CC BY
10
Трофименко Николай Николаевич, инженер, г. Краснокаменск
Закономерность формирования величины свойства нового атома
УДК 539.183.
Характеристику научных представлений, известных до открытия, совершим на примере того, как они изложены в учебном пособии для вузов «Карапетьянц М.Х., Дракин С.И. Общая и неорганическая химия. М.:Химия,1981».
В главе 1 на странице 20 говорится о том что: «Строгое решение уравнения Шредингера возможно только для одноэлектронных систем. В более сложных задачах применяют приближенные методы, которыми пользуется квантовая химия».
Известно, что Д.И.Менделеев в 1869 году впервые построил натуральную последовательность атомов и выявил в ней так называемую периодичность, то есть за много лет до создания теории квантовой механики. В главе 1 на странице 33, периодический закон формулируется следующим образом: «Свойства элементов находятся в периодической зависимости от заряда ядра их атомов». Далее на странице 34: «Периодический закон указывает на периодический характер функциональной зависимости свойств элементов от заряда ядра атомов; такой вид имеет эта зависимость для огромного числа самых разнообразных характеристик». И далее в подразделе 15.2 странице 38: «Предсказание свойств веществ с помощью периодического закона. Периодический закон Д.И.Менделеева дает возможность определять свойства простых веществ и химических соединений. Впервые большое число таких определений было осуществлено самим Д.И.Менделеевым; он рассчитал свойства и тех элементов, которые не были еще открыты. Как известно предсказания Д.И.Менделеева полностью подтвердились. История естествознания, не знает других примеров столь многостороннего прогноза, который бы так блестяще оправдался».
Комментарии к цитированному тексту следующие: теория квантовой механики успешно ревизовала и интерпретировала обоснованность и справедливость качественного закона Д.И.Менделеева, но пока не в состоянии дополнить и довершить его статусом количественного. Имеется пока (у автора) теоретическая убежденность в том, что последнее происходит потому, что к последовательности атомов до сих пор не был применен закон сохранения энергии, который объективно и, несомненно, здесь действует. К формулировке периодического закона уместны следующие примечания: во-первых, хотя это и общеизвестно, первый период - одинарный, и состоит лишь из двух элементов, а далее идут парные периоды все более возрастающей длины. Во-вторых, даже у парных периодов при наложении графиков одного и того же свойства друг на друга имеют место устойчивые заметные несовпадения, хотя общие черты орбиталей сохраняют подобие. Следовательно, «функциональная зависимость свойств элементов от заряда ядра атомов» начинается с двух элементов Н и Не, а далее имеет парноспиральный раскачивающийся вид, что связано с возрастанием атомного объема простых веществ и что функция эта единообразная для всех свойств элементов
Это предсказание назад, то есть интерполяция, которая годится лишь для спокойных и плавных участков графика свойства, тогда как теперь задача состоит в предсказании вперед, то есть экстраполяция со всеми ее неожиданностями.
Итак, натуральная последовательность атомов есть прямой, единый, развивающийся физический процесс, движущей силой которого является заряд ядра, а любое свойство атома есть отражение этой силы в передающей электрической среде данного атома, подобно тому, как отклонение стрелки динамометра показывает нам величину веса. Процесс формирования нового атома всецело предопределен, как минимум, двумя предшествующими атомами в их натуральной последовательности в декартовой системе координат.
Перечень анализированных графиков свойства атома:
- энергия ионизации сродство к электрону;
- электроотрицательность по Полингу, по Поваренных;
- атомный объем;
- радиус атома орбитальный, металлический;
- радиус иона по Г ольдшмидту, абсолютный;
- плотность;
- твердость по Бринелю;
- удельная теплоемкость мольная;
- стандартная энтропия;
- абсолютная энтропия соединения в газовой фазе, в водном растворе;
- энтальпия атомизации, гидратации, сублимации, плавления, парообразования, соединения в газовой фазе, в водном растворе;
- температура плавления, кипения;
- работа выхода электрона из металла, и т.п.
Предварив краткое изложение сути открытия, назовем его логические основания:
- закон сохранения виртуальной энергии формирования последовательного атома;
- принцип возрастания заряда ядра следующего атома;
- принцип завершенности атома;
- принцип степенной полиномиальной связи между атомами.
Степенные полиномы избраны потому, что с целыми степенями они уместно описывают центробежную силу, а с дробными степенями удобно описывают соответствующую сопряженную центростремительную силу в атоме.
Маршрутный номер атома МНА х введен для скольжения вдоль Ъ атомных номеров путем переприсвоения им номера 0,1,2,3, а также служит переменной в полиномах обоих видов и в качестве переменной интегрирования при исчислении виртуальной энергии формирования последовательного атома.
Еще надо отметить, что нам предстоит брать вторую производную от, так называемого здесь, потенциального полинома и приравнять ее к нулю (для выявления точек маршрутной кинетической стационарности ТМКС и последующего построения, с учетом их, соответствующего кинетического полинома), а также следует обеспечить обращение ее в нуль при начале координат, поэтому потенциальный полином должен начинаться со старшей степени п + 4, где п = 1,2,3, ... .
