Микроскопическая дискретная модель неидеального фотодетектора Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАНОСИСТЕМЫ: ФИЗИКА, ХИМИЯ, МАТЕМАТИКА, 2012, 3 (1), С. 93-100 УДК 539.182

МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕИДЕАЛЬНОГО ФОТОДЕТЕКТОРА

Г. П. Мирошниченко1, А. И. Трифанов2

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных

технологий, механики и оптики

1 gpmirosh@gmail.com, 2 alextrifanov@gmail.com

Исследован процесс дискретного фотодетектирования в предположении о неидеальности детектора атомов-зондов. Предложена неортогональная система операторозначных мер, описывающая процесс измерения и построены трансформеры атомных и полевых состояний.

Ключевые слова: фотодетектирование, ионизационная камера, резонаторное взаимодействие, редукция состояния, разложение Крауса.

1. Введение

Проблема измерения [1,2] является фундаментальной в квантовой физике и играет важную роль в различных ее приложениях. В настоящее время широко исследуются возможности томографии квантовых процессов [3,4] и состояний [5,6] а также варианты реконструкции операторных мер детектора [7]. Измерительное устройство является обязательным атрибутом квантового компьютера и систем квантовых коммуникаций [8,9].

Для передачи квантовой информации наиболее перспективными выглядят оптические информационные технологии [10]. В них для получения информации о состоянии канала передачи используется фотодетектирование. Фундамент теории измерения квантового электромагнитного поля составляют работы [11-13]. Дальнейшее развитие данной теории можно найти в работах [14-16]. Изучены модели внутреннего [17] и внешнего [18] (по расположению детектора) фотодетектирования для дискретных [19,20] и непрерывных [21-24] процессов. В работах [23] и [24] исследуются операторы квантовых скачков, связанных с поглощением фотона в результате измерения и учитывается влияние неидеальности детектирующего устройства [25] («темновые» срабатывания) на статистику фотоотсчетов.

В дискретной модели (см. также работы посвященные одноатомному мазеру [26,27]) развиты методы исследования статистических характеристик ЭМ поля [28], а также их приложения к некоторым протоколам квантовых коммуникаций [29]. В данном методе измерения состояние моды резонатора тестируется при помощи двухуровневых атомов-зондов. Данные атомы, приготовленные в некотором состоянии, пролетают через резонатор, «собирая» информацию о квантовой моде. На выходе происходит их измерение в селективном детекторе (ионизационной камере). В зависимости от состояния, влетающего в резонатор атома (основное или возбужденное) различают два режима работы измерительного устройства — фотонный и квантовый счетчик. Фотонный счетчик реализуется, когда атом приготавливается в основном состоянии, квантовый счетчик — в случае изначально возбужденного состояния атома. Информативность, качество (fidelity) и обратимость данных двух режимов детектирования изучены в работе [30].

Здесь мы исследуем неидеальность детектирующего устройства в дискретной модели, реализующей фотонный счетчик. Несовершенство измерения предполагает возможности пропустить атом, а также получить неверную информацию о его состоянии. Вероятности такого рода ошибок легко получить из эксперимента. Например, приготавливая атом в основном состоянии, вычислить частоту срабатываний камеры, детектирующих возбужденное состояние и наоборот. Природа таких ошибок может быть следующей. После попадания атома в ионизационную камеру, происходит фотоионизация его уровней в результате их взаимодействия с классическими полями детекторов. Возникающий фототок провоцирует щелчок соответствующего детектора, который говорит о том, в каком состоянии найден атом. Наличие двух полей, взаимодействующих с атомом, может приводить к тому, что под действием одного из них произойдет изменение заселенности уровней атома, которое приведет к ошибочной статистике отсчетов.

Структура работы организована следующим образом. В разделе 2 строятся вероятностные меры для устройства детектирования состояния атома. Получены соответствующие этим мерам супероператоры и их разложения Крауса. Предложены трансформеры состояний, соответствующие неидеальному устройству детектирования. В разделе 3 вводится вероятностная мера в пространстве состояний поля резонатора и производится построение соответствующих операторов. Раздел 4 содержит описание детектирования однофотонной моды резонатора. На основе теоремы Байеса производится переоценка вероятностей гипотез относительно исходного состояния поля. В разделе 5 в заключении обсуждаются полученные результаты.

