CC BY
12
This paper describes a method for improving the accuracy characteristics of the direct current drive of the manipulator link, by introducing additional feedback on angular acceleration. Based on this method, a block diagram and a mathematical model of the correction device were developed, as well as a comparison of the characteristics of the DC drive with and without a connected correction device.
Key words: DC motor, control system, correction device, feedback, angular acceleration, transient process.
Voronkin Denis Sergeevich, operator, [email protected], Russia, Anapa, FGAU «MIT «ERA»,
Vorobyov Andrey Vasilyevich, junior researcher, voronckin. denis@,yandex. ru, Russia, Anapa, FGAU «MIT «ERA»
УДК 62-752 DOI: 10.24412/2071-6168-2021-5-353-358
ЗАДАЧИ СНИЖЕНИЯ ЭНЕРГОЕМКОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСНЫМ ДВИЖЕНИЕМ УПРУГИХ ОБЪЕКТОВ
А.И. Бохонский, М.М. Майстришин
На примере оптимального поступательного движения упругого объекта иллюстрируется алгоритм конструирования оптимального переносного управления (ускорения), которое позволяет существенно сэкономить энергию для достижения цели движения. Обоснованный выбор краевых условий, косой симметрии управления и ограничений на энергозатраты обеспечивает достижение цели движения при минимальной энергоемкости управления (по сравнению с решением задачи классическим вариационным методом).
Ключевые слова: переносное и оптимальное движение, относительное движение, оптимальное управление, энергоемкость управления, достижение абсолютного покоя.
Введение. Задачам оптимального управления движением и колебаниями упругих систем посвящены работы [1 - 6]. В работах [7 - 11] приведены результаты синтеза оптимальных уравнений упруго деформируемых систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы, которые могут использоваться как элементы конечной жесткости в органах манипуляторов. При выборе времени движения удается достичь состояния абсолютного либо относительного покоя упругого объекта в конце движения, что исключает использования дополнительной энергии на подавление возникающих колебаний. Конструирование управления происходит с использованием реверсионного исчисления (восстановление функционала критерия по задаваемой аналитической функции).
Дальнейшее обобщение алгоритма конструирования управления на основе полной обратной задачи вариационного исчисления привело к формулированию ревер-сионного принципа оптимальности (РПО), позволяющего находить и анализировать новые критерии оптимальности переносного движения [11].
Управляемому подавлению колебаний механических систем посвящены работы [3 - 6]. В этих работах уделяется внимание применению методов теории оптимального управления к решению задач подавления колебаний. В монографии [5] предложены и исследованы новые методы оптимального управления колебаниями, их применение при решении задач техники (например, управления маятниковыми системами и грузоподъемными машинами, системами амортизации).
353
В настоящее время задачи оптимального управления движениями объектов с элементами конечной жесткости актуальны, прежде всего, с точки зрения поиска таких управлений, которые непосредственно проводят к экономии энергии при их практической реализации таких управлений [9 - 11].
Целью исследований является конструирование и исследование оптимального управления движением, (отличающегося от ранее известных управлений) как модификации известного управления, найденного классическим вариационным методом теории оптимального управления.
Известно решение вариационным методом задачи оптимального перемещения объекта как абсолютно твердого тела из исходного состояние покоя в конечное состояние покоя за заданное время и расстояние при использовании критерия оптимальности т
| и 2(г) ж. в данном случае перемещение, скорость и ускорение (уравнения) имеет
о
вид:
^ (0=, ^ (,)=^, ие (0 =
(1)
Т 3 ^ 4 / т 3 т 3
где Т - время движения; Ь - расстояние, на которое перемещается объект за время Т.
Для сравнения результата с полученным при использовании конструирования управлений вычислены обобщенные характеристики оптимального движения: норма
т 12Ь т/2 2 25Ь
мощности, J1 =|и2е(г)Ж = —Г' энеРгия ^2 =| ие(г)Уе (Г)Ж = ^—2—, действие
т2
Г 1 2 Ь 2 / Ь С
J 3 = ^2(0 = ^у-, энергодействие = . ^ • ] ие (1)Ж = ^
2,7 Ь
4 т/2
т3
0 о
Графики 8е(г), Уе(г) , ие(г) изображены на рис. 1 (Ь = 1 м, т = 1,239 с).
