно векторы электродвижущихъ силъ остаются постоянными по величинѣ, а мѣняется только уголъ между ними (что будетъ имѣть мѣсто въ теоріи колебаній параллельно включенныхъ альтернаторовъ), то правильнѣе, какъ мы это и дѣлали, считать векторы Е, и Е2 за независимыя перемѣнныя а векторъ Е0 ихъ функціей.

Аналитически, если даны проекціи векторовъ Et и Eä на двѣ взаимно перпендикулярныя оси, проекціи вектора Е на тѣже оси найдутся изъ уравненій (13). Если пожелаемъ рѣшить задачу гра-

*) Gorges, Е. Т. Z. 1900. 18S и 1902. 1054,

*•) S. Hefter. Bulletin 5 — 6 — 7 de 1901 de Г Ass des Ing. electr. sortis de PInst. ■electr. Mimtefiore. Есть русскій переводъ самаго автора.

***) Kapp. Dynamomasch. f. G. u. W. 3 изд. стр. 373 и далѣе.

фически, то, чтобы построить векторъ Е0 на эпюрѣ подобной фиг. 3, поступимъ слѣдующимъ образомъ.

Пусть на фиг. 5 даны векторы О Еі = Е[ и О Е2 — Е2 электродвижущихъ силъ альтернаторовъ. Построивъ, какъ было указано, треугольникъ ONO,, опишемъ изъ точки N, какъ изъ центра, кругъ проходящій черезъ точку Е2 (кругъ мощности W2) и черезъ ту же точку Е2 прямую E2F перпендикулярную къ прямой N О, (прямую мощности Wj). Тогда на основаніи уравненій (18) и (21) будемъ имѣть:

-D.OF)

w _Ъ 1 ' "Г so ). , о

ъ-д ne2- 4Ді е,

29

гдѣ отрѣзки OF и N Е2 измѣрены масштабомъ напряженій.

Далѣе мы можемъ разсматривать каждый изъ альтернаторовъ включенный въ сѣть съ напряженіемъ Е,„ какъ систему передачи энергіи при помощи двухъ альтернаторовъ, съ общимъ сопротивленіемъ н реакціей самоиндукціи соотвѣтственно г, и s, или г2 и s2. Электродвижущая сила одного альтернатора будетъ соотвѣтственно Ej или Е2, другого (фиктивнаго) —Е0-

Если будемъ принимать за ось X—въ соотвѣтственно направленія векторовъ Е, и Еіз то уравненія прямыхъ мощностей дѣйствующихъ альтернаторовъ будутъ

W] =

+ sy

: Е,2 -

r,E,

r,2 + Si

Bn —

2 r0

Si E| ,

І7+І?е°

GO

Wo =

; EO -

Г2 E2

s2E2

9 I

rr + s2

! б|>

r23 + S

2 Oo

(b)

Величины W, и W2 беремъ изъ уравненій (29). Пересѣченіе прямыхъ, выраженныхъ послѣдними уравненіями, дастъ точку Е0, опредѣляющую по величинѣ и направленію векторъ Е0 = О Е0..

На діаграммѣ прямую (а) построимъ, замѣтивъ, что она перпендикулярна прямой пересѣкающейся съ прямой О Е, въ точкѣ EL подъ

угломъ ah котораго tg — —, и проходитъ черезъ точку Q, ле-

жащую на направленій вектора О Е3 и отстоящую отъ полюса на разстояніи

OQ

= Е,

2 I 2 І'і Гй‘

' і*і Е,

\Ѵ

I«

О

Если бы точка вышла изъ предѣловъ чертежа, нришлось-бы воспользоваться точкой Р1} лежащей на перпендикулярѣ къ вектору О Е, въ разстояніи отъ полюса О

ОРг

Ег

1‘| 1 Ч~ А

Si Е,

W,.

Подобнымъ же образомъ построимъ прямую выражаемую уравненіемъ (в) по углу О Ра Е3 = а2, гдѣ tg оц — -~и точкѣ Р2, ле-

Г2

жащей на перпендикулярѣ О Р2 къ вектору О Е2 въ разстояніи отъ точки О

ОР,

-е,

1*2 Ч~ s2 s-з Е>

W,

Уравненіе геометрическаго мѣста конца Е„ вектора Е0, на которомъ онъ будетъ оставаться, если при постоянномъ возбужденіи альтернаторовъ будетъ мѣняться уголъ разности фазъ ихъ электродвижущихъ силъ, найдемъ изъ уравненій (13). Полагая въ нихъ

ег — Еь е/=о, е2 == Е2 Cos у, е2'— Е2 Sin у

и исключая перемѣнную у, найдемъ, принимая во вниманіе уравненія (12), искомое уравненіе

+ е02' =

2 К, Еі

А

2L.E,

е„ А

(A+So2) „ „ ,

-■—д—|(г2 + s*)Er

А

(А + sf) Е22)

— о

Это уравненіе круга, координаты центра Ni котораго

, Hi U

5= дЕ^-^Е,

а радіусъ

R=E1 / (Гоа + So2) (l-!2 + S1,)

Если предварительно построимъ кругъ (30) для данныхъ Ei, Ej, rl5 r2, sI} s2, r0, s0, то для опредѣленія точки Е0 достаточно будетъ построить одну линію мощности, напримѣръ Pi Q2, соотвѣтствующую МОЩНОСТИ Wo,

На фиг. о показано построеніе искомаго геометрическаго мѣста для случая

При измѣненіи угла у точка Е0 скользитъ по кругу О Е0 Е0Г Точка Е0 соотвѣтствуетъ углу у на чертежѣ, точка Е„'—углу у=о. Точки Е0" и Ео'н соотвѣтствуютъ двумъ границамъ устойчивости. Отрѣзокъ е Е,/ есть разница между наибольшимъ, и наименьшимъ значеніемъ напряженія на клеммахъ.

На діаграммѣ кругъ О Е0 Е0' проходитъ черезъ начало координатъ. Это происходитъ вслѣдствіе предположенія что оба альтернатора тождественны. При этомъ предположеніи постоянный членъ уравненія (30) исчезаетъ.

Найдемъ теперь, при какомъ углѣ разности фазъ электродвижущихъ силъ обоихъ альтернаторовъ, при заданномъ возбужденіи магнитовъ поля, напряженіе на сборныхъ шинахъ, а слѣдовательно и сила тока во внѣшней цѣпи достигаетъ наибольшаго значенія. Если уголъ разности фазъ у, то искомое условіе будетъ

Уравненія (31) и (31Ъі") даютъ толрдественные результаты. Мы разсмотримъ второе, такъ какъ входящіе въ него коеффиціентьт проще. Выполнивъ дифференцированіе будемъ имѣть

Е, = Е2 — 2500 вольтъ

гі=г* = 15 Si = sQ = 10, г0 =16, s0 =12,

(31)

или

(ЗІ(ЪІЗ))

di , dir

i "V" ~f- i “Г7 : dy dy

o.

(32)

Полагая какъ и вездѣ осъ вещественныхъ значеній совпадающей по направленію съ векторомъ Еі будемъ имѣть

dei„deI' _ de2 de2'

dy dy ~-0’ dy 62 dy ~02’ 1

*

и уравненіе (32) па основаніи уравненій (10) напишемъ такъ (eiMi-reJVL-f-ej’ISi) (e.N2—ег^г) — (e^i + eoN^ е2 М») (е2 ДДезМз) — о

откуда

. - е*' M,Nä —^.Мз ■

tgT~" е2 ~Мі М2 -f- Ni Na'

Вставляя изъ уравненій (II) значенія М1? Nb М2, N2 получимъ

М, No — NN Mo = (г, s2 — Si г2) Д •

М, М2 + N, NN = (г, ю + s, So) Д

гдѣ Д опредѣлитель (7), и слѣдовательно искомая величина угла у опредѣлится уравненіемъ

tgr

Гі So — Si Г2 1*1 1*2 Si S2

Условіе при которомъ выраженіе (33) обращается въ нуль, т, е. при которомъ наибольшее напряженіе на клеммахъ получится при совпаденіи фазъ электродвижущихъ силъ обоихъ альтернаторовъ есть:

_Si__jy_

■ ’ s2 ' г2 ' 9 * * * * * *

9. Величина напряженія на сборныхъ шинахъ вполнѣ опредѣ-

ляетъ токъ во внѣшней цѣпи, но очевидно, при одномъ и томъ

же напряженіи на сборныхъ шинахъ, т. е. при одномъ и томъ же

токѣ, доставляемомъ альтернаторами во внѣшнюю цѣпь, распре-

дѣленіе этого тока между обоими альтернаторами можетъ мѣняться

въ зависимости отъ соотношенія векторовъ Et и Е2 электродви-

жущихъ силъ альтернаторовъ, -

Всегда существуетъ равенство

. Еі — Е2 = JL Zx — J2 Z2

гдѣ J i, J2, Zi, Z2 имѣютъ прежнія значенія.

Если электродвижущія силы обѣихъ динамо мащинъ равны по величинѣ и направленію, то, обозначая токи пронизывающія обмотки ихъ якорей при этомъ условіи соотвѣтственно черезъ J0i и J02. будемъ имѣть: .