2. Параметризация неидеального детектора

Рассмотрим процесс измерения на примере детектирования двухуровневого атома, попадающего в ионизационную камеру. Наблюдаемой величиной в эксперименте является его состояние: основное \д) или возбужденное \е). Оператору соответствующей наблюдаемой сопоставляется полный набор спектральных проекторов Р] Е {е,д}:

Р^ + Р? = 1А, (1)

А

где 1а — оператор тождественного преобразования, а проекторы Р^, ] Е {е, д} определяются следующим образом:

Р? = \9)(9\ , Р? = \е){е\ . (2)

Результат измерения данной наблюдаемой можно описывать при помощи случайной величины £ принимающей три возможных значения: £ =1 соответствует тому, что атом обнаружен первым детектором, настроенным на измерение состояния \д); £ = 2 — атом обнаружен вторым детектором, настроенным на измерение возбужденного состояния \е); £ = 0 — атом пропущен из-за несовершенства измерительного устройства. Данной случайной величине, характеризующей процесс измерения, сопоставим полный набор неортогональных операторных мер П, £ = 0,1, 2, таких что:

По + П1 + П2 = 1А. (3)

При этом:

П1 + П2 = \д)(д\ + ее \е)(е\, (4)

По = (1 - ед) \д) (д\ + (1 - ее) \е) (е\ . (5)

Величины ед и £е определяют квантовые эффективности детекторов и являются вероятностями обнаружить атом первым или вторым детектором соответственно. Припишем атому

в момент измерения состояние ра- Тогда вероятность исхода эксперимента, описываемого случайной величиной £ будет равна:

Р (£) = ТгА [рА п ] • (6)

Здесь Тга обозначает операцию взятия следа в пространстве атомных состояний. Квантовая операция Л^-, соответствующая измерению с исходом £ вводится следующим образом:

ТгА ЛрА] = ТгА [рАП] , (7)

Л?рА = ^ М^крАМ[к, (8)

к

где М^,к — набор ограниченных операторов (трансформеров состояний):

£ , * = Л\1 = П. (9)

к

Здесь Л^ — супероператор, сопряженный Л^. Теперь учтем возможность того, что что атом, приготовленный в состоянии \е) попав в камеру, вызывает событие, описываемое случайной величиной £ = 1. И наоборот, когда атом, приготовленный в состоянии \д) вызывает событие описываемое случайной величиной £ = 2. Для этого введем соответствующие условные вероятности Р (£ =1 \е) = \а1 ,е\2, Р (£ = 2 \д) = \а2,д\2, которые определяются из эксперимента. Далее запишем формулу полной вероятности для случайной величины £:

Р (£) = Р (£ \9) Р (д) + Р (£\е) Р (е), (10)

где Р (д) = Тга [р^Р^] , Р (е) = Тга [р^Р^4] - Пользуясь (4), (6) и (10) выберем в качестве выражений для операторных мер следующие:

П = к *\2 \д){д\ + К , е\2 \е){е\, (11)

П2 = \«2, е\2 \е)(е\ + кй\2 \д)(д\, (12)

где \а1 ,д\2 + \а2,д\2 = £д, \а1.е\2 + \а2,е\2 = £е. Для случая £ = 0 в дальнейшем удобно определить |а!о,д\2 = 1 _ £д и \«о ,е\2 = 1 — £е- Далее, используя операторы Крауса, операторные меры П можно записать в виде:

П = £ м*,»». (13)

М 9, е}

Каждый из операторов М^,^ в разложении (13) описывает определенный процесс внутри ионизационной камеры: М^>дд = а^ дд \д) (д\ соответствует детектированию атома, находящегося в состоянии \д) детектором с номером £ (£ = 1, 2); аналогично М^,ее = \е) (е\ соответствует детектированию атома, находящегося в состоянии \е) детектором с номером £; М^,де = а^ де \е) (д\ описывает скачок \д) — \е) под действием классического поля детектора £, а М^ед = а^ед \д) (е\ — скачок \е) — \д) под действием классического поля детектора £. Физический смысл операторов М^^ в случае £ = 0 заключается в следующем: М0>дд атом в основном состоянии пропущен, М0,ее — атом в возбужденном состоянии пропущен, М0,ед и М0,де — атом не детектируется но под действием классических полей детекторов происходит скачок \д) — \е) или \е) — \д). Из (11) и (12) получим:

Н,99\2 + \а£,де\2 = \^,д\2 , \а£,ее\2 + \^,ед\2 = К,е\2 • (14)

Выражение для Р (£) в форме (6) можно записать тогда следующим образом:

Р (0 = ТгА [р]= ТтА

(15)

М^рАМ\

Заметим, что в выражении (13) могут быть учтены и процессы вида \е) \д) {е\ (д\ но их вероятности малы по сравнению с вероятностями описанных выше процессов.

