CC BY
117
A A UNi
/т те>
UNIVERSUM:
технические науки
АВИАЦИОННАЯ И РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА
КОМПЛЕКСНЫЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ
Королев Владимир Степанович
канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент факультета ПМ-ПУ, Санкт-Петербургский Государственный Университет, 198504, Россия, Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский пр. 35
E-mail: [email protected]
Поляхова Елена Николаевна
канд. физ.-мат. наук,, доцент, доцент мат.-мех. факультета, Санкт-Петербургский государственный университет, 198504, Россия, Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский пр. 28
E-mail: [email protected]
Потоцкая Ирина Юрьевна
канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент факультета ПМ-ПУ, Санкт-Петербургский Государственный Университет, 198504, Россия, Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский пр. 35
E-mail: [email protected]
INTEGRATED APPROACH TO THE PROBLEM OF MOTION SPACECRAFT WITH SOLAR SAILS
Vladimir Korolev
candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor,
Saint-Petersburg State University, 198504, Russia, St. Petersburg, Peterhof, Universitetskij ave., 35
Elena Polyakhova
candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor,
Saint-Petersburg State University, 198504, Russia, St. Petersburg, Peterhof, Universitetskij ave., 28
Irina Pototskaya
candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor,
Saint-Petersburg State University, 198504, Russia, St. Petersburg, Peterhof, Universitetskij ave., 35
АННОТАЦИЯ
Рассматриваются математические модели динамики космических аппаратов с солнечным парусом для управления орбитальным движением и вращением конструкции при условии устойчивости ориентации паруса относительно потока солнечных лучей.
Направление вектора тяги и моменты сил относительно корпуса космических аппаратов можно менять, если величина или свойства поверхности солнечного паруса и расположение элементов относительно аппарата может изменяться с использованием дополнительных устройств. Раскрытие паруса на круговой гелиоцентрической орбите Земли приведет к тому, что световое давление частично скомпенсирует притяжение Солнца.
Поворачивая парус, мы получаем возможность управлять направлением вектора тяги. Однако за это приходится платить ее величиной. Если нормаль плоского паруса перпендикулярна потоку лучей, то парус вообще не даст тяги. При исследованиях учитывается поведение решений в окрестности положений возможного равновесия и стационарных состояний движения, которые описывают процессы с учетом возмущений. Для управления движением космических аппаратов можно менять свойства, размеры и относительное положение паруса для реализации орбитального движения или перехода на заданную конечную орбиту. Представляют интерес особые уникальные свойства парусной тяги. К ним в первую очередь следует отнести возможность функционирования в околосолнечных областях.
Библиографическое описание: Королев В.С., Поляхова Е.Н., Потоцкая И.Ю. Комплексный подход к проблеме движения космического аппарата с солнечным парусом // Universum: Технические науки: электрон. научн. журн. 2016. № 10(31) . URL: http://7universum. com/ru/tech/archive/item/3811
ABSTRACT
Mathematical models of the dynamics of spacecraft with a solar sail to control the orbital motion and rotation of the structure, provided the stability of the sail orientation relative to the flow of sunlight.
The direction of the thrust vector and force moments with respect to the spacecraft body can be changed if the value or surface properties of the solar sail and arrangement of the elements against the main body may vary using additional devices. Disclosure of the sails on a circular heliocentric orbit of the Earth will lead to the fact that the light pressure partially compensate attraction of the sun.
Turning the sail, we are able to control the direction of the thrust vector. However, it comes at a price by its value. If normal flow is perpendicular to the sail plane rays, the sail does not give traction. During research the behavior of solutions is taken into account in the vicinity of virtual stability conditions and stationary states of the motion which describe processes including disturbances.
To control the movement of satellites, you can change the properties, the size and relative position of the sails for the implementation of the orbital motion or move to a predetermined final orbit. Unique special properties of sailing traction are of the great interest. They primarily include the possibility of functioning in an eye-solar region.
