Система оптимального управления подвешенным грузом Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 62-83:621.86

СИСТЕМА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОДВЕШЕННЫМ ГРУЗОМ

Е.М. Васильев

Решается задача демпфирования колебаний подвешенного груза, возникающих при его перемещении. Получены уравнения Лагранжа, описывающие движение груза, и на основе методов вариационного исчисления найдены экстремали для внешних механических сил, а также линейных и угловых координат системы. Осуществлен синтез нескольких вариантов регуляторов, реализующих найденные оптимальные законы управления, представлены результаты проверки их работоспособности и проведен сравнительный анализ полученных показателей качества регулирования

Ключевые слова: раскачивание подвешенного груза, подавление колебаний, оптимальное управление

1. Постановка задачи

Управление электроприводом любого подъёмного механизма с гибкой связью его подвижной тележки с перемещаемым по горизонтали грузом должно предусматривать демпфирование возникающих при этом раскачиваний (колебаний) груза, рис. 1 [1-6].

Рис. 1. Иллюстрация постановки задачи

На рис. 1 обозначены: т1, т2 - массы тележки и груза соответственно, кг; Ь - длина подвеса груза, м; х - координата горизонтального перемещения каретки, м; а - угловое отклонение подвешенного груза от вертикали, рад; ^ - коэффициент сухого трения тележки (вязким трением в силу небольших значений скорости перемещения подвижных частей системы пренебрегаем); ¥тр - сила сухого трения, действующая на каретку, Н.

Ставится задача: найти закон изменения силы ¥, прикладываемой со стороны электропривода к тележке, обеспечивающий за заданное время Т перемещение груза на расстояние £ без раскачиваний, т.е. проекция абсолютной скорости V груза на неподвижную ось х не должна менять своего знака.

2. Составление модели объекта управления

Рассматриваемый в задаче объект представим схемой математического маятника со свободной и подвижной по горизонтали точкой подвеса: рис. 2, -на котором ю(/)= -а(ї) - частота вращения груза в момент времени Ї, с-1; ¥н - сила натяжения троса, Н; g - ускорение свободного падения, я=9,81 м/с2.

Васильев Евгений Михайлович - ВГТУ, канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, e-mail vgtu-aits@yandex.ru, тел. 84732437776

Для описания объекта составим дифференциальные уравнения его движения в координатах х и а в виде уравнений Лагранжа:

_д¥ + d_d¥ = р _ р . dx dt dx mp’

dE d dE

-------1---------= _m2gL sin a,

da dt da

(1)

где Е - кинетическая энергия системы:

m2y2

e=+.

2 2

Получая абсолютную скорость v груза в виде:

2*2 2 v = x + (wL) + 2xwL cos a =

= X2 + L2a2 + 2LXa cos a, придём к развёрнутому выражению для Е:

2

^ m + m2 .2 m2L .2 E = —----— x +—-—a + m2Lxa cos a. (2)

2

Fm

m1

2

F

(3)

Рис. 2. Расчётная схема объекта “тележка-груз”

Подставив (2) в (1), получаем:

I (m1 + m2)X + m2L(a cos a-á2 sin a) = F - Fmp; [Xcos a+Lá+g sin a = 0.

Силу Fmp сухого трения определим в виде:

Fmp = mF„ cos a, где сила натяжения FH:

FH = m2gcosa + m2xsina + m2a L. (4)

Система уравнений (3), (4) полностью описывает движение рассматриваемого объекта.

Для дальнейшей работы с моделью (3), (4) линеаризуем её для диапазона малых значений a и учтём некоторые упрощающие условия:

x

x

• 2 •

a cos a>>a sin a; cos a »1; sin a » a;

. 2

g cos a >> x sin a + a L.

Получим:

(mi + m2)X + ^2 La = F - |JW2 g; X + La + ga = 0,

(5)

(6)

или, выразив в явном виде х : х=-Ьа-ga, и подставив (6) в первое уравнение из (5):

-тфа-(т1 + m2)ga = ^-ртg . (7)

Поскольку слагаемое ^т^ не зависит от времени, то правую часть равенства (7) в дальнейшем будем обозначать как одну функцию F(ґ). Имитационная модель линеаризованной системы уравнений (6), (7) представлена на рис. 3 для параметров: т1=100 кг; т2=200 кг; Ь =5 м; Т=5 с; £=10 м; ^=0,01.