3. Процесс фотодетектирования

Теперь рассмотрим процесс фотодетектирования электромагнитного поля в резонаторе с использованием двухуровневого атома-зонда. Пусть состояние атомно-полевой системы в момент, когда атом попадает в резонатор и подвергается измерению, описывается совместной матрицей плотности рАР. В результате измерения атома, согласно проекционному постулату фон Неймана, происходит коллапс его состояния и система описывается следующей матрицей плотности:

2 2 рАР = £(Л 01Е) рАР = ^ ]>] м^рАРм1^ (16)

?=0 ?=0 ц,ие{д,е}

Игнорируя показания детектора, можно получить редуцированную матрицу плотности моды полного ансамбля, взяв след в пространстве атомных состояний:

рР = ТтА [рАР]. (17)

Дополнительная информация о состоянии вылетевшего из резонатора атома может быть использована для расщепления полного ансамбля на подансамбли, каждый из которых соответствует одному из результатов измерения :

ТтА

М^рАРМ}^

Е

Соответствующая вероятность получения данного подансамбля равна:

Р( )

Ттр

Ттр

т

рр 1 р

(18)

(19)

Используя разложение, аналогичное приведенному в (3), можно произвести разбиение единицы в пространстве полевых состояний, тем самым определив вероятностную операто-розначную меру и супероператоры . Для определенности положим, что атом до взаимодействия с электромагнитным полем резонатора был приготовлен в основном состоянии рА = \д) (д\. Начальное состояние резонаторной моды пусть описывается произвольным оператором плотности рр. Пренебрежем релаксационными процессами, и будем рассматривать унитарную эволюцию системы. Тогда состояние рАР сразу после взаимодействия и непосредственно перед измерением можно записать в следующем виде:

Рар = итРА 0 рри1. (20)

где ит оператор эволюции системы «атом—поле», а г —время взаимодействия. Разбиение единицы в пространстве полевых состояний произведем следующим образом. Введем супероператоры :

Ттр [Е?рр] = Ттр

рр * р

ТтАр

№ £{д,е}

(21)

Далее, используя (20) определим трансформеры полевых состояний К:

Kí= Y. <л\ щ\g). (22)

Vt{g, е}

С учетом выражений приведенных для М^,операторы К^,можно записать следующим образом:

Kí,^ = Y^ ,^ \ ")(^\ UT \g) = Y^ ,■ (23)

Vt{g ,e} Vt{g ,e}

Здесь 5VV — дельта Кронекера, Ugg = (g\ UT \g) и Ueg = (e\ UT \g). Из (23) легко получаются выражения для супероператоров S:

S = £ К^= К/ UggU¡g + К,е\2 UeaU¡g■ (24)

Отсюда можно сделать заключение о том, что скачки, происходящие в ионизационной камере во время измерения атома не сказываются на состоянии поля резонатора после измерения (это отмечалось в работе [27] в связи с изучением одноатомного мазера). Поэтому, при расчете поправок на неидеальность их можно опускать. Данные величины могут быть полезны при вычислении коэффициентов а (введенных здесь феноменологически) из первых принципов.

4. Теорема Байеса и переоценка гипотез

В качестве примера использования данной модели при описании процесса фотодетектирования, вычислим апостериорные вероятности гипотез относительно состояния поля в резонаторе. Предположим, что начальное однофотонное состояние поля является чистым Pf = \Ф) (Ф\ и параметризуем его следующим образом:

Ú Ú

|ф) = Iф (в)) = cos - |0> + sin - |1> ,в Е [0, тг]. (25)

Воспользуемся выражениями (19), (21) и запишем формулу полной вероятности случайной величины £ = 1, 2. Данная вероятность является условной и зависит от состояния поля внутри резонатора pf = Pf (9):

Р (£ \в ) = TrF [SPF] = р (£ \g) р (g\в) + Р (i\е) Р (е \в) (26)

где Р (£ \д) и Р (£ \е) определялись выше, а

Р (д \в)= TrF [pfPf ] , Р (е \в) = TrF [pFPf ] ■ (27)

