Задачи оптимального размещения ресурсов организации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 338.2

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ РЕСУРСОВ ОРГАНИЗАЦИИ

Н.П. Курочка, В.Н. Шипилов, Б. А. Шиянов

Задача размещения объектов различного вида составляют широкий класс задач дискретной оптимизации. Причем физическая сущность располагаемых объектов, как правило, оказывает влияние на то, какие ограничения будут являться существенными и какие критерии оптимальности должны быть выбраны. В данной статье рассмотрен ряд постановок оптимального размещения ресурсов

Ключевые слова: метод, оценка, система

Введение. Задача размещения объектов различного вида составляют широкий класс задач дис*

кретной оптимизации. Причем физическая сущность располагаемых объектов, как правило, оказывает влияние на то, какие ограничения будут являться существенными и какие критерии оптимальности должны быть выбраны. При этом возможны различные постановки задач оптимального размещения. Рассмотрим ряд постановок.

Пусть определены п пунктов возможного размещения объектов произвольного назначения, которые могут быть как техническими, так и экономическими. Примем, что все объекты однотипны в том смысле, что эффект от их размещения зависит только от пункта размещения. Обозначим через а! - эффект от функционирования объекта в пункте !, Ь -

затраты на его размещение и ввод в эксплуатацию в пункте ! Введем переменные XI = 1, если объект размещается в пункте 1 и X! = 0 в противном случае. Тогда простейшую задачу оптимального размещения можно сформулировать следующим образом.

Задача 1. Определить {х1}, / = 1, п , максимизирующие

А( х) = 2 ах (1)

I

при ограничении

2 Ьх < В (2)

I

где В - объем средств, выделенных на размещение объектов.

Задача (1)-(2) является классической «задачей

о ранце» методы решения которой хорошо разработаны. Однако, эта задача не учитывает ряд условий, которые могут оказаться существенными. Так, размещение большого числа объектов в одном регионе уменьшает эффект от функционирования каждого из них в силу ограниченности потребностей населения в данном виде услуг. Так, например, если все пункты возможного размещения объектов расположены

Курочка Николай Павлович - ВВВАИУ, слушатель, тел. (4732) 23-35-57

Шипилов Василий Николаевич - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Шиянов Борис Анатольевич - МИКТ, канд. техн. наук, тел. (4732) 39-25-00

в одном регионе, то соответствующее ограничение имеет вид

2 X < Р, (3)

I

где р - максимальное число объектов, которые целесообразно разместить в данном регионе. Если регионов несколько, причем в к-м регионе имеется множество рк возможных пунктов размещения объектов, то получаем систему ограничений

2 X < Рк, к =1г (4)

1ер

где рк - максимальное число объектов, которые целесообразно размещать в к-м регионе, г - число регионов.

В ряде случаев существенным является условие неразмещения двух объектов в близких или соседних пунктах. Близость пунктов удобно задавать в виде графа, вершины которого соответствуют пунктам размещения, а ребра соединяют соседние пункты. Если и - множество ребер графа соседства пунктов, то ограничения, связанные с неразмещением двух объектов в соседних пунктах принимают вид

х1+х|<1, (1, ,0еи (5)

Заметим, что если ограничение на величину финансовых средств не является существенным, то задача (1), (5) является задачей определения независимого множества вершин графа, имеющего максимальную сумму весов а1.

При постановке задачи размещения объектов предполагается, что уже существующие размещения аналогичных объектов, принадлежащих другим фирмам, известно, что и позволяет оценивать ожидаемый эффект от размещения новых объектов.

Задача 2. Определить {х^, / = 1, п , максимизирующие (1) при ограничениях (2) и (4).

Рассмотрим обобщения задач 1 и 2. Пусть объекты не являются однотипными. В этом случае и эффект, и затраты на размещение объекта зависит как от типа объекта, так и от пункта размещения. Обозначим, соответственно, ан - эффект, Ьц - затраты, если объект Ьго типа разместился в пункте ^ Введем переменные хп = 1, если объект типа ! размещается в пункте ^ х^ = 0 в противном случае. Пусть число типов объектов равно т.