Joi А — Jq2 А

(35)

Если напряженіе на сборныхъ шинахъ постоянно, то очевидно

Jl —I- J‘2 :=== Joi —I- '1*02 = ~ Jö

а это возможно только тогда, когда,

J; = JqI —|— J„ Jo = J09 -" Js (36)

гдѣ Js нѣкоторый пока неизвѣстный векторъ. Подставляя значенія Jt и Jo изъ (36) въ (34) будемъ имѣть

Е] —Е2 = (Jqi Js) Z] (J02 Js) Z2

откуда на основаніи уравненія (35)

• Е^з-Ео

• Js “ А + Z2

т. е. векторъ Js представляетъ токъ, возбуждаемый въ цѣпи съ кажущимся сопротивленіемъ 7п -j- Z2 электродвижущею силой £=Ej — Ео. Токъ этотъ какъ векторъ можетъ быть представленъ въ видѣ комплексной величины Js — і3 -\- j is', гдѣ ів и i's найдемъ приравнивая порознь мнимыя и вещественыя величины въ уравненіи (37). . •

. _(С] — е2) (гі і*й) (е'і— et2) (st s2)

■ (г.+гО,+ (в. + В,)1 } (37ІІ1)

_- (еі—-е2) (s, -J- s2) + (е'і—е 2) (гі -f- га)

■ h (гt -f* Го ) 2 (S| -J- s2)s

Изъ найденныхъ уравненій видно, что явленіе происходитъ такъ, какъ если бы въ обмоткахъ альтернаторовъ протекали токи Joi и J02, соотвѣтствующіе равенству по величинѣ и направленію векторовъ электродвижущихъ силъ параллельно включенныхъ динамо машинъ при томъ же напряженіи на сборныхъ шипахъ, и кромѣ того въ цѣпи а I b d II с а (фиг. 6) циркулируетъ токъ Jä = ів ~Ьj і'з, опредѣляемый уравненіями (В7)

Нужно замѣтить, что непосредственному измѣренію въ дѣйствительности слагающая тока J3 не доступна. Непосредственно мы можемъ измѣрить только Jx и J2. Векторъ Js есть въ сущности говоря величина фиктивная, вводимая нами только для удобства представленія. Векторы J01 и J02 опредѣлятся изъ системы уравненіи (6) въ предположеніи е1=е2, е'х—ег2.

Токъ J3 долженъ производить нѣкоторую работу. Ему будетъ соотвѣтствовать нѣкоторая мощность того и другого альтернатора. Очевидно, что если векторъ тока Js образуетъ съ векторомъ электродвижущей силы одного альтернатора острый уголъ, то съ векторомъ электродвижущей силы другого альтернатора онъ составитъ тупой уголъ. Это значитъ: изъ двухъ альтернаторовъ, если разсматривать только токъ Js. одинъ дѣйствуетъ какъ генераторъ (токъ Js тормозитъ его), другой какъ синхроничный двигатель (токъ Js развиваетъ вращающій моментъ одного направленія съ моментомъ механическаго двигателя, вращающаго якорь этого альтернатора). . '

Мощности альтернаторовъ, соотвѣтствующія току Js, представятся очевидно уравненіями (26). 'Въ отличіе отъ полныхъ мощностей и W2 мы будемъ обозначать изъ символами.

Wal и W*.

Одна изъ величинъ Wsl и ЛѴя2 (всегда конечно меньшая по абсолютной величинѣ) будетъ отрицательна, другая положительна, и сумма ихъ, т. е. разность абсолютныхъ значеній должна представить энергію идущую на нагрѣваніе обмотокъ обоихъ альтернаторовъ вслѣдствіе циркуляціи тока Js. Дѣйствительно изъ ураненій (26).

W3l + Wsa = Ws

(гі га) { (et -|- ej2 -|- (е/— е'2)21 (fl “1“ Гг)2 (si s2)2

(38)

Токъ Js называютъ выравнивающимъ токомъ (Ausglecihstrom), ■' такъ какъ благодаря ему выравнивается напряженіе на клеммахъ обоихъ альтернаторовъ. Другое названіе • синхронизирующій токъ происходитъ отъ указаннаго выше свойства этого тока, дѣйствовать тормозящимъ образомъ на опережающій альтернаторъ и ускоряющимъ на отстающій, и такимъ образомъ уменьшать уголъ разности фазъ электродвижущихъ силъ. Независимо отъ дѣйствія которое имѣетъ этотъ токъ, самымъ правильнымъ названіемъ будетъ обмѣнный токъ, такъ какъ онъ циркулируетъ только въ цѣпи двухъ альтернаторовъ, не отвѣтвляясь во внѣшнюю цѣпь.

Въ статьѣ „Ueber den Parallelbetrieb mit Wechselstrommaschinen“ E. T. Z. 1899. Benitscbke. пользуясь для опредѣленія синхони-зпруюшаго тока формулой:

гдѣ £ — разность электродвижущихъ силъ работающихъ параллельно машинъ, Lu R сумма коеффиціентовъ самоиндукціи и омическихъ сопротивленій обмотокъ якорей обоихъ альтернаторовъ вмѣстѣ съ соединительными проводами, и м> = 2^со, формулой равнозначущей уравненію (37), высказываетъ положеніе что токъ этотъ безваттенъ (Wattlos) когда Еі и Е.> находятся въ фазѣ, и отличаются только амплитудой, т. е, когда положенія полюсовъ совпадаютъ, а возбуждены машины различно.

Этотч, взглядъ повторяется многими другими авторами (напр. Niethammer) *). Какъ можно сидѣть изъ формулъ (26) взглядъ этотъ справедливъ только тогда, когда можно считать омическое сопротивленіе машинъ безконечно малымъ сравнительно съ реакціей самоиндукціи ихъ обмотокъ. Въ самомъ дѣлѣ, положимъ для ясности что \\,). >о, Ws2 ‘-"о. Мощность Wsl, соотвѣтствующая току Js, доставляемая первымъ альтернаторомъ въ случаѣ безваттнаго тока должна вся идти на нагрѣваніе обмотокъ, а механическій эффектъ этого тока долженъ быть нулемъ, т. е. должна быть нулемъ мощность Ws2, увеличивающая вращательный момента, второго альтернатора:

J

*) Handbuch d. ElektrtM. ѵ. Heinke. В. IV. 181.

или

(Гі + г,) { (е2 — еЛ + е'2 (е'2 — ej } — (Si f s2) (е/е2 —~е2 е,) = о (39)

Условіе равенства фазъ электродвижущихъ силъ обоихъ альтернаторовъ выразится такъ:

бі е2 е/ е2'’

и слѣдовательно условіе (39) прійметъ видъ

■ е2 (е2 — ej -{- е'а (е'2 — е',) = о,

что очевидно возможно только тогда, когда не только фазы, но и амплитуды электродвижущихъ силъ совпадаютъ. Другими словами, какъ бы ни различались электродвижущія ' силы двухъ альтернаторовъ, всегда существуетъ кромѣ потерь на нагрѣваніе, передача энергіи отъ одного альтернатора къ другому, и случая безваттнаго тока не существуетъ. Разница между случаями неравенства угловъ фазъ и неравенства возбужденія * состоитъ въ томъ, что въ первомъ случаѣ синхронизирующій токъ, какъ уже сказано, ускоряетъ движеніе одного и замедляетъ другой альтернаторъ, уменьшая уголъ разности фазъ электродвижущихъ силъ, а во второмъ, не измѣняя скорости вращенія, только разгружаетъ машину двигатель меньше возбужденнаго альтернатора, за счетъ работы машины двигателя альтернатора съ болѣе возбужденнымъ полемъ. .

10. При постоянномчэ возбужденіи магнитовъ поля альтернаторовъ т. е. при постоянныхъ Ех и Ег, величина взаимнаго синхронизирующаго дѣйствія двухъ параллельно включенныхъ машинъ перемѣннаго тона зависитъ исключительно отъ угла у между векторами электродвижущихъ силъ.

Найдемъ величину угла у, при которой синхронизирующая мощность достигаетъ наибольшей величины, ограничиваясь при этомъ наиболѣе важнымъ случаемъ Е, = Е2. Въ этомъ случаѣ синхронизирующая мощность Ws2 представится вторымъ уравненіемъ (26), которое, полагая въ немъ Еі=Е2 и принимая за ось X направленіе вектора Ej опережающей машины, можемъ написать въ видѣ

W-ä= + ! (r'+r’) (l-CosT)-(Sl + s,) SinT

Откуда полагая

Si-hs2

tg^

ri-f-r2

получимъ для Ws2 выраженіе

Ej2 1—CosY+tg^SinY ‘

' ^ ' ■ Л“'г1 + г2 l + tg^

Приравнивая нулю производную WsS no y получимъ

. SinY + tg ф Cos y — o, ■

или '

tgT = — tg^,

e. наибольшее синхронизирующеее дѣйствіе будетъ при углѣ

fSi + S2

разности фазъ равномъ arctg

Гі + г2

Чтобы найти, при какомъ соотношеніи суммъ реакцій самоиндукціи и омическихъ сопротивленій альтернаторовъ получится наибольшое синхронизирующее дѣйствіе, т. е. при какомъ соотношеніи этихъ величинъ система будетъ наиболѣе устойчива, приравняемъ нулю“ производную отъ Ws2 по ф. Выполнивъ дифференцированіе и приравнявъ полученное выраженіе нулю, послѣ сокращеній будемъ имѣть --

Sin7 2 tg ф

1—Cos?- 1 — tg^

или •

• tg 2 Ф tg-J- = 1.. . ... ... .

