CC BY
21
УДК 513.628
Сввдрак 1.Г., к.т.н., доц.
Нацюналъный ушверсытет «Лъвгвсъка полтехшка», м.Лъвгв, Украгна
Галкша Н.С. ©
Лъв\всъкый нацюналъныйушверсытет ветерынарногмедыцыны та бютехнологт Iмеш С.З. Гжыцького, м.Лъв\в, Украгна
ЗАДАЧ1 МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕРХОНЬ
В статт1 розглядаетъся пряма та обернена задач! моделювання поверхонъ, а саме, конструювання поверхонъ методами нарысно! геометрп гз заздалеггдъ заданими умовами позицтного та диференцтного характеру по гх вгдомым моделям. Цшлю розе 'язку прыкладно! задач! е конструювання техшчно! поверхш, просто! або складног, що несе лтшный або мережевий каркас простых та складных лтш з наперед заданымы властывостямы. Проводытъся досл!дження вплыву взаемного розташування двох моделей на взаемне розташування утвореных поверхонъ пры в!дображенн! цых моделей на прост1р одным апаратом в1дображення. Тат досл!дження можутъ прывесты до прынцыпово нового тдходу пры конструюванш двовым!рных гладкых обвод!в.
Розглядаетъся обернена (прыкладна) задача моделювання - це конструювання поверхш, що в!дпов!дае наперед заданым умовам позыцтного, дыференцтного характера, по гх в!домым моделям - в!дпов!дностям, встановленым м1ж полямы проекцт. Розе 'язання тако! задач! на в!дм!ну в/д прямог потребуе в якост! задано! модел! в площыш зображенъ б!рацюналъного перетворення цыкла 3 та строго вызначенного взаемного розташування апарат1в проекцтвання. У протылежному выпадку замктъ одте! поверхш отрымаемо дв/ або тры конкуруюч! поверхш, як1 маютъ лшйш каркасы.
Ключое1 слова: моделювання поверхонъ, алгебра!чш поверхш, апарат проекцтвання, точков! вгдповгдностг, рацюналъш поверхш, б!рацюналъш перетворення, порядок проекцтючых лшй та поверхонъ.
УДК 513.628
Свидрак И.Г., к.т.н., доц.
Нацыоналъныйуныверсытет «Лъвовскаяполытехныка», г.Лъвов, Украына
Галкина Н.С.
Лъвовскый нацыоналъный уныверсытет ветерынарной медыцыны ы быотехнологый ымены С.З. Гжыцкого, Львов, Украына
ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В статье рассматрывается прямая ы обратная заданы моделырованыя поверхностей, а ыменно, конструырованыя поверхностей методамы начертательной геометрыы с заранее заданнымы условыямы позыцыонного ы дыфференцыалъного характера по ых ызвестным моделям. Целью решеныя прыкладной заданы является конструырованые техныческой поверхносты, простой ылы сложной, несущый лынейный ылы сетевой каркас простых ы сложных лыный с заданнымы свойствамы. Проводытся ысследованые влыяныя
© Свщрак 1.Г., Галина Н.С., 2014
171
взаимного расположения двух моделей на взаимное расположение образованных поверхностей при отображении этих моделей на пространство одним аппаратом отражения. Такие исследования могут привести к принципиально нового подхода при конструировании двумерных гладких обводов.
Рассматривается обратная (прикладная) задача моделирования - это конструирование поверхности соответствует заранее заданным условиям позиционного, дифференциального характера, по их известным моделям -соответствиям, установленным между полями проекций. Решение такой задачи в отличие от прямой требует в качестве заданной модели в плоскости изображений бирационалъных преобразования цикла 3 и строгого определения взаимного расположения аппаратов проецирования. В противном случае вместо одной поверхности получим две или три конкурирующие поверхности, которые имеют линейные каркасы.
Ключевые слова: моделирование поверхностей, алгебраические поверхности, аппарат проецирования, точечные соответствия, рациональные поверхности, бирационалъных преобразования, порядок проекциюючих линий и поверхностей
UDC 513,628
Svidrak I., PhD.
National University "Lviv Polytechnic", Lviv, Ukraine Galkina N.
Lviv National University of Veterinary Medicine and Biotechnologies named after
SZ Gzhytskiy, Lviv, Ukraine
PROBLEM MODELLING SURFACE
In the article the direct and inverse problems of modeling surfaces, namely, designing methods of descriptive geometry surfaces with predetermined terms of positional and differential character on their famous models. The purpose solution applied task is designing technical surface, simple or complex, bearing linear or network framework of simple and complex lines with predetermined properties. A study influence the relative position of the two models on the relative positions of surfaces formed by reflection of these models in one space unit display. Such studies may lead to a fundamentally new approach in the design of two-dimensional smooth contours. We consider the inverse (applied) problem modeling - a design surface that meets the predefined criteria of the position, the differential nature, in their well-known models - correspondences established between the fields of projections. The solution of this problem, in contrast to the direct needs as specified in the model image plane birational transformation cycle 3 and the relative position of a strict definition devices proektsiyuvannya. Otherwise, instead of one surface get two or three competing surface having linear frames.
