Задачи оптимального маневрирования космических аппаратов для инспектирования или обслуживания системы тел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 521

В. С. Королев

Санкт-Петербургский государственный университет,

г. Санкт-Петербург, Россия

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО МАНЕВРИРОВАНИЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ ДЛЯ ИНСПЕКТИРОВАНИЯ ИЛИ ОБСЛУЖИВАНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Рассматриваются оптимальные траектории переходов космических аппаратов между орбитами различного типа. Требуется определить множество допустимых решений с учетом возможных ограничений на время и затраты энергии, чтобы выбрать наилучший маршрут для обслуживания. Нужно последовательно выполнить эти условия для всех объектов из выделенной совокупности.

Ключевые слова: небесная механика, математические модели, оптимальные решения.

V. S. Korolev

Saint-Petersburg State University, Saint-Petersburg, Russia

problem optimum

spaceship trajectory to inspect or service

system of body

Optimum trajectories of transitions of spacecrafts between various orbits of space objects are considered. It is required to define a set of admissible decisions taking into account possible restrictions on time and energy expenses. It is necessary to satisfy consistently these conditions for all objects from the

marked-out set.

Key words: celestial mechanics, mathematical models, optimal solutions.

Рассматриваются оптимальные траектории переходов космических аппаратов между орбитами различного типа для космических объектов, которые совершают движение по своим орбитам при заданных начальных данных. Требуется определить множество допустимых решений с учетом возможных ограничений на время и затраты энергии, чтобы выбрать самый удобный и наилучший маршрут для последовательного обслуживания всех объектов заданной группы, то есть порядок выполнения всей последовательности переходов между орбитами.

© Королев В. С., 2015

Теория оптимального управления движением в гравитационном поле зародилась после работ Константина Циолковского (1857-1935), Фридриха Цандера (1887-1933) и Вальтера Гомана (W. Hohmann, 1880-1945) задолго до начала космической эры. За прошедшее время теория бурно развивалась для решения задач практической космонавтики. Было опубликовано много научных работ, в которых изучены различные аспекты и многочисленные случаи маневрирования в окрестности Земли или полеты к Луне, межпланетные перелеты и даже полеты к другим звездам [1; 2]. Появились работы обобщающего характера, которые развивают принципы

В. С. Королев

Задачи оптимального маневрирования космических аппаратов

управления движением космических аппаратов [3; 4]. Теория оптимизации космических маневров дополняется учетом воздействия многих физических факторов и ограничений, которые приводят к усложнению в постановках задач и полученных уравнениях [5-7]. Решение задачи в общем случае не удается получить в явном аналитическом виде, а решение численными методами требует больших затрат времени работы компьютеров при условии высоких требований к точности вычислений. Получены аналитические и численные методы исследования для приближенного решения [8; 9].

Многие задачи оптимального управления движением космических аппаратов в гравитационном поле приводятся к сложным нелинейным уравнениям совокупности необходимых условий [3; 10], которые включают систему обыкновенных дифференциальных уравнений для вектора фазовых переменных, систему сопряженных уравнений Эйлера-Лагранжа, условия максимума функции Понтрягина и уравнения краевых условий. Важнейшей является задача построения энергетически оптимальных траекторий, достигающих заранее поставленных целей при минимальных расходах топлива на каждом этапе перехода или по сумме всех затрат. Другой определяющий фактор - промежуток времени, в течение которого требуется выполнить маневрирование, если он фиксирован или должен быть наименьшим. Управление в процессе маневрирования осуществляется направлением вектора тяги и мощностью двигателя. Во многих задачах присутствуют ограничения на время старта, продолжительность полета и расход топлива, необходимого для перелета.

