Задача взаимодействия упругой сферической оболочки с жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6.013.42

Задача взаимодействия упругой сферической оболочки с жидкостью

© В.Г. Богомолов1, А.А. Федотов1 1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва 105005, Россия.

Рассмотрена модель сферической оболочки в рамках оболочечных уравнений типа Тимошенко. Решена задача о взаимодействии тонкой сферической оболочки с окружающей ее акустической жидкостью с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига. Предложен метод получения аналитического решения задачи о взаимодействии тонкой сферической оболочки с окружающей ее акустической жидкостью, основанный на применении преобразования Лапласа.

Ключевые слова: сферическая оболочка, акустическая жидкость, падающая волна.

Введение. Изучению взаимодействия упругой конструкции с жидкостью посвящен ряд работ [1-8]. Некоторые типы оболочек и оболочечных конструкций (в рамках гипотез Кирхгофа — Лява) исследованы в работах [1, 9, 10].

В моделях, описывающих упругое тело, заключенное между двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми постоянно и мало по сравнению с другими характерными размерами, при описании движения частиц тела можно перейти от уравнений теории упругости к уравнениям теории тонких оболочек. Теория оболочек типа Тимошенко учитывает инерцию вращения и деформацию поперечного сдвига. В таких оболочках возмущение распространяется с конечной скоростью.

В настоящей работе в рамках указанной модели получено аналитическое решение в изображениях задачи о взаимодействии тонкой сферической оболочки, описываемой уравнениями типа Тимошенко, с окружающей ее акустической жидкостью. Исследован частный предельный случай для безразмерной оболочки. Установлено, что в предельном случае полученные результаты совпадают с предельными результатами, выведенными на основе оболочечных уравнений Кирхгофа — Лява.

Постановка и решение задачи. Пусть t — время, Ох'у'г' — подвижная декартова система координат, начало О которой в любой момент времени совпадает с центром масс сферической оболочки и, следовательно, в начальный момент движения (до начала воздействия волны и нагрузки) — с центром сферы радиусом а. Обозначим w', v' — соответственно радиальное и тангенциальное смещения сре-

динной поверхности оболочки в подвижной системе координат (У > 0 по направлению к центру сферы); р'а, р'к — соответственно дифракционное давление и давление излучения в жидкости, ^ — поверхностная сила на единицу площади (предполагается, что избыточная падающая волна р' и сила $ являются осесимметричными и до момента I = 0 они тождественно равны нулю); — смещение центра масс оболочки относительно начального положения в момент I = 0, когда он совпадал с центром сферической оболочки (предполагается, что ¿;'> 0 в

направлении отрицательной полуоси Ог'); р, р' — соответственно плотности жидкости и материала оболочки; а, к — радиус срединной поверхности оболочки и ее толщина; с10, с20 — скорости распространения фронтов волн по срединной поверхности оболочки; с — скорость звука в жидкости; ¥ — угол поворота нормали к срединной поверхности оболочки в плоскости (г, в); кТ — численный коэффициент сдвига; V, Е — соответственно коэффициент Пуассона и модуль Юнга материала оболочки; Я = --^--.

(1 + v)(l - IV)

В рамках оболочечных уравнений типа Тимошенко [9], учитывающих инерцию вращения и деформацию поперечного сдвига, в линейном приближении осесимметричное движение в акустической жидкости тонкой упругой сферической оболочки, подверженной воздействию нестационарной падающей волны избыточного давления р' = р\ (г', в, ^) и поверхностной силы с интенсивностью q' = q''(в, I), описывается в безразмерных переменных в подвижной системе координат следующей системой уравнений:

V2 - (у + ^в)-)-(1 + а)у

(1 + v + x)

д2

X- 2^У

дг2

X- 2^У

V +

д2.