Какъ видно изъ полученнаго уравненія, искомая величина ф зависитъ отъ угла разности фазъ электро-движущихъ силъ 7. Если положимъ направленія ихъ совпадающими, т. е. 7 = 0, то

tg2ф = co, . '

откуда

и

ф = 45°'

= tg 45° = ], Гі+ 1’2 8

что представляетъ ни что иное, какъ условіе наивыгоднѣйшаго соотношенія реакціи самоиндукціи и омическаго сопротивленія, какъ оно было получено Гопкинсономъ.

Штейнмецъ *) даетъ другой выводъ формулъ представляющихъ-синхронизирующее взаимодѣйствіе двухъ альтернаторовъ при параллельной работѣ, и получаетъ нѣсколько отличные результаты.

Приводимъ для сравненія его разсужденія.

Мощность первой машины, измѣренная на клеммахъ есть

второй

Wei — е„іі + ег0 і\ Wel = е0іа -f е'оі'о-

Разность мощностей обѣихъ машинъ есть

Wеі — Wel = е0 (іі — і2) -]- е'0 (і\ — і’г)

Синхронизирующимъ дѣйствіемъ машинъ Штейнмецъ называетъ половину производной разности Wel — We2 по углу у, т. е. величину ‘

1 d(Wei — Wrt)

4 2 dy ’ •

это очевидно есть мощность, переносимая отъ одной машины къ другой при измѣненіи угла фазъ между электродвижущими силами обоихъ альтернаторовъ.

Посмотримъ теперь, можетъ ли величина q служить мѣрою синхронизирующаго взаимодѣйствія машинъ въ такой же степени, какъ полученная нами раньше величина Ws2.

') С. Р. Steinmets. Theorie und Вег. der Wechselstr. Kap. XYII. Видъ формулъ у Штейн-меца нѣсколько отличный отъ формулъ получаемыхъ нами ниже, что зависитъ отъ. иного выбора направленія координатныхъ осей

Wel и W,2 можно представить въ видѣ

wel = wtl + w„ we2 = wt2 - w8

гдѣ Wtl, Wt2 суть мощности, отдаваемыя каждой машиной во внѣшнюю цѣпь, а Ws мощность, передаваемая отъ одной машины къ другой. Вычитая одно выраженіе изъ другого получимъ

Wri-Wrt=WtI-WtI+2W,

Величина q можетъ служить мѣрою синхронизирующаго дѣйствія только тогда, когда

' _ 1 d (Wel — We2 dW.

2 dy dy ’

д зто будетъ только въ предположеніи Wtl — Wl2 = Const.

Но предположеніе Wtl — ^Yt2 == Const равносильно предположенію постоянства напряженія на клеммахъ. Кромѣ того очевидно, что Ws опредѣленное такимъ образомъ, кромѣ мощности превращающейся въ механическую, т. е. въ собственномъ смыслѣ слова синхронизирующей мощности, заключаетъ вь себѣ такъ же мощность, теряемую на нагрѣваніе обмотки якоря отстающаго альтернатора вслѣдствіе циркуляціи обмѣннаго тока J.

Штейнмецъ подробно разбираетъ случай двухъ тождественныхъ генераторовъ при |/ ег2 -}- Ѳі2 — и въ этомъ слу-

. 7Г

чаѣ получаетъ максимальное значеніе для величины W3 приу=-д-

и для величины-синхронизирующаго дѣйствія при у=о.

На основаніи сказаннаго кажется болѣе правильнымъ при опредѣленіи синхронизирующаго взаимодѣйствія альтернаторовъ исходить изъ уравненія (37).

III. Колебанія параллельно включенныхъ машинъ перемѣннаго тока.

11. До сихъ поръ мы принимали, что оба альтернатора находятся въ установившемся движеніи, т. е. что оба они вращаются съ постоянною угловою скоростью, развиваютъ постоянныя мощности, и что возбужденія поля и углы разности фазъ ихъ электродвижущихъ силъ постоянны. Допустимъ теперь, что мощность хотя бы одной изъ машинъ двигателей, приводящихъ въ движеніе наши альтернаторы, или, въ случаѣ синхроничнаго двигателя, мощность, поглощаемая внѣшними механическими сопротивленіями, измѣнится. При этомъ будемъ предполагать, что возбужденіе обоихъ альтернаторовъ остается постояннымъ и допустимъ, что измѣненіями электродвижущихъ силъ, вслѣдствіе колебаній скорости, можно пренебречь, т. е. что

еі2 -J- е/2 ~ Const., е22 -j- е'22 = Const.

. Пусть измѣненіе мощности наступитъ со стороны второго аль- ■ тернатора; мощность W2 получитъ нѣкоторое приращеніе :±: 3 W2. Обращаясь къ діаграммѣ на фиг. 3 мы видимъ, что этому измѣненію мощности будетъ соотвѣтствовать перемѣщеніе точки Е2 по дугѣ круга Е2' Е2 Е/ до пересѣченія этого круга съ кругомъ мощности W2 -f- о W2 въ точкѣ Е/ или соотвѣтственно съ кругомъ мощности W2 — о Wo въ точкѣ Е2'. Черезъ точки Е2' и Е2" будутъ проходить прямыя мощностей Wt -f- S и W, — 3 W,. При измѣненіи мощности одного изъ альтернаторовъ мѣняется такъ же мощность другого. При переходѣ отъ одной линіи мощности къ другой очевидно измѣнится уголъ разности фазъ электродвижущихъ силъ у, получивъ приращеніе Послѣ этого движеніе опять

станетъ установившимся. . ,

Пока оба альтернатора вращаются съ постоянной скоростью, электрическая мощность можетъ быть принята равною (пренебрегая потерями на треніе и гистерезисъ) механической мощности на валу альтернатора. Въ періодъ измѣненія угла у до величины у ±6 этого равенства не существуетъ, такъ какъ это измѣненіе можетъ быть достигнуто только временнымъ измѣненіемъ скоростей вращенія альтернаторовъ, при чемъ часть механической энер-

гіи будетъ идти на измѣненіе скорости, При этомъ можетъ встрѣтиться четыре случая: 1) альтернаторъ работаетъ какъ генераторъ, и скорость возрастаетъ (ускореніе положительно); въ этомъ случаѣ механическая энергія доставляемая двигателемъ больше электрической энергіи динамомашины; 2) альтернаторъ работаетъ какъ генераторъ съ уменьшающейся скоростью (ускореніе отрицательно); доставляемая механическая энергія меньше развиваемой генераторомъ электрической энергіи; В) альтернаторъ работаетъ какъ двигатель съ возрастающей скоростью; электрическая энергія больше механической, развиваемой на шкивѣ; 4) альтернаторъ работаетъ какъ двигатель съ убывающей скоростью; электрическая энергія меньше механической.

Во всѣхъ перечисленныхъ случаяхъ разность между электрической и механической энергіей равна энергіи идущей на увеличеніе живой силы вращающихся частей, или отдаваемой этими вращающимися частями на валъ динамомашины при уменьшеніи ихъ живой силы вслѣдствіе уменьшенія скорости.

Если при нѣкоторомъ углѣ • разности фазъ у, соотвѣтствующему механическимъ мощностямъ W., W2> живыя силы вращающихся частей въ силу инерціи будутъ отличаться отъ величинъ соотвѣтствующихъ установившемуся движенію, они будутъ стремиться измѣнить уголъ у. При измѣненіи этого угла очевидно должны возникнуть между арматурами обоихъ альтернаторовъ синхронизирующіе токи, энергія которыхъ будетъ направлена къ измѣненію живыхъ силъ вращающихся массъ, приближая ихъ къ значеніямъ, соотвѣтствующимъ установившемуся движенію. Достигнувъ нѣкоторой наибольшей величины уголъ у -\- q начнетъ убывать, прійдетъ къ значенію у, перейдетъ черезъ него въ силу инерціи, и явленіе повторится въ прежнемъ порядкѣ. Получится колебаніе около нѣкотораго средняго положенія, характеризуемаго угломъ разности фазъ электродвижущихъ силъ у.

Если декрементъ амплитуды этого колебанія положителенъ, т.

• і

е. если амплитуда эта убываетъ со временемъ, то въ концѣ концовъ векторъ Е2 принимаетъ относительно вектора Е! положеніе характеризуемое угломъ разности фазъ у и движеніе становится равномѣрнымъ. Если декрементъ отрицателенъ, амплитуда колебанія возрастаетъ безпредѣльно и синхронизирующій токъ, циркулирующій между обмотками якорей, обоихъ альтернаторовъ

вслѣдствіе этихъ колебаній, достигаетъ такой величины, что дальнѣйшая работа машинъ становится невозможной (плавятся предохранители). Возможенъ еще случай, когда декрементъ есть нуль. Тогда величина угла разности фазъ электродвижущихъ силъ колеблется около средняго значенія f съ постоянной амплитудой.

12. Пусть я приращеніе угла у въ нѣкоторый моментъ t. Вообще говоря у есть періодическая функція времени, съ числомъ періодовъ въ секунду значительно меньшимъ нормальнаго числа періодовъ электродвижущей силы альтернаторовъ. Пусть далѣе Ѳі? Ѳ2 моменты инерціи относительно оси вращенія вращающихся массъ обоихъ альтернаторовъ. Если передача механической энергіи производится ремнемъ или канатомъ, въ Ѳі и Ѳг входятъ только массы альтернаторовъ. Если якорь машинъ непосредственно сидитъ на валу машины двигателя, Ѳ2 будутъ заключать такъ же массы маховиковъ; подобнымъ же образомъ въ Ѳі и Ѳ2 будутъ входить массы приводимыя во вращательное движеніе альтернаторомъ когда онъ работаетъ какъ двигатель, если эти массы непосредственно сидятъ на его валу, какъ то имѣетъ мѣсто во вращающихся трансформаторахъ.

