CC BY
78
УДК 514
ЗАДАЧИ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ С УЧЕТОМ ВРЕМЕНИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
РЕСУРСОВ
В.И. Алферов, В.Н. Бурков, А.Е. Кравцов, А.В. Сенюшкин
Задачи календарного планирования в основном рассматриваются при предположении, что время перемещения ресурсов с работы на работу малы по сравнению с продолжительностью работ. Однако, во многих случаях времена перемещения ресурсов с продолжительностями работ не учитываются и этого нельзя допускать. В статье дается постановка задач календарного планирования с учетом времени перемещения ресурсов и предлагается метод ее решения для случая независимых работ
Ключевые слова: календарное планирование, перемещение, ресурсы
Введение
Задачи календарного планирования рассматриваются, как правило, без учета времени перемещения ресурсов между работами. Постановка задач календарного планирования с учетом времени перемещения ресурсов была сделана В.Н.Бурковым еще в 60-х годах прошлого века [1]. Однако, до сих пор методы решения задач с учетом времени перемещения ресурсов слабо разработаны. Это безусловно объясняется комбинаторной сложностью их решения. Так, простейшая задача выполнения независимых работ одной бригадой эквивалентна задаче Коммивояжера, которая относится к классу № - трудных задач, не изменяющих эффективных алгоритмов решения [2]. В статье делается постановка задачи календарного планирования с учетом времени перемещения ресурсов для случая независимых работ и рассматривается метод ее решения для вогнутых зависимостей скоростей выполнения работ от количества ресурсов.
Постановка задачи
Имеется п независимых работ и ресурсы в количестве N. Задана матрица а=(1||). ; = 0, п . ■ = 1. л времен перемещения ресурсов между работами и времен перемещения ресурсов из пункта О их нахождения к пункту ] выполнения работы ]. Заданы объемы работ W1 и зависимость ^(иО скорости выполнения работ от количества ресурсов и1, г = 1,п. Определим граф перемещений ресурсов (граф ПР [2]), состоящий из (п+2) вершин. Вершина О - это вход сети соответствующей ... размещения ресурсов, вершины 1, п соответствующей работам проекта, вершина Ъ - выход соответствует пункту сбора ресурсов после выполнения всех работ (рисунок). Длины дуг равны временам перемещения
Алферов Виктор Иванович - ВГАСУ, докторант, тел. (4732) 76-40-07
Бурков Владимир Николаевич - ИПУ РАН, д-р техн. наук, профессор, тел. (495) 334-79-00
Кравцов Александр Евгеньевич - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07
Сенюшкин Александр Владимирович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07
ресурсов (числа без скобок на рисунке). Времена перемещения ресурсов к пункту сбора Ъ не играют роли, нас интересует время завершения всех работ при проекта.
[15]
Граф перемещения ресурсов
Определим поток ресурсов величины N в графе ПР. Зная моменты прихода и ухода ресурсов на каждой работе можно определить продолжительность проекта.
Пример 1. Проект состоит из четырех работ, данные об объемах некоторых приведены в таблице.____________________________________
i 1 2 3 4
Wi 15 6 20 12
Примем линейную зависимость скорости работ от количества ресурсов
^=им=(1,п) (1)
Пусть количество ресурсов N=10. Возьмем ресурсов на графу ПР (числа в скобках на рисунке) примем, что ресурсы не уходят с работы до ее окончания. определим моменты ^ окончанием работ
W
Работа 3: ^3=3, 130 = 3 +—- = 8
4
Работа 2:1112=2, ££ =2+^=4
Работа 4:1П4= 1. = 1 + ^ = 5
Работа 1: в момент ^ = г“ - Г:1 = 5 приходит 3 единицы ресурсов, а в момент = 6 приходят еще 3 единицы ресурсов. Имеем
Сі +
«і-З
Просит завершиться через 8 единиц времени.
Задача. Определить поток ресурсов по графу ПР, включая моменты прихода и ухода ресурсов с каждой работы, так что бы все работы были выполнены и продолжительность проекта была минимальной.
Вогнутые зависимости скоростей работ
от количества ресурсов
Пусть £ (и1)- вогнутые функции и1 , I = 1, п. если времена перемещений равны ноль, то в 60-х годах В.Н. Бурковым были получены условия оптимальности распределения ресурсов { }:
а) все работы заканчиваются одновременно;
б)все работы выполняются с постоянной интенсивностью.
Из этих условий следуют уравнения для определения минимальной продолжительности проекта Т.
32=1^ (у) = * (2)
Покажем что условия (а) и (б) остаются справедливыми для оптимальности распределения ресурсов и при учете времени их перемещения.
