CC BY
5
Робота е другою в циклi трьох статей присвячених проблем{ оцгнки склад-ностi логiчних дерев класифжацп. Дослгджуеться питання оцгнки ефекту мтш^аци логгчних дерев фгксова-ног структури
Ключовi слова: логiчнi дерева, кла-сифгкащя, оптим1защя
Вторая работа в цикле трех статей посвященных проблеме оценки сложности логических деревьев классификации. Исследуется вопрос оценки эффекта минимизации логических деревьев фиксированной структуры
Ключевые слова: логические деревья, классификация, оптимизация
The second work in a cycle of three articles devoted to a problem of an estimation of complexity of logic trees of classification. The question of an estimation of effect of minimization of logical trees of the fixed structure is investigated
Keywords: logical trees, classification, optimization
УДК 001.891:65.011.56
ЗАГАЛЬНА ОЦ1НКА МШ1М1ЗАЦМ ДЕРЕВОПОД1БНИХ ЛОГ1ЧНИХ СТРУКТУР
Ф. Г. Ващу к
Доктор техшчних наук, професор* Контактний тел.: (0312) 5-15-24 E-mail: vashuk@zakdu.edu.ua Ю.А. Василенко Доктор техшчних наук, професор, завщувач кафедри Кафедра шформацтних управляючих систем та
технолопй* Контактний тел.: (0312) 2-37-54 E-mail: vasilenko@zakdu.edu.ua I. Ф. П о в х а н Кандидат техшчних наук, доцент, завщувач
лабораторieю
Лабораторiя "1нформацтних систем та програмного
забезпечення"
Кафедра програмного забезпечення автоматизованих
систем*
Контактний тел.: 068-555-44-59 E-mail: comi@zakdu.edu.ua *Закарпатський державний ушверситет вул. ЗаньковецькоТ, 87 "Б", м. Ужгород, 88015
Вступ
В другш робой дослщимо питання загально! ощн-ки ефекту мшiмiзащl деревоподiбних лопчних структур фшсовано! структури спираючись на дослщження
з [1].
Зважаючи на зауваження 1 з попередньо! роботи [1], розглянемо два приклади (приклад 1 та приклад 2), на яких розглянемо загальний алгоритм мiнiмiзацil до кшця та формулу для s - ого етапу мiнiмiзацil.
Загальна оцшка ефекту MmiMÎ3a^ï
Приклад 1 (m = 2)
N = 2m + m = 22 + 2 = 6,
K = 2m = 4 (номер критичного ярусу); (0,1,2,3,4).
-т rjK O2n-k
Так як для критичного ярусу 2 = 2 , то k: 22 = 22 = 22 = 16 (вершин, мггок); k +1: 22"+1 = 22m +1 = 25 = 32 (вершин); 22m-1 = 22" = 22 = 4 (мпюк: у^у2,у3,у4 ). k = 2m-1 = 22-1 = 2.
Впорядкування Pij(Pij ^Рji) на останньому ярусi мае вигляд
/Y1Y1Y1Y2Y1Y3Y1Y4 / Y2Y1Y2Y2Y2Y3Y2Y4 /»»/ Y4Y1Y4Y2Y4Y3Y4Y4 / .
Bci yi(i = 1,2,...,16) на [k] - критичному яруа рiзнi (рис. 1).
а)
/Ч А
И 12 13 14
11 12 11 34 11 11 12 34
А А
21 22 23 24
22 12 22 34 22 22 12 34
/Ч /Ч
31 32 33 34
33 12 33 34 33 33 1234
/ч /ч
41 42 43 44
44 12 44 34 44 44 12 34
б)
Рис. 1 (а,б). Загальний вигляд початкового дерева Dn з ефективною структурою (*) на 3-ому ярусi
Визначимо, на якому яру« буде знаходитися ефек-тивна структура (*) [1].