Пусть затѣмъ ß,, й2 угловыя скорости вращающихся частей альтернаторовъ въ данный моментъ t; ß01, ^02—-эти же угловыя скорости соотвѣтствующія установившемуся движенію и нормальному числу періодовъ тока въ секунду.

Обозначимъ черезъ хьх2 дроби представляющія измѣненіе угловыхъ скоростей Ц, ß2 по сравненію со скоростями ß0i ^-02 при установившемся движеніи, т. е. положимъ

^1 = ß»>i (1 4- х), — ßü2 (1 -j- Xg).

Xi и x2 суть какъ и я періодическія функціи времени. Уголъ разности фазъ электродвижущихъ силъ альтернаторовъ въ каждый моментъ, пока продолжаются колебанія, есть y-f-s.

Если «ц, <.о2 будутъ угловыя скорости альтернаторовъ, отнесенныя къ двухполюсному полю въ каждый моментъ, «>10, <і>.20—тѣ же величины при установившемся движеніи, пь п2, п01, п02—соотвѣт-еѳнныя числа оборотовъ якоря въ минуту, рі, р2 числа паръ полюсовъ полей альтернатора, то

2 тс n0i Рі 2 тг пиг р2

®0I== 6ö~; 0)02 = оо~

Очевидно, что въ силу равенства чиселъ періодовъ электродвижущихъ силъ при установившемся движеніи о>01 = а>02 = (о, гдѣ

Изъ соотношенія (40) видно, что угловыя скорости о>2 можно представить въ видѣ

Угловыя скорости изображаемыя нами' символомъ ш съ различными индексами, суть угловыя скорости, съ которыми вращается лучъ въ часовой діаграммѣ, представляющей синусоидальную волну.

Если, какъ и раньше, будемъ считать за ось вещественныхъ значеній (при символическомъ изображеніи электродвижущихъ силъ и токовъ) направленіе вектора Ег электродвижущей силы альтернатора 1-го, то, какъ видно изъ сказаннаго въ § 2, электродвижущую силу альтернатора 2-го можно изобразить въ видѣ вектора Е2 той же періодичности что и Е1; но съ перемѣннымъ аргументомъ 7 -j- £, гдѣ 7 есть постоянный уголъ, соотвѣтствующій среднему положенію (установившемуся движенію), а 3 перемѣнная часть. '

Измѣненіе аргумента 7-f-? за элементъ времени dt есть d£ и равно относительной угловой скорости векторовъ Et и Е2 помноженной на элементъ времени. Но относительная угловая скорость векторовъ Еі и Е2 очевидно равна разности соотвѣтственныхъ угловыхъ скоростей лучей въ часовой діаграммѣ, и слѣдовательно

ü)

— 2 ~ сю.

и>1 = <*> (1 4- Xt), = (О (1 —J— х2).

d£ — (о>2 — «>i)dt;

но

«*>2 — 0>А- = <0 (1 -(- Хя) — <0(1 -(- X,) = ш (X,—Хі),

откуда

d ? = (о (х2 — х,) dt

или, вводя обозначеніе

<Р = «> t, dcp = ш dt,

d£ d у

= x2 —Xj

‘ Въ каждый моментъ кинетическая энергія вращающихся частей представится въ видѣ

^=ie1gß12=4-0.gQ2»>(i+x1)ä

2

с2 = 4“ g — 4- e2 g Q*„a(l -f x2)s

(42)

2

гдѣ множитель g = 9,81 введенъ для того, чтобы живую силу выразить въ ваттъ-секундахъ.

Какъ сказано, измѣненіе живой силы вращающихся частей машины за нѣкоторое время равно разности механической энергіи, доставленной двигателемъ за то же время, и электрической энергіи развитой альтернаторомъ. Если W2j мощности динамомашинъ въ данный моментъ для угла фазъ у а Рі , Р2 соотвѣтственныя механическія мощности машинъ двигателей, то

d

P'-Wi6=dt •

w.

2 ;

d^a dt '

(43)

Изъ уравненія (42) принимая во вниманіе уравненія (40) имѣемъ

d

dt

®ig

Pi2

Ш2 (1 + X])

d Хг ~dt

d ти2 02g dt" p22

«>2 (1 4- Ха)

dx2

Tt

Для насъ представляютъ интересъ только тѣ случаи возмущенія движенія, при которыхъ функціонированіе машинъ еще возможно, а для этихъ случаевъ Хі и х2 суть на столько малыя дроби,

что членами, въ которые онѣ входятъ множителями, мы можемъ пренебречь безъ большой погрѣшности, и принимая во вниманіе, что

d Xi d хх de? d X! d Xo d x2 de? dx2

dt de? 7ГТ = 0> d ep ’ d t de? dt de?

можемъ написать d tcj ®lg 3 dx!

d t 2 W Vi d e?

СІ TTo 3 dx2 У

dt (J CD de?

(44)

Эти выраженія мы должны подставить въ уравненія (4В). Мощность машины двигателя вообще можетъ быть представлена въ видѣ.

. p=p0ff(?),

гдѣ Р0 средняя мощность машины за полный оборотъ, а f (е?) нѣкоторая періодическая функція угла поворота кривошипа, а слѣдовательно и угла е? = o>t.

Разложимъ далѣе и W2 г по строкѣ Тейлора, и по малости ; отбросимъ члены второй и высшихъ степеней; получимъ;

Очевидно здѣсь

W15 — W! +

dWx„

d у ’

1 d у

Wi ----■ РQl > — Р0ä,

(45)

13. Разсмотримъ сначала случай, когда

f(?) = 0;

Это имѣетъ мѣсто когда генераторъ перемѣннаго тока приводится въ движеніе тюрбиной, паровой или водяной, или когда синхроничный двигатель непосредственно приводитъ въ движеніе центробѣжный насосъ.

Послѣ подстановки выраженій (44) и (45) въ (48) получимъ

ш

cIxl Pi'2 dWj

+

dcp ^ 0,g dy

= 0!

„dxa . р2 dW2

со'1 —— ^--------—; = о.

d? 1 02g d у

Вычитая первое изъ этихъ уравненій изъ второго будемъ имѣть

d

со

PI2 d\v, , рд dW2

dcp(Хз Хі)-Ь^ 0jg dy 02g dy

(46)

Такъ какъ

drp

= Х2 — Xj,

то

d

(х2 — Хі) =

d

2 £

d-2

dp uf

Дифференцируя уравненія (18) по у найдемъ

dWj ЕіЕ2/„ ч

■ффу = “д“ (С Silly— D Cosy)

dW2 Е, Е2 , ч

= ~д (CSmy + DCosy).

(47)

(48)

d dW dW

Подставляя значенія ^-(х2 — х2), --jyp, д 2 изъ (47), (48) въ (46) имѣемъ

EtE2

Ag

Р*“ Pc2

Pi2 , p2

d2E

Ѳ J sin T + D ^ 4 ^jCos Уj £ + = о (49)

или, опознавая

EiE2 f /py

»3Agr\es

pd

Pi

p2

0-jSinT + D^i + g-JCosT

k£-f-

d2£

d4

— о

(4)91

При интегрированіи этого уравненія возможны три случая:

1) к > о

2) к < о

3) к = о

1-й случай. Интегралъ уравненія будетъ

? = Аі Cos |/к <р + А2 Sin Ѵк ?

Въ начальный моментъ будетъ у — о, с—-о, а потому

и

Аі = о

3 = А2 Sin ]/"к а

Дифференцируя это по t получимъ

d; /---

-тг = ® к Аг Cos у k'f

Въ начальный моментъ = ѵ0 представить начальную от-

носительную угловую скорость векторовъ электродвижущихъ силъ на діаграммѣ, отсюда

А,

Vq

Ѵы’

и

Въ разсматриваемомъ случаѣ наша система двухъ альтернаторовъ будетъ находиться въ устойчивомъ равновѣсіи, и подъ дѣйствіемъ толчка извнѣ будетъ совершать колебанія около поло-

женія равновѣсія съ амплитудой —^ и съ періодомъ

со у k ’

гдѣ схэ нормальное число періодовъ тока при установившемся движеніи.

2-й случай. Интегралъ уравненія будетъ

? = Аі е Ѵ~~^ -(- А2е

Такъ какъ при о — о, £ — о, то

А, = -А2 '

и

с = А! (е Ѵ/:г^ ? —. е - ?).

Разсуждая какъ въ предыдущемъ случаѣ, найдемъ

и окончательно

А]

2 о) |/ -

2^тгі:(е/-к.’-е-Щк Д

Отрицательный членъ выраженія въ скобкахъ со временемъ, стремится къ нулю, положительный безпредѣльно возрастаетъ.

Это значитъ, что при k <о система находится въ неустойчивомъ равновѣсіи и при самомъ маломъ возмущеніи уголъ разности фазъ электродвижущихъ силъ растетъ, и совмѣстная работа становится невозможной.