(n) +... + a2 + a2 + a2)dt ® min. (8)

Рис. 3. Имитационная модель объекта

3. Синтез оптимального закона управления

В качестве критерия оптимальности, обеспечивающего наименьшую колебательность системы, выберем широко используемый в теории управления интегральный квадратичный критерий [7,8]:

Т

е = I (а

о

Необходимый порядок п старшей производной в критерии е определяется числом 2п свободных коэффициентов сь..., с2п в общем виде искомой экстремали а(/), которые требуется найти для обеспечения граничных условий задачи, вытекающих из её физического содержания [9-11]:

а(0) = 0; а(0) = 0; х(0) = 0; Х(0) = 0;

а(Т) = 0; а(Т) = 0; а(Т) = 0; х(Т) = £;

Х(Т) = 0; Х(Т) = 0.

С учётом (6) из приведённых условий можно исключить требование &х&(Т) = 0 как вытекающее из а(Т)=0 и а(Т) = 0 . Кроме того, заменив требование

x(T)=S на J x(t)dt = S , можно не учитывать также и

0

условие х(0)=0, поскольку x(t) в явном виде в (5) не входит и в момент времени t=0 полностью определяется условием Х(0) = 0 .

В результате получаем систему из 8 граничных условий:

a(0) = 0; a(0) = 0; Х(0) = 0;

a(T) = 0; a(T) = 0; a(T) = 0; (9)

T

J X(t )dt = S; X(T) = 0.

0

Для выполнения (9) потребуется значение n=4.

Формируем критерий:

T 2 2 Q = J(a(4) +a(3) +a2 + a2 + a2)dt ® min. (10)

0

Система уравнений (9), (10) представляет собою формальную постановку решаемой вариационной задачи.

Обозначим подынтегральную функцию из (10) через Ф(/^) и составим уравнение Эйлера:

Э Ф d Э Ф d2 Э Ф d3 Э Ф d4 Э Ф

Эа dt Эа ' dt2 Эа dt3 Эа(3) dt4 Эа(4) °' (П)

После подстановки Ф(/,а) в (11) придём к дифференциальному уравнению:

2а-2а + 2а(4) - 2а(6) + 2а(8) = °. (12)

Характеристическое уравнение для (12):

8 6 i 4 2 i i_г\

Р -Р +Р -Р + 1=°, имеет корни: p1>2=Oi+Pi/'; p3>4=-Oi±Pi/'; p56=o2±P2/'; P7,8=-S2±b2i, где:

o1 = °,2^1° - 2л/5 ; o2 = °,2^1° + 2л/5;

p1 = °,25(1 + V5); P2 = °,25(-1+V5).

Соответствующее полученным корням решение дифференциального уравнения (12) является искомой экстремалью:

а^) = eO'f (с1 cos(P1t) + c2 sin(P1t)) +

+ e_Oif (c3 cos(P1t) + c4 sin(P1t)) +

+ e°2Í(C5 COs(P2t) + C6 sin(b2t)) +

+ e~°2t (C7 COs(P2t) + C8 sÍn(P2t)).

Подставляя (13) в выражения (9) для граничных условий, а также учитывая соотношение:

x(t) = J (-0¿ - ag)dt,

получим систему из 8 уравнений с 8 неизвестными

и, далее, искомые коэффициенты: с1=°,2°2; с2=-°,°°°723; с3=-1,24; с4=-7,42; с5=°,°724; с6=°,°14; с7=°,961; с8=19,4.

Графики всех полученных расчётных зависимостей от времени координат системы а^), а^), а^), x(t), x(t), x(t), Х2 (t) = x(t) + L sin а^) приведены на рис. 4, 5, 6, где х2 - абсолютная координата груза по горизонтали.

(13)

Рис. 4-6 показывают, что движение тележки и груза имеет монотонный характер: в начале перемещения (/<2,1 с) груз отстаёт от тележки, а затем, при подходе к координате х=10 м, опережает её, и в точке х=10, х2=10 система завершает движение без колебаний (рис. 6).

