CC BY
41
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ОЧЕРЕДНОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ РАБОТ БРИГАДОЙ С УЧЕТОМ ВРЕМЕНИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ РЕСУРСОВ
В.И. Алферов, П.С. Баркалов, А.Е. Кравцов
Рассматривается задача определения оптимальной очередности выполнения работ одной бригадой с учетом времени перемещения ресурсов с работы на работу. Даются методы ее решения для симметричной и несимметричной матриц расстояний
Ключевые слова: управление проектами, время перемещения ресурсов, плановые сроки выполнения работ
Рассмотрим задачу определения очередности выполнения работ одной бригадой при учете времени перемещения бригады от одной работы к другой. Пусть задана матрица времен перемещения бригады (1^), где время перемещения бригады с работы 1 для выполнения работы Обозначим т1-продолжительность работы 1, Д - желательный срок завершения работы 1 (плановый срок). Рассмотрим задачу определения очередности выполнения работ, минимизирующей максимальное отклонение момента окончания 1-ой работы от желательного срока,
т = тах^ - Д) (1)
i
Пусть п = (г1, г2..., гп) некоторая очередность выполнения работ. Момент окончания работы 1к равен
= 2^-, г+т) (2)
] =1 1
где 10 =0, 101 - время перемещения бригады из начального пункта в место выполнения работы 1.
Для решения задачи применим метод ветвей и границ. Рассмотрим случай симметричной матрицы для всех 1]. Получим нижнюю оценку
продолжительности выполнения работ. Для этого построим кратчайшее связывающее дерево, то есть дерево, содержащее все вершины соответствующего графа (за исключением вершины 0) с минимальной суммой длин ребер [1]. Алгоритм решения этой задачи состоит в последовательном добавлении ребер в порядке возрастания их длин, так чтобы не допускать образования циклов.
Пример. Матрица расстояний приведена ниже для случая п = 5 работ (в диагональных клеточках указаны продолжительности работ). Кратчайшее связывающее дерево содержит ребра (0,1), (1,4), (1,2), (1,5), (2,3). Сумма длин ребер равна С (5) = 11.
Алферов Виктор Иванович - ВГАСУ, канд. техн. наук, докторант, тел. (4732) 76-40-07
Баркалов Павел Сергеевич - ВГАСУ, канд. техн. наук, докторант, тел. (4732) 76-40-07
Кравцов Андрей Евгеньевич - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07
0 1 2 3 4 5
0 1 4 5 3 7
1 1 2 2 6 1 3
2 4 2 1 4 5 6
3 5 6 4 3 7 9
4 3 1 5 7 2 4
5
7 3 6 9 4 1
Если последней выполнить работу 1, то оценка снизу момента ее завершения составит
=С(5) +©=11+10 = 21 (3)
(© = ^ т) , если ребро (0, 1) не принадлежит крат-
г
чайшему связывающему дереву и равна
р = С(5) +© + тт(1о,-- )
в противном случае
р. = 21, г Ф 1, р = 23 Возьмем следующие значения Д1
1 1 2 3 4 5
, Д 19 16 12 10 7
1 шаг. Если работа 1 выполняется последней, то оценка снизу критерия (1) будет равна
Ф1 = Ф1 - Д
В нашем случае
Ф] = 23 - 19 = 4 Ф2 = 21 - 16 = 5 Ф3 = 21 - 12 = 9 Ф4 = 21 - 10 = 11 Ф5 =21 - 17 = 14
Минимальная оценка Ф1 = 4 соответствует выполнению работы 1 в последнюю очередь.
Замечание. Оценку (3) можно улучшить, если провести дополнительные вычисления. Действительно, вершина 2 инцидентны 3 ребра дерева, что не должно быть для допустимого маршрута. Поэтому рассмотрим три возможных сочетания из 3 по 2.
1. Исключаем ребро (1,5). Получаем
2. Исключаем ребро (1,4). Получаем
С (04)) = 9
3. Исключаем ребро (1,2). Получаем
С (12) = 9
Поэтому исключаем ребро (1,5) и улучшаем оценку до С(5) = 7. Заметим, однако, что это не влияет на выбор первой работы, поскольку все оценки увеличились на 1.
2 шаг. Исключаем первую работу и построим кратчайшее связывающее дерево для работ
2, 3, 4 и 5. Имеем С = 13
Ф2 = 23 - 16 =7 Ф1 = 27 - 19 = 8
Ф3 = 23 - 12 = 11 Ф2 = 31 - 12 = 19
Ф4 = 24 - 10 = 14 Ф1 =27 - 10 = 17
Ф5= 25 - 7 = 16 Ф1 =28 - 7 = 21
3 шаг. Выбираем минимальную из полученных оценок первого и второго шага. Это оценка 5, которой соответствует выполнение работы 2 в последнюю очередь. Оценки снизу имеют вид
Ф1 = 8, Ф3 = 8, Ф4 = 9, Ф5 = 10
4 шаг. Выбираем подмножество (1 ^ 2), то есть работы 1,2 , выполняются в последнюю очередь 1 ^ 2.
Имеем
Ф3 = 16, Ф4 = 12, Ф5 = 13
5 шаг. Выбираем подмножество (2 ^ 1).
Имеем
Ф3 =10, Ф4 = 13, Ф5 = 13
6 шаг. Выбираем подмножество (3 ^ 2).
Ф1 =10, Ф4 = 9, Ф5 = 11.
Проверка всех трех возможных вариантов приводит к двум лучшим решениям в этом подмножестве
п = (0, 1, 4, 5, 3, 2) п2 = (0, 1, 5, 4, 3, 2) с величиной критерия Т = 12.
7 шаг. Выбираем подмножество (4 ^ 2).
Имеем
Ф1 =13, Ф3 = 15 Ф5 = 12
8 шаг. Выбираем подмножество (5 ^ 2).
Имеем
Ф1 =13, Ф3 = 19, Ф4 = 14.
9 шаг. Выбираем подмножество (3 ^ 2 ^
1).
Имеем
Ф4 = 14, Ф5 = 12.
Окончательно получаем три оптимальных решения Ль п2 и
П3 = (0, 4, 5, 2, 1)
Описанный подход можно применить и для несимметричной матрицы расстояний, если для получения оценки решать задачу построения кратчайшей связывающей сети в ориентированном графе.
Литература
1. Сигал И.Х. Иванова А.П. Введение в прикладное дискретное программирование. М.: Физмат, 2002.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
DEFINITION OF OPTIMUM SEQUENCE OF PERFORMANCE OF CIVIL WORK BY THE BRIGADE
IN VIEW OF TIME OF MOVING OF RESOURCES
V.I. Alferov, P.S. Barkalov, A.E. Kravcov
The problem of definition of optimum sequence of performance of works by one brigade in view of time of moving of resources from work for work is considered. Methods of its decision for symmetric and asymmetrical matrixes of distances are given
Key words: management of projects, time of moving of resources, scheduled terms of performance of works