Key words: modeling of surfaces, algebraic surfaces apparatus proektsiyuvannya, point matching, rational surfaces birational transformation, order proektsiyuyuchyh lines and surfaces
172
Вступ. Побудова зображень поверхонь, не зважаючи на юнування багатьох виконаних дослщжень, е до цього часу одшею ¿з актуальних проблем нарисно! геометри. Говорячи про зображення поверхонь, розум1еться отримання 1х неперервних моделей за схемою метода двох зображень. Ц1 модел1 - вщповщносп, що виникають м1ж полями перших \ других проекцш точок дано! поверхш. Надал1 для визначеност1 будемо розглядати тшьки точков1 центральш вщповщносп, що вщр1зняються простотою та широкими можливостями в розв'язанш обернених задач моделювання.
Матер1ал 1 методи. Пщ прямою задачею моделювання поверхонь розум1еться пошук такого р1зномашття алгебра!чних поверхонь, апарат1в проекцшвання та !х взаемного розташування з цшлю отримання на картиннш площиш центральних, взаемовщповщних та б1рацюнальних точкових вщповщностей.
Цшлю розв'язання прямо! задач! е дослщження властивостей моделюемих поверхонь, встановлення взаемозв'язюв характеристик поверхонь (порядок, особлив! точки та лшп, юнування с1мей простих лшш, !х характеристики та шциденци), апарата проекцшвання (порядок проекцшючих лшш, 1х особливост1) та модел1 (порядок, фундаментальна, принципова та швар1антна схеми).
При цьому ¿стотне значения для розв'язання прикладних задач е дослщження кнування на поверхш, що моделюеться одного (лшшного) та двох (мережевого) амейств плоских кривих, а також моделювання одним апаратом вщображення одночасно двох поверхонь та дослщження впливу взаемного розташування даних поверхонь на вид !х моделей, наявност1 ¿х загальних вщповщностей.
Обернена (прикладна) задача моделювання - це конструювання поверхш, що вщповщае наперед заданим умовам позицшного, диференцшного характера, по !х вщомим моделям - вщповщностям, встановленим м1ж полями проекцш [1].
Метою розв'язку прикладно! задач! е конструювання техшчно! поверхш, просто1 або складно!, що несе лшшний або мережевий каркас простих та складних лшш з наперед заданими властивостями. Суттеву новизну являе собою дослщження впливу взаемного розташування двох моделей на взаемне розташування утворених поверхонь при вщображенш цих моделей на проспр одним апаратом вщображення. Так1 дослщження можуть привести до принципово нового пщходу при конструюванш двовим1рних гладких обвод1в.
Розглянемо труднощ1, що виникають при розв'язанш прямо! та обернено! задач! моделювання поверхонь, та спробуемо знайти шляхи !х подолання. Очевидно, що при приведеному вище обмеженш на побудову модел1 у вигляд1 взаемно однозначно! вщповщност1 !! оригшалом може бути лише рацюнальна поверхня, адже тшьки рацюнальну поверхню можна вщобразити на площину однозначно.
Так як моделлю поверхш повинна бути центральна точкова вщповщшсть, то множина проекщюючих лшш е конгруенщею першого порядку. Тшьки в цьому випадку через будь-яку точку поверхш буде проходити едина проекцшюча лш1я. При цьому, кожна проекцшюча крива повинна перетинати поверхню, що моделюеться, тшьки в однш вшьнш точщ. Ус1 решта точок
173
перетину проекщюючо! лши з поверхнею повинш належити фокальним лш1ям конгруенцп. Кожна проекщююча лш1я повинна перетинати площину проекцш в однш вшьнш точщ - проекцп дано! поверхш, що моделюеться. Цього можна досягнути використовуючи у якост1 проекцшючих лшш монощальш крив1, у яких вершина розташовуеться в центр! перетворення.
Поверхня, що конструюеться, при розглянутому способ! вщображення моделюеться на площиш центральним б1рацюнальним перетворенням. При цьому виникае складшсть дослщження взаемозв'язку властивостей та характеристик змодульовано! поверхш, модел1, лшш каркасу, проекщюючих кривих. Цей взаемозв'язок характеристик вивчений для деяких часткових випадюв вщображення, що виконуеться стереограф1чним або косим проекцшванням[2].
Поверхня, що модулюеться, вмщае лшшний каркас плоских кривих, яю належать жмутку площин. Як попередньо було вщм1чено, розв'язання прикладних задач потребуе наявност1 шткового каркасу плоских кривих.