Задача 3. Определить {х^}, / = 1,т , у = 1,п , максимизирующие

A( x) = 2 aijxtj (6)

ij

при ограничении

2bjXj< B (7)

i J

Рис. 1. Сетевое представление задачи размещения

2 Ху< в у, ) = 1, п (8)

I

Ограничение (8) отражает тот факт, что в каждом пункте можно разместить не более Б, объектов разных типов. Так, например, в одном пункте можно разместить автозаправочную станцию, автосервис и кафе (а возможно, и гостиницу), что может оказаться наиболее эффективным. В задаче 3 не учитывается тот факт, что при размещении объектов разных типов в одном пункте эффект, как правило, больше, чем сумма эффектов при размещении этих объектов без учета их совместного функционирования, а затрат, как правило, меньше, чем сумма затрат при независимом размещении (возникает так называемый синергетический эффект). Для учета этих особенностей поступим следующим образом. В качестве объекта определенного типа будем рассматривать комплекс, состоящий из одного или нескольких объектов разных типов. Так, например, в качестве объекта может выступать комплекс, состоящий из автозаправочной станции автосервиса и кафе. Такой подход позволяет учесть синергетический эффект, хотя число типов объектов возрастает. В этом случае в ограничении (8) задачи 3 следует положить все =1, так как в одном пункте можно разместить не белее одного комплекса.

Учет ограничения вида (4) в задаче 3 является более сложным делом, так как речь идет о функционировании комплексов разных типов. Примем, что в каждом комплексе имеется определяющий тип объекта, а все остальные объекты, входящие в комплекс, являются, дополняющими. Такой подход позволяет учитывать ограничения вида (4) только по определяющему типу объектов, что существенно упрощает и постановку, и решение задачи. Действительно, в этом случае все сложные объекты (комплексы) разбиваются на непересекающиеся классы по определяющему типу объектов, а ограничения вида (4) выписываются для каждого класса объектов.

Методы решения задачи размещения объектов с учетом ограничения на число этих объектов. Перейдем к задаче второго типа, то есть учтем ограничения (4), связанные с нецелесообразностью размещения в одном регионе (или в близких пунктах) большого числа объектов. Начнем с задачи (1),

(2), (3). Имеется множество Р пунктов, в которых целесообразно размещать не более р объектов.

Структура этого представления уже не является деревом, и поэтому необходимо применение общего метода сетевого программирования. Для этого разделим вершины 3 и 4 (в общем случае - все вершины множества Р) на две, соответственно разделив на две части и величины эффекта (рис. 1).

а! = Ui + аГ, ieP. (9)

Соответственно рассмотрим две подзадачи. Первая заключается в определении {х,}, максимизирующих

2 (10)

i

при ограничении (2), а вторая - в определении {х1}, ieP, максимизирующих

U(x) = 2 UiXi (11)

iep

при ограничении (3).

Заметим, что решение второй задачи очевидно, следует положить х! = 1 для р пунктов с наибольшими ui. Обозначим A(u), U(u) - значения целевых функций (10), (11) в оптимальных решениях соответствующих задач. Величина

A(u) + U(u) (12)

является оценкой сверху для целевой функции исходной задачи (1), (2), (3). Оценочная (двойственная) задача заключается в определении {ui} и соответственно

- ui , (13)

-минимизирующих оценку (12).

Покажем, что в оптимальном решении оценочной задачи все и, одинаковы, то есть ui = u, i e Р.

Заметим, во-первых, что если в решении задачи (11), (3) xi = 0, то положив ui= umin, где umin - минимальная величина ui среди i e Р таких, что х! = 1, мы не увеличим оценку (12), поскольку U(u) не изменится, а А^) не увеличится. Поэтому положим ui=umin для всех ieР таких, что xi=0. Далее, возьмем любое ui > umin (очевидно, что х! = 1 в решении задачи (11), (3)) и положим u'i= umin. При этом величина uW уменьшается на разность ui -umin, а величина А^) может увеличиться не более чем на ту же разность ui- umin. Поэтому оценка (12) не увеличится. Таким образом, мы получим оптимальное решение оценочной задачи, в котором u1= u для всех i e Р. Тем самым оценочная задача сведена к определению u, минимизирующего

pu + max 2 (ai - u)xi (14)

где х= {х!} удовлетворяют ограничениям (2). Отметим близость выражения (14) к функции Лагранжа.

Приведем описание алгоритма:

1 шаг. Берем u = 0 и решаем задачу (10), (2). Если в полученном решении

2 xi < p ,

iep

то это решение является оптимальным. Иначе переходим к шагу 2.