дг2

V2 - сЩ в -V-у

дг2

дв_ -.2 Л

V +

Ж = 0;

(1)

дг2 ,

X

ч+хд (2) дв

( д Л

(1 + v + х)| вС1§в

V -

(

х

д

вс,8в

XV2 - 2 (1 + V) - (1 + е)у

д2

дг2

Ж = -у0 р;

(3)

2/(1 + s) — = /Jpcosвslnвdв, p = (p.+pd+pR)=1 + q, (4)

с граничными и начальными условиями вида

дЖ

Х¥=Г=10=°, (0=0, о;

ди

{=У=тЖ=0, ^=^=И=Ж=0 (т=0),

йг йт йт йт

=т (' > >),

др£=дЕ1 (Г=1),

дг дг

р, = д-Г = 0 (т = 0); дт

^ =дТ (г> 1);

дрк = д2 Ж

дг

дт2

(г = 1);

pR=дт =0 (т=о).

дт

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

(10) (11) (12)

Решения уравнений (1)-(6) и (10)-(12) взаимно связаны, так как в них входит величина Ж. В выражениях (1)-(12) обозначено

V2+ctg^^-;

а

дв2

дв

1 д ( 2 д ^ 1 1

А^—I г2— |+-

д ( . в дЛ —I sine—

дв\ дв,

— оператор Лапласа в сфе-

г2 дг ^ дг ) г2 sin в рических координатах г, в (осесимметричный случай), где г = гЧа; z' = г cosв; y' = г sinвsin^; x' = г sinвcos^ [11]. Введем безразмерные

величины:

т = —, V = v + — slnв, W = w + ^cosв, v=—, w =—, — =—, z=

а

C2 = 10

E

РЛ

С 2 = , 20 "

Ekr

a a

2

а

"10

s=-

(1 -V2) [2P1 (1 + *))'" "12o2' r=C20

pí =

el

e

р'<! р'к (1-У2) а ре2 q'

р" =~Ё•рк =Т' уу1=~Г• "=!'

Отметим, что в рассматриваемой задаче ищется только возмущенное движение оболочки и жидкости по отношению к статическому состоянию, определяемому до момента движения I = 0 статическим постоянным давлением р0 в жидкости, окружающей оболочку.

Применяя к уравнениям (1)-(6) преобразование Лапласа по г:

f - = J f e~szdz при Re s > 0;

о

b + i от

f = — J f~es* ds (b > 0),

2ni. .

b - i от

вводя новые переменные V по формулам

V- = двт> = w- = W-0 (13)

дв дв

и разлагая функции V-0, Y0, W-0, Pi, pd, pR, d в ряды по полиномам Лежандра:

от П

f - = Z fnPn (cos в), f~n=(n +1/2) J f - Pn (cos в) sin в de,

n = 0 0

приводим систему (1)-(6) к виду

(Л + ki) Vn~° - k2Y-0 + k3W-0 = 0; (14)

-k 2V~n°+(Л - k 5) - xw~n = 0; (15)

-Лk 3V~n° + ЛzWn0 -(Лх- k 4) W~n° = -Y0P~n, (16)

где

k 1 = X + (1 + s)/s2-1+ v, k2 = х-2syI; k3=1 + v+x;

k 4 = -2 (1 + v) - (1 + e)rf, k 5 = e(1 -v)-ey*-х; (17)

p-=(p-n+p~d, n+PR n )r=1 + q-- (18)

Решая систему (14)-(16) относительно Ж-0, получаем с учетом обозначений (13) выражение для ж- :

Ж - = Г0 (Аы^4 + В1пя2 + С1И) Рй , (19)

Ж п = / 6 4 2 V (19)

(( 2 ^ + А2 п5 + В 2 п5 + С 2п )

Ж- = чГ-+£~8п. (20)

|0 при п

Здесь §1п = < — символ Кронекера, а коэффициенты в вы-

[1 при п = 1

ражении (19) находятся по формулам

2

А1п = -кцк 51 -к 21; В1п = Л(Ек 11- к 51) - к 12к 51- к цк 52 - 2к 21к 22; Сщ = к2е + Х(екп - к 52 )-к12 к 52 - к 22;