Здесь Pf и P^ — операторозначные меры в пространстве полевых состояний, соответствующие мерам P^ и в пространстве атомных состояний. После измерения и получения некоторого значения случайной величины £, вероятности гипотез Р (в) относительно начального распределения поля резонатора могут быть пересчитаны по следующей формуле (теорема Байеса):

PIDin-iMM. ,28)

в

Для определенности предположим, что в — равномерно распределена на промежутке [0,^], и в результате измерения была получена случайная величина £. Вычислим апостериорную

вероятность гипотезы Р (в ):

р(е|с) = {М2ТгР [17ддрРи}а] + М2ТтР [иедрРи19]} Р {в)

{\а^д\2Ттр иддРри]дд + \а^е\2ТтР иедРри!д |р (в)

Используя явные выражения для операторов идд и иед:

(29)

17дд = сое (Птл/а^а

и

ед

аа]

вт ^Пгл/ааТ^

где П — однофотонная частота Раби, получим:

р(О Ю = -

ж

1 +

(\а?,д\2 _ ^^^П2 (Пг) сое ()

2 \а^д\2 + (|а!?,е|2 - |а^|2) вт2 (Пг)

В частности, для £ = 0 будем иметь:

Р(в |0) = -

ж

1 +

(ее - ед) вт2 (Пг) сое ()

2 (1 " -я) + (?д ~ £е) ЯП2 (Пт)

(30)

(31)

(32)

На рис. 1а изображены зависимости плотностей вероятностей Р (# \£) пересчитанных гипотез для случаев £ = 0 и £ = 1 при Пг = ж/2, \а\д\ = 0.8, £д = 0.9, ее = 0.8. Для 0 = 0 и Пг = ж/2 на рис. 1б построена плотность вероятности Р (0 \0) как функция ед эффективности первого детектора при фиксированной эффективности второго £е = 0.8.

РИС. 1. а) Пересчитанные оценки для вероятности гипотез Р (в \ 1) (штриховая линия) и Р (в \ 0) (штрих-пунктирная линия), а также априорная плотность вероятности гипотез (сплошная); б) Зависимость Р (0 \0) от величины д квантовой эффективности первого детектора при фиксированной величине £е = 0.8, в = 0

5. Заключение

Рассмотрена модель неидеального детектора, включающая возможность пропуска атома и ошибок детектирования возникающих за счет процессов, протекающих в измерительном устройстве. Предложена система операторозначных мер детектора, учитывающая

все введенные типы неидеальности. С их использованием построены атомные супероператоры, отвечающие каждому исходу детектирования и получены их представления Крауса (трансформеры атомных состояний). Затем данная модель детектора была использована для тестирования поля резонатора. Предполагалось, что время взаимодействия атома с модой много меньше времени жизни его возбужденного состояния, а также времени жизни поля в резонаторе. То есть рассматривалась эволюция атомно-полевой системы, в результате которой чистые состояния сохраняются. При данных допущениях получены соответствующие трансформеры состояний поля. Данные выражения затем использовались для переоценки гипотез о состоянии поля (теорема Байеса) для известного исхода детектирования.

Помимо рассмотренного приложения данной модели, интерес представляет также влияние неидеальности на оценку статистических характеристик квантовой моды и обратимость измерительного процесса. Статистика фотоэлектронного счета для различных режимов детектирования в случае неидеальности, связанной с пропуском атома при наличии релаксационных процессов была изучена в [28]. В [30] было показано, что измерение проведенное при помощи фотонного счетчика в случае идеального детектора является необратимым. Наличие ошибочных отсчетов может повлиять на возможность восстановления состояний квантового поля до измерения.

Работа поддержана в рамках Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» No.2.1.1/9425, Федеральной целевой программой «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» 2009-2013 годы. Государственный контракт No.n689. Проект НК-526П/24 и НИОКР РК10186.

Литература

[1] Kraus K. States, Effects and Operations. Fundamental notions of quantum theory. — Berlin, Heldeiberg: Springer-Verlag, 1983. — 152 p.

[2] Peres A. Quantum Theory: Concepts and Methods. — Kluwer Academic Publishers, 2002. — 449 p.

[3] Poyatos J. F., Cirac I.J. Complete Characterization of a Quantum Process: The Two-Bit Quantum Gate // Phys. Rev. Lett. — 1997. — 78(2). — P. 390-393.

