CC BY
25
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДИФФУЗИИ ФАЗЫ ОДНОМОДОВОГО МАЗЕРА, ОБНАРУЖИВАЕМЫЕ В ПРОЦЕССЕ КВАНТОВЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ Г.П. Мирошниченко
Метод периодических траекторий обобщен для анализа состояний фазы одноатомного мазера, информацию о которых получают с помощью серии последовательных косвенных квантовых фазочувствитель-ных измерений над вылетающими из резонатора атомами. Получено стохастическое рекуррентное соотношение, позволяющее с помощью метода Монте-Карло генерировать последовательность относительных частот обнаружения у вылетающих атомов состояний выбранного измерительного базиса. Случайная последовательность статистически обработана, и, с помощью метода периодических траекторий, получен график плотности распределения фазы для выделенного подансамбля состояний квантованной моды.
Введение
Квантовая теория генерации лазерного излучения, использующая Р-представление Глаубера для матрицы плотности моды, представлена в книге [1]. Здесь, в частности, показано, что спектральная ширина лазерной линии в надпороговом режиме определяется процессом диффузии фазы лазерной моды. Получено уравнение диффузии для плотности вероятности фазы и найдено выражение для коэффициента диффузии. Теория так называемого одноатомного мазера развита в работе [2]. Это устройство дает уникальную возможность для детального анализа процесса генерации. Для этого в экспериментальной установке предусмотрены детекторы, анализирующие квантовые состояния вылетающих из резонатора отработавших атомов. Эту дополнительную информацию можно использовать для слежения за процессом установления закона распределения чисел фотонов в резонаторе и за развитием (диффузией) плотности вероятности фазы мазерной моды. Для получения информации о недиагональных элементах редуцированной матрицы плотности (РМП) моды используют фазочувствительные методы измерений, идея которых изложена в работах [3-7]. Фазочувствительная схема предусматривает дополнительное резонансное с атомными (мазерными) переходами классическое поле на выходе, через которое вылетающие из резонатора атомы пропускаются, чтобы осуществить поворот энергетического атомного базиса на заданный угол (обычно П 4). Затем проводится проекционное измерение с помощью ионизатора, показывающее, в каком из суперпозиционных состояний обнаружен вылетающий атом. В работе [8] развит метод периодических траекторий, который позволяет по найденной в эксперименте относительной частоте обнаружения вылетающих атомов в основном или возбужденном (мазерном) состоянии рассчитать (среднюю) РМП моды в базисе Фока. Эта РМП описывает подансамбль состояний моды, выделенный на отрезке времени измерения. Получаемая информация о состояниях вылетающих атомов позволяет детализировать картину развития мазерной моды в стационарном состоянии. Эта картина представляется как случайная последовательность подансамблей, в которых мода пребывает на разных временных интервалах [9]. В работах [3-7] построена теория фазо-чувствительных квантовых измерений в одноатомном мазере. Здесь с помощью метода Монте-Карло смоделирована последовательность откликов селективных детекторов, рассчитаны статистические характеристики потока атомов (конкретно даны формулы для среднего числа атомов, вылетающих из резонатора в одном состоянии), вычислены фотон-фотонные корреляционные функции первого порядка.
Настоящая работа является продолжением работ [8], [9]. Здесь метод периодических траекторий обобщается для анализа фазочувствительных измерений. Метод основан на аппарате условных редуцированных матриц плотности, применяется для анализа стохастических рекуррентных соотношений, описывающих процесс генерации в при-
сутствии последовательных косвенных квантовых измерений. В работе средствами компьютерного моделирования впервые показано, как, используя результаты измерений, выделить подансамбль квантовой моды. Матрицу плотности подансамбля можно рассчитать с помощью метода периодических траекторий. По полученной средней РМП, с помощью положительной операторозначной меры Сасскинда - Глоговера [10]
^ (р) = |р|ехр ( р)) (ехр ( р)),
где
ад
ехр 0 р)) ехр 0 р)) = ехр 0 р)) ехр (р)), | ехр (1 р)) = 2 ехр (1пр) ) п),
п=0
а р - неэрмитовый оператор фазы волны, можно получить плотность распределения фазы в выделенном подансамбле состояний квантованной моды. Формула для расчета плотности
ф(р)=ехр (р)и ехр (р)), (1)
где р - РМП подансамбля [11, 12].
