CC BY
58
УДК 518.5
ВОРОНИН Анатолий Викторович, кандидат технических наук, доцент, первый проректор Петрозаводского государственного университета, заведующий кафедрой прикладной математики и кибернетики. Автор более 120 публикаций, в т. ч. 8 монографий
ЗАДА ЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫМИ ПОТОКАМИ В МНОГОУРОВНЕВЫХ ТЕРРИТОРИАЛЬНО-РА СПРЕДЕЛЕННЫХ ТРАНСПОРТНОПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМАХ
Транспортно-производственные задачи и системы, математическое моделирование, управление материальными потоками
В последние годы в России произошла серьезная структурная перестройка ряда отраслей промышленности, наблюдаются интеграционные процессы, связанные с укрупнением промышленного производства и созданием групп взаимосвязанных и взаимозависимых предприятий. Одной из наиболее выраженных тенденций в добывающих и перерабатывающих отраслях является создание территориально-распределенных многоуровневых холдингов, включающих в себя десятки крупных предприятий и осуществляющих полный цикл производства от заготовки сырья с его комплексным использованием, производством и расширением видов выпускаемой продукции до транспортировки потребителям. Развитие крупных интегрированных саморазвиваю-щихся многоуровневых корпоративных
структур рыночного типа - прогрессивный путь к восстановлению производственно-хозяйственных связей предприятий, разрушенных в переходный период. Подобным структурам под силу осуществить финансовое оздоровление производств, расширить спектр производимой продукции, создать новые перспективные производства, обеспечить развитие капиталоемких производств, техническое перевооружение, приобретение машин и оборудования, решение вопросов научного обеспечения на основе накопления и перераспределения средств в рамках единой системы.
Наиболее интересные примеры интеграции промышленных предприятий наблюдаются в лесопромышленном, нефтегазовом, металлургическом, горнодобывающем комплексах [1]. Основные направления интеграции структур
в этих отраслях - увязывание предприятий, входящих в единую технологическую систему, углубление переработки сырья, создание новых видов продукции и завоевание новых сегментов рынка, интеграция по сходству товарных позиций. Современные многоуровневые интегрированные структуры (МИС) представляют собой сложные организационно-экономические, технические и технологические комплексы, предприятия которых могут быть удалены друг от друга на сотни и тысячи километров, а численность персонала варьироваться от нескольких тысяч до нескольких десятков тысяч человек. В условиях территориальной удаленности предприятий значительно возрастает необходимость согласованных действий и оперативного принятия решений, повышения эффективности планирования и управления на уровне всего комплекса и отдельных предприятий.
Следует отметить, что появление МИС в России привело к возникновению принципиально новой ситуации в решении задач планирования и управления работой предприятий. Распад централизованной плановой экономики и затем 10-летний период самостоятельного (децентрализованного) хозяйствования многих предприятий отрасли в условиях рынка привели к тому, что ранее разработанные математические модели и методы для отраслевого планирования и управления не могут быть использованы в новых условиях для решения задач планирования и управления крупными региональными и межрегиональными МИС, включающими в свой состав десятки взаимосвязанных предприятий. Кроме того, модернизация производства и использование современных технологий на предприятиях приводят к необходимости разработки новых математических моделей, а развитие вычислительной техники и программного
обеспечения делает возможным их реализацию. Указанные обстоятельства требуют разработки новых моделей и методов планирования и управления территориально-распределенными МИС.
Одна из важнейших специфических особенностей деятельности МИС состоит в «разумной специализации» дочерних предприятий, что в сочетании с комплексной переработкой сырья и возможностью согласованного планирования деятельности подразделений МИС может существенно повысить эффективность работы структуры в целом. Анализ структуры и системы управления интегрированными производствами в различных отраслях промышленности показывает, что одно из центральных мест в управлении многоуровневыми территориально-распределенными производственными комплексами занимают задачи планирования и управления материально-транспортными потоками. Являясь очень важными и в то же время одними из наиболее сложных для решения, эти задачи способны обеспечить высокий экономический эффект, выявить «узкие» места и состояние производственной инфраструктуры, а также перспективы ее развития.