3-й случай. Интегралъ уравненія есть

Р = ср -J- А2

Разсуждая какъ въ предыдущемъ случаѣ, находимъ

Аі =

о

и

Ѵо

ш

Сі

Равновѣсіе неустойчиво и совмѣстная работа альтернаторовъ невозможна на тѣхъ же основаніяхъ, какъ и въ случаѣ 2-мъ.

►

Изъ сказаннаго видно, что для возможности параллельной работы двухъ альтернаторовъ (въ предположеніи Рх= Const, Р2 = Const),

" • і ^ Еі Е2

неооходимо условіе к>о, или такъ какъ величина —существенно положительна, необходимо должно быть

D

PC

Ѳі

+

Pi'

Ѳо

pi!

0ь

Sin у > о

(50)

14. Разсмотримъ теперь вопросъ о колебаніяхъ двухъ работающихъ параллельно альтернаторовъ, предполагая что функція f (?) не есть нуль, и что альтернаторы обладаютъ приспособленіями для успокоенія колебаній. Въ этомъ предположеніи изъ уравненій (43) получимъ

dT

dW1

cl у

+

dt

1

>

d7T3

~ьГ

+ Fj = fa (О

(51)

Гдѣ Fi Г, суть мощности, идущія на успокоеніе колебаній.

Для рѣшенія вопроса намъ нужно опредѣлить видъ функціи Fi,

F2, с (?) и и (?).

Мощности Fi и F2 зависитъ отъ токовъ Фуко, развивающихся въ полюсныхъ наконечникахъ, или въ спеціально для этого устроенныхъ системахъ проводниковъ (какъ, напримѣръ, въ системѣ Leblanc’a).

При опредѣленіи этихъ величинъ мы можемъ смотрѣть на альтернаторъ, какъ на асинхроиичный двигатель, Роль первичной обмотки играетъ обмотка якоря альтернатора, роль вторичной обмотки—массивные полюсные наконечники или стержни системы Leblanc’a. При постоянной скорости вращенія число линій поля якоря, пронизывающихъ любой контуръ па полюсныхъ наконечникахъ, постоянно, и мы можемъ представить себѣ магнитную систему, какъ бы вращающеюся синхронично съ полемъ якоря. При измѣненіи скорости вращенія альтернатора это воображаемое относительное движеніе магнитной системы относительно поля якоря измѣнится и перестанетъ быть синхроничнымъ, магнитный

потокъ пронизывающій какой либо контуръ на полюсныхъ наконечникахъ перестанетъ быть постояннымъ; измѣненіе этого потока очевидно будетъ пропорціонально измѣненію скорости вращенія, и возбудитъ въ полюсахъ магнитовъ или стержняхъ системы Leblanc’а токи, подобные токамъ, развивающимся въ обмоткѣ ротора асинхроничнаго двигателя. Роль скольженія здѣсь будетъ играть измѣненіе скорости вращенія якоря въ доляхъ средней скорости.

Мощность асинхроничнаго двигателя выражается формулой *):

Р

п

р1 Qi

ф2 (йЦ — to) to

гдѣ С—дробь близкая къ единицѣ, зависящая отъ характера об. мотки ротора, въ данномъ случаѣ отъ типа полюсныхъ наконечниковъ или успокаивающаго приспособленія, р—число полюсовъ индуктора, Q-2—сѣченіе стержней вторичной обмотки, 12—средняя длина одного стержня, р—-удѣльная проводимость матеріала вторичной обмотки, Ф—результирующій магнитный потокъ, въ данномъ случаѣ полный магнитный потокъ, производимый полемъ якоря, со—синхроничная, оц—дѣйствительная скорость вращенія ротора. Полагая

„ р2 Q’ 32 р 13

сг (постоянная)-

будемъ имѣть для перваго альтернатора мощность, идущую но успокоеніе колебаній

Fi — сг Фі2 хі (1 -f- хі) <ьг,

или пренебрегая 2-й степенью хг

Fl = Сі2 Фг to2 Xl j

и такъ же для второго альтернатора ;■ (52)

Fa = Со2 Ф22 to2 х2 !

Величины потоковъ Фь Ф2 можно выразить въ функціяхъ величинъ еІ5 е/, е2, е</, rl5 r2, Sj, s2, которыя мы считаемъ заданными, слѣ-

*) А, Вороновъ. Теор. и Разсч. Мног. ас. двигателей егр. 14 ур. 37.

дующимъ образомъ. Фі и Ф2 суть, какъ сказано, магнитные потоки возникающіе подъ дѣйствіемъ размагничивающихъ амперъ-оборотовъ якоря. По Карр’у*) эти амперъ-обороты

Xg = k q J Sin d

гдѣ q—число проволокъ въ каждой катушкѣ обмотки якоря, d— уголъ разности фазъ тока и электродвижущей силы, и

Оі57 іш:

k = n----- Sin -д-

m 2

гдѣ n—число фазъ, а m—отношеніе ширины полюсовъ къ полюсному разстоянію. Отсюда, если обозначимъ черезъ Rj, R2 среднія магнитныя сопротивленія на пути размагничивающихъ потоковъ якорей обоихъ альтернаторовъ, потоки и Ф2 будутъ

л Оі57 qt m,

ф'="‘Лггк;Ьт^

J( Sin di

Oi 57 q2 т27г Фа = 112 ■ пь Rä Sill ~Y~ l> Sill d2

(53)

Выраженія J, Sin db J? Sin d2 суть проекціи векторовъ токовъ на направленія электродвижущихъ силъ. Въ принятыхъ нами обозначеніяхъ

Ji Sin cl] = -

ii ei — V ег

J2 Sin d, =

Ei

i2e/ — i2' e2

Вставляя сюда значенія i1; i2, і/, i2' изъ уравненій (8) и принимая за вещественную ось направленіе вектора Еі, получимъ, пренебрегая измѣненіями угла у

Еі

J, Sin di = д [ Bi Ei (C Sin у — D Cos y) E2 ] E

J. Sin d2 — Г[ В, K. + (C Sin 1 + D Cos y ) E, ]

*) G-. Kapp, Dynam. f. Gl, & Wechs. 3 te. Auf], § J03.

Полагая

ca Фі to = Gi , Со Ф2 о, = G2

окончательно будемъ имѣть выраженія мощностей, идущихъ па успокоеніе колебаній

Fi = Gi хь F2 = G2 х2 (55)

Обратимся теперь къ опредѣленію вида функціи f (9). Тангенціальное давленіе Т, какъ періодическая функція угла а поворота кривошипа, можетъ быть, какъ извѣстно, представлена въ видѣ ряда

Т ~ Ао Ч- Ai Cos о. -f- А2 Cos 2 ot -j- А3 Cos 3 я .

+ Bi Sin у B2 Sin 2 а + В3 Sin За-)- . . .

гдѣ

■ t r2lz ,

А° ~ 2гі J Т ^я — Т™ (среднее танг. давл.)

1 с21"

Аі — I Т Cosiadx

1 р2*

В і = тр / Т Sill і а cl х

Если й есть угловая скорость, то мощность будетъ

Р = TÖ,

Po = Tm Q;

Если рі, р2 числа паръ полюсовъ альтернаторовъ, то

_ а -- ~

а1 " Ра ’ ^ " Рі

и на основаніи всего сказаннаго будемъ имѣть

С Cf) = An CosCy-hAnCos“^ + . . . Pi Pi

+ Bn Sin ~~ + B12 bin ~ + • • ■

Pi Pi

f,(f) = A21Cos-^-+A„Cos~ + • ■ .

p2 P2

со 2co

+ B2i Sin — + B>o Sin —L 4-pa Pa

' ‘ ')

Чтобы изслѣдовать интересующее насъ явленіе будемъ’искать какое вліяніе окажетъ на измѣненіе величинъ х1; х2 и с каждый членъ разложенія. Въ рядахъ (56) соединимъ каждые два члена к-го порядка

kv , k? /кср

Aik Cos +BkSm-f==RlkSin(-i-H-Xi Pi Pi \ Pi

A2t Cos — -j- Bok Sin — — R2kSin P2 “ P2

и подставивъ эти значенія въ уравненія (51) проинтегрируемъ ихъ. Пока будемъ разсматривать только к-й членъ въ отдѣльности мы можемъ безъ вреда для общности принять _

7.1 = о, '/2 =

и тогда сдѣлавъ въ уравненіяхъ (51) указанную подстановку и подставивъ въ нихъ кромѣ того найденныя величины для Fb F2 найдемъ ■

dWi

dy

dW2

dT

5 + 5 +

0Lg <-'C

9

РГ

Ѳ2_g<0®

P22

Полагая вь этихъ уравненіяхъ

dWi Pl2 Пі2 Pi2 RlkPia

dy ' Ѳі go>3 1 ’ 0! gw3 Пі ’ Ѳ] gw3 lk ’

dW2 p22 G22 P22 iwaa_q

dy 02gOl3 J’2 ’ Ѳ2 gib3 a2 ' 02glb3 “k ’

вмѣстѣ съ уравненіемъ (4]p получимъ систему трехъ линейныхъ дифференціальныхъ уравненій 1-го порядка съ тремя неизвѣстными хІ5 х2:

dXi , „

аі хі + Ьі ? dx2

SlkS in — <р Pi

dip

d j di?

+ a2 X2 + b2; = S2k Sm —- <?