Развитие вычислительных средств позволяет создавать методы и алгоритмы, анализировать и использовать достаточно точные математические модели движения для космических систем, которые включают в себя выделенную группу управляемых космических аппаратов или спутников Земли, а также естественных небесных тел (Луна, планеты, кометы, астероиды), с учетом особенностей их взаимодействия [5; 7; 11]. Существует возможность подключения различных модулей программного комплекса, которая позволяет реализовать многие варианты или модификации алгоритмов вычислений при выборе пользователем соответствующих параметров. Кроме сил гравитационного взаимодействия

можно учитывать влияние силы сопротивления атмосферы, световое давление, тягу двигателей на активных участках траектории и другие возмущения.

В качестве начального приближения используют известные решения задачи двух тел (для выбранной пары взаимодействующих тел) при мгновенном импульсном изменении вектора скорости, которые определяют новые значения фазовых переменных, когда в процессе управления движением включаются двигатели. Прогнозирование движения с учетом основных действующих сил численными методами позволяет получить декартовы координаты и составляющие вектора скорости x(t), v(t) или соответствующие элементы орбиты k(t) для узловых моментов времени с достаточно высокой точностью, а затем определять положение для произвольного момента времени [6; 12].

Уравнения движения космических аппаратов или спутников Земли с использованием абсолютной системы декартовых координат имеют вид системы дифференциальных уравнений второго порядка

d 2 xt dt2

и dU

—Т Xi =--

г3 dxt

+ P,

i = 1, 2, 3,

для каждого объекта выделенной совокупности. Это можно представить в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме

X = V, V = -ц r 3xt + ft, i = 1, 2, 3,

где х, - декартовы координаты; vi - проекции вектора скорости v на оси координат; ц - гравитационный параметр центрального тела; r - модуль радиус-вектора; U - силовая функция учитываемых возмущений геопотенциала и других гравитационных тел; P - непотенциальные силы при работе двигателя, учете сопротивления атмосферы или других обстоятельств; f - проекции вектора ускорения, вызванного действием всех возмущающих сил.

Уравнения можно записать в виде гамильтоновой системы для случая потенциальных сил:

Р i =

dH

dq_i:

q =

dH

dpi :

i = 1, 2, 3,

или в обобщенной канонической форме [10; 12], когда в правые части добавляют другие возмущения. Здесь ph qt - канонические пере-

19

№ 2 (12) апрель-июнь 2015

менные; H - функция Гамильтона. При отсутствии возмущений движение в центральном гравитационном поле имеет известное решение, которое выражается через постоянные кеплеровы элементы орбиты k = (a, e, i, Q, ю, M0). Здесь перечислены большая полуось, эксцентриситет эллипса, наклон плоскости орбиты, долгота восходящего узла, долгота перицентра и средняя аномалия в начальный момент времени. Кеплеровы элементы орбиты в случае учета возмущений будут функциями времени k(t), которые называют мгновенными или оскулирующими элементами. Они определяют декартовы координаты x(t) или скорости v(t) в произвольный момент времени и удовлетворяют системе уравнений Эйлера [14], которые иногда называют также уравнениями Гаусса:

— = 2а2 (e sin 3 P1 + pr ~lP2), dt

— = p(sin 3 Д + cos 3 P2 + cos EP2), dt

di

— = rcos u dt

P3,

d Q

----= r sin u sin

dt

i P3,

ИШ -lr/ \ • n n n m ,U\i

— = e l( r + p )sin 3 P2 - p cos 3 P I - cos 1-------,

dt 2 1 dt

dM0 = Ve 2 -1 [(p cos 3- 2er)P1 - (r + p)sin 3 P2]. dt

Здесь & - истинная аномалия; u = & + ю - аргумент широты; Pi - компоненты возмущающего ускорения по радиус-вектору, по нормали к нему в плоскости орбиты в направлении движения и по нормали к плоскости орбиты, которые нормированы на модуль интеграла площадей.