С учетом последовательной переработки сырья и переделов на различных уровнях МИС становятся актуальными задачи планирования, связанные с выработкой продукции, транспортировкой к месту дальнейшей переработки (на следующий уровень), затем к потребителю или дальнейшему месту переработки и т.д. В связи с этим территориально-распределенную МИС можно рассматривать как транспортно-производственную систему (ТПС), в которой возникает необходимость решения многоэтапных транспортно-производственных задач (МТПЗ), связанных технологической «цепочкой» от заготовки сырья
до отправки готовой продукции конечному потребителю. Легко видеть, что основу МТПЗ составляют задачи двух типов:
- баланса и распределения ресурсов (производственные компоненты);
- оптимизации транспортных потоков (транспортные компоненты).
Основными особенностями задач этого класса являются следующие:
- предприятия МИС территориально распределены и могут находиться в неодинаковых технико-экономических условиях в силу различных географических, демографических, природных условий и состояния производственной инфраструктуры;
- математические модели этих задач должны учитывать многоэтапность и многовариантность переработки сырья одного или нескольких видов;
- многоэтапность переработки приводит к появлению множества промежуточных продуктов - переделов, баланс которых должен рассчитываться раздельно;
- частичная специализация предприятий МИС приводит к необходимости выполнять различные операции средствами различных производств, мощность которых в силу ряда внешних условий ограничена. Кроме того, затраты при реализации операций различными производствами неодинаковы;
- затраты на переработку сырья и отдельных переделов соизмеримы с транспортными расходами на перевозку этих ресурсов;
- допускается создание ограниченных запасов ресурсов, переделов и готовой продукции на складах предприятий;
- оптимальный транспортно-производственный план рассчитывается в предположении достаточной управляемости транспортными потоками и технологическими процессами предприятий, входящих в МИС.
В статье проводится исследование класса МТПЗ, предложены методы решения МТПЗ и даются рекомендации по их практическому применению для территориально-распределенных ТПС.
Постановка многоэтапной транспортнопроизводственной задачи. В рамках рассматриваемой задачи территориально распределенные дочерние компании, производства и службы выступают в качестве относительно самостоятельных (т.е. имеющих полномочия организовать собственную производственную деятельность в рамках выделенных ресурсов и производственного задания) производственных звеньев, транспортные задачи формируются в соответствии с количеством производственных ингредиентов.
Сформулируем основную математическую задачу [2]. Для этого введем необходимые обозначения.
Пусть ре Р - множество территориально распределенных производственных звеньев (предприятий), каждое из которых может организовать собственную работу в соответствии с технологическим заданием МИС, используя внутренние имеющиеся в наличии ресурсы множества М . Будем считать, что множества М не пересекаются и определим М = и М. Р реР р
Обозначим Np с N - подмножество технологических операций (технологий), выполняемых производственным звеном реР; их объединение обозначим N = иреР Шр (множества Шр также будем считать не пересекающимся для различных ре Р). Поскольку решение производственной задачи может быть связано с использованием различных технологий, введем основные управляемые факторы - интенсивности использования соответствующих технологий, которым сопоставим переменные х. (]еЩ. Логично считать эти переменные ог-
раниченными сверху величиной й , неотрицательными, а их совокупность, в силу ряда внутренних производственных условий, содержащейся в некотором множестве Ор. Затраты, связанные с использованием технологий, будет отражать функционал Рр (х^р ]): ° р ^ Я1.
Кроме собственных ресурсов, производственная программа различных звеньев р е Р может быть связана с обработкой множества £ внешних, существенных с точки зрения задачи планирования работы МИС в целом ингредиентов (переделов) технологической системы. Предполагается, что каждый ингредиент 5 е £ связан, по меньшей мере, с двумя производственными звеньями.