Ключевые слова: космическая динамика, световое давление, солнечный парус, управление движением.
Keywords: spaceflight dynamics, radiation pressure, solar sail, control motion.
Полеты космических аппаратов (КА) с использованием энергии светового давления (космические парусники, КП) могут использоваться для полетов к большим и малым планетам, для встречи с астероидами или кометами, для формирования особых орбит в окрестности Земли или Солнца [1, 2, 6, 9, 13-17]. Предлагаются даже фантастические проекты полета к ближайшей звезде при поддержке энергии лазера, который наполнит паруса и поможет разогнать до огромной скорости, сравнимой со скоростью света.
Принцип движения в космосе под солнечным парусом базируется на эффекте светового давления. Использовать это для космических полётов предложил Ф.А. Цандер в 1924 г., который разрабатывал основы теории движения КА и конструкции солнечных парусов.
За прошедшие годы появились многочисленные варианты моделей и новые формы солнечных парусов. Если парус представляет собой плоское зеркало с идеальными отражательными свойствами, который установлен перпендикулярно потоку солнечных лучей, то сила Ж светового давления окажется направленной вдоль потока излучения е. Если реальный парус расположен под углом к потоку, то вектор силы будет направлен почти по нормали к плоскости паруса с хорошим коэффициентом отражения. Величина светового давления на зеркало при этом окажется почти вдвое больше, чем на черный парус равной площади, который полностью поглощает излучение.
Раскрытие паруса на круговой гелиоцентрической орбите Земли приведет к тому, что световое давление частично скомпенсирует притяжение Солнца.
Световое давление можно моделировать фотогравитационным полем [14], которое действует вместе с силой тяготения при движении тел в межпланетном пространстве Солнечной системы. Если поверхность паруса имеет симметрию и точка приложения равнодействующей совпадает с центром масс конструкции, то любое начальное положение относительно потока света будет положением безразличного равновесия или покоя. Действие других сил,
даже малых по величине, может создавать возмущающий момент, который вызывает вращение относительно центра масс. Потребуется использовать дополнительное управление, которое будет компенсировать возмущения или удерживать нужное положение паруса относительно светового потока.
Специальные конструкции паруса могут решать такие задачи управления и устойчивости. Направление вектора тяги и моменты сил относительно основного корпуса можно менять, если величина или свойства поверхности солнечного паруса, а также расположение элементов относительно КА может изменяться с помощью дополнительных устройств. Это позволит выбирать оптимальное управление в процессе маневрирования [2, 7, 9-12].
Изменения декартовых координат центра масс КА в абсолютной системе отсчета с учетом основных действующих сил гравитации и центрального поля при движении в пространственном случае можно описывать уравнениями второго порядка
d x ц dU „ - + Гт X =-+ P,
dt2
dx..
i = 1,2,3,
(1)
Здесь использованы обозначения: х - декартовы координаты, г - модуль радиус-вектора, ¡л - гравитационный параметр, и - силовая функция учитываемых возмущений, Р{ - вклад непотенциальных сил и управления, которые включают проекции сил светового давления и реактивных двигателей на активных участках движения.
Вклад светового давления определяется углом отклонения вектора нормали п от направления светового потока е. Если плоский зеркальный парус расположен под углом 3 к лучам, то передаваемый импульс будет направлен почти перпендикулярно светоотражающей поверхности. Часть импульса, направленную параллельно парусу, фотоны сохранят у себя, так что парусу достанется меньше, чем при полном раскрытии к потоку. Величина светового давления уменьшается, а направление будет почти совпадать с нормалью к парусу, отложенной с теневой
А'
UNIVERSUM:
технические науки
его стороны. Поворачивая парус, мы получаем возможность управлять направлением вектора тяги. Однако за это приходится платить величиной силы. Если нормаль плоского паруса перпендикулярна потоку лучей, то парус не даст никакой тяги. Проекции вектора на радиальное и трансверсальное направления будут влиять на изменение параметров орбиты. Проекция на нормаль к плоскости орбиты позволит изменять ее наклон относительно первоначального положения. Величину ускорения определяют отношение площади паруса к массе конструкции и свойства поверхности.