2 шаг. Увеличиваем u на некоторую величину 8 > 0 (выбор шага 5 представляет собой от-

дельную задачу), и снова решаем задачу (10), (2). Если в полученном решении ^ х = р, то это реше-

ієр

ние является оптимальным. Если в полученном решении ^ Хі > р , то повторяем шаг 2. Если же

ієр

2 х. < Р, то из двух решений (полученного на дан-

ієр

ном и на предыдущем шаге) берем решение с минимальной величиной оценки (13).

Имея метод получения оценки сверху для целевой функции исходной задачи (1), (2), (3) можно применить метод ветвей и границ, либо взять решение, полученное на последнем шаге в качестве приближенного решения.

Рассмотрим еще несколько частных случаев задачи второго типа, когда удается предложить эффективные алгоритмы.

Рассмотрим учет ограничения на близость пунктов размещения объектов, связанные с нецелесообразностью размещения двух объектов в близких пунктах. Как уже отмечалось выше, такие ограничения удобно задавать в виде графа, ребра которого отражают нецелесообразность размещения двух объектов в соответствующих пунктах. Пример такого графа приведен на рис. 2.

Рис. 2. Граф учета ограничения на близость пунктов

Его особенностью является отсутствие ребер, имеющих общие вершины.

Эта особенность позволяет применить метод дихотомического программирования. Возьмем

структуру дихотомического представления таким образом, чтобы на нижних уровнях дерева дихотомического представления находились смежные вершины (рис. 3).

Другими словами, сначала задачи, оптимизации решаются для смежных вершин, то есть для вершин, соединенных ребрами.

Рассмотрим случай произвольного графа, по-прежнему не учитывая ограничений на величину средств. Пусть У-множество ребер графа, являющееся паросочетанием (напомним, что паросочета-

нием называется множество ребер, не имеющих общих вершин).

Получим верхнюю оценку (1) на основе метода сетевого программирования. Для этого определим два частных графа С1(Х,У) и С2(Х^) , где ^ = и / V. Примем в качестве весов вершин в графе Сі

аи = ап = шіп(а, ,а,), (У) є V (15)

а в качестве весов вершин в графе С 2

аі2 = а, - аі1, і є X (16)

Обозначим А1 максимальную величину (1) в графе С1, А2 - максимальную величину (1) в графе

С2 . Имеет место следующая теорема [].

Теорема. Величина Ат=А1+А2 является оценочной сверху величины (1).

Легко видеть, что в графе С2(X,W) часть

вершин имеет веса, равные 0. Поэтому эти вершины можно исключить из графа вместе с инцидентичны-ми им ребрами. Оставшийся граф будем обозначать С2(У^), где У - множество вершин с ненулевыми весами.

Пример. Рассмотрим граф рис. 4. Веса вершин указаны в нижних половинах соответствующих

кружков.

*4 юу

/8 А

Vі 2 У

ґТ\ утл

V 15 / V 18 }

Рис. 4. Исходный граф

Возьмем паросочетание (дуги, входящие в данное паросочетание выделены на рис. 4 двойными линиями) V = {(2.8);(3.4);(5.6);(1.7)} . Граф

С2(У^) приведен на рис. 5.

Имеем А1 = 10 + 8 + 11 + 15 = 44, А2 = 3 + 10 +

9 + 2 = 24, Ат = 44 + 24 = 68. Заметим, что оптимальные решения в графах С1 и С2 совпадают.

Как следует из основной теоремы сетевого программирования, это означает, что решение О = (1.3.5.8) является оптимальным решением исходной задачи.

Пусть теперь в графе имеется дуга (1,5) (эта дуга показана пунктиром на рис. 4, 5. В этом случае А2 = 2 + 9 + 10 = 21, Ат = 44 + 21 = 65 Поскольку оптимальные решения в графах С1

и С2 не совпадают, то величина А = 65 является

только оценкой сверху.

В данном случае применяем метод ветвей и границ.

10

Рис. 5. Частный граф С2(X,W),

Возьмем вершину 5 для ветвления. Разбиваем множество всех решений на два подмножества. В первом подмножестве х5=1, то есть вершина 5 входит в искомое множество независимых вершин, а во втором - не входит, то есть х5=0. Оценка первого подмножества. Если х5=1, то х1=х4=х6=0.

В оставшемся подграфе решение очевидно х3=х7=1, х1=х2=х8=0. Имеем оптимальное решение в первом подмножестве с величиной А = 53.

Оценка второго подмножества. Так как х5=0, то можно положить а5=0 и применить описанный выше алгоритм получения верхней оценки. Заметим,

что граф С2 будет уже другим, так как а51=а61=0,

а52=0, а62=11*

Этот граф приведен на рис. 6. Он состоит из четырех изолированных вершин.