Каждый из рассматриваемых ингредиентов рассматривается как некий взаимозаме-нимый и равнозначный как для источника, так и для потребителя ресурс. Типичный пример ресурса 5 е £ для лесопромышленного комплекса - передел (балансы хвойных пород, технологическая щепа, целлюлоза, картон, древесина разных пород, сортов и степени подготовки).
Интенсивности технологий производства р еР определяют объемы выработки и потребления этих ресурсов Кр [£]= (тф’р, w2p,..., ), что
отражает оператор G (х^ ]): &р ^ Я|£|, таким образом, кр [£ ] = Ор (х^р ]). Логично считать суммарную выработку ресурсов каждого вида, ограниченными сверху и снизу значениями Н > К (5 е£).
В силу пространственной распределенности потоки материальных ресурсов являются транспортными потоками у!!рд (рд е Р, 5 е £). Эти потоки неотрицательны, затраты, связанные с транспортировкой ресурсов, на уровне рассматриваемой задачи будем считать ли-
нейными и пропорциональными значениям
, р,Ч еР 5 е£
Остается связать транспортные потоки и выработку (потребление) ресурсов уравнениями баланса, в итоге будет получена следующая математическая модель многоэтапной транспортно-производственной задачи:
ХК]еОp, р еР (1)
- допустимость интенсивностей технологий;
К[£] = °р (хК], р еР (Р)
- связь объемов потребления (выработки ресурсов) с интенсивностями технологий;
К К < Н,, 5 е £ (3)
- сбалансированность суммарного расходования и выработки ресурсов;
Е(х5р - у\ч )=К, ре P, 5 е £ (4)
деР
- сбалансированность транспортных потоков производств;
0 < х. < й , ] е N (5)
- ограниченность интенсивностей технологий;
Ум > 0, Г,Ч еP, 5 е£ (6)
- неотрицательность транспортных потоков.
Постановку задачи завершает целевая функция:
Е¥р(хК1КЕЕЕстрдУрд ^ mln, (7)
реР хеЯ реР деР
которая отражает минимальные транспорт-но-производственые затраты, необходимые для выполнения производственного плана.
Полученная в конечном итоге задача (1)-(7) и будет названа «многоэтапной транспортно-производственной задачей» (МТПЗ).
Задача (1)-(7) содержит в себе как транспортные, так и производственные блоки, ко-
торые представляют собой самостоятельные оптимизационные задачи. Совместное исследование этих задач приводит к сложной математической задаче с тысячами переменных и ограничений, решить которую весьма непросто, но это позволит осуществить комплексное исследование работы МИС. Сложность решения общей задачи можно снизить, если найти определенную последовательность решения частных задач, которые, постепенно уточняясь, составят общее решение «большой» задачи. Однако такой алгоритм непрост и требует определенного обоснования, доказательства его сходимости к оптимальному решению общей задачи.
МТПЗ выступает в качестве связующей модели, цель которой - согласование планов работы предприятий, обеспечивающих эффективную работу МИС в целом по критериям экономического характера. Полученная в итоге математическая модель соответствует системе управления производственным процессом «верхнего» уровня, цель которой -согласование агрегированных показателей работы дочерних предприятий с общим критерием эффективности экономического характера.
Исследование МТПЗ. Задача (1)-(7) содержит в себе как транспортные, так и производственные блоки, которые представляют собой самостоятельные оптимизационные задачи. Совместное исследование этих задач на практике приводит к сложной математической задаче с тысячами переменных и ограничений, поэтому решение МТПЗ непосредственным применением классических методов решения оптимизационных задач весьма затруднительно. В связи с этим предлагается следующий подход для решения МТПЗ.
Для проверки существования неотрицательных решений МТПЗ введем дополнитель-
ное («искусственное») производство - компенсатор, а МТПЗ с дополнительным производством будем называть замкнутой.
Пусть далее множество
={х = и1,х2,...,х|^|)|0 <л:; 1..|Л^ |}
для каждого ре Р.
Справедлива теорема 1 (о существовании решения задачи МТПЗ) [3].