[4] Lobino M., Korystov D., Kupchak C., Figueroa E., Sanders B.C., Lvovsky A.I. Complete Characterization of Quantum-Optical Processes // Nature, - 2008. — 322. — P. 563-566.

[5] Hradil Z. Quantum state estimation // Phys. Rev. A. — 1997. — 55(3). — P. 1561-1564.

[6] Teo Y. S., Zhu H., Englert B-G., Rehacek J., Hradil Z. Quantum-State Reconstruction by Maximizing Likelihood and Entropy // Phys. Rev. Lett. — 2011. — 107(2). — P. 020404(4).

[7] Amri T. Quantum Behavior of Measurement Apparatus // arXiv:1001.3032v2 [quant-ph] — 2010.

[8] DiVincenzo D. p. The physical implementation of quantum computation // Fortschr. Phys. — 2000. — 48. — P. 771-783.

[9] Perez-Delgado C. A., Kok p. Quantum computers: Definition and implementations // Phys. Rev. Lett. — 2011. — 83(1). — P.012303(15).

[10] O'Brien J. L., Furusawa A., Vuckovich J. Photonic quantum technologies // Nature Photonics. — 2009. — 3. — P. 687-695.

[11] Mandel L. Fluctuations of Photon Beams and their Correlations // Proc. Phys. Soc. — 1958. — 72. — P. 10371048.

[12] Mandel L. Progress in Optics (edited by E. Wolf) // - 1963. — 2. Amsterdam : North-Holland.

[13] Kelley p.L., Kleiner W.H. Theory of electromagnetic field measurement and photoelectron counting // Phys. Rev. A. — 1964. — 136(2). — P. 316-334.

[14] Srinivas M. D., Davies E.B. Photon counting probabilities in quantum optics // Opt. Act. — 1981. — 28(7). — P. 981-976.

[15] Carmichael H. An Open system approach to quantum optics. — Berlin: Springer-Verlag, 1993.

[16] Gardiner C.W. Quantum noise. — Berlin: Springer-Verlag, 1991.

[17] Walls D. F., Milburn G.J. Quantum optics. — New York: Springer-Verlag, 1995.

[18] Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. — 896 с.

[19] Mollow B.R. Quantum theory of field attenuation // Phys. Rev. — 1968. — 168. — P. 1896-1919.

[20] Zoller p., Marte M., Walls D.F. Quantum jumps in atomic systems // Phys. Rev. A. — 1987. — 35. — P. 198-207.

[21] Ueda M., Imoto N., Ogawa T. Microscopic theory of the continuous measurement of photon number // Phys. Rev. A. — 1990. — 41. — P. 4127-4130.

[22] Dodonov A.V., Mizrahi S.S., Dodonov V.V. Quantum photodetection distributions with "nonlinear" quantum jump superoperator // J. Opt. B: Quant. Semicl. Opt. — 2005. — 7. — P. 99-108.

[23] Dodonov A. V., Mizrahi S.S., Dodonov V.V. Microscopic models of quantum-jump superoperators // Phys. Rev. A. — 2005. — 72(2). — P. 023816(8).

[24] Dodonov A. V., Mizrahi S.S., Dodonov V.V. Engineering quantum jump superoperators for single-photon detectors // Phys. Rev. A. — 2006. — 74(3). — P. 033823(7).

[25] Dodonov A. V., Mizrahi S.S., Dodonov V.V. Inclusion of nonidealities in the continuous photodetection model // Phys. Rev. A. — 2007. — 75(1). — P. 013806(8).

[26] Wagner C., Brecha R.J., Schenzle A., Walther H. Phase diffusion, entangled states, and quantum measurements in the micromaser // Phys. Rev. A. — 1993. — 47. — P. 5068-5079.

[27] Briegel H-J., Englert B-G., Sterpi N., Walther H. One-atom maser: Statistics of detector clicks // Phys. Rev. A. — 1994. — 49(4). — P. 2962-2985.

[28] Мирошниченко Г.П. Измерение статистических характеристик квантованной моды в различных режимах фотодетектирования // ЖЭТФ. — 2007. — 131(5). — С. 829-841.

[29] Мирошниченко Г.П. Дискретное фотодетектирование для протоколов линейных оптических квантовых вычислений и коммуникаций // ЖЭТФ. — 2011. — 139(5). — С. 1-11.

[30] Terashima H. Information, fidelity, and reversibility in photodetection processes // Phys. Rev. A. — 2011. — 83(3). — P. 032111(13).