11

Рис. 6. Частный граф С2 для оценки второго подмножества

Имеем С1 = 33, С2 = 25, С = 58, причем соответствующее решение х1 = х3 = х6 = х8 = 1, остальные х! = 0 является оптимальным решением во втором подмножестве.

Сравнивая оба решения видим, что оптимальным решением исходной задачи является решение

во втором подмножестве. Заметим, что граф С2

желательно иметь как можно более простым. Поэтому целесообразно брать паросочетание с максимальным числом ребер.

Дадим формальное описание алгоритма получения верхних оценок.

1 шаг. Строим паросочетание с максимальным числом ребер.

2 шаг. Строим граф С2. Если для этого графа

получаем легко разрешимый случай задачи определения независимого множества, с максимальной суммой весов, то определяем величину верхней оценки. В противном случае переходим к шагу 3.

3 шаг. Для графа G2 выполняем шаги 1 и 2.

Поскольку при построении графа G2 число

вершин уменьшается примерно в два раза, то, как правило, после небольшого числа шагов получаем легко разрешимый случай.

Первый шаг алгоритма заключается в построении паросочетания с максимальным числом ребер.

Алгоритм построения паросочетания с максимальным числом ребер. Примем C.. = 1 , если

(i, j) є U, где U - множество ребер графа и C,. = 0,

если (i, j) g U.

Пусть W - произвольное паросочетание. Обозначим xi. = 1, если ребро (i, j) є W и x,. = 0 , в

противном случае. Получаем задачу:

L = Е с, .x.. ^ max

(17)

(i,j)

при ограничениях

Е x,. < 1, ■ = 1n (18) j

Таким образом, можно считать, что граф полный и число вершин графа четно (в противном случае всегда можно добавить одну вершину с нулевыми длинами инцидентных дуг.

Описание алгоритма.

1 шаг. Берем произвольное ребро графа. Очевидно, что это ребро образует максимальное паросочетание в подграфе из двух вершин.

к-шаг. Пусть получено оптимальное паросочетание в подграфе из k вершин. Добавим к подграфу еще одну вершину. Определим чередующийся цикл максимальной длины, проходящей через эту вершину. Если длина этого цикла положительна, то строим новое паросочетание с большим числом ребер.

Число шагов алгоритма можно уменьшить, если на первых шагах добавлять к подграфу по паре вершин, соединенных ребрами (если это возможно). При этом каждый раз мы будем получать паросочетание с максимальным числом ребер, поскольку в подграфе из 2k вершин число ребер паросочетания не может быть больше k.

Задача определения минимально необходимого числа, размещаемых объектов. Довольно часто возникает задача определения минимально необходимого числа размещаемых объектов с целью обеспечения нормального функционирования всего комплекса объектов. Такая задача относится к типу задач о покрытии множества. Рассмотрим формальную постановку задачи.

Имеется n областей, в которых возможно размещение объектов. Схема возможного размещения может быть задана в произвольном виде: либо в виде фрагмента топографической карты, с указанием квадратов возможного размещения (подобный способ задания легко трансформируется в табличную форму), либо в форме графа и т.п. Введем переменную Xj, которая принимает значение Xj=1, если выбранное решение состоит в том, чтобы в j-ой области расположить точку измерения и Xj=0 в противном случае.

Для характеристики рассматриваемой области введем понятие коэффициентов покрытия Оу, которые принимают значение равное 1 в том случае, когда /-ый объект находится в зоне, покрываемой /-ой областью и 0 - в противном случае.

Так как по условию задачи необходимо определение минимально необходимого числа объектов, то поставленная задача сводится к задаче о полном покрытии множества и может быть записана в следующем виде:

2х ■ ^ тт, 2ах ■ - 1, I = 1, п, х. = 0; 1, / = 1, п. (19)

■ 7 V ■ 7 7 7 ] 7 7 и 7

/=1 /=1

Утверждение 1. Решение задачи (19) эквивалентно решению следующего булева уравнения:

П 2 а.х/=!• (20)

I =1 /=1

Согласно условию задачи необходимо таким образом выбрать двоичные переменные, чтобы выполнялись ограничения вида

п ____

Еа.х . - 1, I = 1, п,

/=1

и доставлялся минимум целевой функции. Понятно, что минимальное значение целевой функции будет только в том случае, если все ограничения будут выполнятся в форме равенств, так как отклонение ограничения в сторону большую единицы будет соответствовать, тому факту, что появятся дополнительные переменные X/ отличные от нуля и увеличивающие значение целевой функции. Следовательно, оптимальному решению будет соответствовать решение при котором все ограничения будут выполняться только в виде равенств, что и будет соответствовать решению булева уравнения вида (20).