Сущность открытия кратко изложим на примере частного случая маршрутного полинома Ъ=х, где Ъ - атомный номер, х - МНА. Запишем друг под другом три строки числовыми значениями: х = 0,1,2,3; Ъ =0,1,2,3; у=(уо=0), у],у2,уз, где у - величина свойства атома ВСА, причему} и у2 - известны, а у3 - искомое.
По данным х и у, сначала составим потенциальный полином степени п+4 и определим его коэффициенты. Определим ТМКС и, добавив их к исходным точкам (х; у), запишем в общем виде кинетический полином степени п+4, соответствующий потенциальному, и определим его коэффициенты. Составим функцию Лагранжа относительно суммы и разности площадей (энергии) под потенциальным и кинетическим полиномом и берем от нее производную по у3 и приравниваем ее к нулю для определения точки у3 условного экстремума Лагранжа.
Проделываем все те же операции над аналогичным полиномом, но от дробной степени переменной х, то есть младшей степени а=1/(п+4), а значит, в поле центростремительной силы атома.
В итоге получаем два выражения для экстремального множителя X Лагранжа, соответствующих центробежной и центростремительной силе в атоме, приравнивая которые друг к другу, получаем выполнение принципа их равенства, то есть уравнение для определения
предварительной частной оценки искомой ВСА у3 ■
Проделав все такие же операции взятия производных относительно экспериментальных, а значит усредненных значений у} и у2, получаем еще два аналогичных уравнения для их определения.
В итоге получили систему из трех уравнений для определения у}, у2, у3. Система, при каждом фиксированном значении п=1,2,3,..., решается известным последовательным
симплексным методом в два этапа[3]. На первом этапе, при известном экспериментальном значении у} и у2 из [1], приближаем пока еще предварительное опорное значение искомого у3 по критерию минимума суммы модулей невязок £1+е2+£з, соответственно трем уравнениям системы.
На втором этапе, по тому же критерию, варьируем с малым шагом все три ВСА у1, у2, у3, приближая их лучшую оценку, ибо у каждого из них есть своя плотность распределения вероятности. Математическое ожидание каждой ВСА у и среднеквадратическое отклонение вычисляются традиционным способом.
Следующая ВСА у4 определяется во втором цикле формирования аналогично, путем параллельного переноса начала координат в точку (1; уг) с присвоением компонентам внутрицикловой нумерации и индексации цифр 0,1,2,3, дабы использовать без изменения одни и те же формулы вычисления.
Так же аналогично определяются ВСА у всех атомов до бесконечности. Научная значимость открытия состоит в следующем:
1. Заново систематизируются понятия об окружающем мире атомов;
2. Раздвигаются рамки представления о механизме формирования атомов;
3. Уточняется понимание качественной периодической системы элементов.
Практическая значимость открытия состоит в следующем:
1. Выявлен алгоритм расчета ВСА известных и новых атомов;
2. Обеспечена ревизия, уточнение известных и оценка ВСА новых атомов, что способствует их обнаружению и опознаванию;
3. Избавление от необходимости физического синтеза новых атомов с целью измерения их ВСА;
4. Не имеет значение время распада атома, главное, что он формируется.
Приоритетная публикация статьи под названием «Методика определения величины
свойства атома аналитическим путем», где впервые была изложена суть открытия, продолжит данную статью. Публикация была осуществлена 21.07.2004 года одним московским издательством. Однако до сих пор автором не было получено никакого отзыва. Более того, начиная с января 2001 года и по настоящее время нет никакого отзыва по существу, упомянутой статьи, которая была получена многими ВУЗами России, т.е. пока никем не востребована.
В качестве изложения сущности открытия приводим полный текст упомянутой статьи.
Методика определения величины свойства атома аналитическим путем
Установлена полиномиальная зависимость величины свойства атома от его порядкового номера в последовательности атомов, применен закон сохранения энергии и выведена система уравнений для определения численного значения.
Это позволяет ревизовать экспериментальные значения свойства атома, повысить их точность и продолжить оценку величины свойства новых атомов аналитическим путем.
Ключевые слова: закон, энергия, сила, заряд ядра, атом, номер, величина свойства, последовательность, полином.
Термины, определения, соглашения
Заряд ядра атома Ъ -число протонов в ядре Ъ, атомный номер Ъ.
Атом Ъ - результат действия совокупности сил ядра Ъ .
Величина свойства атома ВСА у - отражение величины сил ядра в среде атома Ъ , выраженное в единицах измерения свойства [1] .
Полином маршрутный Ъ(х)=Мп (х) - полином, который является общим членом последовательности атомных номеров {Ъ (х)} = {Мп (х)}.
Центр полинома маршрутного [хс;Ъ(хс)] - точка обращения в нуль его предпоследней производной [Мп (х)] х (п-1) = 0, Ъ (хс) = Мп (хс).