1) Замкнутая МТПЗ имеет допустимое решение тогда и только тогда, когда выполнено условие Хр П\0.р^ 0 для каждого ре Р.
2) Пусть функционалы Р (х) и операторы в (х) непрерывны. Задача (1)-(7) имеет оптимальное решение, когда существует решение замкнутой МТПЗ с потоками у!0р = ур0 = О для каждого ре Р, 5.
Следует отметить, что одними из наиболее часто встречающихся на практике при решении задач планирования в МИС являются линейные МТПЗ. Поэтому далее будем рассматривать линейную замкнутую МТПЗ Р, удовлетворяющую условиям теоремы 1. В этом случае задача Р имеет ярко выраженную блочную структуру ограничений производственного характера. Для ее решения можно использовать метод декомпозищш Данци-га-Вулфа. «Центральную» задачу Р (в терминологии описания алгоритма декомпозиции Данцига-Вулфа) составляет блок транспортных задач, что позволяет свести решение задачи Р к поочередному решению блочных задач (производственных модулей) и «центральной» (координирующей) задачи.
Использование методов декомпозиции позволяет заменить решение исходной задачи Р многократным решением последовательности производственных задач Р {у) для различных значений целевой функции, определяемой текущим вектором двойственных переменных V и решением последовательности задач Т^х), близких к транспортной и определяе-
ди
мых оптимальными решениями производственных задач. Вычислительная сложность решения каждой из частных задач существенно меньше сложности исходной. Теоремы 2-4 устанавливают специфику использования метода декомпозиции применительно к линейной МТПЗ.
Теорема 2. Применение метода замыкания к линейной МТПЗ позволяет привести ее к линейной задаче размерности
(|ЛМ + |5|-И)х(|М| + |Р|.(|Р|+1)).
Теорема 3. Решение линейной МТПЗ сводится к решению |5| транспортных задач Г(х), £ е5, если зафиксировать вектор х = х[Лг|, и |Р| производственных задач Рц(у),/? е Р, если зафиксировать значения переменных и> = м>‘ для всех допустимых значений индексов.
Теорема 4. В процессе решения задачи Р по схеме декомпозиции Данцига-Вулфа проверка оптимальности и пересчет базисного плана текущего решения «центральной» задачи Р требует решения не более |5| транспортных задач.
Проведенные исследования свидетельствуют о возможности и целесообразности применения двойственных методов декомпозиции для решения МТПЗ, реализация предложенных алгоритмов на примерах средней размерности показала хорошие результаты. В то же время оказалось, что практическое использование алгоритмов, основанных на схемах декомпозиции, связано со значительной вычислительной сложностью расчетов на данных реальной размерности из-за замедления сходимости метода Данцига-Вулфа в конце решения задачи. В связи с этим предложен субоптимальный алгоритм решения линейных МТПЗ.
Алгоритм субоптимальиого решения линейной МТПЗ. Для решения данной задачи предлагается изменить вычислительную схе-
му таким образом, чтобы за конечное (ограниченное) количество шагов получать приемлемое решение с гарантированной оценкой. Следует отметить, что схема декомпозиции Данцига-Вулфа при решении линейной МТПЗ позволяет не только найти ее оптимальное решение посредством последовательного улучшения текущего базисного плана «центральной» задачи, но и дает оценку промежуточных решений. Чтобы получить такую оценку, введем следующее понятие. Четверку векторов (х, у, у) назовем согласованным решением МТПЗ по схеме Данцига-Вулфа, если векторы х, у, составляют допустимое решение задачи Р, а у - набор согласованных с ними двойственных переменных «центральной» задачи Р. Из этого набора переменных можно исключить группу переменных -м, полагая условия (3) выполненными, и рассматривать только три группы переменных х, у, у. Справедлива следующая теорема.
Теорема 5. На каждой итерации к = 1,2,... алгоритма декомпозиции имеется некоторое согласованное решение МТПЗ хк, ук, /. В процессе работы алгоритма нижняя г и верхняя г оценки текущего плана могут быть вычислены по следующим формулам:
5 р^Р ^Р
г = тах{д, | г = 1,2,...,£} < г*, где д,= V ■ р - вектор правых частей.