Таким образом, задача (19) свелась к необходимости решения булева уравнения (20), которое позволяет минимизировать число переменных Ху , принимающих значение 1 (так как каждое равенство Ху = 1 означает, что в у-ой области расположить

точку измерения). Уравнение (2.1.2) эквивалентно требованию, чтобы каждое из выражений, заключенных в скобки, равнялось 1 (на каждом объекте должно быть установлена хотя бы одна точка измерения).

Упростим выражение (20) с использованием основных соотношений булевой алгебры и, в частности свойства «поглощения».

Если непосредственно раскрыть выражение (20), то получится булевский многочлен т степени. Полученное уравнение будет выполняться тогда, когда одно из слагаемых будет равно 1, а все остальные 0. Таким образом, каждое из слагаемых булева уравнения (20) будет соответствовать одному из возможных вариантов решения поставленной задачи. Но в исходном виде это будет соответствовать тривиальному решению: объекты необходимо поместить в каждый из областей. Поэтому в целях оптимального решения необходимо упростить булево уравнение на основе свойства «поглощения». Это позволяет избавиться от повторяющихся членов в рассматриваемом выражении.

Будем осуществлять упрощение на основе свойства «поглощения» до тех пор, пока ни одна пара скобок каждого из слагаемых в левой части рассматриваемого уравнения не будет содержать выражений с совпадающими членами. Это дает возможность понизить степени некоторых слагаемых булева уравнения. В данном случае показатель степени у переменных Ху будет характеризовать число областей, которые можно охватить, разместив объект в рассматриваемом пункте. Понятно, что чем выше степень у переменной Ху, тем большее число пунктов можно обеспечить воздействием, размещаемого в рассматриваемом пункте объекта. Кроме этого, учитывая, что максимально возможная степень каждого слагаемого в выражении (20) ограничена величиной п, то увеличение степени у одного из сомножителей слагаемого ведет к уменьшению общего числа сомножителей, входящих в данное слагаемое, что будет соответствовать уменьшению общего числа размещаемых объектов. Таким образом, в каждом слагаемом выражения (20) общее число сомножителей будет соответствовать минимально необходимому числу размещаемых объектов, которые необходимо расположить в точках, характеризуемых этими сомножителями.

Утверждение 2. Оптимальным решением задачи (19) будет слагаемое выражения (20), содержащие наименьшее число переменных Ху, но каждая из которых будет в максимально возможной степени. При этом минимально необходимое количество измерений N будет определяться следующим выражением:

я = п-2( - ^ (21)

к=1

где рк - показатель степени сомножителя; ц - число сомножителей.

Если непосредственно раскрыть скобки, то получится многочлен п-ой степени, содержащий все возможны варианты решения поставленной задачи, сводящиеся к тому, что измерения необходимо провести на каждом из рассматриваемых п объектах. Сокращение числа измерений возможно лишь за счет того, что по условиям расположения объектов на некоторых из них возможно проведение одного измерения, которое будет относиться сразу к нескольким объектам. Очевидно, что такие случаи при раскрытии скобок в выражении (20) будут характеризоваться наличием показателей степени выше единицы у переменных Ху, относящимся к объектам, имеющим одно общее измерение.

Рассмотрим применение приведенного алгоритма на примере. Пусть возможная схема размещения объектов задана графом, приведенном на рис. 4.

Для этого случая задача запишется в виде: минимизировать соотношение

Х1+ х2+ х3+ х4+ х5+ х6+ х7+ х8^-тт, при ограничениях на размещение

(х^+ х4+ х7)>1; (х2+ х3+ х8)>1; (х3+ х4+ х2)>1; (х4+ х5+ х!+х3)>1;

(х5+ хб+ х4)>1; (хб+ х7+ х5)>1; (х7+ х8+ х1+хб)>1;

(х8+ х2+ х7)>1;

^=0,1 ]=1,2,...8.