Корень полинома маршрутного (х0;0) - действительная точка обращения в нуль полинома Мп (хо) =0 .
Маршрутный номер атома МНА х - номер х члена полиномиальной последовательности атомных номеров {Ъ (х)}={Мп (х)}.
Полином потенциальный у(х) = Р(х) - полином, огибающий ординаты уо,УьУг,-•-,УЧ свойства атома, соответствующие маршрутным номерам х = 0,1,2,...^ атомов, которым полиномиально соответствуют атомные номера Ъ0, Ъь Ъ2,..., Ъч данной последовательности {Ъ (х)} = {Мп (х)}; эпюра потенциальных сил.
Точка маршрутной кинетической стационарности ТМКС - точка обращения в нуль производной второго порядка от потенциального полинома [Р(х)]х" = 0 .
Полином кинетический У(х) = К(х) - полином, соответствующий потенциальному у(х) = Р(х) и огибающий, в том числе, точки ТМКС; эпюра кинетических сил.
Энергия полинома (потенциальная 8, кинетическая 8) - площадь, которая покрыта ординатами полинома (потенциального, кинетического) на отрезке [0; ^ МНА х.
Закон сохранения энергии - здесь соблюдение равенства площадей полинома потенциального 8 и кинетического 8 на отрезке [0; ^ МНА х.
На сегодня с 1-го по 114-й атомный номер известны экспериментальные данные о величине различных свойств атомов, физический синтез которых становится все более трудным.
Представляется актуальной задача дальнейшего определения значения свойства в математической зависимости от числа протонов в ядре или МНА х, что открывает возможность аналитическим путем информационно синтезировать всю совокупность свойств исследуемого атома [1].
Для этого существует два пути: рассмотрение внутриатомных и межатомных отношений. Первый известен своей многотрудностью и, может, неосуществимостью, так как требует учета всех взаимодействий внутри атома, то есть полного знания о нём.
Остается избрать второй путь, где исследуемый атом будем рассматривать не обособленно, а как конечный пункт частной последовательности атомов, подчиненной алгоритмически простейшей зависимости между ними, например полиномиальной Ъ (х) = Мп (х) .
Задача: Дано N пар значений «атомный номер Ъх-ВСА у (Ъх)» (например, энергия ионизации 11 из [1]). Найти формулу для расчета у по трем предшествующим значениям
Уо,Уі,У2 ■
Решение: Общеизвестно, что все атомы физически связаны. Чтобы вскрыть суть этой связи воспользуемся тем, что Ъ есть целое число протонов ядра атома и его можно выразить полиномом:
Ъ (х) = Мп (х) = ап х п + ап-1 х п-1 +.+а2 х2+а1 х+а0 , (*) у которого коэффициенты а! всегда вычислимы однозначно, для чего достаточно составить и решить систему п + 1 алгебраических уравнений при х =0,1,2,3, ...,п приравненных, соответственно, к Ъ0, Ъ1, Ъ2, Ъ3, ... , Ъп, которые выбираются произвольно как по значению Ъ, так и по числу п.
Заметим, что полиномов (*) для одного и того же Ъ атома можно составить великое множество при разной степени п и разных значениях х в зависимости от того, каким в очереди Ъ0, Ъ1, Ъ2, ... он поставлен. Отсюда правомерно сделать заключение о сущности межатомных отношений:
Величина заряда ядра атома Ъх зависит полиномиально Ъх = Мп (х) от его маршрутного (не атомного Ъ) номера х полиномиальной последовательности атомных номеров{Ъх}={Мп(х)}.
Но поскольку ВСА у есть, в конечном счете, лишь отражение, показывающее преобразованную величину совокупности сил ядра в среде данного атома Ъ, выраженную в единицах измерения данного свойства, то правомерно так же заключить:
Величина свойства атома Ух зависит полиномиально Ух=Р(х) от его маршрутного (не атомного Ъ) номера х в полиномиальной последовательности атомных номеров {Ъх}={Мп(х)}.
Для формального определения коэффициентов полинома у=Р(х) необходимо составить и решить систему q+1 уравнений при х= 0,1,2,3,...^, приравненных соответственно к у0=у(Ъ0),
У1= У(Ъ1Х У2 =У(Ъ2Х Уз = У(ЪзХ • • = у(^.
Однако этого недостаточно, ибо неизвестно значение последнего у<1=у(Ъ), для отыскания которого требуется дополнительное условие .
В качестве такового применим закон сохранения энергии к последовательности атомов в форме равенства потенциальной 8 и кинетической 8 энергий на отрезке [0^] МНА х, что запишется так:
Я Я Я Я
8 = | у(х)^ = | Р(х)4х = 8 = | У(х)4х = | К( x)dx,
0 0 0 0
Где у(х) = Р(х) - полином потенциальный, У(х) = К(х) - полином кинетический.
Данная интерпретация энергии свойства при маршрутной последовательности атомов обоснована тем, что у и У идентифицируют силу, а х-расстояние.