1.5

а(ґ)

рад/с2 1

а(/),

рад/с 05

а, рад 0 -0.5 -Л

✓ .«(/)

в » ч \ 1 а(ґ)

X / % / \ / \ Ж \ а(0 * « *

% % % * % \ » 9 0

1 1 1 1 % Ф Ф

0 1 2 3 4 /, с 5

Рис. 4. Оптимальное изменение угловой координаты а и её производных для груза

Рис. 5. Оптимальное изменение координаты х и её производных для тележки

(4) +а(3) +а2+а2)л ® тіп.(і4)

а(0) = -3,9 рад/с , х(0) = 15,9 м/с . С целью

уменьшения этих значений можно повысить весомость старших производных в критерии (10), исключив, например, слагаемое а :

т

д = |(а(4)2 + а(3)2 .а2 .а2 0

Уравнение Эйлера для (14):

- 2а+2а(4) - 2а(6) + 2а(8) = 0. (15)

Характеристический полином:

8 6,4 2_п

р -р +р -р =0,

имеет корни: р1,2=0; р3,4=±о; р5,6=о1±р1/'; р7,8=-

о1±р1/': 0=1; О1 = 0,5л/2; Р1 = 0,5л/2.

Общий вид искомой экстремали:

а(/) = с1 + С2/ + Сзе + 046 +

+ е 1 (с5 соб(Р1/) + с6 БІп(Р1/)) +

(с7 С08(р1Ґ) + с8 8т(Р^)).

(16)

+е

-с.г

Рис. 6. Абсолютные перемещения тележки х(і) и груза х2(г) по горизонтали

Найденные значения коэффициентов: с1=-3,11; с2=2,83; с3=-0,0714; с4=-4,95; с5=0,126; с6=-0,289; с7=8,00; с8=-2,73.

Характер движения системы по экстремали (16) практически совпадает с функцией (13), однако максимальные значения вторых производных а(/) и х(/), как и следовало ожидать, уменьшились:

а(0) = -2,6 рад/с2, х(0) = 12,9 м/с2.

4. Синтез регуляторов

Реализацию найденных оптимальных законов управления (13), (16) можно осуществить следующими способами:

разомкнутое управление приводом путём формирования функции ^(/), обеспечивающей требуемый экстремальный характер изменения а(/);

замкнутое управление по доступным контролю координате х(/) положения и скорости х(/) тележки;

замкнутое управление по недоступной непосредственному измерению, но получаемой с помощью наблюдателя угловой координате груза а(/). Рассмотрим эти способы.

Возможность разомкнутого управления вытекает непосредственно из уравнения (7) движения объекта, устанавливающего взаимосвязь между оптимальным законом изменения а(/) и требуемой для реализации этого закона функцией ^(/) силы, прикладываемой к тележке со стороны электропривода. Подставляя (16) в (7) , получим:

Используемый для решения задачи критерий (8) имеет много модификаций, отличающихся весовыми коэффициентами его слагаемых, с помощью которых можно влиять на те или иные характеристики движения. В частности, показанные на рис. 4 и 5 графики вторых производных указывают на большие значения этих величин в момент трогания:

ё (і) = -шфа - (ш1 + М2 )ga =

-тф •

о2 [с3еОі + с4е Оі ]+

+ 02е°1? (с5 С08(Р1Ґ) + с6 БІП(Р1Ґ)) +

+ 2о1р1ео'ґ (—с5 БІп(Р1ґ) + с6 соб(Р1ґ)) + + Р2е01ґ (-с5 С0Б(Р 1Ґ) - с6 8ІП(Р 1Ґ)) +

+ 02е_0'ґ (с7 С0Б(Р1Ґ) + с8 БІП(Р1Ґ)) -- 2о1р1е_о'ґ (—с7 БІп(Р1ґ) + с8 соб(Р1ґ )) + + Р^“^ (-с7 С0Б(Р1Ґ) - с8 БІП(Р1Ґ))

- (М1 + m2)g

С1 + С2? + сзеО + с4Є О +

+ еО1Ґ (с5 С0Б(Р1Ґ) + с6 БІП(Р1Ґ)) + + е“°1ґ (с7 С0Б(Р1Ґ) + с8 БІП(Р1Ґ))

Общий вид сформированной функции Ё(^ представлен на рис. 7.

Рис. 7. Задающее воздействие Ё(/) при разомкнутом способе управления

Очевидно, что при практической реализации этой функции необходимо обеспечить измерение текущих значений величин т1, т2 и Ь, входящих в выражение для Ё(/).

Разомкнутое управление по принципу своего построения заведомо не способно обеспечить точное воспроизведение экстремалей в реальных условиях эксплуатации.

Замкнутое управление по координате положения х(/) и скорости х(/) тележки осуществляется путём подачи в систему задающего воздействия хопт(/), получаемого подстановки (16) в (6) и последующего двукратного интегрирования: г г

хопт (/) = 11 хЖЖ = 11 (-Ьа - ga)dtdt. 00

Вид функции х(/) показан на рис. 6.