Теорема. В оптимальном решении задачи все работы выполняются с постоянной интенсивностью и заканчиваются одновременно.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что в оптимальном решении отсутствует перемещение ресурсов между работами. Действительно, если часть ресурсов с одной работы 1 перемещается на другуюj , то интенсивность выполнения работы и I Ь j изменяется, что противоречит условиям теоремы. Если же перемещается весь ресурс, то работа I завершается раньше работыj , что ... противоречит условиям теоремы. Предположим, противное, что часть Д ресурсов приходит из начального пункта на работу I, выполняет ее в течении времени т1 , затем переходит на работуj и выполняет ее в течении времени Тр Общее время выполнения объемов 1 иj равно
Т =к*+ 7: -(- ... ■+■ 7: (3)
Рассмотрим другой вариант выполнения объемов работ т^ХД) и т^(Д). А именно, примем, что ресурсы из начального пункта 0 направляются непосредственно на работы 1 иj . Для выполнения работы 1 в объеме тЛ(Д) за время Т требуются ресурсы в количестве ... А для выполнения работыj в объеме т^(Д) за время Т требуются ресурсы в количестве
<4>
а для выполнения работыj в объеме т^(Д) за время Т требуется ресурсы в количестве
ГГДО1
-во/ і
(5)
Заметим, что
Г “ «ОІ = Г, + Г, + £ц > Г; - Г;
г-а0. =т!. + т; +д01 + !ц^т1 ^
так как <гй-Иц > сгї;
Из (4), (5) имеем
. < 'і/і , т-лаі ґі*:, '
где Л; =
-е0; т,+г_, 'ІЧ 1
(7)
■> ' ~1*?.
Из (6), (7) следует, что 11,_ — и; < 0Г|Д - а^&= Л
Таким образом, те же объемы работ I иj могут быть выполнены меньшим количеством ресурсов без перемещения ресурсов с работы 1 на работу ].
Отсюда следует, чтобы оптимальном календарном плане отсутствуют перемещения ресурсов с работы на работу. Количество ресурсов, требуемое для выполнения 1-й работы за время Т равно
0* = * И (8)
Минимальная продолжительность проекта определяется из уравнения
’ т -•' '' <9>
Заметим, что при а01 уравнение (9) переходит в уравнение(2).
Пример 2. Определим оптимальный календарный план для графа ПР рисунке с данными таблицы
Вычислим уравнение (9)
15
■ +;
Т-2 Т-2
Его решение
+
20 Т-3*
Т~7,5,
12
Г-1
= 10 І 5
и. = —х 2,7 ,
- ї Е
V- = — и 11, из = — ¥ +.4, к=-в 1,3
^ 55 11 -1? ■* ¿5.
Таким образом, для случая вогнутых зависимостей задач распределения ресурсов эффективно решается на основе уравнения (9). К сожалению, в случае вогнутых зависимостей это ни так. Если все 1 =0, то, как известно, оптимальный календарный план состоит в последовательном выполнении работ максимальным количеством ресурсов. Минимальная продолжительность проекта определяется выражением
г гаіп, Д;: (Ю)
где
/¡№
(11)
Если 1у велики (например, все l1j больше чем Тт), то минимальная продолжительность проекта определяется уравнением(9). Решение задачи в промежуточных случаях неизвестны.
Несколько пунктов расположения ресурсов
Пусть имеются несколько пунктов расположения ресурсов, причем в j-ом пункте находятся ресурсы в количестве ы,( г = 17т). Обозначим минимальное время перемещения ресурсов из пункта расположения j к пункты выполнения работы 1, Х^ - часть 1-ой работы, выполняемая ресурсами, расположенными в пункте]. Очевидно
¿.Д-, = №¡.1 = ТТп (12)
Если Ху определены, то продолжительность проекта определяется как минимальное Т, удовлетворяющее системе неравенств.
= (13)
Задача заключается в определении (Хц,! = 1,п,/ = 1,т} иТ, удовлетворяющих ограничениям (12),(13) и минимизирующих Т.
Можно решать обратную задачу при заданном Т: определить
, £ = 1~п.) = 17т} и N¡.2 = 1,т , минимизирующие
' <14> при ограничении (12), которое распадается на п независимых задач минимизации
при ограничении
SjJTy = it:
(15)
(16)
Заключение
Представленные в статье результаты позволяют определить оптимальное распределение ресурсов при вогнутых зависимостях скорости работ от количества ресурсов. Важно отметить, что уравнение (9) является обобщением уравнения (2). Определение оптимального распределения ресурсов при вогнутых зависимостях скорости работ от количества ресурсов является №- трудной задачей.
Одним из направлений в решении этой задачи я является рассмотрение разрешимых частных случаев, а другим - разработке эвристических алгоритмов.
Литература
1. Математические основы управления проектами. С.А. Баркалов, В.И. Воропаев, Г.И. ... и др. под ред. В.Н. Буркова-М.Высшая школа 2005.-423с.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)
PROBLEMS OF SCHEDULING IN VIEW OF TIME OF MOVING OF RESOURCES V.I. Alfyorov, V.N. Burkov, A.E. Kravcov, A.V. Senjushkin
Problems of scheduling basically are considered at the assumption, that time of moving of resources from work for work are small in comparison with duration of works. However, in many cases times of moving of resources with durations of works and should be considered it. In clause statement of problems of scheduling in view of time of moving of resources is given and the method of its decision for a case of independent works is offered
Key words: scheduling, moving, resources