Уравнения движения КА в центральном гравитационном поле с учетом возмущений может быть представлена в различном виде при выборе удобной системы отсчета: прямоугольные декартовы, сферические или цилиндрические координаты, а также кеплеровы элементы (а, е, г, О, а, М0). Здесь перечислены большая полуось а, эксцентриситет эллипса е , наклон плоскости орбиты г, долгота восходящего узла О , долгота перицентра а и средняя аномалия М0 в начальный момент времени /0.
Движение при отсутствии возмущающих сил определяется начальными значениями радиус-вектора, вектора скорости и гравитационным параметром центрального тела. Они определяют постоянные кеплеровы элементы, и позволяют вычислять декартовы координаты х(1) и скорости в произвольный заданный момент времени [4, 6, 12]. Время движения между двумя точками орбиты можно определить из уравнения Кеплера.
Движение при учете возмущений можно представить оскулирующими элементами к(/) = (а,е,г,О, а,М0), которые будут функциями времени. Можно использовать дифференциальные уравнения Эйлера, где правые части уравнений определяются текущими значениями элементов и проекциями возмущающих ускорений на оси орбитальной системы координат:
— = 2а2 (e sin3 R + pr-R), dt 1 2
d e
— = p(sin3R + cos3P2 + cos EP2),
d 1 OD
— = r cos 3R,
dt 3
d Q
(2)
dt
= r sin u sin 1 i R,
d ® -1r/ ч • л r> n r>i d Q -= e [(r + p)srn3P2 -pcos3R]-cosi-,
dt dt d M =Ve-2 -1[(p cos 3 - 2er )R - (r + p) sin 3P2 ].
dt
Третье и четвертое уравнение в системе (2) показывают, что положение орбиты сохраняется при отсутствии проекции сил на нормаль к плоскости.
Если космический аппарат со сложенным солнечным парусом уже доставлен на орбиту движения
вокруг Земли или Солнца, то раскрытие паруса обеспечит КА двигателем малой тяги и практически неограниченный запас энергии. Однако у паруса есть существенный недостаток: в отличие от реактивных двигателей, мы не можем использовать его тягу в любом направлении с одинаковой эффективностью. Необходимо ориентировать парус специальным образом, чтобы добиться желаемого изменения параметров орбиты. Повернув парус под углом так, чтобы фотоны отскакивали назад относительно направления орбитального движения спутника, мы получим силу, постепенно ускоряющую КА, то есть сможем двигаться по раскручивающейся спирали. При развороте паруса в другую сторону получим торможение и уменьшение расстояния до Солнца.
Чтобы изменить наклон плоскости орбиты КА с помощью паруса, необходимо направить отражаемый солнечный поток перпендикулярно начальной плоскости. Еще более интересные маневры можно выполнять с помощью солнечного паруса в околоземном пространстве, так как направление распространения светового излучения в этом случае не совпадает с направлением на центр притяжения. Алгоритмы управления многочисленны и определяются параметрами начальной и конечной орбит или назначением маневра.
Основные проблемы реализации полетов КА с солнечным парусом:
• создание легкого и отражающего полимерного материала для парусов,
• упаковка паруса в контейнер для доставки в космос в компактном виде,
• ограничения на полную массу корабля с парусом для вывода в космос,
• развертывание паруса большой площади в рабочее положение,
• формирование конструкции поддержки элементов паруса,
• обеспечение требуемой начальной ориентации элементов паруса,
• управление движением и устойчивость заданного положения в полете.
Только при условии решения всех проблем можно говорить о реальности космического полета и маневрирования. При этом необходимо обеспечить управление самим парусом, изменяя нужным образом его размеры, форму или положение относительно основного корпуса. Можно использовать элементы паруса, которые могут изменять коэффициент отражения поверхности по заданной программе. Удачной была признана конструкция разрезного паруса наподобие вертолетного винта, каждая лопасть которого раскатывается из контейнера радиально и может поворачиваться относительно оси крепления на заданный угол.
