Обобщенная модель Джейнса – Каммингса с учетом релаксации фотонной моды. Спектр излучения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.375

ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ДЖЕЙНСА - КАММИНГСА С УЧЕТОМ РЕЛАКСАЦИИ ФОТОННОЙ МОДЫ. СПЕКТР ИЗЛУЧЕНИЯ

© 2005 И.Е. Синайский

Самарский государственный университет

Найдено аналитическое выражение для матрицы плотности в обобщенной модели Джейнса - Кам-мингса. Получены аналитические выражения для наблюдаемых и спектра излучения для различных начальных состояний полевой моды.

Введение

Модель Джейнса — Каммингса (МДК) [1], описывающая двухуровневый атом, взаимодействующий с фотонной модой в идеальном резонаторе, играет важную роль в современной квантовой оптике. В рамках этой модели предсказаны новые неклассические эффекты [2, 3]. Все эти предсказания были успешно проверены в экспериментах с одноатомным мазером, см., например, обзорные статьи [4-6].

В данной работе на основании ранее разработанной теории [7] рассматривается частный случай П ^ 0, т.е. при температуре

резонатора равной нулю (большинство работ по обобщению МДК работают в этом приближении, как в исходном ) оказывается, что в этом случае выражение для элементов матрицы плотности принимают более простой вид и можно явно выписать выражения для спектра излучения и для спектра среднего числа фотонов.

Обобщенная модель Джейнса - Каммингса

Одним из наиболее востребованных обобщением МДК является учет конечности добротности резонатора, с учетом этого гамильтониан задачи будет иметь следующий вид :

Н = НА + Нр + Нв + НАР + Нвр, где НА = гамильтониан свободного

атома, Нг = 1ю(а+а +1/ 2) гамильтониан фотонной моды, Нр = hg(a+ £" + а8 + ) - гамиль-

тониан взаимодействия атома с полевой модой, записанный в приближении вращающей

волны (ПВВ). S+ - это операторы энергетического спина, а +, а - бозонные операторы рождения и уничтожения. Термостат моделируется системой осцилляторов, т.е.

Нв = £ М%(£ 4 +1/2),

Н гв = Е(£*+ £«а+) -

гамильтониан

взаимодействия полевой моды с системой бо-зонных осцилляторов. Далее записывается уравнение для матрицы плотности:

,11 М =

дt

Н, р

Матрицу плотности будем искать в виде р^) = рАР ) ® рв (0) , то есть воспользуемся кинетической гипотезой: малая динамическая подсистема не изменяет состояния большой диссипативной подсистемы.

Затем в этом уравнении нужно перейти в представление взаимодействия по свободному гамильтониану и усреднить по переменным термостата.

В результате получаем кинетическое уравнение для редуцированной матрицы плотности динамической подсистемы "атом + фотонная мода":

др

АГ _

1

дt И

НАГ , РаТ + ^ Р АГ

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 7, №2, 2005

где

L Paf = - Уу {((n) +1)

a apAF

-2a pAFa+ + pAF.a+a + ( n) |

aa+pAF

-2a pAFa + pAFaa

i

дp

AF

1

dt ih

ñi) i

AF AF

2

{a+a pAF - 2a д

-<AFa + pAFa a) .

д p' y

j/v f+ /\ » /V » ^ /\ f /\ f /\ f /V f /V t /V t I

a a p -2a p a + p a a j,

dt 2 где:

p ' = exp {iñF /h a' = exp {ñ(AF t /h

a ,+ = exp {iñAF t /h

pexp{-ñAFt/hj, a exp {-iñAFt /hj , a+ exp {-iñ^t /hj

и для векторов состояния |а') необходимо

записать \а') = exp{iñ^t/hj |а).

Несложно видеть спектр векторов состояния поля остался тем же: a'|а') = а|а'). В

рассматриваемом представлении уравнение для Р - символа приобретает следующий вид:

дР

др = (y/2)

Г d

d

—а а

да да

P.

Несложно видеть, что решение имеет

вид:

В кинетическом уравнении воспользуемся приближением нулевой температуры термостата (общее решение этого уравнения [7]):

12

Р (а, X) = [ ^-^К (а, X |а0,0) Р (а0,X), ж

К (а, X |а0,0) = 8г (а -а0е/2).

Теперь для получения явного выражения для матрицы плотности необходимо вернуться в исходное представление. Для этого

необходимо определить |а') = ехр {¡ИА?X/^|а) .

Проще всего это сделать, разложив |а) по

Фоковскому базису С учетом того, что в начальный момент времени атом рассматривается в возбужденном состоянии и оператор

ехр {ШАрХ в Фоковском представлении расщепляется на операторы вида (для каждой пары состояний |п,1)и \п +1,2):

Именно это уравнение обычно записывают другие авторы [6], как исходное, далее находят его решение воспользовавшись серией приближений. В работе будет найдено общее решение этого уравнения без каких либо дополнительных приближений.