З рис. 1 можна побачити , що структура (*) буде знаходитися на 3 - ому яру«, який визначаеться за формулою:
i = 2 +1
(1)
D0 = Dn = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 24+1 -1 = 25 -1 = 31 (3)
D1 = 2 • (Эа ) - 2к +1 = 2 • (20 + 21 + 22) - 22 +1 =
= 2 • (22+1 -1) - 22 +1 = 22 • 3 -1 = 11
D2 = 4 • (Э^ ) - 2к/ 2 • 3 + 2 = 4 • (20 + 21) - 21 • 3 + 2 = = 4 •(21+1 -1) - 21 • 3 + 2 = 21 • 5 - 2 = 8
0 1 1
(4)
(5)
i = к +1
(2)
Розглянемо схему (рис. 2), в якш заради наочностi початкове дерево (I) та дерево зi структурою (II) зо-середженi в одному, та опишемо процес мiшмiзащl для даного прикладу [1].
Рис. 2. Етапи мiнiмiзацií початкового дерева Dn
З рис. 2 можна побачити, що повна мiнiмiзацiя вказаним вище способом проходить за два етапи.
Звщси робимо висновок, що вона може продовжува-тися до тих шр, доки на деякому кроцi кшьккть мь ток на останньому яру« шдблошв стане рiвною 2 (в
нашому випадку у 1у2 ). Початкове дерево (D0 = Dn), зi структурою (*) в третьому яру«, номер якого визначаеться за формулою (1), розпадеться на два
шддерева Р1 та а1, яш мають на останньому яру« по чотири м^ки. Мiтки у1, у2, у3, у4 в блощ р1 зсунуться
на один ярус (за рахунок появи w1 ), знаходяться вже не на третьому, а на другому яру« (0,1,2). Для здшснення подальшо'1 мiнiмiзацii дерев Р1 та а1 не-обхщно забезпечити 1м початковий вигляд: впоряд-кованiсть Р^ , - для цього опускаемося на один ярус в блоках р1 та а1. Як вже було сказано вище, така процедура е формальною та на шдрахунок складноси в подальшому не впливае. Побудувавши у пiдблоках ефективну структуру (*), можемо продовжити мшь мiзацiю. Шсля другого етапу (для даного прикладу останнього) мiнiмiзацii максимальне дерево D0 розпадеться на чотири шдблоки. Пiдрахунок складностi
D2 буде аналопчним D1. Складнiсть D2 буде рiвна складностi блоку аф^ ^а^ ^а^) помноженого на чотири та без потроеного добутку м^ок у1у2, якi ми враховуемо лише в одному з блоюв, так як ведемо шдрахунок тшьки рiзних мiток з додаванням м^ок
w2w2. Тодi складнiсть дерев D0,D1,D2 визначаеться з формул:
Порiвнюючи (3) та (4),(5), можна побачити, що шсля повно! мiнiмiзацii ( I етап, II етап) складшсть початкового дерева D0 зменшилася на 32 мггки, тому можна зробити висновок, що взятий нами спо«б мшь мiзацii насправдi буде ефективним.
Розглянемо приклад 2 та виведемо формулу для s- ого етапу мiнiмiзацii.
Приклад 2
(т = 3)
N = 2т + т = 23 + 3 = 11;
К = 2т = 8 (номер критичного ярусу);
К: 22 = 28 = 256 (вершин, м^ок);
К +1: 22т +1 = 29 = 512 (вершин);
22т = 24 = 16 (мггок, функцiй у 1,у2,...,у 16 );
к = 2т-1 = 4.