Полученный результат представляет собой достаточное условие получения субопти-мального решения линейной МТПЗ и позволяет сформулировать алгоритм поиска приближенного решения этой задачи.
Шаг 1. Начальный.
Задать точность 5 > 0, положить у0 = О, к = 0.
Шаг 2. Решение группы производственных задач.
Решить все производственные задачи с параметром V*, получив оптимальный план хк.
Шаг 3. Решение группы транспортных задач.
Решить все транспортные задачи с параметром хк, получив оптимальный план ук. Вычислить двойственные оценки /+/*.
Шаг 4. Проверка субоптимальности.
Если <5* > § , то положить к к + 1 и перейти к Шагу 2. Иначе - перейти к Шагу 5.
Шаг 5. Завершение работы.
Вывести субоптимальное решение (хк,ук).
Результаты проведенных исследований показали, что представленный метод поиска субоптимальных решений дает хорошие результаты при решении линейных МТПЗ. Следует отметить, что и для некоторых нелинейных МТПЗ удается сформулировать аналогичную оценку точности текущего решения и, таким образом, модифицировать для этих задач метод поиска субоптимальных решений.
Применение МТПЗ в планировании и управлении МИС ЛПК. Учитывая наличие большого количества МИС в лесопромышленном комплексе (ЛПК), можно сформулировать
целый комплекс задач, постановка которых соответствует введенному классу МТПЗ:
- размещения производств и определения структуры заготовки;
- распределения лесопродукции и выбора технологий производств;
- управления сбытом продукции предприятия;
- распределения ресурсов предприятия;
- согласования производства и сбыта продукции предприятия;
- планирования производства предприятия с учетом имеющегося «портфеля» заказов;
- размещения запасов деталей, оборудования и других запчастей в подразделениях МИС ЛПК;
- планирования работы и управления ремонтными производствами предприятий МИС ЛПК, которая включает в себя задачи расчета объемного и объемно-календарного планов работы ремонтного производства, диспетчеризации выполнения ремонтных работ.
Более подробно с описанием этих и других моделей, методами их решения и программными системами, реализующими необходимые расчеты для предприятий ЛПК, можно познакомиться в [1,4-6].
Список литературы
1. Воронин A.B., ШегелъманИ.Р. Вертикально-интегрированные структуры управления в лесопромышленном комплексе. СПб., 2003.
2. Воронин A.B. Многоэтапные задачи планирования и управления материальными потоками в верти-кально-интегрированных структурах лесопромышленного комплекса // Лесной журнал. 2003. № 2-3. С. 123-133.
3. Воронин A.B. О новом классе транспортно-производственных задач // Обозрение прикладной и Про-мышленной.математики. М., 2003. Т. 10. Вып. 1. С. 123-125.
4. Воронин A.B., Кузнецов В. А. Математические модели и методы в планировании и управлении предприятием ЦБП. Петрозаводск, 2000.
5. Воронин A.B. Многоэтапные транспортно-производственные задачи // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 10. Вып. 3. С. 623-625.
6. Воронин А. В. Прикладные транспортно-производственные задачи планирования работы предприятий ЛПК // Лесной журнал. 2004. № 1. С. 103-110.
Voronin Anatoly
PROBLEMS O PLANNING AND MANAGEMENT OF PRODUCT FLOWS IN MULTI-LEVEL GEOGRAPHICALLY-DISTRIBUTED TRANSPORTATION-MANUFACTURING SYSTEMS
The article presents a mathematical model for solution of multi-stage transportation-manufacturing problems, connected by a technological «chain» starting from raw materials procurement to shipment of end products to end customers. Efficiency analysis of applying decomposition method for solution of such class of problems is presented, and suboptimal solution algorithm is proposed.
Рецензент - Зеель О.Э., профессор Поморского университета