Основные результаты
Анализ состояний фазы полевой моды производится с помощью формулы (1) для плотности вероятности фазы моды. Обозначим
(Рп+к,п) = Рп,п+к = Р), п = 0,1..., к > 0 - (2)
матричные элементы РМП моды в представлении взаимодействия, лежащие на к - ой диагонали (здесь знаком ( ) обозначено комплексное сопряжение) и помноженные на фазовый множитель ехр (ек), где е - атомная фаза, определение которой дано далее. Введем обозначение суммы элементов к - ой диагонали
к(к) = £Рк> . (3)
ф(р) = — ^ + 2 • Яе
2п I
(4)
Рассмотрим непрерывное распределение фазы р в выбранном окне и запишем выражение для плотности вероятности выбранного значения фазы волны
2К(к) ехр (1к (р-е))
- к=1 _ , Здесь символ Яе обозначает вещественную часть комплексного числа. Фаза р изменяется в интервале шириной 2п, а начало отсчета фазы, как показано ниже, определяется методикой измерения.
В одноатомном мазере атом, влетающий в резонатор в возбужденном состоянии, взаимодействует с квантованной модой в течение короткого времени т. Для проведения фазочувствительных измерений используется детектор, в котором отработавшие атомы перед влетом в ионизационную камеру пропускаются через классическое электромагнитное поле, поворачивающее атомный базис на угол ж/ 4. Ограничимся представлением об идеальном селективном детекторе. Обозначим измеряемый атомный базис 10т и Ц Связь базисов осуществляется с помощью оператора поворота записанного в представлении взаимодействия
= V, V 0,1, (5)
где
W = exp (isSz )exp (-i£Sx). (6)
Здесь Sx, Sz- операторы su(2) алгебры. Фаза атомного состояния s определяется (начальной) фазой классического поля, участвующего в процессе измерения, и считается произвольной заданной величиной, а угол поворота S/2 принимается равным ж/4. Применим гипотезу проектирования фон Неймана и спроектируем полную атомно-полевую матрицу плотности на подпространство, определяемое выпавшим при измерении базисным вектором (5). Получим условную матрицу плотности подансамбля моды, фиксируемого обнаруженным значением случайной переменной v - номера вектора измеряемого базиса. После вылета атома из резонатора цикл действия одноатомного мазера завершается этапом релаксации полевой моды к состоянию равновесия, который длится в среднем в течение времени T -1/R¡n >> т, где Rin - скорость инжектирования атомов в резонатор. Совершив предписанные выше преобразования, получаем стохастическое рекуррентное соотношение для вектора R с компонентами R(k), определенными формулой (3)
R (L ) = Q (n0, v) R (L - 1)/p ( v,L ), (7)
p(v,L) = 0.5 + Q(no,v)o,iR(1)(L-1) . Здесь R (L) - вектор R в конце L-ого цикла микромазера, v - случайная переменная, принимающая значение 0 или 1 в зависимости от результата измерения с вероятностью p(v,L). Матрица Q(n0, v) равна
Q (no,v)k,k =
cos ((n0 +1) cos ((n0 +1 + k ) + sin ((n0 +1) s in ((n0 +1 + k Q (n0, v)k,k+1 = (-1)v+1 sin (( + 1 )cos ((n0 + 2 + k )),
Q (n0, v)k,k-1 = (- 1)v+1 cos (( + 1) s in (VnTTk )),
q (n0,v)01=(-1)v+1sin )cos (v^).