Чтобы присутствовала реальная физическая природа любого свойства атома и ее тенденция, необходимо располагать в их маршрутной последовательности центральной (0;у0), первой (1;у1) и второй (2;у2) точками, по которым становится возможным определение третьего значения (3;у3).
Покажем это на примере. Для упрощения выкладок возьмем частный случай маршрутного полинома Ъ(х)=х, у которого абсцисса центра хс и корня х0 равны нулю хс =х0=0.
Запишем фрагмент таблицы соответствия «МНА х - атомный номер Ъх - ВСА ух » или 1 -ый цикл формирования у3:
х 0 1 2 3
Ъ х = х 0 1 2 3
у х у0 = 0 у 1 у2 у 3
Пусть у0 = 0, у1 и у2 - известны, а у3 - искомое.
Сначала составим в общем виде потенциальный полином у(х)=Р(х)
степеней переменной х:
у = а х п+4 + Ь х п+3 + с х п+2 , ( п = 1,2,3,... ) ,
(1)
огибающий точки ( х;ух ) с координатами ( 0;0 ), ( 1;у1 ), ( 2;у2 ), ( 3;у3 ), и определим коэффициенты из соответствующей системы равенств:
]±.
У — а + Ь+с 2п+2
^ — 4 а+2 Ь+с 2 п+2 У3 3п+2
— 9 а+3 Ь+с
3 п*2
■ - У[ - 3а+Ь
г = 5а+Ь
2 • 3П
,У±. +У.
2П+2 2
Ь -
- 3Уз , У2 5Уі 2 • 3П+2 2П 2
3у2
+ 3Уі .
Для построения соответствующего кинетического полинома У(х)=К(х) определим точки маршрутной кинетической стационарности ТМКС, для чего возьмем вторую производную от полинома (1) и приравняем к нулю:
у”= (п+4)(п+3) а х п+2 +(п+3)(п+2) Ь х п+1 +(п+2)(п+1) с х п =0 .
После сокращений получаем уравнение:
2 п + 2 Ь (п + 1) (п + 2) с
х +------------------х + -------------—------------ - - 0 ,
п + 4 а (п + 3) (п + 4) а
У
3
а —
У
3
с —
п+2
3
2
Корни которого назовем х3 и х4:
( I------9------------- Л
- Ь п + 2 , - п + 5п + 4 ас
1 + -Л 1 _ 4 7 7
п2 + 5п + 6 Ь2
Подставляя х3, х4 в полином (1), получим ординаты У34 ТМКС
Уз.4 = а х п+44 + Ь х п+43 + с х п+42 .
Запишем в общем виде кинетический полином, соответствующий полиному (1),
У=Л х п +4 +В х п+3 +С х п+2+Б х п+1+Е х п , ( п=1,2,3, ...), (2)
Огибающий точки (х;_ух) с координатами (0;0), (1;у1), (х3;У3), (2;у 2), (х4;У4), (3;у 3), и определим его коэффициенты, решая систему равенств методом исключения (вычитая предыдущее из последующего):
у — А + В + С + В + Е
•..4 , о „3 , /-1 2 ,
/2^ 1 ^ 1 ^ 1 '-'А‘ 1
V ~-п _ Л ~4 . Г. 3 . п ,,2 .
х з -1 +В х3^ +с х3^
х3 -1 х -1 х -1
24 - Г ' 2 3-х 3 2 2-х 2
-+ В 3 !-+ С 3
2 - х3 2-х 2-х
х 4- 2 4 х 3-2 3 ■+в х 4 2 х - 2 2 ■+с х 4 2
у33 — А 3 4 + В 3 3 + С 3 2 + Б 3 + Е
у 3-п _ у Г "п 3 4 _ х 4 3 3 _ х 3 3 2 _ х 2
У-3-^ — а3—Г±+В-——+С^—^+Б
Пропуская рутинные этапы, запишем результаты:
А — У 3/Ау + У4 /А4 + У3/А3 + У 2/А2 + У1/А1 >
3 + х3 + х4 6 + х3 6 + х4 4 + х3 + х4 5 +х3 + х„
В—_ у-—л— _ У^-;~ _ У-_г~ _ У2—:-------------_ уг
А 4 А 3 А А А’
АУ А4 А3 А2 А1
2 + 3х. + 3х. + хх 11 + 6х. 11 + 6х, 3 + 4х. + 4х. + хх 6 + 5х. + 5х. + хх
С3 4 3 4 . т г 3.ЛГ 4 3 4 3 4. 3 4 -4
— У------------А-+У4 А +У-^“+У2----А--------------+У‘----------------А-,
Ау А4 А3 А2 А1
2х3 + 2х4 + 3х3х4 6 +11х3 6 + 11х4 3х3 + 3х4 + 4х3х4 6х3 + 6х4 + 5х3х4
В—_ у----------1------_ У4—;— _ У-—;— _ у 2----1-------_ уг
4 3 2 1
Ау А4 А3 А2 А1
. Л- , У4 У3 ^2
Е — 2 —х. х. + 6 —х. + 6 —х. + 3 —х. х. + 6 —х. х. ;
3 4 3 4 3 4 3 4
Ау А4 А3 А2 А1
Ау — 2 • 3 п (3 - хз) (3 - хА) , А4 = -х 4 (х4 -1) (х4 - 2) (хА - х-) (3 - хА),
А^ — х п (х3 -1) (х3 - 2) (х4 - х3) (3 - х3) , А2 — -2 п (х3 - 2) (х4 - 2) , А^ — 2 (х3 -1) (х4 -1) .