P2

X! — X2

Полный интегралъ уравненій (58) есть сумма какого нибудь частнаго рѣшенія и полнаго интеграла уравненій безъ правой части. Полный интегралъ уравненій безъ правой части есть

/ b Х]Ср ь Х2? b Хз?'^ хі ~ — (Сі1 г~р е -J- С2" гъ- е 4" С3 ц е

V Zi + h 1 2аі4Л ' Jai-|-A3

х2 =

Х1 ¥ . К Х2 ¥

ь2 V ь.2 ѵ ь2

Ѵ-Р,

а.о —і—

'а2-|-Х3

\ ¥ ^2 ¥

£ = С^ е “f- С2 е —j— Cg е

Ѵ-Р

(59)

гдѣ Сх С2 С3 произвольныя постоянныя, а Хх Х2 Х3 корни характеристическаго уравненія:

X + ах , о , Ьі

0 , X -J- а2 , Ь2

1 . — 1 , X

= о

или

X3 4" (а* -f- а2) X2 -f- { ах а2 — (bv — b2) \ X -|- ах Ь2 а2 bt = о- (60)

Частное рѣшеніе уравненій (58) будемъ искать вида

k . k . k . k

хг =Mj Sin —-?4-Ni Cos —9 4"Pi bin-“ ¥ -f Qi Cos— 9

Pi Pi P2 P2

x2 =M2 Sin -^9 4-N2Cos-^9H-P2Sin^-9-4Q2Cos-^-9 \ (61) Pl Pl PS P‘2

; k k k k

£ = M Sin — 9 4* N Cos — 9 P Sin — 9 4* Q Cos — ¥

- Pl Pl P2 P-2

Коеффиціенты ML Ni . . . P , Q найдемъ подставляя выраженія (61)

. k

въ уравненія (58) и приравнивая пулю коеффиціенты при Sin—9,

Pi

к к k . „

Cos—9, Sin—9 и Cos — 9 въ полученныхъ уравненіяхъ. Полу-Рі Рй Рз і

чимъ для опредѣленія 12-ти искомыхъ коеффиціентовъ въ функціяхъ а1? а2, Ьь Ь2 и числа k 12 уравненій.

Для насъ представляетъ интересъ только величина самое общее выраженіе для которой будетъ

гдѣ RiknR2k постоянныя легко опредѣляемыя изъ предыдущаго, а ßij ?2 углы, въ которые входятъ и раньше отброшенные нами углы Х\ и 72.

Изслѣдуя выраженіе (62) мы легко можемъ рѣшить, будетъ ли движеніе устойчиво или нѣтъ.

Оно будетъ устойчиво, если £ при всевозможныхъ возмущеніяхъ будетъ оставаться въ нѣкоторыхъ предѣлахъ и убывать со временемъ, и не устойчивымъ, если Z будетъ со временемъ безгранично возрастать. Сумма тригонометрическихъ функцій, входящихъ въ правую часть уравненія (62) очевидно всегда будетъ колебаться въ нѣкоторыхъ предѣлахъ, и устойчивость движенія будетъ всецѣло зависѣть отъ суммы трехъ членовъ

Сі

е -j- С2 е -f- Сз е .

Если хотя одинъ изъ корней уравненія (60) Х2 или Х3 будетъ вещественный и положительный, то £ при первомъ же даже самомъ незначительномъ возмущеніи станетъ быстро возрастать, уголъ разности фазъ электродвижущихъ силъ у сразу достигнетъ предѣла устойчивости, и дальнѣйшая работа параллельно включенныхъ альтернаторовъ станетъ невозможною. Если вещественныхъ положительныхъ корней уравненіе (60) имѣть не будетъ, а вещественная часть комплексныхъ корней будетъ положительна, то произойдетъ то же самое, но только не сразу, а послѣ ряда колебаній съ возрастающей амплитудой.

Параллельная работа двухъ машинъ перемѣннаго тока будетъ возможна только тогда, когда или всѣ корни уравненія (60) ве- ' ществепны и отрицательны, или когда одинъ изъ нихъ вещественный и отрицательный, а два другіе сопряженные комплексные съ отрицательной вещественной частью.

Изъ теоріи алгебраическихъ уравненій извѣстно, что кубическое уравненіе

х3 р х2 -f- qx 4“ = о

не имѣетъ корней съ положительными вещественными частями если

pq > г.

Для нашего случая это условіе прійметъ видъ

(а] +a2){a1ae — (іц — b2)} >атЬ2 — hq а2

или по сокращеніи

аі а2 (аі -]— а2) аі Ьі а2 Ь2 . . • (63)

это и есть условіе устойчивости движенія двухъ параллельно включенныхъ альтернаторовъ. Несимметричность полученной формулы зависитъ отъ того, что за начало отсчета угловъ y мы приняли направленіе вектора одной изъ электродвижущихъ силъ (въ нашемъ случаѣ альтернатора 1-го). Если бы за это начало мы приняли какое нибудь другое направленіе, неподвижное въ пространствѣ, формулы получились бы симметричныя, но гораздо сложнѣе.

15. Особый интересъ представляетъ частный случай двухъ тождественныхъ альтернаторовъ, приводимыхъ въ движеніе тождественными двигателями въ предположеніи

Е: = Еа, Y = о.

Случай этотъ интересенъ какъ наиболѣе часто встрѣчающійся въ практикѣ. Рѣшеніе можно было бы получить какъ частный случай формулы 63, но проще непосредственно исходить изъ уравненій (58), гдѣ будетъ на осн. (48)

аі := а2 = а, Ьі ■= h2 = b, рі = р2 — р; SJk = S2k = St

замѣтимъ что при этомъ направленія кривошиповъ могутъ и не со-

2 ктг

впадать образуя между собою уголъ 2 у = — —гдѣ к цѣлое положительное число меньшее р. Тогда уравненія пріймутъ видъ

dXi к

-1 -4- а х, — b ? = Sk Sin — cp <ѣр ■ Р

^ + ax2 + b; = S1Sm(y9+-2+)

Вычитая первое уравненіе изъ второго, принимая во вниманіе (47) имѣемъ

~Ь а + 2 b Е == Sk Sin ф Cos <р -f- Ф ^ (64)

Полный интегралъ этого уравненія равенъ суммѣ полнаго интеграла этого уравненія безъ правой части и частнаго рѣшенія уравненія (64). Интегралъ уравненія безъ правой части есть

К <р h ?

С і е -J- С2е

гдѣ К К суть корни характеристическаго уравненія

№ -J— а X -j— 2 b = о. (65)

Частное рѣшеніе будемъ искать вида

- =*і Sin (у Т + Ф ) + k2 Cos <р + ф ) ;

подставляя это выраженіе въ уравненіе (64) и приравнивая нулю коеффиціенты при Sin ср-]-ф j и Cos <р —ф j въ полученныхъ выраженіяхъ будемъ имѣть для опредѣленія kt и к2 два уравненія, рѣшая которыя найдемъ

к, =

к ,

а — Sk Sin ф

р т

к2 к4 ’

4Ь2 + (а2-4Ь)-р + -рІ

Щ =

2 b

к'

Р‘

Sk Sin ф

4 b2 + (а2 — 4 b) —g —у

/ P^ I р4

такъ какъ Е' можно представить въ видѣ

Y Иі2 + Н22 Sin ^ ? + Ф -J-ßj

гдѣ

К2

то полный интегралъ уравненія (64) будетъ

<р Х2 9

£ = Сіе —J— С2 е -\-

-f- Sin ф —

|/4b2+(a2-4b)^+K

4 Sin (^ + ф+^

гдѣ

Такъ какъ а и b всегда положительны, уравненіе (65) не будетъ никогда имѣть вещественныхъ положительныхъ корней, и движеніе всегда будетъ устойчиво.

Когда

Г>2Ь'

обѣ экспонентныя функціи уравненія (66) имѣютъ отрицательные вещественные показатели, и слѣдовательно представятъ быстро успокоиватощееся аперіодическое движеніе. Когда

т. е. когда успокоительная способность динамомашинъ не очень велика, корни Хх и Х2 будетъ сопряженными комплексными величинами, и приведя въ этомъ случаѣ выраженіе (66) къ вещественному виду и принимая во вниманіе всѣ члены разложенія

діаграммы тангенціальныхъ давленій, будемъ имѣть для отклоненія Е выраженіе

» =Qe

~f~ Sill у

■]/ 4b2-f-(a2 — 4b)^--f- ^rSin^-ф + b YP

• (67)

гдѣ Q и а произвольныя постоянныя, опредѣляемыя по начальнымъ обстоятельствамъ движенія.

Суммированіе членовъ, входящихъ подъ знакъ \ въ правой

части уравненій (62) и (67) нѣтъ надобности производить до безконечности, такъ какъ значеніе членовъ въ возрастающемъ порядкѣ вообще говоря довольно быстро убываетъ. На какомъ членѣ можно остановиться, покажетъ рядъ значеній коеффиціен-товъ Si, S3, , которые легко найдемъ, если только дана діаг-

рамма тангенціальныхъ давленій машинъ—-двигателей, вращающихъ альтернаторы.

Къ колебанію, представляемому этими суммами присоединяется собственное колебаніе аггрегата динамомашинъ, представляемое произведеніемъ синусоидальной и показательной функцій. Благо— m ср

даря множителю вида е гдѣ m > о этотъ членъ со временемъ стремится къ нулю, и остаются 'только колебанія зависящія отъ неравномѣрности хода машины двигателя, періодичность которыхъ совершенно не зависитъ отъ періодичности собственныхъ колебаній альтернаторовъ.