Пряма задача моделювання таких поверхонь аналопчна отриманню 1х «три картинних» креслень. Для простоти розглянемо моделювання лшшно! квадрики ф засобами трьох стереограф1чних проекцшвань ¿з трьох центр1в на три сумщеш площини проекцш. При такому проекцшванш м1ж полями проекцш точок квадрики ф встановлюються центральш квадратичш перетворення з вщповщними центрами. Ц1 точки належать однш прямш / -лшп перетину двох площин (площини, одну з яких утворюють центри проекцшвання та площини зображень)
Окр1м центр1в в склад Р-систем перетворень в кожному пол1 входять слщи тв1рних квадрики ф. Вони проходять через центри проекцшвання. Цшаво, що взаемне розташування фундаментальних точок отриманих перетворень: центри перетворень (Р-точки) належать до прямо! Паскаля для шестикутника, що складаеться ¿з шести Р-точок. Ц1 точки належать спшьнш швар1антнш кошщ ё перетворень.
Отримаш квадратичш перетворення попарно мають по дв1 спшьш Р-точки в пром1жкових полях. Звщси випливае, що будь-яке з них е композищею двох шших. Це ствердження р1внозначно тому факту, що на трикартинному кресленш Монжа по двом проекщям деяко! точки завжди можна побудувати И третю (додаткову) проекцш.
Таке розташування Р-систем квадратичних перетворень дае можливкть 1х представити як одне квадратичне перетворення цикла 3. Тобто довшьна точка А в такому перетворенш вщповщае сама соб1 в результат! виконання послщовних трьох перетворень. 1ншими словами отриманий результат можна сформулювати наступним чином: квадрика у даному вщображенш моделюеться квадратичним перетворенням цикла 3.
Такий результат досить просто узагальнюеться на моделюванш алгебра!чних поверхонь вищих порядюв шляхом 1х стереограф1чного, косого та криволшшного проекцшвання. Таке вщображення можна виконувати у будь-яких комбшащях.
Третьою важливою проблемою у розв'язанш прямо! задач! моделювання поверхш е побудова моделей двох заданих поверхонь, що вщображаються одним апаратом проекцшвання. Очевидно, що лш1я с перетину двох
174
поверхонь ф буде моделюватися сво!ми двома проекщями, що вщповщають одна однш одночасно в двох центральних перетвореннях з загальним центром - моделях даних поверхонь у вщображенш, що розглядаеться. Тут необхщно дослщити вплив взаемного розташування поверхонь, а саме, перетин, дотик в точках та вздовж криво!, на властивостях !х моделей Т. Очевидно, що перетворення Т будуть мати при цьому визначенш загальш властивост!: сшвпадшня деяких пар фундаментальних точок \ принципових лшш, дотик !х швар!антних лшш, поява загальних слабо швар!антних лшш та ш.
Розглянемо розв'язання обернено! задач! моделювання поверхонь. Тут виникають три проблеми, що потребують проведения детальних досл!джень:
1. В!дома модель у вигляд! деяко! б!рац!онально! в!дпов!дност! м!ж полями л1, л2. Потр!бно знайти в!дпов!дний апарат в!дображення на простер таким чином, щоб пари вщповщних точок перетворення в!добразилися в точки поверхш, яка конструюеться. При цьому необхщно досл!дити взаемозв'язок властивостей тахарактеристик модел!, апаратав!дображення ! поверхн!.
2. Задати таку модель ! апарат вщображення на прост!р так, щоб поверхня, що конструюеться мала мережевий каркас плоских кривих ¿з заданими наперед властивостями та характеристиками.
Розв'язання тако! задач! на в!дм!ну вщ прямо! потребуе в якост! задано! модел! в площиш зображень б!рацюнального перетворення цикла 3 та строго визначенного взаемного розташування апарат!в проекцшвання. У протилежному випадку зам!сть одше! поверхн! отримаемо дв! або три конкуруюч! поверхн!, як! мають лшшш каркаси.
Результати досл1джень. Очевидно, що при вибор! моделей (б!рац!ональними перетвореннями Т цикла 3 в площиш Оху) та апаратами проекц!ювання (центральне, косе, кривол!н!йне), можна отримати широкий клас рац!ональних поверхонь, як! несуть мережевий каркас рацюнальних кривих будь-яких порядк!в. Обернену задачу можна сформулювати наступним чином:задати дв!, або бшьш взаемозв'язан! модел!! такий апарат вщображення, щоб можна було конструювати двовим!рний гладкий обрис, який складаеться з частин двох чи бшьше рац!ональних поверхонь.
Перспектива подальших дослщжень. В перспектив! розв'язання ц!е! проблеми повинно привести до узагальнення поверхонь Кунса шляхом зам!ни частин рацюнальних алгебра!чних поверхонь з попередньо заданими властивостями
Лггература
1. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей. М., 1987.192 с.
2. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии.- М.: Машиностроение, 1998.156с.
Рецензент - д.т.н., професор Щж.Б.Р.
175