Будем определять искомое значение у3 как точку, в которой обеспечивается условный
экстремум следующей функции Лагранжа [2]:
Фу з) —8 (у-) + 8 (у-) +х [Б (у-) -8 (у-) ]
необходимым условием существования которого, является равенство нулю производной
по у3:
ГГ ГГ
Ф ' — Б + 8 + X (Б - 8 ) =0 , (3)
у3 у3 у3 у3 у3
х -п
3х 3
х з-1
33
2 - х3
4 4 2
х -2 х -2 х -2 х -2
3 -х 4 3-х 4 3-х 4 3-х 4
г
в,, + Я,' —
/
ву3 - ^3 —
|(У + у)Лт
0
3
I (У - у)Лт
— 3"+1 I 81 А^ + 27 В^ + 9 + 3 -Б- + ^
п + 5 п + 4 п + 3 п + 2 п + 1
„„+и А'-а' В'-Ь' С '-с' Б' Е'
— 3-+1 | 81-------------------------+ 27-+ 9--+ 3-------+-------
п + 5 п + 4 п + 3 п + 2 п + 1
Запишем выражения для всех используемых производных по у3 (в порядке следования по тексту):
а ' — 0,5/3 п+2 , Ь ' — - 1,5/3 п+2 , с ' — 1/3 п+2 ;
п + 2 3а + Ь
х 3'4=п+4 Ту+а
Jn2 + 5п + 4 ас 1 п +1 2аЬ + 6ас + Ьс / I п2 + 5п + 4 ас 1-4—~ - --г + т 1/1-4-
п2 + 5п + 6 Ь2
п + 2 2 • 3п+2аЬ2 /V п2 + 5п + 6 Ь2 ’
У-,4 — х п+42 ( а' х32,4 + Ь' х34 + с' ) + х- х п+ [ ( п + 4 ) ах32+ ( п + 3 ) Ь х34 + ( п + 2 ) с ]
, Ау - у-А А4У4 - У4А4 А-У3 - У-А3 угА'г у.А;
А >2 + *2 + *2 *2 *2
А2 А2 А2 А2 А
В' — -
у 2 М 1^3 1 М
у-Ау(х3 + х4) + (3 + х- + х4)(Ау -у-А'у) У4А4х3 + (6 + х3ХА4У4 -У4А4)
Ау А4
У Ах' + (6 + х 4 )(АУз - У А') А2(х' + х') - А' (4 + х3 + х4) А(х' + х') - А' (5 + х3 + х4)
А - у2 А - у А ,
А3 А2 А1
у3Ау [х3(3 + х4) + х4(3 + х3)] + (Ау - у3Ау)(2 + 3х3 + 3х4 + х3х4)
С ' — А +
6У4А4х3 + (11 + 6х-)(А4У4 - У4А4) 6У-А3х4 + (11 + 6х4)(А-У3 - У3А3)
. 1 + . 1 +
А 2 [х 3(4 + х 4) + х 4(4 + х-)] - А2(3 + 4х - + 4х 4 + х -х 4)
у2--------------------------А----------------------------------+
А [х' (5 + х4) + х' (5 + х3)] - А[ (6 + 5х3 + 5х4 + х3х4)
у---------------------------А----------------------------- ,
у3Ау[х3(2 + 3х4) + х4(2 + 3х3)] + (Ау -у3Ау)(2х3 + 2х4 + 3х3х4)
Б' — - А -
11У4А4х3 + (6 + 11х-)(А4У4 -У4А4) ИУ-А-х4 + (6 + 11х4)(А-У3 -У3А3) _
А2 А2
А [х' (3 + 4х4) + х' (3 + 4х3)]- А' (3х 3 + 3х4 + 4х Зх4)
у2 А -
А [х' (6 + 5х4) + х' (6 + 5х3)]- А' (6х3 + 6х4 + 5х3х4)
у---------------------------А-----------------------------,
У3Ау(х 4х 3 + х 3х 4) + х 3х 4 (Ау - у-Ау) „ А4(х 4У4 - У4х-) - х 3У4А4
Е — 2---------------------А---------------------+ 6---------------А---------------+
А-(х 4У3 + У-х 4) - х 4У3А3 А 2 (х 4 х 3 + х -х 4) - х -х 4А;! АДх 4 х 3 + х -х 4) - х -х 4А;
6-----------------------------+ 3у 2-------------------------------+ 6у1------------------------------;
А2
А'у — 2 • 3п [ х3 ( х4 - 3 ) + х4 ( х- - 3 ) ] ,
А'4 — х4п {(х4 -1) (х4 - 2) (х4 - 3) [ п х-1 х4 (х4 - х3) + х4 - х- ] + х4 (х4 - х3)(3х2 -12х4 +11)},
А'3 — хп {(х3 -1) (х3 - 2) (3 - х3) [ п х-1 х' (х4 - х3) + х' - х' ] - х' (х4 - х3 )(3х2 -12х3 +11)} ,
А'2 — 2п [ х- ( 2 - х4 ) + х'4 ( 2 - х3 ) ] , А1 — 2 [ х- ( х4 -1 ) + х'4 ( х3 -1 ) ] .