Уравнения управляемого движения космического аппарата с учетом действия реактивных сил и других возмущений также можно записать в канонической форме с малым параметром в, где функция Гамильтона H(q, p, и, в) допускает выделение части H0 (q0, p0), порождающей решение в нулевом приближении, и малые возмущения H = Н0 + вНх. Фундаментальная матрица решений системы уравнений возмущенного движения определяется через решения системы уравнений в вариациях. Это позволяет определить выражения для параметров оптимального пере-

хода, в том числе для множителей Лагранжа и функции Гамильтона задачи оптимизации [10; 12]. Решение получается последовательным удовлетворением уравнений, полученных при соответствующей степени малого параметра из общей совокупности условий стационарности.

Оптимальное маневрирование может быть реализовано включением двигателей управляемого космического аппарата при условии:

- неограниченной тяги на сколь угодно коротком промежутке времени (отдельный импульс или последовательность импульсов);

- ограниченной по мощности, но достаточно большой тяги, когда в начальном приближении можно пренебречь изменением положения за время работы двигателя (импульсная постановка);

- малой тяги, но имеющей почти неограниченный ресурс по времени работы (солнечный парус, двигатели на ядерном топливе, электродвигательные установки, ионные двигатели).

В большинстве работ рассматривают задачи маневрирования, в которых требуется:

- изменить размеры начальной орбиты или ее форму (коррекция орбиты или переход между заданными граничными орбитами);

- изменить расположение линии апсид или плоскости орбиты (разворот орбиты);

- попасть в нужную точку пространства в тот момент, когда там же или сколь угодно близко будет находиться нужный объект, в том числе планета, астероид, комета, Луна или космический аппарат (жесткая встреча);

- попасть в нужную точку пространства в тот момент, когда там же или сколь угодно близко будет находиться нужный объект и дополнительным включением двигателей выровнять скорости для сближения и совместного полета (мягкая встреча);

- в процессе движения по переходной траектории оказаться в некоторой окрестности нужного объекта с малой относительной скоростью для его обследования (инспекция) или обслуживания (заправка, ремонт, посадка модуля).

Критерии оптимальности могут быть разными, когда нам требуется:

- обеспечить минимальный расход топлива;

- реализовать переход за наименьшее или заданное время;

В. С. Королев

Задачи оптимального маневрирования космических аппаратов

- обеспечить переход с минимальной или заданной угловой дальностью;

- получить нужные значения абсолютных или относительных параметров движения в конечной точке маневра для встречи;

- обеспечить наибольшее количество проинспектированных объектов.

При этом могут существовать дополнительные ограничения:

- на время движения по переходной траектории;

- на время ожидания идеальных условий (время старта) для перехода с учетом согласования фаз движения по граничным орбитам или условий наблюдаемости;

- на количество включений двигателей (число импульсов);

- на время работы двигателя при отдельных включениях;

- на общий расход топлива при маневрировании;

- на параметры переходных орбит.

Особенности постановки задачи маневрирования в работе:

- необходимо выбрать маршрут, то есть порядок выполнения всей последовательности переходов для инспекции или обслуживания многих космических объектов, которые совершают движение по своим орбитам при заданных начальных данных;

- при выборе основного критерия оптимальности по расходу топлива необходимо дополнительно учитывать ограничения;

- плоскости орбит всех объектов и направления движения совпадают;

- рассматривается в начальном приближении импульсная постановка реализации отдельных переходов.

Энергетически оптимальные решения задач маневрирования без ограничений времени дают глобально оптимальные решения, однако они могут потребовать очень больших промежутков времени ожидания наступления моментов, благоприятных для старта и выхода на оптимальные орбиты перехода для встречи с другим объектом. Энергетически оптимальные переходы с учетом ограничений времени движения по орбитам дают лишь локально оптимальные (относительно времени старта) решения. Как правило, чем больше возможная отсрочка старта, тем более оптимальное решение мы можем получить и при свободном выборе времени ожидания реализуется абсолютно оптимальное решение. Отметим,

что задачи с учетом времени движения по орбитам существенно сложнее для исследования. Ограничения или приоритеты в задачах оптимизации часто играют решающую роль, а значения параметров находятся на границе допустимой области.