Здесь 0 = g т, g - константа атомно-полевого взаимодействия, Ю и Ц - векторы основного и возбужденного атомных (мазерных) состояний. Рекуррентное соотношение (7) описывает динамику вектора (3) в процессе последовательных измерений состояний вылетающих атомов. Соотношение применимо для анализа надпорогового режима работы, когда среднее число фотонов в моде n0 установилось. С помощью (3) можно моделировать процесс диффузии фазы квантовой моды.
На рис.1 (график 1) приводится зависимость относительной частоты P (0,L) обнаружения вектора |0^m от номера пролетевшего атома (номера цикла) L. График 1 на
рис.1 смоделирован методом Монте-Карло с помощью (7) для набора параметров
0 = 0.236, Nex = RJ Y = 150, nb = 0.01, ^ - 95. Здесь у - скорость распада фотонов, nb - среднее тепловое число фотонов в резонаторе. Относительная частота определялась на каждом интервале по выборке из 300 вылетающих атомов как отношение количества благоприятных исходов к полному объему выборки. Общее число пролетевших атомов в приведенной случайной реализации равно 160000. График 1 при скорости инжектирования Rin = 3000at/c, моделирует отрезок
времени, равный примерно минуте работы микромазера. График 2 рис.1 (жирные линии) показывает динамику установления среднего значения относительной частоты Р(0,Ь) в выбранном интервале. Для получения Р(0,Ь) усреднению подвергались выпадающие подряд значения относительной частоты, удовлетворяющие неравенствам 0.85 < Р (0,Ь)< 1 (верхний ряд) и 0 < Р (0,Ь)< 0.15 (нижний ряд). В представленной
случайной траектории видны участки (длительностью несколько секунд), когда относительная частота стабилизируется около своего среднего значения. За время пребывания на участке стабилизации траектории можно выделить подансамбль состояний, матрицу плотности которого, а также плотность вероятности фазы моды можно оценить при помощи метода периодических траекторий [8, 9].
Рис. 1. График 1 - последовательность относительных частот Р(0,Ь) обнаружения состояния |0)т измеряемого базиса, смоделированная с помощью стохастического рекуррентного соотношения (7). График 2 - жирные линии - кривые зависимости от номера цикла 1_ средних относительных частот Р(0,Ь) в интервалах 0.85 < Р(0,Ь) < 1
и 0 < Р (0,Ь)< 0.15.
Применим метод периодических траекторий и изучим свойства периодических траекторий с помощью стохастического рекуррентного соотношения (7). Найдем вектор Я (Ь) и плотность вероятности фазы (4) вдоль этих траекторий. Зададим параметры периодической траектории: I - период траектории, ]0 - число атомов на периоде, обнаруженных в состоянии |0) ^ = I - ]0 - в состоянии Цт . Составим оператор периода
ОТ = < п0, П0,0)0 и решим задачу на собственные значения этого оператора
ОТ • Я (ь^ )=А,-Я((0,]1). (8)
Два индекса _]0, ^ в выражении Я (0, ^ ) обозначают тип периодической траектории. На рис. 2 даны графики плотностей вероятности Ф(^) абсолютной фазы моды.
На графике 1 рис.2 представлена Ф(^), рассчитанная по результатам численного моделирования с помощью стохастического рекуррентного соотношения (7) на 8000-
ом цикле случайной реализации, представленной на рис. 1. Для сравнения на том же рис. 2 (график 2) изображена Ф(^), рассчитанная с помощью метода периодических
траекторий. Для этого численно была решена задача на собственные значения (8) для оператора периода, определяемого числами
]с = 26, ^ = 1 (9)
и найден собственный вектор Я(к)(26,1) для максимального собственного числа. Этот
вектор подставлен в формулу (4) для получения соответствующего Ф(^). Числа (9)
получены по формуле ((0 +1) « Р(0,Ь), где на 8000-ом цикле, как следует из графика
2 рис.1, для средней относительной частоты Р (0,Ь) имеем
Р (0,8000) 0.964..