Исходя из условия, что в каждом из пунктов возможно разместить один объект, приходим к необходимости решения следующего булева уравнения:

(х1+ х4+ х7)-(х2+ хэ+ х8)'(хэ+ х4+ х2>(х4+ х5+

х1+хэ)'(х5+ хб+ х4)'(хб+ х7+ х5)‘

•(х7+ х8+ х:+хб)-(х8+ х2+ х7)=1;

Используя утверждение 2, можно найти слагаемое, содержащее переменные Ху в степени, более высокой, чем первая. Если раскрыть скобки, то легко установить, что такими членами будут:

4 3 4 3 4 3

x4 • x7 • x2 + x4 • x7 • x3 + x4 • x7 • x8 +

x,, x2, x„, x<, xA, xn, x

)=1

(22)

где F(xX2,x3,x4,x5,x6,x7,x8)

остаток ис-

ходного многочлена степени п.

Анализируя выражение (22), приходим к заключению, что минимально необходимое количество размещаемых объектов будет равняться трем. При этом возможно только одно решение:

х4 = 1, х7 = 1, х2 = 1, то есть объекты необходимо размещать во втором, четвертом и седьмом пунктах;

Два других решения

х 4 = 1, х7 = 1, х3 = 1, х4 = 1, х7 = 1, х8 = 1,

не приемлемы, так как нарушают ограничения на близость располагаемых объектов.

Анализируя полученные решения можно сформулировать эвристическое правило, позволяющее находить пункты возможного размещения объектов при определении минимально необходимого их числа.

Эвристическое правило 1. В качестве пунктов возможного размещения объектов выбираются вершины максимальной степени (то есть вершины, имеющие максимальное число инцедентных дуг).

Однако следует отметить, что полученное в результате решение в общем случае не будет соответствовать оптимальному размещению объектов при критерии минимизации на размещение или же максимизации эффекта, получаемого от данного размещения объектов. В этом случае приходится решать

соответствующую задача комбинаторного программирования.

В целях получения решения, близкого к оптимальному можно рекомендовать использование следующего эвристического правила:

Эвристическое правило 2. Для размещения объектов пункты выбираются по возрастанию (убыванию) эффекта (затрат) от размещения. Если при этом не удается размесить все объекты, предназначенные для размещения, то размещение необходимо начать с пункта имеющего более низкие характеристики.

Например, если необходимо размесить 4 объекта, причем схема размещения задана графом, приведенным на рис.4. Руководствуясь эвристическим правилом 3 в качестве исходной точки для размещения выбираем точку с максимальным значением эффекта, то есть точку 5 с эффектом 21. Это обеспечивает влияние на точки 4 и 6, которые исключаются из дальнейшего рассмотрения. Следующая точка

1 с эффектом 18. Далее 3 и 8. Полученное решение совпадает с оптимальным и дает эффект 21+18+17+12=68.

Литература

1. Ломиногин А.С., Потапенко А.М., Романченко О.В., Харитонова Т.Б. Выбор оптимального варианта размещения объектов обслуживания населения. / Системы управления и информационные технологии. Науч. - тех. журнал № 3.1 (25), 2006 г. - с. 152 - 157.

2. Баркалов С.А., Курочка П.Н., Романченко О.В. Модель определения необходимого числа пунктов геодезической строительной сети. / Вестник Воронеж. Гос. Техн. ун - та, 2007 г. т3. № 1. - с. 135 - 140.

3. Алферов В.И., Баркалов С.А., Бурков В.Н., Курочка П.Н. и др. Прикладные задачи управления строительными проектами. - Воронеж «Центрально - Черноземное книжное издательство» 2008. - 765 с.

4. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Курочка П.Н. и др. Системный анализ и его приложения. - Воронеж «Научная книга» 2008. - 439 с.

5. Курочка П.Н., Невгод В.Г. Задачи оптимального размещения объектов Современные сложные системы управления: Сб. науч. тр. междунар. конф. Т. 2/Воронеж. гос. арх. С. 258-259.

Воронежское высшее военное авиационное инженерное училище Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Международный институт компьютерных технологий (г. Воронеж)

PROBLEMS OF OPTIMUM PLACING OF RESOURCES OF THE ORGANIZATION N.P. Kurochka, V.N. Shipilov, B.A. Shijanov

The Problem of placing of objects of a various kind make a wide class of problems of discrete optimisation. And fi-zicheskaja the essence of had objects, as a rule, influences what restrictions will be sushche-stvennymi and what criteria of an optimality should be chosen. In given article a number of statements opti-malnogo placings of resources is considered

Keywords: a method, an estimation, system