Впорядкованiсть Р^У = 1,2,...,24 = 16) на к +1 яру« мае вигляд:
/11,12,13,14,..,1 • 16 / 21,22,23,24,..., 2 х
х16/...../16 1,16 • 2,16 • 3,16 • 4.....16 -16/
Номер структури (*) за формулою (1) буде дорiв-нювати 5. Зi схеми (рис. 3) випливае, що повна мтмь зашя для даного прикладу (т = 3) проводиться за три етапи, причому,
для D1 :к1 = к = 2т-1; для D2:k2 = 2- = 2т-2; для Dз:kз = 22 = 2т-3; очевидно, що
к 2т-1 -для Ds:ks = = -^г = 2т-8
але з (2) вiдомо, що i = к +1, тодк i1 = i = к1 +1 = 2т-1 +1;
i2 = к2 +1 = 2т-2 +1;
13 = к3 +1 = 2т-3 +1;
i3 = кЭ +1 = 2т-Э +1.
(6)
(7)
(8)
(9)
(10) (11) (12) (13)
Шдставивши (10),(11),(12),(13) у формулу Эа = 21 -1, знайдемо складнiсть блокiв а1 вщповщно на 1,2,3,....,s етапах мiнiмiзацii:
але 2т = к , отже
Sa =2" -1 = 2 +1 -1; Sa = 2'2 -1 = 22"-2+1 -1;
Sa = 2'3 -1 = 2 +1 -1;
а3
Sa = 2% -1 = 2 +1 -1.
aS
Г^У.ГъУ, - 2- - 2-
Рис. 3. Етапи мiжмiзацN початкового дерева Dn
(14)
= 25■2 ■2 - 25 --22- ■ 25 + 22п" + 25-1 =
= 25 ■ 22П-5 (2 -1) + 22П-5 --25-1 (2 -1) =
= 25 ■ 22П-5 + 22П" - 25-1 =
= 22П-5 ■ (25 +1) - 25-1.
Отже, формули (21) та (25) (спрощений варiант) е загальними формулами для знаходження складносп дерева на s - ому етат мтмь зацii. З (прикладу 1 ) та (прикладу 2 ) вщомо, що:
2 -= D2 = 21 ■ 5 - 2 ,
2 - 2: DS = D3 = 21 ■ 9 - 4,
(15)
(16) (17)
враховуючи (25), отримуемо наступну рiвнiсть:
Врахувавши (6),(7),(8),(9) та (14),(15),(16),(17), тдрахуемо складнiсть дерев D1,D2,D3,.....^ .
22П-5 = 21
з якого очевидно випливае (27)
2п-5 = 1 = 20 п - 5 = 0 п = 5
(26)
(27)
D1 = 2^) - 2к1 +1 = 2-(22П- +1 -1) - 22'"' +1;
(18) що
D2 = 4■ (5а )-2к2 ■ 3 + 2 = 4 (22 -+1 -1)-22 - ■ 3 + 2; (19)
D3 = 8 ^ )- 2кз ■ 7 + 4 = 8 (22 -+1 -1)- 22 - ■ 7 + 4; (20)
DS = 25 ^)-2к5 -(25 -1) + 25+1 = = 25 ■(22п-5 +1 -1)- 22п" ^ -1) + 2".