0
Теперь проделаем те же операции при сопряженном потенциальном полиноме от дробных степеней переменной х огибающем точки (х;у) с координатами (0;0), (1;уі), (2;у2), (3;уз).
3 2
у = И х п+4 + к х п+4
+ 1 х п+4 , (п_1,2,3, ...X
(4)
Введем обозначение а=1/(п+4) и составим систему равенств, из которой определим коэффициенты Ь, к, 1:
= И
+ к + 1
у2 = И 2 + к 2а + 1
У33- а = И 32а + к 3а + 1
У22 - Уі
2а -1 Уз3-а - У2 2-
3а - 2а
= И (2а +1) + к - = И (3а + 2а ) + к
И =
к = - Уз:
2а +1
■ У2-
3а +1 2а + 3а
Ь,
■ Уг
Ь1
1 = 2
а^ + 3а + 6а -У
Ь1
Где:
Ь = 3 а ( 3 а-1 ) ( 3 а- 2 а ) , Ь2 = - 2 а ( 2 а-1 ) ( 3 а- 2 а ) , Ь = ( 2 а-1 ) ( 3 а-1 ).
Для построения соответствующего кинетического полинома определим координаты ТМКС приравниванием к нулю второй производной по х от потенциального полинома (4):
1
; -п-1 -п-2 -п-3 ч
У ' =---------( 3 Ь х п+4 + 2 к х п+4 + 1 х п+4) ,
п + 41 7
(п+4)2
3 (п+1) И х п+4 + 2( п + 2) к х п+4 + (п+3) 1 х
= 0.
Из последнего получаем уравнение:
2 п + 2 к 1 п + 3 1 „
х п+4 +-------------х п+4 +-------------= 0,
3 п+1 И 3 п+1 И
Корни которого назовем х и :
1 п + 2 - к _ '
Т-------Г Т" (1+ г )
3 п +1 И
п + 4
где г = . 1 - 3
,п2 + 4п + 3 1Ь ’ п2 + 4п + 4 к2
Подставляя х3,4 в уравнение (4), получим ординаты У3>4 ТМКС
У-,4 = Ь X 3п+44 + к X 3п+44 + 1 Х-п+44 ИЛИ У-,4 = Ь X 3а4 + к Х^ + 1 Х-“ 4.
Следовательно, общий вид кинетического полинома для данного случая должен быть таким:
У = Б х5а + в х4а + Н х3а + К х2а + Ь ха И огибать точки с координатами (0;0), (1;у1), (2; у2), (х^3), (%4;У4), (3;у3).
(5)
У
Ь
2
У
-2п-5
-2п-6
-2п-7
У
X
3,4
2
Коэффициенты определяются системой равенств:
у, — е + а + н + к + ь у22- * — Е2 4* + а2 3* + Н2 2* + к 2* + ь
У-х--а — е х 4*+а х 3*+н х 2*+к х 3+ь ^х-; — е х :+а х 4*+Н х 2*+к х;+ь у33-* — е 3 4а+а 3 3*+н 3 2*+к 3*+ь
¥ = 1± + \У1 + 1± + Ь.