Ш 4
3
г/е(0 2
N. Пеи)
/е«)
—■» ---- - -
0.2 0.4 О.Г^П.'й Г 1 ).
Рис. 1. Графики переносного движения: перемещение 8е (г), скорость, Уе (г) и ускорение (управление) ие (г)
При конструировании управления, обладающего минимальной энергоемкостью в первом приближении использован полином
ие (*) = 1 С/ , (3)
7=1
где С7...С7 - константы.
Для определения констант использованы краевые условия, характеризующие движение; условия косой симметрии управления и ограничения на управление по энергоемкости:
V (0) = 0; ие (0) = 0; ^ (0) - ^ (т) = 0; Ув (т/2) = 0;
ш ш
ш
( т Л
V 2 ,
т/2
= 0; БД) = Ь; J3 =| ие(0Л - ^ = 0,
(4)
где ^ =
15! 12Т
площадь участка управления для случая существенной экономии энер-
гии. После определения констант из уравнения найдены выражения для 8е (7), V (7),
ие (7). е е
Например, управление имеет вид:
ие(7) = (Т - 7)(2и2 - 2ЬТ7 + 572)(Т - 273)
Т 9
(5)
В этом варианте управления обобщенные характеристики оптимального дви-
жения:
= 16,024!2 , = 1,560!2 , = 1,156!2 , = 1,8и4
и 1 — ^ _з ~ и 2 — .. .2 ? 3 — ' Л —
(6)
Т 3 2 т 2 3 т 4 т 3
Отметим, что критерий 1/1 больше на 25 %, чем в предыдущем классическом
случае. В этом смысле классический случай более «оптимален», но энергия во втором случае в полтора раза меньше, что свидетельствует в пользу второго случая управления. Интересно, что действия по Лагранжу числено близки, а действия во втором случае почти в два раза меньше с решением найденным вариационным методом.
Фактически решение во втором случае может быть найдено и вариационным методом, но с использованием реверсионно восстановленного критерия оптимальности [11].
На рис. 2, а изображены графики перемещения 8е (7) и скорости Уе (7), а на рис. 2, б - графики ускорения (управления).
Сам вид графиков показывает, что на среднем участке скорость близка к константе. Управления фактически представляют собой два импульса ускорения - разгон и торможение. Общее время движения здесь Т = 1,2 с.
Представляет интерес использование оптимального движения (колебаний) упругого объекта.
хет
иеС)
4
2 О
-2 -4
0- 1 ■ "Г , ^ '.с
0 0,2 0,4 ад 0,3 1 и
а
1, с
0,2 0,4 0,6 0,8 ^ Х71
б
Рис. 2. Графики переносного движения (а) и график управления (б)
Классическое управление. Без учета сопротивления для системы с одной степенью свободы, решение уравнения
х + к2х = --Т3(Т - 27) (7)
при нулевых начальных условиях ( х(0) = 0, х (0) = 0 ) следующее:
6 ( 2 . , , 27 - Т V х(7) = , 2 21 -—sin к7 + cos к7 +
к2 р2 ^ Т
Т
, , йх 6 ( 4 , 6 sin к7 . , 2 V
у(7) = — = 2 2 I--cos к7 Л--2--sin к7--I;
й7 к2 р21 Т кТ2 Т)
(8) (9)
Для определения приемлемого времени движения упругого объекта как одного из корней системы трансцендентных уравнений (моментных соотношений) принято:
k = 2ж / Т1, Т1 = T / п (10)
где п - один из общих корней системы уравнения, в которых проверяются моментные соотношения:
x(T) = 0, х(Т) = 0. (11)
Один из общих корней найден графически.
При T1 = 0,5 и k = 12,566 с-1 следует п = 2,478 и тогда общее время T движения для достижения состояния абсолютного покоя T = Тхп = 1,239 с.
На рис. 3, а изображены графики перемещения x (г) и скорости v (г)., а на рис. 3, б - график относительного ускорения х(г). Таким образом, с учетом переносного покоя достигается абсолютный покой.