Решение модели

Выражение для матрицы плотности будем искать в Р - представлении Глаубера -Сударшана:

2 И 2а

Рл? = 1 | —РмЛа, Х)| а)(а| ®| м)(у\

цу=1 ж

Для решения перейдем в представление "взаимодействия" по ИА? . Тогда уравнение примет вид:

exp

{-ñ(JF)t /h} =

' a b Л -b а

= e ш/2Cos(gt^^+Y /2)

Ь = -¡г-ш/2Sin(gtyín+\ /2).

Проинтегрировав по а подынтегральное выражение, получим явный вид матрицы плотности:

р а? = 1 т=Г х х

п, ш=оы п\ш\ х\сс |п,1 (ш,1| + ¡с И \п,1 (т +1,2 +

( п т | ' / \ ' | пт|'/\

-¡И с Iп +1,2(т,1| + ИИ Iп +1,2(т +1,2П

п т | / \ I пт| /\ I) '

cn = Cos(g^Vn+1 /2), dn = Sin ( gt^n +1 /2)

где

Fnm (t) = J d-a0P (a0, t) J ж

e -aol e~ Uaname У /2( m+n )

a

Выражение для спектра излучения и спектра среднего числа фотонов

Для нахождения спектра излучения воспользуемся хорошо известной формулой:

5 (Дю) = Re ¿гегДэг ( а+ (г) а (0 )).

Несложно показать, что спектр излучения для произвольного состояния имеет вид:

да да k -(n+1)

5(®)=IЁ I Pk(п+DcTC-(„+1)(-i)'

n =0 k=n+1 j =0

Yn,

- + -

Y ■

' n, j

+( ёп + ю)2 +( ёп +ю)2

у, ] = г( 2п + 2] +1)/2,

ёп = ё/ ^л/ПГГ + л/П+2),

где рк - диагональный элемент начальной матрицы плотности фотонной моды (рк = {к\ рР (0)| к)). К примеру, спектр Я- фотонного начального состояния будет иметь вид:

R-1 R -(n+1)

5(ю) = Ё Ё (n + 1)CR+C-(n+i)(-1)j x

n=0 j=0

x i

Y

' n , j

+

Y

' n, j

Yn2,j +(gn + Yn2,j +(gn

а начального вакуумного:

Yo,o

5» = ■

+ -

Yo,(

Yo2o + (g + ®T Yo,o + (g-®Y ■

Аналогично можно получить выражение и для спектра среднего числа фотонов. В случае начального когерентного состояния необходимо проинтегрировать по времени следующее выражение:

n(t)= Kf + Ёда^nMSin2(gtjñ+l/2). Заключение

Из аналитических формул и графиков (рис. 1, 2, 3), видно, что предложенный подход описывает физические системы .

Следует отметить, что найдено общее

Рис. 1. Спектр излучения и спектр среднего числа фотонов для начального 3-х фотонного состояния: у = 0,02; ё = 1. По оси абсцисс частота отложена в единицах ё

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т.7, №2, 2005

Рис. 2. Спектр излучения и спектр среднего числа фотонов для начального 10-ти фотонного состояния: у = 0,02; ё = 1 . По оси абсцисс частота отложена в единицах ё

Рис. 3. Спектр излучения и спектр среднего числа фотонов для начального когерентного состояния \а 0|2 = 10; у = 0,02; ё = 1 . По оси абсцисс частота отложена в единицах ё

точное решение кинетического уравне- ных случаях или решение ищется в се^-ния. В работах других исследователей это лярном приближении (°н° работает толь-уравнение точно решается только в част- ко для малых значений у - константы

затухания и для малых времен взаимодействия ). Предложенный подход лишен этого недостатка.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. H.Y. Yoo and J.H. Eberly, Physics Reports, 118, 1985.

2. S. Singh // Phys. Rev. A 25, 1982.

3. J.H. Eberly, N.B. Narozhny, and J.J. Sanches-Mondragon, Phys. Rev. Lett. 44, 1980; M.O. Scully, M.S. Zubairy, Quantum Optics, Cambridge University Press, 1997.

4. G. Raithel, C. Wagner, H. Walther, L.M. Narducci & M.O. Scully The micromaser: a providing ground for quantum physics // Advances in atomic, molecular and optical physics. Academic, New York.

5. H. Walther // Proc. R. Soc. A 454. 1998.

6. G.S. Agarwal, RR Puri // Phys. Rev. A 33. 1986.

7. А.В. Горохов, И.Е. Синайский. Метод уравнения Фоккера - Планка и статистика фотонов в теории одноатомного мазера // Известия РАН. Серия Физическая. 2004. Т. 68. № 9.

GENERALIZED JANES-CUMMING MODEL WITH PHOTON MODE RELAXATION. SPECTRA

© 2005 I.E. Sinaiski

Samara State University

It was found analytical solution for density matrix in generalized Janes-Cumming model. It was obtained analytical expression for observable and spectra for different initial state of photon mode.