(21)
але п - цiле число, а отже i s - цiле та нам вщомо,
N = 2п + п та N = п + п отже 2п + п = п + п,
2п = п (28)
Логарифмуючи обидвi частини (28) за основою 2 , отримуемо наступне стввщношення:
або пiсля перетворень формули (18),(19),(20) при-ймуть вiдповiдний вигляд:
, 2п = 1
,п = 5
(29)
^ = 22п-' ■ 3 - 1; (22) i остаточно:
^ = 22п-2 ■ 5 - 2; (23) 5 = 1og2n (30)
^ = 22п-3 ■ 9 - 4; отже можна припустити, що (24) Тепер, враховуючи формули (25),(29),(30), можна знайти ефект буде дорiвнювати: Dn=22n +1 -1 та мiнiмiзацii. Вiн
^ = 22п-2 ■ 5 - 2; (25) ^ 22п+1 -1 22 +1 -1
Отримуемо (25) безпосередньо з (21). Ds 22п" ■ (25 +1) - 25-1 21 ^ +1)-2* +1 -1 22 +1 -1 22 2" +1 -1
DS = 25 ■(22п-5 +1 -1)- 22п" ^ -1) + 25-1 = 25+1 + 2 - 25-1 25-1 ^(22 -1)+ 2 25-1 ■3+2
п
2
п =
Висновки
2s-1 ■ 3 + 2 2log2n-1 ■ 3 + 2 n
2»+i _ i 2n+2 - 2 2n
-■ 3 + 2 2
2
3 ■ n + 4 3 ■ n + 4 3 ■ n + 4 3 ■ n + 4 2
2
3 ■ n + 4
= O(n),то
2n
:+ Oi(n) =
3 ■ n + 4 якщо O1(n) > 0, то
2n+2 2n+2 1 :-^ + Oi(n) = — ■ (-+ Oi(n) =
3 ■ n (1 + —) 3 ■n 1 + —
3 ■ n 3 ■ n
2n+2 1 +
= 7—'■ (
3 ■ n
_4___
3 ■ n_ 3 ■n) + Oi(n) =
1 +
3 ■ n
4
2n+2 q 2n+2 4
= (1 ) + Ol(n) = (1 _ О ) + Ol(n) =
3 ■ n i + 4 3 ■ n 3 ■ n 3 ■ n
4
нехай —= ^O^ та O2(n) >0
3 ■ n
= — ■ (l + O2(n)) + Oi(n)
3 ■ n
D 2
2n
Отже остаточно: —0 =--(l + O2(n)) + Ol(n) =-,
DS 3■n 3■n
при Ol(n) ^ 0, O2(n) ^ n, n ^ 0.
D ^
DS ~ 3 ■ n
(3l)
Таким чином, ефект м1тм1заци —0 для дерева
DS
Dn ^ D0 для описаного вище способу м1тм1заци буде виражатися формулою (31) .
Лиература
1. Василенко, Ю.А. Проблема ощнки складносп лопчних
дерев розтзнавання та загальний метод ix оптимiзащi / Ф.Г. Ващук, Ю.А. Василенко, 1.Ф. Повхан // Науково техшчний журнал "European Journal of Enterprise Technologies". - 2011. - 6/4(54). - С. 24-28.
2. Vasilenko, Yu.A. Construction and optimization of recon-
gnizing systems / Yu. A. Vasilenko, E.Yu. Vasilenko, A.I. Kuhayivsky, I.O. Papp // Науково техшчний журнал "1нформацшш технологи i системи". - 1999. - №1(Т2). - С. 122-125.
3. Повхан, 1.Ф. Мiнiмiзацiя лопчних деревоподiбниx струк-
тур в задачах розтзнавання обра^в / 1.Ф. Повхан, Ю.А. Василенко, Е.Ю Василенко, М.Й. Ковач, О.Д. Ншарович // Науково техшчний журнал "European Journal of Enterprise Technologies". - 2004. - 3[9]. - С. 12-16.
4. Повхан, 1.Ф. Концептуальна основа систем розтзнавання
обра^в на основi метода розгалуженого вибору ознак / 1.Ф. Повхан, Ю.А. Василенко, Е.Ю. Василенко // Науково техшчний журнал "European Journal of Enterprise Technologies". - 2004. - 7[1]. - С. 13-15.
5. Василенко, Ю.А. Метод розгалуженого вибору ознак в
математичному конструюванш багаторiвневиx систем розтзнавання образiв / Ю.А. Василенко, 1.Ф. Повхан, Е.Ю. Василенко // Науково техшчний журнал "Штуч-ний 1нтелект". - 2003. - №7. - С. 246-249.
6. Витенько, И.В. Схемы, алгоритмы и многообразия. / И.В.
Витенько - Ужгород: Уж. ун-т, 1970. - 97 с.
7. В^енько, 1.В. Математична лопка. / 1.В. В^енько - Ужго-
род: Уж. ун-т, 1971. - 210 с.