б
Рис. 3. Графики относительного движения (а) и график относительного ускорения (б)
Здесь следует отметить, что U (Т) = -ar (Т) , то есть алгебраическая сумма переносного и относительного ускорения равна нулю.
Движение с использованием конструируемого управления. Правой частью управления
х + £2 х = -Ue (г) (12)
является управление (5).
Перемещение, управление и поиск времени движения выполняются по предыдущему алгоритму, с использованием системы аналитических вычислений. Один из общих корней системы трансцендентных уравнений найден графически при краевых уравнениях: х(п) = 0, х(п) = 0 . Итак, при прежних исходных данных получено
Т = 1.2 с. На рис. 4, а изображены графики перемещения х(г) и скорости v(t), а на рис. 4, б
- график относительного ускорения х(г) .
Рис. 6. Графики относительного движения (а) и график относительного ускорения (б)
356
Заключение. С использованием реверсионного конструирования впервые найдено оптимальные кососимметричное управление, которое отличается от исследованных ранее управлений переносным движением упругих систем [7, 8]. Найденное новое управление в данном случае не является модификацией оптимального управления, известного как результат синтеза вариационным методом, и предполагает снижение энергетических затрат на его практическую реализацию.
Предложенное кососимметричное управление упрощают его практическую реализацию, и может быть использоваться во всех случаях, в которых ранее использовалось традиционное управление движением упругих объектов.
Список литературы
1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.
2. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: линейные модели. М.: Наука, 1987. 304 с.
3. Карновский И.А., Почтман Ю.М. Методы оптимального управления колебаниями деформируемых систем. Киев: Высш. школа, 1982. 116 с.
4. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. Л.: Машиностроение, 1976. 236 с.
5. Черноусько Ф.Л., Акуленко П.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 384 с.
6. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.
7. Бохонский А.И. Энергоемкость управления перемещением объектов // Фундаментальные основы механики: матер. междунар. науч.-практич. конф. Новокузнецк: НИЦ МС, 2017. С. 38 - 41.
8. Бохонский А.И., Рыжков А.И. Конструирование управляемого движения объекта // Механика, автоматика и робототехника: матер. междунар. науч.-практич. конф. Новокузнецк: НИЦ МС, 2017. С. 64 - 69.
9. Бохонский А.И., Варминская Н.И., Рыжков А.И. Конструирование оптимального управления движения объектов как абсолютно твердых и деформируемых тел // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. Орел: НИЦ МС, 2016. С. 70 - 76.
10. Бохонский А.И., Майстришин М.М. Оптимальность конструируемых управлений перемещением объектов // Научно-технический журнал. Гос. университет -УНПК, 2017. С. 31 - 38.
11. Бохонский А.И. Реверсионный принцип оптимальности. М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2016. 174 с.
12. Бохонский А.И., Варминская Н.И. Оценка энергопотребления для оптимального управления движением объекта (Evaluation of energy consumption for the object motion optimal control // ICMTMTE IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering, 2020. (https://doi.org/10.1088/1757-899X/709/4/044093).
Бохонский Александр Иванович, д-р техн. наук, профессор, [email protected], Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Майстришин Михаил Михайлович, канд. техн. наук, доцент, mihail.maystrishin@,gmail.com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет
PROBLEMS OF REDUCING THE ENERGY CAPACITY OF THE OPTIMAL CONTROL OF
THE PORTABLE MOTION OF THE ELASTIC
A.I. Bokhonsky, M.M. Maystrishin 357
Using the example of the optimal translational motion of an elastic object with one degree of freedom, he illustrates an algorithm for constructing a portable control (acceleration), which can significantly save energy to achieve the goal of movement. A substantiated choice of the boundary conditions of oblique symmetry and restrictions on energy consumption ensure the achievement of the goal of motion with a minimum energy consumption of control (in comparison with the solution of the problem by the variation method).
Key words: Portable and optimal movement, relative movement, optimal control, energy intensity of control, achieving absolute rest.
Bokhonsky Alexander Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Maystrishin Mikhail Mikhailovich, candidate of technical sciences, [email protected], Russia, Sevastopol, Sevastopol State University