В обратной связи системы может быть использован модальный регулятор Лх=\гх1 гх2 гх3 гх4], для синтеза которого необходимо составить описание объекта управления относительно координаты х(/) перемещения тележки.

Воспользуемся структурной схемой на рис. 3 и получим требуемое дифференциальное уравнение:

X +

(М1 + М2^ т-іЬ

= — Ё + -^~ т1 т1 Ь

Ё.

(17)

ний:

Переходя к описанию в пространстве состоя-

¿' = В' х'+N' Ё;

х = А' і',

в котором:

В'=

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 - к

0 0 1 0

N'=

М1Ь

0

]_

М1

0

А' = [0001]; і = \і1 І2 із

(М1 + М2 )g ,

,Г;

к =

М1Ь

із = х; 24 = х,

обнаруживаем, что две координаты состояния і3' = х и і4' = х доступны непосредственному измерению, и существует возможность восстановления оставшихся двух координат путём построения наблюдателя пониженного порядка.

Для этого изменим нумерацию координат:

21 = х, 22 = X, 23 = 2^, 14 = і1 и перейдём к про-

странству:

[і = В2 + Ш;

1 х = Аі,

(18)

где:

В =

" 0 1 ! 0 0

- к 0 ! 1 0 ' В11 В12

0 0 ! 0 1 _В21 В22 _

0 0 ! 0 0

N =

0

М1

“О“'

Мф

N1 ^ 2.

А = [1 0 ! 0 0]

,Г=\

2 2 \ 23 2 4\ = Iх х I 23 2 4\

Наблюдатель координат 23 и 24 строим по выражению:

^ = (В22 - СВ^2 )^ + (N2 - +

+ (В21 - СВ-[ 1 )х + Сх, в котором = [?3 £4т - наблюдаемый вектор ве-

г Г°1 °2"

личин 23 и г4,; и = * „2

|_и3 и4 _

выбираемая по условию достаточного быстродействия наблюдателя. Например, для рассматриваемого объекта, выбрав корни характеристического полинома наблюдателя 51=52=-20, получим уравнение: |5Е2-В22+иВ12|=(5+20)2,

,Г-

(19)

- матрица ошибок,

2

решение которого даёт искомые элементы 01=0, G2=40, 03=0, G4=400 (Е2 - единичная матрица размером 2x2).

Структурная схема наблюдателя представлена на рис. 8.

Ё

В21 -. GB11

N 2 - GN1 —►<Й>—► г

г

і

В22 - GB-

12

тз

|_24 ]

Рис. 8. Структурная схема наблюдателя координат тележки Формируем модальный регулятор Лх=\гх1 гх2 гх3 гх4], обеспечивающий желаемое расположение корней п характеристического полинома замкнутой системы: П1=Пг=-10, пз=-0,05+1,4/, п4=-0,05-1,4/. Корни п3 и п4 выбраны для частичной компенсации нулейр12 передаточной функции объекта (17):

1

—Ё + ~7~Ё = 0 ^ Р12 = ±1,40/.

М1 М1Ь

Отметим, что стремление к полной компенсации нулей р1,2 приводит на практике к потере устойчивости системы; в то же время частичная компенсация не позволяет обеспечить теоретически желаемые характеристики системы и, в конечном счёте, точное воспроизведение экстремалей.

Решение уравнения:

^-В+ЖхК^+Ю)2^- пз)(я- П4), даёт значения коэффициентов регулятора:

Ях=\9705,4 1758,9 52,215 127,99].

Функциональная схема системы с управлением по координатам тележки показана на рис. 9 (Бх -дополнительный усилитель, ,0х=10000).

Рис. 9. Функциональная схема системы управления по координатам тележки

Результаты моделирования синтезированной системы представлены на рис. 10, из которого следует, что колебания груза в процессе его перемещения отсутствуют, однако в расчётной момент времени /=10 с тележка обладает небольшой остаточной скоростью х » 0,3 м/с, и конечное положение груза характеризуется его периодическими отклонениями по вертикали на угол а(/)»3,4 град.

замкнутой по координатам тележки

Третьим вариантом управления рассмотрим систему, на вход которой подаётся непосредственно оптимальный закон аопт(/) (16), для которого справедливо описание объекта с низким порядком дифференциального уравнения (7), которое не содержит производные воздействия Ё(/) в правой части:

-тфа - т + т2 )ga = ё (/). (20)

Уравнению (20) соответствует описание объекта в пространстве состояний:

[V = ду + МЁ;

I а = Ту,

(21)

где:

" 0 "

Q = " 0 1" - к 0 ; М = 1

Мф

Т = [1 0].