Благодаря многочисленным разработкам сейчас можно выбирать из огромного разнообразия моделей парусов [1, 13, 16, 19]. Это пленочные паруса (круглые, квадратные, веерные), паруса-парашюты, надувные баллоны, паруса типа вертолетного винта, лепестковые паруса, паруса сотовой конструкции на
базе отдельных зеркальных модулей, системы пленочных передаточных зеркал и другие. Эффективность обычных парусов всегда связана с углом их ориентации к лучам. В системе зеркал можно устанавливать такой ход лучей, чтобы направления падающего и отраженного световых потоков мало зависели друг от друга, создавая возможность для заданного направления силы тяги. Это потребует дополнительного расхода топлива микродвигателей.
Самой удобной представляется конструкция паруса, которая обеспечивает контроль за установкой нужной ориентации и управление. В этом плане одним из первых перспективных вариантов солнечного паруса была предложена двухстворчатая конструкция [9-11, 19]. Построив и разместив на орбите такие зеркала определенных пропорций, мы получим саморегулирующуюся по ориентации на Солнце конструкцию. Более сложные варианты и модели позволяют управлять орбитальным и вращательным движением КА с солнечным парусом. Создание космического парусника, использующего давление солнечного света, остается делом будущего. Потребуются сложные конструкторские решения и новые космические технологии.
Силы давления светового потока пропорциональны площади поверхности элементов паруса, коэффициенту отражения, и обратно пропорциональны квадрату расстояния до Солнца. Они зависят от направления вектора нормали к поверхности элемента относительно радиального направления:
(3)
г
Устойчивость обеспечивают моменты сил давления относительно центра масс, которые могут менять величину при изменении параметров или малых отклонениях от нужного направления:
м=^А><т)
(4)
Главный вектор сил и сумма моментов всех сил, действующих на парус определяют движение центра масс КА и вращение относительно оси орбитальной системы координат, которая сопровождает его движение по орбите в центральном поле. Главный вектор момента сил давления, действующих на все элементы, может отличаться от нуля, если элементы имеют разные площади или углы относительного расположения. Это дает возможность поворота в обратном направлении в случае изменения ориентации. Расположение элементов можно менять с помощью электродвигателей, если поддерживать их работоспособность на основе батареи или солнечных панелей.
Представляют интерес особые уникальные свойства именно парусной тяги. К ним в первую очередь следует отнести возможность функционирования в околосолнечных областях, где парус одновременно может играть роль не только высокоэффективной
энергетической установки, но и надежного термостойкого экрана, защищающего от перегрева приборный отсек. Такая конструкция окажется незаменимой для проведения исследования околосолнечного пространства и наблюдения за солнечными пятнами с близкого расстояния, в том числе за пятнами на полюсах Солнца относительно плоскости эклиптики. Имеется также возможность создания гелиосинхрон-ной орбиты ниже обычной гравитационной. Раскрытие паруса изменит силу притяжения и радиус круговой орбиты. При этом КА как бы зависает над солнечным пятном по аналогии с полетом геостационарного спутника. Возрастание динамической эффективности солнечного паруса при приближении к Солнцу позволяет считать его перспективным на таком маршруте.
Для околоземных орбит или космических маневров возможности разнообразны. На геостационарной орбите плотность размещения КА приближается к критической, но солнечный парус сможет оказать неоценимую услугу, чтобы КА не мешали друг другу работать. Использование КП для вывода и работа на геосинхронной стационарной широтной орбите позволяет разгрузить или дополнить основную. Плоскость такой орбиты параллельна плоскости экватора, но находится на ненулевой широте. На таких широтных орбитах можно формировать новые комплексы для размещения спутниковых систем.