ьу ь4 ь3 ь2 ь1
С—- Уз
1+2а + х3 + х4 1+2а + 3а + 1+ 2а+3а+х4 1+3а + + х4 у 2а + 3а + + х4
ь, - 4 ь, - 3 и - у ь - У1 ь ■
ь3
ь2
Ь1
Н—У3
2а + (1+ 2”)(й + х4) + (№)" , V 6 + (2" + 3")(1 + х3) + х3 , V 6" + (2" + 3")(1 + х4) + X,
ь
+ V,-
„ 3а + (1+3а)(ХЗ + Х4) + (Х-Х4)"... 6а + (2а + 3а)(х3 + Х4) + (Х-Х4)а у2 т + у1
и
Ь1
к —-У3
2а(х3 + х4) + (1 + 2а)(Х-Х4)а у 1 + (2а + 3а)(1 + х3) + (6X3)° „ 1 + (2а + 3а)(1+ х4) + (6х,)а
и
V,-
и
„ 3а (х3+х4)+(1+ 3а )(х-х4 )а „ 6 (х3+х4) + (2а + 3а )(х-х4 )а
у2 т у1 т
ь — У:
(2х-х4)° , ', 1+ 2а + 3а + 6°(х3-1),,, 1+ 2а + 3а + 6а (х4-1) (3х-х4 Г „ (6х-х4 )а
ь, + ь, + У3 Ь3 + у ь + У1 и
где ьу — 3“(3а - 1)(3а - 2“)(3а - х3а)(3“ - х4) , ь — х;(х; - 1)(х4 - 2а)(х4 - 3а)(х: - х3) :
44
Оа 1\/Оа
Аналогично определим у3 из полиномов (4-5) и функции Лагранжа:
Фо(у-) = во(у-)+йоСу-) + Ъ [ во(у-) - йо(у-) ] . Приравняв нулю ее производную по у3:
(Фо)у' — (во)у' + (Яо)у'з + Ъ [ (Яо)уз - — 0 ,
Где, подставляя полиномы (4-5), интегрируя и дифференцируя:
(8 о) + О*о) ' =
у3 у3
(8 о ) - ОО ' =
|(У + у)4т .0
3
I (У - у)4т
= 3“+1 | 3
р' „3а а' н'+ь' к'+к' ь'+ 1'
- + 33а-------+ 32а-----------+ 3а--------+ ■
5а +1
4а +1
3а +1
= 3а+1 | 3
:_Е1
5а +1
- + 33'
; а'
4а +1
- + 32,
; Н'- Ь' 3а +1
- + 3а
2а +1 а +1
к'-к' ь'-1'
2а +1 а +1
(6)
+
3 */\Л3
ь = (2° - 1)(3а - 1)(х3 - 1)(х4 -1) .
+
Запишем выражения для всех используемых производных по у3:
Ь ' — 1/ Ь , к ' — - (2“ +1)/ Ь , 1 ' — 2“/Ь ;
х 3
1 п + 21п+ п + 4
3-4 I 3 п +1 ] Ь Ь,
-к (1+г ) п
п+3
а кЬ ь3п2 + 4п + 3 2аЬ(к + 21) + 1(к + 2Ь)
1 + 2а + к I (1 + г) +
Ь ) 2 п2 + 4п + 4 гк2
С
_ ьу- у-ь у' ь4у; - У4ь 4 ь-У3 - у-ь 3' ы_ _ы_
т 2 + т 2 + т 2 т 2 у1т2 ,
ьу ь4 ь3 ь2 ь 1
= _ а у-ьу(х3х3-1 + х4 х4-1) + (Ц - у-ь у')(1+2а + х3 + х4) _
— ь2
а ь„У4х3х3-1 + (^УЗ - У;L;)(1 + 2а + 3а + х3) а ЦУ-х3х3- + (ЦУ- - У-ь -')(1 + 2а + 3а + х3)
2
а ^(х3х3-1 + х4х;_1) - ь2(1 + 3а + х3 + х3) ,, а ь,(х3х3- + х4х4-1) - ь;(2а + 3а + х3 + х4)
- а у-Ц[х3х3-1(1+2а + х4) + х4х4-1 (1 + 2а + х3)]+(ьу - у-ь у')[2“ + (1+2а)(х3 + х3) + (х-х4)а]
Н— ь2у
а ь„У„х3х3- (1 + 2а + 3а ) + (ь„У3 - уь ;')[6“ + (2а + 3а )(1 + х3 ) + х3 ] ,
к
а ь-У-х4х;_1 (1 + 2а + 3а) + (ь-У3 - У-ь 3')[6а + (2а + 3а)(1 + х4) + х4 ] .