Условіе (63) необходимо для возможности параллельной работы двухъ альтернаторовъ, но недостаточно. Нужно еще, чтобы было

у -J- Е max. < у max. (68)

гдѣ у уголъ разности фазъ электродкижующихъ силъ альтернаторовъ при установивінемся движеніи, Е max. — наибольшее отклоненіе угла между векторами электродвижущихъ силъ, которое

мы получимъ изъ уравненія (62) или (66), и у max. предѣльный уголъ разности фазъ, получаемый изъ діаграммы фиг. 3.

Наибольшей величины $ max. достигаетъ въ тѣхъ случаяхъ, когда періодичность собственнаго колебанія системы двухъ альтернаторовъ совпадаетъ съ періодичностью одной изъ преобладающихъ волнъ, получающихся вслѣдствіе пульсаціи движущей силы.

Подробно на изслѣдованіи явленія резонанса или интерференціи колебаній альтернаторовъ и движущихъ машинъ останавливаться мы не будемъ, такъ какъ вопросъ этотъ вполнѣ выясненъ въ статьяхъ Карр’а,1) Görges’a2) и Rosenberg’a3).

Слѣдуетъ только обратить вниманіе на видъ уравненія (67), именно на то, что Sin х входитъ множителемъ во второй членъ правой части этого уравненія. Это значитъ, что если при тождественныхъ машинахъ, имѣющихъ одинаковое возбужденіе и включенныхъ при совпаденіи фазъ электродвижущихъ силъ, направ-. ленія кривошиповъ машинъ двигателей совпадаютъ, то членъ зависящій отъ пульсаціи движущей силы, обращается въ нуль, и слѣдовательно неравномѣрность хода машинъ—двигателей (не говоря конечно о случайныхъ толчкахъ), не будетъ имѣть никакого вліянія на измѣненіе угла у. Отсюда видно значеніе приборовъ, дающихъ возможность убѣдиться въ моментъ включенія новой дппамомашины въ совпаденіи направленій кривошиповъ машинъ, приводящихъ въ движеніе альтернаторы4).

Заканчивая эту главу я еще разъ укажу на разницу разсужденій въ настоящей статьѣ^ и въ указанныхъ статьяхъ Görges’a и Rosenberg’a.

Gorges разсматриваетъ двѣ машины включенныя въ сѣть, которой напряженіе по величинѣ и фазѣ могутъ считаться постоянными. Такъ какъ при этомъ предположеніи сумма работъ доставляемыхъ въ сѣть обѣими машинами остается постоянною, то при колебаніи отклоненія обѣихъ машинъ отъ положенія равновѣсія будутъ равны по величинѣ и противоположны по знаку.

Е. Rosenberg разсматриваетъ неравномѣрно вращающуюся машину въ параллельномъ соединеніи съ другой электрически тож-

‘) Kapp, loco cit.

г) Gorges, lococit.

3) Ri senberg E. T. Z. 1902. Стр. 425.

4) 'См. Описаніе прибора II. Ковалева въ Е. Т. Z. 1900. 502.

дественной съ первой, одинаково возбужденной, но равномѣрно вращающейся машиной. Въ атомъ случаѣ напряженіе въ сѣти уже конечно не можетъ считаться постояннымъ, но характеръ его измѣненія будетъ предсказанъ положеннымъ въ основаніе предположеніемъ: оно будетъ испытывать колебанія равныя половинѣ колебаній вектора электродвижущей силы первой машины.

Въ предлагаемой статьѣ не дѣлается никакихъ предположеній кромѣ общихъ всѣмъ указаннымъ статьямъ предположеній синусоидальности кривыхъ возбужденія и постоянства реакціи якоря.

Примѣчаніе. Такимъ же общимъ образомъ ставитъ вопросъ въ своей статьѣ проф. Föppl 1). Впрочемъ онъ разсматриваетъ не совокупность двухъ электрическихъ машинъ, а только нѣкоторую механическую аналогію, отрѣшаясь отъ электрическихъ явленій и замѣняя взаимодѣйствіе машинъ при помощи синхронизирующихъ токовъ, напряженіемъ фиктивныхъ элластическихъ связей. Вліянія неравномѣрности хода машинъ двигателей Föppl въ разсчетъ не принимаетъ.

IV5. Вліяніе не синусоидальной формы кривой электродвижущей силы на параллельную работу альтернаторовъ.

16. Можно сказать а priori, что лучще всего будутъ приспособлены для параллельной работы альтернаторы съ тождественными кривыми электродвижущихъ силъ, такъ какъ при различныхъ кривыхъ, даже при совпаденіи фазъ основныхъ волнъ, въ цѣпи альтернаторовъ будутъ возникать обмѣнные токи, соотвѣтствующіе волнамъ электродвижущихъ силъ высшихъ порядковъ. Впрочемъ на практикѣ мы можемъ встрѣтить установки, въ которыхъ альтернаторы самыхъ различныхъ конструкцій работаютъ параллельно довольно удовлетворительно. Какъ на характерный примѣръ подобной установки можно указать на центральную городскую станцію въ Цюрихѣ, гдѣ старые быстроходные альтернаторы Карр’а съ плоскимъ кольцевымъ якоремъ, приводимые въ движеніе тюрбинами, дающіе острую кривую электродвижущей силы, соединяются параллельно съ новыми большими тихоходными трехфазными генераторами завода Эрликонъ индукторнаго типа, приводимыми въ движеніе паровыми машинами. Эти послѣд-

Й Das Pendeln parallelgeschalfetßr Maschinen. E. T. Z, 1902 59.

ніе генераторы работаютъ при параллельномъ соединеніи, какъ однофазныя машины, для чего двѣ фазы соединяются послѣдовательно, при чемъ кривая электродвижущихъ силъ получается плоская.

Въ литературѣ вопросъ о вліяніи формы кривыхъ электродвижущихъ силъ на параллельную работу альтернаторовъ затронутъ довольно мало. Мнѣ извѣстна только статья Л. Perot въ С. R. 1900 „Sur l’accouplement des alternateurs au point de vue des harmoniques etc“. Въ этой статьѣ авторъ разсуждаетъ слѣдующимъ образомъ.

Каковы бы нибылп формы кривыхъ электродвижущихъ силъ альтернаторовъ, на основаніи теоремы Фурье онѣ можетъ быть представлены въ видѣ

е , = Ею Sin t -(- Е„ Sin (2 со t сд2) -(- EJ3 Sin (3 <о t -f- ср,3) -(- , . . ] е2 = Ejo Sin to t —[— E2-2 Sin (2 to t -(— —|— Еаз Sin (3 to t —(-- —|— . . . { '

Какъ видно изъ написанныхъ рядовъ фазы основныхъ электродвижущихъ силъ предполагаются совпадающими, чего очевидно всегда можно достигнуть.

Предположимъ теперь, что основная электродвижущая сила и всѣ высшія гармоническія будутъ одинаковы въ обѣихъ машинахъ кромѣ одной порядка п, существующей только въ машинѣ первой. Въ цѣпи, образуемой обоими альтернаторами тогда будетъ дѣйствовать электродвижущая сила E„Sin(nwt + <?n), и если, по прежнему s1? s3 реакціи • самоиндукціи отнесенныя къ нормальному числу періодовъ, то въ разсматриваемой цѣпи будетъ циркулировать обмѣнный токъ, который, если пренебречь омическимъ со--противленіемъ по сравненію съ реакціей самоиндукціи представится, формулой.

гдѣ

іп = Jn Cos (п (о 14- <?п)

j _______

V И I

n sx n s2

(70)

Допущенное упрощеніе вноситъ тѣмъ меньшую ошибку, чѣмъ выше порядокъ волны п, такъ какъ омическое сопротивленіе остается постояннымъ, а реакція самоиндукціи увеличивается про порціонально порядку волны.

Это же разсужденіе легко распространить на случай, когда въ рядахъ (69) нѣсколько волнъ одного порядка будутъ имѣть различныя амплитуды или различные углы фазъ: въ этомт случаѣ электродвижущая сила въ цѣпи альтернаторовъ, соотвѣтствующая волнамъ п — го порядка, будетъ разностью этихъ волнъ, арифме-тическою, если волны совпадаютъ по фазѣ, и геометрическою—■ если фазы ихъ различны. .

Дальше авторъ цитируемой статьи пытается изслѣдовать вліяніе различія формъ кривыхъ электродвижущихъ силъ соединенныхъ параллельно альтернаторовъ на форму кривой, напряженія на клеммахъ, однако не вполнѣ выясняетъ этотъ вопросъ. Мы на этомъ останавливаться не будемъ, а примѣнимъ къ условіямъ практики приведенныя соображенія относительно вліянія неодинаковости формъ электродвижущихъ силъ обоихъ альтернаторовъ на возникновеніе обмѣнныхъ токовъ.

Когда включаютъ новый альтернаторъ къ параллельно работающему, его приводятъ въ фазу по фазовымъ .лампамъ или по какому нибудь иному прибору того же назначенія, и доводятъ возбужденіе такой степени, чтобы электродвижущія силы обоихъ альтернаторовъ были одинаковы, о чемъ судятъ по показаніямъ вольтметра; но вольтметръ даетъ дѣйствующія электродвижущія силы, и на сборныхъ шинахъ должны уравновѣшиваться дѣйствующія напряженія, т. е. при параллельномъ включеніи альтернаторовъ должно существовать равенство.