Особой задачей становится управление КА с использованием солнечного паруса в качестве двигательных установок малой тяги. Теория оптимального управления приводит к сложным постановкам задачи для решения полученных уравнений математических моделей, но позволяет определять возможное управление.
Наличие даже малых возмущений периодического или случайного характера может изменить характер решений таких систем. Поведение и свойства решений динамических систем, моделирующих управляемые процессы, определяют прежде всего выбранные управляющие воздействия [1-3, 6, 9, 11]. При этом анализируется условия полученной устойчивости [5, 8, 10, 18] и методы исследования нелинейных непрерывных или дискретных систем, которые могут определять качество движений: абсолютная или асимптотическая устойчивость, по первому приближению или в целом.
Система называется устойчивой, если при выведении ее внешними воздействиями из состояния равновесия или покоя она в него возвращается после прекращения при условии, что система не испытывает катастрофических деформаций. Если после прекращения внешнего воздействия система не возвращается к состоянию равновесия, то она является неустойчивой. При определении движения произвольной механической системы часто требуется оценить устойчивость и управляемость состояний движения. Поведение динамической системы называется устойчивым по Ляпунову, если малые отклонения в начальных данных фазовых переменных от опорного, выбранного для исследования, решения системы уравнений приводят к малым уклонениям в
UNIVERSUM:
технические науки
дальнейшем. Если отклонение со временем стремится к нулю, то опорное решение называют асимптотически устойчивым.
Под неустойчивостью понимают способность систем при действии весьма малых возмущений получать большие перемещения или менять характер движения. В том числе возможно безразличное положение равновесия, которое не является устойчивым, если начальное значение скорости отличается от нуля. Рассматривается также орбитальная устойчивость траекторий или устойчивость по части переменных [5, 8, 22, 23]. В этом случае оказывается, что фазовая траектория или её проекция на соответствующее подпространство остается в достаточной близости от опорной траектории, хотя изображающие точки могут сколь угодно разбегаться, удаляясь друг от друга со временем. Периодическое решение системы не бывает асимптотически устойчивым. Если уравнения динамики записаны в каноническом виде и для них существует п первых интегралов, то по теореме Арнольда [5] все фазовые траектории лежат на п -мерном торе, а движение системы является условно периодическим. Это множество называют равновесным или стационарным режимом движения системы.
В поле действия геопотенциала без учета возмущающих сил существуют устойчивые положения равновесия для тела при сохранении ориентации главной оси эллипсоида инерции по направлению к центру притяжения.
Для возможных колебаний спутника в плоскости при сохранении ориентации оси ортогонально плоскости орбиты закон изменения кинетического момента с учетом действия только гравитационного поля Земли [3, 7, 9, 11, 21] приводит к уравнению
1_3=М__ =3а'(1у -/>шЛсовА (5)
Обозначим а2 = Ъа\(!у - 1х)12 -1 и новую переменную ф = 23 . Тогда приходим к обычным уравнениям колебаний математического маятника. Если ограничиваться первым приближением, то уравнение колебаний КА при возмущениях или отклонениях от положения равновесия приводятся к виду
ф = -со' sin^ + р(ф).
(6)
приближения не зависит от начальных условий. Получаем орбитальную устойчивость движения или устойчивость по части переменных. Для гашения малых колебаний в окрестности положения равновесия можно использовать демпфирующее действие дополнительных гироскопических устройств или двигателей.
Учет действия светового давления на парус КА приводит к появлению других условий устойчивости, которые можно использовать для управления движением. Если поверхность паруса представляет собой плоскость, то существует центр приведения. Суммарное действие сил можно заменить одной равнодействующей, приложенной в таком центре. В случае, когда центр масс тела КА находится на линии действия результирующей, момент сил относительно центра масс равен нулю и тело остается в покое. Действие возмущений можно компенсировать, изменяя размеры или отражательные свойства элементов паруса КА, а также их взаимное расположение. Это создает дополнительные моменты сил, которые можно использовать как управления.