Поскольку для принятых условий синтеза угловая координата а(і) недоступна для непосредственного измерения, то возникает задача восстановления координат а(і) и а(і ) по контролируемым координатам х(і) и х(і ) тележки.

Для решения этой задачи воспользуемся соотношением (6):

х=-Ьа-ga, в котором величина х = 22 может быть получена в соответствии с (18):

- , Ё 22 = 23 - кх +--,

М1

где 2з присутствует на выходе наблюдателя (19) координат тележки.

Таким образом, восстановление величин а(і) и а(і) может быть выполнено в результате численного решения (6) по известным текущим значениям х = 22 . Структура получения а(і) и а(і) показана на рис. 11.

а

а-*

На Яа

Ь

Рис. 11. Схема численного восстановления координат а(і) и а(і)

Полученные величины а(ї) и а(ї) введём в

модальный регулятор Яа=\га1 га2], для которого получаем:

^Е^+МЯаК^+Ш)2,

и далее:

Я а=\-47057 -10000].

Полная функциональная схема системы управления по угловым координатам груза приведена на рис. 12 и содержит дополнительный усилитель Ба=-50000, введение которого позволяет обеспечить астатизм системы и уменьшить в соответствующее число раз коэффициенты регулятора до значений:

Я а=\0,94 0,20].

лучшие результаты по сравнению с косвенным управлением (рис. 10), так как обеспечивает подавление раскачиваний груза не только на протяжении рабочего цикла системы, но и после его завершения.

Необходимо заметить, что предлагаемая в результатах работы система управления, построенная по схеме рис. 12, имеет перспективы существенного упрощения при внедрении в эксплуатацию датчиков прямого измерения угловой координаты а груза и его угловой скорости а. В этом случае из системы могут быть исключены узлы наблюдения х и восстановления величин а и а .

Литература

Рис. 12. Функциональная схема системы управления по угловым координатам груза

Результаты проверки полученной системы представлены на рис. 1з.

2

3

4

5

6

Саблина Г.В. Исследование математической модели системы «подвешенный груз» / Г.В. Саблина, Д.И. Хо-дакова // Сб. науч. тр. НГТУ, 2009, №2, с. 11-18. Неспирный В.Н. Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия / В.Н. Неспирный, В.А. Королев // Механика твердого тела, 2009, вып. 39, с. 195-206.

Герасимяк Р.П. Анализ и синтез крановых электромеханических систем / Р.П. Герасимяк, В.А. Лещёв. -Одесса: СМИЛ, 2008. - 192 с.

Герасимяк Р.П. Оптимальное управление крановым механизмом передвижения / Р.П. Герасимяк, Л.В. Мельникова // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы, 1999, № 1, с. 87-94. Ключев В.И. Электропривод и автоматизация общепромышленных механизмов / В. И. Ключев, В. М. Терехов. - М.: Энергия, 1980. - 360 с.

Масандилов Л.Б. Электропривод подъёмных кранов. -М.: Изд-во МЭИ, 1998. - 72 с.

7. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 4. Теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова- М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2004. - 744 стр.

8. Теория автоматического управления. Часть 1. / Под ред. А.А. Воронова. - М.: Высш. школа , 1986. - 367 с.

9. Квакернаак Х. Линейные оптимальные системы управления / Х.Квакернаак, Р.Сиван. - М.: Мир, 1977. - 650 с.

10. Теория автоматического управления. Часть 2. / Под ред. А.В. Нетушила. - М.: Высш. школа, 1972. - 432 с.

11. Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления / Ю.П. Петров - Л.: Энергия, 1977. -

замкнутой по угловым координатам груза 280 с.

Как и следовало ожидать, непосредственное управление по угловой координате (рис. 13) даёт

Воронежский государственный технический университет

SYSTEM OF OPTIMUM CONTROL OF THE SUSPENDED CARGO E.M. Vasiljev

The problem damping the fluctuations of the suspended cargo arising at his moving is solved. Equations Lagrange's for system of moving of a cargo are received and based on methods of calculus variations are found extremals for mechanical forces, and he linear and angular coordinates. Synthesis of several variants of the regulators realizing found optimum laws of management is carried out, results of check their serviceability are submitted and the comparative analysis of the received parameters of quality of system is lead

Key words: rocking of the suspended cargo, suppression of fluctuations, optimum control