Ц
„ а ь [х3х3- (1+3а + х4) + х4х4-1 (1+3а + х3)]-ь 2' 3 + (1+3а)(х3 + х3) + (х-х4)а^
у 2 т 2 +
ь2
у а ь[х3х33-1(2“ + 3а + х3) + х4х;_1(2“ + 3а + х3)]-ь' 6 + (2а + 3а)(х3 + х4) + (х-х4)а]
у1 ь :
а у-ьу[х3х3-1(2а + * х4) + х4х;_1(2“ + * х3)]+(ьу- у3ьу')[2“(х3 + х4)+* (х-х4)а] _
= ь2у
а ь„У„ х 3 х3-1(2“ + 3а + 6а) + (ь4у; - У4ь ;)1+(2а + 3а )(1+х3) + (6х -)а ]
а ь-У-х4х;_1(2“ + 3а + 6а) + (ь-У3 - У-ь-')! + (2а + 3а)(1 + х3) + (6X4)а] _
ь23
а ь2 {х 3х3-1 3 + (1+3а )х3 ]+ х 4 х;_1 3 + (1+3а )х3 ]}- ь 2' 3 (х3 + х 4) + (1+3а )(х -х 4 )а ]
Г 2
.. а ь{х3х3- 6 + (21 + 3а)х4]+ хЗхЗ-^1 + (2а + 3а)х3]}-ь 1 [6а(х3 + х4) + (21 + -а)(х-х4)*] у1
т' „.... ^*“ у-ьу(х3х-1 + х4х-1) + Ьу- у-Ь у' ^ь4У4х3х3-1 + ^4 -У4ь 4)[т + 6а(х3 -1)]
ь (2х3 х4 ) Т 2 + т 2
ь2у
“6* ь3У3х4х44-1 + (ь-У3 - У-ь -^[т + 6а (х 4-1)] а ь2(х 3х-1 + х 4 х 41) - ь 2
ь23 2 3 4 ь22
у1(6х 3X4 )*“ь11х3х 31,+2х4 х; 11 - ь;;
ь1
ьу — а3а (3а -1)(3а - 2а )[х3(х 4 --а)х 3-1+х4(х 3 --а )хГ] , *—1+2а , т—1+2а+3а , р — 2а -1 ,
ь4 — ахГ1{(х 4 - 1)(х 4 - 2а )(х: - 3а )[х;(2х; - X 3) - х д'-хГ1 ]+х 4 х 4(х 4 - х 3)2+-а+6а+х4(3х 4 - 2т; ь- — ах3-1{(х 3 - 1)(х 3 - 2а )(х 3 - 3а )[х3(2х 3 - хЗ) - X 3х4х 4-1 ]-х 3 х* (хЗ - х* )[2а + 3а + 6а + х 3(3х“ - 2т) ь2 — а2ар (2а-3а)[х3(х3- 2а^ + хЗ(х*- 2а)хГ] , ь1 — а р (3а - 1)[х3(хЗ- 1)х3-1 + хЗ(х3-1)хЗ-1 ]
У3,4 — х3,4|Ь' Xэ“; + к' х3,4 + 1') + а X3.4 х-:; |3 Ь х3“; + 2 к хЗ.; + 1 1 ;
ь24
ь21
+
Из уравнения (3) и (6) определим к множитель Лангранжа:
и X = -
(^)Уз і (ОУз
Равенство которых дает разрешающее соотношение для определения частной оценки искомой ВСА у3.
Проделав такие же операции взятия производных относительно экспериментальных значений уг и у 2, получим уравнения аналогичные (7).
В итоге получается система разрешающих функциональных уравнений:
Которая реализует полный дифференциал функций Лагранжа и их соотношение, физически означающее, что ВСА у3 формируется в точке нейтральности энергии атома к мгновенному значению всех трех величин уьу 2,у3 .
Система (8), при каждом фиксированном значении n=1,2,3, ...,решается известным последовательным симплексным методом в два этапа [3].
На первом этапе, при известном постоянном экспериментальном значении у} и у2 из [1], приближают опорное значение у3 по критерию минимума суммы модулей невязок + £2 + £3, соответственно трем уравнениям системы (8).
На втором этапе, по тому же критерию, варьируют с малым шагом у1у у2, у3, приближая их лучшую оценку, которую обозначим, (yj)i , (у2) i , (у3) i , i = 1,2,3,.
Оценка МО и СКО ВСА уь у2, у3равна соответственно:
Что является уточнением, у2 и определением у3.
Следующая ВСА у4 определяется во 2-ом цикле формирования аналогично, после параллельного переноса начала координат в точку {1; (y1) i} с присвоением компонентам внутрицикловой нумерации 0,1,2,3 , то есть:
Уоі = (Уі) і -(Уі) і , Уіі =(У2) і -(Уі) і , У 2і =(У3) і - (Уі) і , У3і =У4і - (Уі) і ,
А к найденному затем y прибавляется в итоге y , то есть y = y і y.
Так же аналогично определяются все ВСА у.
Таким образом, из системы уравнений (8) определяются оценки МО и СКО всех искомых ВСА у3, у4, у5, у6,... , yN и далее, что является решением задачи.
(Т)
(8)
( j=1,2,3),
Выводы
1. В полиномиальной последовательности атомов величина свойства исследуемого атома зависит полиномиально от его маршрутного (не атомного 2) номера х и определяется в каждом і-ом цикле формирования, из условия равенства маршрутных потенциальной « и кинетической 8 энергий на отрезке хє[0;^].
2. Каждый цикл формирования величины свойства атома должен содержать не менее трех известных значений уй у1: у2 свойства, что выявляет его физическую тенденцию развития по ходу маршрутных номеров х=0,1,2.
3. Процесс полиномиального формирования величины свойства атома является внешним (межатомным) по отношению к нему и зависит от параметров
(координаты центра [хс;2с], корни Л маршрутного полинома 2(х) = Мп(х).
Формула открытия:
Величина свойства нового атома формируется последовательностью предыдущих.
Литература
1.Ефимов А. И. и др. Свойства неорганических соединений. Справочник. Л., Химия,
1983. 389 с.
2.КорнГ.,Корн ^Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1984. с.831.
3.Горский В.Г., Адлер Ю.П. Планирование промышленных экспериментов (модели статики). М., Металлургия, 1974. с.264.