J(f> + кх sin ф = к2и(8ф, SS).
(7)
которое на следующем шаге приближений превращается в уравнение гармонических колебаний или гармонического осциллятора. Период линейного
Если рассматривается движение в окрестности Земли, то направления основных сил не совпадают. В первом приближении можно полагать, что световой поток определяет почти постоянную силу, которая проходит по прямой через два главных тела системы Солнце-Земля-КА в рамках ограниченной круговой задачи трех тел, а затем учитывать поправки для управления ориентацией при изменениях углового положения или формы паруса.
Таким образом, в уравнения движения будет входить постоянное возмущение, которое легко учитывать. Особый интерес представляет случай размещения КА в окрестности точек либрации Эйлера-Ла-гранжа [18], где малые силы действующих возмущений будут определять характер движения.
Теория оптимального управления приводит к сложным постановкам задачи для решения дополнительно полученных уравнений математических моделей, которые могут использовать принцип максимума Понтрягина или уравнение Беллмана [12, 15] для различных случаев и задач. Существуют аналитические и численные методы исследования и анализа основных свойств уравнений, которые позволяют получать точные или приближенные решения всей совокупности необходимых условий экстремума функционала качества и построения оптимальных траекторий.
Список литературы:
1. Егоров В.А. Помазанов М.В. Солнечный парус: принципы конструкции. Управление и перелеты к астероидам. - М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, 1997, 087.
2. Карпасюк И.В., Шмыров А.С. Управление космическим аппаратом с солнечным парусом на низкоширотной околокруговой орбите // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1999. Вып. 4, № 22. - С. 89-93.
3. Королев В.С. Об управлении движением механической системы при переменном распределении массы тел // Известия РАЕН, серия МММИУ, 2000, т. 4. - С. 108-117.
4. Королев В.С. Определение движения навигационных спутников с учетом возмущений // Вестник С.-Петерб. ун-та. Серия 10. 2004. Вып. 3-4. - С. 39-46.
5. Королев В.С. Устойчивость решений динамических систем по части переменных // Естественные и математические науки в современном мире. 2014, № 19, с. 14-22.
6. Королев В.С. Задачи оптимального маневрирования космических аппаратов для инспектирования или обслуживания системы тел // Исследования Наукограда, 2015. № 2(12). - С. 18-23.
7. Королев В.С., Кравчук Р.Ю. Управление вращательным движением космического аппарата при переменном распределении массы // Научно-технический Вестник ИТМО. 2011. Вып. 3. - С. 62-67.
8. Королев В.С., Потоцкая И.Ю. Условия устойчивости состояний движения // Инновации в науке. 2015. № 51-1. - С. 29-43.
9. Королев В.С., Поляхова Е.Н. Задачи управления космическим аппаратом с солнечным парусом // Технические науки - от теории к практике. 2016. № 55. - С. 18-31.
10. Королев В.С., Поляхова Е.Н. Проблемы устойчивости движения космического аппарата с солнечным парусом // Технические науки — от теории к практике. 2016. № 56. - С. 21-34.
11. Королев В.С., Поляхова Е.Н. Управление солнечным парусом космического корабля // Материалы XIII Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» / Ред. В.Н. Тхай. -М: ИПУ РАН. 2016. - С. 294-297.
12. Новоселов В.С., Королев В.С. Аналитическая механика управляемой системы. - СПб.: изд. СПбГУ, 2005. -298 с.
13. Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом: проблемы и перспективы. - М.: Наука, 1986. -304 с.
14. Поляхова Е.Н. К столетию фотогравитационной небесной механики // Вестник С. -Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 4, № 22. - C. 89-118.
15. Поляхова Е.Н., Вьюга А.А., Титов В.Б. Орбитальный космический полет в задачах с подробными решениями и в числах: Учебное пособие. - М: ЛЕНАНД. 2016. - 256 с.
16. Поляхова Е.Н., Коблик В.В. Солнечный парус - фантастика или реальность космоплавания? - М.: ЛЕНАНД, 2016. - 228 с.