Неожиданные, хотя и очевидные результаты:

- самый оптимальный по расходу режим маневрирования для обслуживания или инспекции - это отсутствие маневров (включений двигателей), если все поставленные задачи можно решить, продолжая движение по начальной (удачно выбранной) орбите, что само по себе является сложной задачей;

- возможно существование оптимальных маршрутов, когда отдельные этапы и переходы между двумя орбитами не являются оптимальными;

- возможно существование оптимального маршрута частичного обслуживания выборки из общего множества объектов;

- возможно существование дополнительных критериев (кроме основных требований быстродействия и расхода) или приоритетов, когда нужно обслуживать некоторые объекты в первоочередном порядке.

При необходимости обслуживания большого числа объектов можно использовать принцип декомпозиции, который применяли для решения задач перелета к Луне или планетам солнечной системы. Переходная траектория состыковывалась из кусочков орбит движения в разных зонах притяжения [3; 8], каждую из которых в нулевом приближении считают центральным гравитационным полем, а действием других сил пренебрегают. В этом случае движение происходит по одному из конических сечений - окружности или эллипсу, параболе или гиперболе. В точках сопряжения конечные данные переходят в начальные для нового участка орбиты. В нашем случае конечные и начальные значения на соседних участках отличаются импульсным изменением вектора скорости, величину и направление которого мы считаем управлением.

Одноимпульсный переход возможен в том случае, если начальная и конечная орбиты имеют общую точку. Он осуществляется путем приложения управляющего импульса в этой общей точке. При старте с круговой орбиты получим движение по эллипсу

21

№ 2 (12) апрель-июнь 2015

■ ■ ИССЛЕДОВАНИЯ

Havko______________________________________

Ж ГРАДА

Если начальная скорость близка к параболической, которая обеспечивает уход на бесконечность из зоны притяжения, то в качестве начального приближения можно выбрать соответствующую параболу [13]. Такой маневр может потребоваться, если учитываются существенные ограничения на время перехода на следующую орбиту, а также при переходе с круговой орбиты в окрестности Земли на траекторию полета к Луне или на межпланетную траекторию.

22 Переходы между непересекающими-

ся орбитами могут быть осуществлены путем приложения двух или более импульсов. В этом случае в течение определенного времени космический аппарат движется по переходной орбите. Схемы таких переходов весьма многочисленны и разнообразны, так как они определяются назначением маневра и параметрами орбит.

Время движения между двумя точками орбиты можно определить из решения уравнения Кеплера [4; 14]:

Е - е sin E = M = n(t - t0).

Если заданы начальное положение, конечное положение и желаемое время перелета между двумя точками граничных орбит, то решение проблемы Ламберта позволяет определить параметры нужной переходной орбиты с учетом изменения скорости в начальной и конечной точках. Большая полуось является единственным неизвестным параметром, а время перелета можно записать как функцию большой полуоси. Теорема Ламберта утверждает, что время, которое требуется для перелета, зависит только от большой полуоси, суммы двух радиусов и расстояния между начальной и конечной точками (длина хорды) [7; 14]. Если три величины известны, то четвертая может быть определена из уравнения

t -t0 =

[ 2k% + ( E-e sin E)-(E0-e sin E0) ].

Аппроксимация возмущений кусочнопостоянными функциями приводит задачу к последовательному сопряжению участков траекторий, полученных при выбранной параметризации промежутков движения и действующих импульсов. Для нахождения изменений оскулирующих элементов k(t) возмущенного движения можно использовать

дифференциальные уравнения Эйлера [14], где правые части уравнений определяются текущими значениями элементов и проекциями возмущающих ускорений на оси орбитальной системы координат.