Такъ какъ амплитуды электродвижущихъ силъ всѣхъ порядковъ мѣняются въ одномъ и томъ же отношеніи при измѣненіи возбужденія поля, то каждую электродвижущую силу можно представить

е = Е ] Sin to t + аз (Sin 2 to t + 92) }

гдѣ Е амплитуда основной волны, а а2 а3 . . . правильныя дроби.

(70)

Тогда каждый изъ интеграловъ равенства (70) обратится въ

Е'

J О

Sin(n wt -f- ffn) }2 dt = a2 E‘

гдѣ a нѣкоторое число, не зависящее отъ возбужденія, но зависящее, вслѣдствіе деформаціи поля при нагрузкѣ, отъ этой послѣдней. Поэтому, если на практикѣ хотимъ найти вліяніе формы кривой электродвижущей силы на обмѣнные токи въ данномъ аггре-гатѣ машинъ, мы должны пользоваться кривой снятой при нормальной нагрузкѣ, для чего можно пользоваться вспомогательной обмоткой, уложенной параллельно рабочей обмоткѣ.

Коеффиціентъ а можно представить очень простой формулой слѣдующимъ образомъ:

a

2

/о Яп Sil1 W1 ^

+ 2®*“* f oSill(Ka

I d t = ^an2J о Sin2 (n o) t —j— <fn) d t t 4- <Pk) Sin (i <« t -f cfi) d t;

HO

f0 Sill2 (ll CO t -j- cf n) d t = ~ Jo Sill2 (n a + Cfi) d а

7Г

(JD

t + <fn) Sin (i <J> t + Cfi) d t =0

и равенство (69) приметъ видъ по сокращеніи

• • • (71)

Съ помощью уравненія 70 зная кривыя электродвижущихъ силъ обоихъ альтернаторовъ и разложивъ ихъ на элементарныя синусоиды, мы легко вычислимъ суммы входящія въ уравненіе (71), и

Еі .

опредѣливъ отношеніе , найдемъ всѣ электродвижущія силы

Ѣг

дѣйствующія въ цѣпи альтернаторовъ, и обмѣнные токи по формулѣ (69), для случая когда фазы электродвижущихъ силъ совпадаютъ. Это будетъ самый благопріятный случай, и полученныя такимъ

образомъ значенія обмѣнныхъ токовъ будутъ минимальныя. Въ случаѣ возмущенія движенія и возникновенія колебаній, или въ случаѣ продолжительнаго несовпаденія фазъ, значенія эти возрос-тутъ. Число членовъ подъ знаками суммъ очень не велико, такъ какъ члены четныхъ порядковъ почти всегда исчезаютъ (исключеніе составляютъ только нѣкоторые очень мало распространенные на практикѣ типы машинъ съ полюсными якорями или съ очень широкими зубцами сердечника якоря, а такъ же новѣйшія машины индукторнаго типа), и такъ какъ высшій порядокъ практически замѣтныхъ волнъ, входящихъ въ составъ электродвижущихъ силъ, рѣдко достигаетъ 13, а въ большинствѣ случаевъ можно остановиться на 7, 5 и даже на 3.

Примѣчаніе. Въ приведенномъ ■ выше примѣрѣ Цюрихской центральной станціи мы имѣемъ случай соединенія машинъ, дающихъ симметричную острую кривую, не имѣющую четныхъ волнъ, съ машинами индукторнаго типа, плоская несимметричная кривая электродвижущихъ силъ которыхъ содержитъ волны 2-го и 4-го порядка. .

17. Пояснимъ наши разсужденія на частномъ примѣрѣ.

Примѣръ. Пусть имѣемъ два альтернатора съ одинаковымъ омическимъ сопротивленіемъ и одинаковой реакціей самоиндукціи r = 0]6, S — 3,6 (s отнесено къ нормальному числу періодовъ) и дающихъ одинъ плоскую кривую электродвижущихъ силъ (фиг. 7 а) представляемую уравненіемъ е = El [Sin rf-(-0,225 Sin 3 rf -f- 0,05 Sin5 -f] и другой кривую острую (фиг. 76) представляемую уравненіемъ .

е2 = Е2 (Sin с? — 0,15 Sin 3 ? -f 0,10 Sin 5 ?]

Уравненія кривыхъ электродвижущихъ силъ въ этомъ примѣрѣ изъ книги Штенмеца Th. и Вег d- Wechs. § 223, гдѣ они приведена какъ характерный примѣръ рѣзко выраженныхъ плоской и острой кривой.

Суммы входящія въ уравненіе (70) будутъ

1 -|— 0, 2252 —J— 0, 052 = 1,0531 и

1 +0,152 + 0, ІО2 = 1,0325

откуда

^^і/Ь053!^

Е2 V 1,0325

Пусть далѣе электродвижущая сила якоря (эффективная) есть 2500 и нормальный токъ каждой машины 75 амперъ. Какъ видно изъ полученныхъ чиселъ мы не сдѣлаемъ большой ошибки принявъ амплитуды основныхъ волнъ за

’ Е, = |/^2. 2500

E. — j/2, 2475

Тогда эффективныя силы тока, соотвѣтствующія волнамъ различныхъ порядковъ будутъ

2500 — 2475 оо

Ji = „ /—гщгд---“7= 3, 5 амперъ

2у 0 62 3,6s Р

0,225.2500 + 0, 15.2475

27зГз7б —43,3

0,05.2500 — 0,1.2475

J~ 2.5. 3,6 —'

Мгновенное значеніе обмѣннаго тока будетъ

4,8

3,5Sin(<ot — 80°.2' 15") +43, 3Sin(3«>t —86°49'10")

— 448(5(01 — 88° 5Г25")

Какъ видно изъ этого выраженія углы разности фазъ токовъ выс-

тс

шихъ порядковъ близки къ и по этому эти токи мало служатъ

для передачи работы отъ одного альтернатора къ другому, а только безполезно нагрѣваютъ арматуру, при чемъ нѣкоторые, члены (въ нашемъ примѣрѣ второй) могутъ получать значенія одного порядка съ рабочимъ токомъ. . .

С

t

Заканчивая статью, я укажу на одинъ способъ удостовѣриться въ синхронизмѣ параллельно соединяемыхъ альтернаторовъ. Способъ этотъ былъ предложенъ Айртономъ еще въ началѣ 90-хъ годовъ, но на практикѣ примѣненія не нашелъ, хотя, какъ мнѣ кажется, имѣетъ нѣкоторыя преимущества передъ употребляю* шимися въ настоящее время способами *).

Схема соединенія предлагаемаго Айртономъ показана на фиг; 8, А2, А2—альтернаторы, Е—электроскопъ, снабженный снаружи металлической обкладкой. Эта обкладка и щарикч> электроскопа соединены съ одноименными (принимая во вниманіе направленіе вращенія и расположеніе магнитовъ) клеммами альтернаторовъ. Другія двѣ клеммы соединены между собою черезъ очень большое сопротивленіе R (достаточно полоски бумаги слегка покрытой графитомъ).

Очевидно, когда фазы электродвижущихъ силъ совпадаютъ, листочки электроскопа и его внѣшняя обкладка будутъ имѣть въ каждый моментъ одинъ и тотъ же потенціалъ.

При несовпаденіи фазъ, потенціалъ обкладки и листочковъ будетъ не одинаковъ, эти послѣднія получатъ нѣкоторый зарядъ и разойдутся.

Подобный приборъ, особенно для машинъ высокаго напряженія гораздо чувствительнѣе фазовыхъ лампъ.

Мной были сдѣланы на Томской электрической станціи при любезномъ содѣйствій завѣдующаго станціей И. П. Бѣлозерова опыты примѣненія описаннаго способа. Напряженіе на сборныхъ шинахъ станціи 2000 вольтъ. Напряженіе фазовыхъ лампъ—-100 вольтъ. ■

При 30 вольтахъ напряженія на клеммахъ лампочки уже не горятъ, и слѣдовательно дѣйствующая разность электродвижущихъ силъ обоихъ альтернаторовъ въ моментъ включенія можетъ достигать величины 000 вольтъ.

При опытахч. электроскопомъ этотъ послѣдній давалъ еще за-замѣтное отклоненіе листочковъ при разности потенціаловъ въ 100 volt, и слѣдовательно точность совпаденія фазъ была въ 6 разъ больше, чѣмъ при обыкновенномъ способѣ включенія съ фазовыми

р Описаніе современныхъ указывающихъ на синхронизмъ приборовъ см. въ статьЬ W. Kitter’a Е. Т. Z, 1000. 7.

лампами. Способъ этотъ нуждается въ конструктивномъ усовершенствованіи, такъ какъ употреблявшійся обыкновенный электроскопъ съ алюминіевыми листочками-оказался слишкомъ нѣжнымъ. Листочки скоро сломались.

Нужно однако сказать, что употребленіе электроскопа для указанныхъ цѣлей возможно только при тождественныхъ кривыхъ электродвижущихъ силъ. Изъ сказаннаго въ §§ 16 и 17

видно, что при различныхъ кривыхъ равенства потенціаловъ обкладки и листочковъ не будетъ даже и при совпаденіи фазъ основныхъ волнъ.

А. Потебня.

У

I

ЛЛ'Ь

(

f

і

1

!

j

і

I

¥

I

i

*—

j

i

&ил>. Ъ,