17. Поляхова Е.Н., Старков В.Н., Степенко Н.А. Полеты космического аппарата с солнечным парусом вне плоскости эклиптики. // Устойчивость и процессы управления. Материалы конференции. 2015. - С. 91-92.
18. Поляхова Е.Н., Шмыров А.С., Шмыров В.А. О задаче стабилизации орбитального движения космического аппарата с солнечным парусом в окрестности L1. // Устойчивость и процессы управления. Материалы конференции. 2015. - С. 149-150.
19. Kirpichnikov S.N., Kirpichnikova E.S., Polyakhova E.N., Shmyrov A.S. Planar heliocentric roto-translatory motion of a spacecraft with a solar sail of complex shape. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Vol. 63, No. 3-4, 1995, - P. 255-269.
20. Koblik V.V., Polyakhova E.N., Sokolov L.L., Shmyrov A.S. Controlled solar sailing transfer flights into near-sun orbits under restrictions on sail temperature // Cosmic Research. 1996. V. 34. № 6. - P. 572-578.
21. Korolev V.S. Problems of spacecraft multi-impulse trajectories modelling // International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov. 2015. - P. 91-94.
22. Korolev V.S., Pototskaya I.Yu. Integration of dynamical systems and stability of solution on a part of the variables. Applied Mathematical Sciences, V. 9(15), 2015. - P. 721-728.
23. Korolev V.S., Pototskaya I.Yu. Problems of stability with respect to a part of variables // International Conference on Mechanics, Seventh Polyakhov's Reading, 2015. C. 7106739. P. 1-4.
24. Kulakov F., Alferov G., Efimova P. Methods of remote control over space robots // 2015 International Conference on Mechanics - Seventh Polyakhov's Reading, 2015. С. 7106742.
25. Martyusheva A., Oskina K., Petrov N., Polyakhova E. Solar radiation pressure influence in motion of asteroids, including near-earth objects // International Conference on Mechanics - Seventh Polyakhov's Reading, 2015. С. 7106756.
References:
1. Egorov V.A., Pomazanov M.V. Solar sail: Principles construction. Control and flights to asteroids. Moscow, Preprint IPM im. M.V. Keldysha Publ., 1997, 087. (In Russian).
2. Karpasyuk I.V., Shmyrov A.S. Spacecraft control with a solar sail on the low-latitude near-circular orbit. Vestnik S.-Peterb. un-ta [Bulletin of St. Petersburg. Univ]. Ser. 1. 1999. Vol. 4, № 22. pp. 89-93. (In Russian).
3. Korolev V.S. On the control of the movement of the mechanical system with variable mass distribution bodies. Izvestiia RAEN [Proceedings of the Academy of Natural Sciences]. Series MMMIU, 2000. pp. 108-117. (In Russian).
UNIVERSUM
технические науки
4. Korolev V.S. Determining movement of navigation satellites in view of disturbances. Vestnik S.-Peterb. un-ta [Bulletin of St. Petersburg. Univ]. Series 10. 2004. Vol. 3-4. pp. 39-46. (In Russian).
5. Korolev V.S. Stability of solutions of dynamical systems on the hour and minute variables. Estestvennye i ma-tematicheskie nauki v sovremennom mire [Natural and Mathematical Science in the modern world]. 2014, № 19. pp. 14-22. (In Russian).
6. Korolev V.S. Problems of optimal maneuvering spacecraft for inspection or maintenance of the system of bodies. Issledovaniia Naukograda [Research Science City], 2015. № 2 (12). pp. 18-23. (In Russian).
7. Korolev V.S., Kravchuk R.Y. Control rotational motion of the spacecraft with a variable mass distribution. Nauchno-tekhnicheskii Vestnik ITMO [Scientific and Technical Bulletin of ITMO]. 2011. Vol. 3. pp. 62-67. (In Russian).