Если рассматривается задача обслуживания выделенной системы космических объектов, то можно по начальным данным определить их траектории движения в нулевом приближении, затем с учетом возмущений получить движение активного космического аппарата в виде функций времени, состыкованных в граничных точках, если выбран порядок следования (маршрут) и моменты переключения:

Га0),t е [t0,fj],

ra {t) = \rka (t),f е \tk _j, tk ], tk е [tQ, T]. rN {t),t е [tN-1, tN ],

Особенность задачи в том, что нужно последовательно выполнить эти условия для всех объектов из выделенной совокупности. Но пока мы заняты реализацией встречи для одного объекта, остальные меняют свое относительное положение и скорость в зависимости от выбора маршрута и движения космического аппарата на очередном этапе.

Если условия сближения с очередным объектом не требуют изменения скорости, то можно продолжать движение до встречи со следующим объектом.

Может показаться, что проблема маршрута сводится к простому перебору всех возможных вариантов перехода между заданными граничными орбитами после оценки затрат и времени для каждой пары орбит или к простой задаче управления с линейным функционалом и линейными ограничениями. Это можно использовать для решения в нулевом приближении. Но задача будет нелинейной даже в нулевом приближении, хотя приводится к системе конечных уравнений.

Другой способ определения движения в гравитационном поле с учетом действующих возмущений связан с регуляризирующим преобразованием уравнений движения и переходом к почти линейным уравнениям в конфигурационном пространстве увеличенной размерности или каноническим уравнениям для регулярных элементов. Замена переменных для фазовых координат и независимой пере-

В. С. Королев

Задачи оптимального маневрирования космических аппаратов

менной в пространственном случае устраняет особенности в исходных уравнениях и приводит уравнения движения к почти линейному виду [9; 11]. Полученные уравнения можно привести к каноническому виду для специальных регулярных элементов [12].

Библиографические ссылки

1. Ивашкин В. В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на расстояния до планет. М. : Наука, 1975.

2. Ильин В. А., Кузмак Г. Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов. М. : Наука, 1976.

3. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л. : Изд-во ЛГУ, 1972.

4. Охоцимский В. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М. : Наука, 1990.

5. Коваленко А. Н., Королев В. С. Задача оптимизации траекторий для перехвата и отклонения опасных для Земли астероидов с учетом ограничений на время или импульс // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 19. СПб. : Изд-во СПбГУ, 2003. С. 242-247.

6. Королев В. С. Определение движения навигационных спутников с учетом возмущений // Вестник

С.-Петерб. ун-та; сер. 10. 2004. Вып. 3. С. 39-46.

7. Королев В. С. Моделирование оптимальных траекторий космических аппаратов при наличии ограничений // Управление в морских и аэрокосмических системах : материалы конференции. СПб. : ОАО «Концерн ЦНИИ Электроприбор», 2014. C. 446-450.

8. Королев В. С. Оптимизация и вычисление траекторий методом возмущенных конических сечений // Вопросы механики и процессов управления. Л. :

Изд-во ЛГУ, 1988. C. 67-72.

9. Королев В. С. Оптимальные траектории перехода космических аппаратов между заданными орбитами различного типа // Технические науки - от теории к практике. № 3 (28). Изд. «СибАК», 2014. С. 62-70.

10. Новоселов В. С., Королев В. С. Аналитическая механика управляемой системы. СПб. : Изд-во СПбГУ,

2005.

11. Королев В. С. Задачи оптимального инспектирова- 23 ния астероидов космическим аппаратом // Шестые Поляховские чтения : избранные труды международной научной конференции по механике. М. :

Изд. Балабанов, 2012. С. 123-126.

12. Новоселов В. С., Королев В. С. Об управлении возмущенной гамильтоновой системой // Автоматика-96 : тезисы доклада конференции. Т. 1.

СевГУ Севастополь, 1996. С. 74-75.

13. Королев В. С., Олехова Е. Ф. О построении оптимальной траектории встречи на компланарной круговой орбите при наличии сильных ограничений на время движения // Математические методы решения инженерных задач. М. : МО РФ, 2005. C. 98-104.

14. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. М. : Наука, 1968. 800 с.

Статья поступила в редакцию 23.06.2015 г.