Фаза
Рис.2. Плотности вероятности абсолютной фазы Ф(^). График 1 - плотность вероятности, рассчитанная по графику 1 Рис.1 на 8000 - ом цикле. График 2 - плотность вероятности, рассчитанная с помощью метода периодических траекторий по среднему
значению Р (0,8000) « 0.964. Фаза классического поля выбрана в = -11п/8.
Заключение
Рис.2 еще раз подтверждает, что метод периодических траекторий позволяет по графику для Р(0,Ь) найти вид (средней) Ф(^) на интервале времени, когда среднее
Р (0,Ь) установилось. Относительная частота принимает значения между 0 и 1. При
этом график задерживается (стабилизируется) на интервалах порядка нескольких секунд либо около 1 (при этом атомы с большой вероятностью обнаруживаются в состоянии V = 0 ), либо около 0 (при этом атомы с большой вероятностью обнаруживаются в состоянии V = 1). Если временное разрешение прибора достаточно, то такой временной интервал можно зафиксировать и, тем самым, выделить подансамбль, распределение фазы в котором определяется плотностью вероятности, построенной, например, на рис. 2 (график 2). Если двигаться вдоль случайной траектории, то можно обнаружить, что плотность будет постоянно изменяться, два горба кривой будут раздвигаться, и, если привести средний по большому интервалу график плотности, то он сов-
падет с равномерным распределением - таким, какой давала бы модель диффузии фазы. Для уточнения результата работы необходимо дополнительно учесть влияние дисперсии средней относительной частоты на среднюю редуцированную матрицу плотности подансамбля, рассчитанную с помощью метода периодических траекторий.
Работа поддержана грантами Минобразования РФ Т02-02.2-599 и грантом ФЦП «Интеграция».
Литература
1. Арекки Ф., Скалли М., Хакен Г., Вайдлих В. Квантовые флуктуации излучения лазера. М.: Мир, 1974. 236с.
2. P. Filipowicz, L. Javanainen, P. Meystre. Theory of a microscopic maser. // Phys. Rev. A, 1986. V.34. №4. Р.3077-3087.
3. Wagner C., Brecha R.J., Schenzle A., and Walter H. Phase diffusion, entangled states, and quantum measurements in the micromaser. // Phys.Rev. A. 1993. V.47. №6. Р.5068-5079.
4. McGowan R.R. and Schieve W.C.. Micromaser with injected atomic phase. // Phys.Rev.A. 1997. V.56. №3. Р.2373-2384.
5. Wagner C., Brecha R.J., Schenzle A., and Walter H. Phase diffusion and continuous quantum measurements in the micromaser. // Phys.Rev. A. 1992. V.46. №9. P.R5350-R5353.
6. Englert Berthold-Georg, Gantsog Tserensodnom, Schenzle Axel, Wagner Christian, and Walther Herbert. One-atom maser: Phase-sensitive measurements. // Phys. Rev.A. 1996. V.53. №6. Р. 4386-4399.
7. Raimond J.M., Brune M., and Haroche S. Colloquium: Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity. // Rev. Modern Phys. 2001. V.73. №3. Р.565-793.
8. Мирошниченко Г.П. Модель периодической последовательности (траектории) результатов измерений атомных состояний на выходе микромазера. // ЖЭТФ. 2002. Т.122. №5(11). С. 965-977.
9. Мирошниченко Г. П. Субпуассонова статистика подансамблей полевой моды микромазера. // Оптика и спектр. 2004. Т.96. №4. С.629-637.
10. Susskind L. and Glogower J. Quantum mechanical phase and time operator. // Physics. 1964. V.1. Р.49-57.
11. Shapiro J.H. and Shepard S.R. Quantum phase measurement: A system-theory perspective. // Phys. Rev. A. 1991. V.43. №7. Р.3795-3818.
12. Phys. Scr. 1993. V.T48 (special issue on quantum phase and phase dependent measurements).