8. Korolev V.S., Pototskaya I.Y. Terms of the stability of motion states. Innovatsii v nauke [Innovations in science]. 2015. № 51-1. pp. 29-43. (In Russian).
9. Korolev V.S., Polyakhova E.N. Control problems spacecrafts with a solar sail. Tekhnicheskie nauki - ot teorii k praktike [Engineering - From Theory to Practice]. 2016. № 55. pp. 18-31. (In Russian).
10. Korolev V.S., Polyakhova E.N. Problems of stability of the spacecraft with a solar sail. Tekhnicheskie nauki - ot teorii k praktike [Engineering - from theory to practice]. 2016. № 56. pp. 21-34. (In Russian).
11. Korolev V.S., Polyakhova E.N. Control a solar sail spacecraft. Ustoichivost' i kolebaniia nelineinykh sistem uprav-leniia [Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems]. Moscow, IPU RAN Publ., 2016. pp. 294-297. (In Russian).
12. Novoselov V.S., Korolev V.S. Analytical mechanics of the control system. SPb., SPbGU Publ., 2005. 298 p. (In Russian).
13. Polyakhova E.N. Space flight with solar sail: problems and prospects. Moscow, Nauka Publ., 1986. 304 p. (In Russian).
14. Polyakhova E.N. On the centenary Photogravitational celestial mechanics. Vestnik S.-Peterb. un-ta [Bulletin of St. Petersburg. Univ]. Ser. 1. 2004. Vol. 4, № 22. pp. 89-118. (In Russian).
15. Polyakhova E.N., Wiuga A.A., Titov V.B. The orbital space flight in problems with detailed solutions and in numbers. Moscow, LENAND Publ., 2016. 256 p. (In Russian).
16. Polyakhova E.N, Koblik V.V. Solar sail - fiction or reality Kosmoplavanie? Moscow, LENAND Publ., 2016. - 228 p. (In Russian).
17. Polyakhova E.N., Starkov V.N., Stepenko N.A. Flying a spacecraft with a solar sail outside the plane of the ecliptic. Ustoichivost' i protsessy upravleniia [Stability and Control. Conference materials]. 2015. pp. 91-92. (In Russian).
18. Polyakhova E.N., Shmyrov A.S., Shmyrov V.A. On the problem of stabilizing the spacecraft orbital motion with a solar sail in the neighborhood L1. Ustoichivost' i protsessy upravleniia [Stability and Control. Conference materials]. 2015. pp. 149-150. (In Russian).
19. Kirpichnikov S.N., Kirpichnikova E.S., Polyakhova E.N., Shmyrov A.S. Planar heliocentric roto-translatory motion of a spacecraft with a solar sail of complex shape. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Vol. 63, No. 3-4, 1995, P. 255-269.
20. Koblik V.V., Polyakhova E.N., Sokolov L.L., Shmyrov A.S. Controlled solar sailing transfer flights into near-sun orbits under restrictions on sail temperature. Cosmic Research. 1996. V. 34. № 6. P. 572-578.
21. Korolev V.S. Problems of spacecraft multi-impulse trajectories modeling. International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov. 2015. P. 91-94.
22. Korolev V.S., Pototskaya I.Yu. Integration of dynamical systems and stability of solution on a part of the variables. Applied Mathematical Sciences, V. 9(15), 2015. P. 721-728.
23. Korolev V.S., Pototskaya I.Yu. Problems of stability with respect to a part of variables. International Conference on Mechanics, Seventh Polyakhov's Reading, 2015. C. 7106739. P. 1-4.
24. Kulakov F., Alferov G., Efimova P. Methods of remote control over space robots. 2015 International Conference on Mechanics. Seventh Polyakhov's Reading, 2015. C. 7106742.
25. Martyusheva A., Oskina K., Petrov N., Polyakhova E. Solar radiation pressure influence in motion of asteroids, including near-earth objects. International Conference on Mechanics. Seventh Polyakhov's Reading, 2015.
С. 7106756.