В 2 п = кц А1п; А2п = Л(-Хкпк51 + 8к2ц - к51к11- Хк+ +к цк 51к 42 - к 12к 51кц - к21к 52 - 2к 22кцк 21 + к 21к 42; В2п = Л2 (е%к 11 -Хк 51 + £к11) + +Л(ак 12к 11- Хк 12к 51- Хк цк 52 - £кцк42 -

-к 52кц + к 51к 42 + 2Хк зк 21 + к 2к 51- Х2к 11- 2Хк 21к 22) +

2

+ к 12к 51к 42 - к 12к цк 52 + к цк 52к 42 + 2к 22к 21к 42 - к 22к 11; С2п = лЛ^Х + Л2 (?Хк 12 - Хк52 - £к42 - £к2 - Х2) + +Л (к52к42 - Хк 12к52 - ^к12к42 + 2Хк22к3 + к2к52 - Хк12 - Хк22) +

+к 12к 52к42 + к22к42 ;

к 11 = (1 + е)у; к12 = Х -1 + у, к21 = -2еу; к22 = Х; кз = 1 + V + х;

к54 = -ЕТ; к52 = е(1 - V) - Х; к42 = -2(1 + V).

Для определения величин рй, п и рК, п, входящих в выражение (18) для рп, найдем решение систем (7)-(9) и (10)-(12), применяя к

ним преобразование Лапласа по т и разлагая изображение в ряды по полиномам Лежандра. В результате получаем

р~а, п(г) = -

(др1, п Л Кп+1/2 (ЗГ )1г112

V дг Jг=1

5 3/2 (Кп+1/2(з)131/2 )'

( ) у1З1/2ЖПКп+1/2(зг)/г1/2 р к,п(г ) = —,-^-.

((2(5)/З1/2 )

Здесь Кп+1/2(з) — функция Макдональда от аргумента з порядка п + 1/2.

Тогда с учетом (18) находим

рп = ( р-п+р'а, п + р К, п )г=1 + q,

((-п )г=1

г ^ - л

д р-

дг

V Jг=1

Ф+ у^Ф пЖп + я~п,

(21)

где

[ Кп+1/2А

1/2

Ф п = Ф п(з) =

((+1/2/ З1/2 ) Из выражений (19) и (21) определяем

(р-п)г=1 - (др-п/дг)г=1 Ф п/5 + Я

Ж-=

4 + В1п 52 + С1п у0

^2п56 + А2п54 + В2п52 + С2п - у^0 5Фп ((54 + Вы52 + СЫ)

Из соотношений (17) и (22) получаем

(^ - Л

Г =

у0

3(1 + 8)Уз2

( р-1)г=1-

дг

Ф1

Я1

1 ' г=1

(22)

+ т (23)

где т — отношение массы жидкости в объеме сферической оболочки радиусом а к массе самой оболочки,

т =

у0У1

3у (1 + е)'

С учетом (13), (20), (22), (23) окончательные выражения для изображений смещения центра масс , коэффициентов разложений

радиального смещения н,„ и результирующей нагрузки на оболочку р- примут вид

-1-1

Г = 7oLi [3 (1 + е) ys2 (l - yy sOjMi)]" ; (24)

(25)

--ш- p-s - 7о LnMn

Wn - Wn О in -

1 - 7x70 so nMn

1 -■

Oln

2y(l + e)s2M i P- - Ln(l - 7i7osOnMn)-1, (26)

Ln- (p-n) r-x - (dp~ijdr )r-xo n/s+q-; (27)

Mn - (AlnS4 + Bins2 + Cln)/(D2nS6 + A2ns4 + B2ns2 + С2n) • (28) Для изображения безразмерной силы находим

г\+ Pd + PR)r-х + q-]cosвSinddd - 4y(l + е)s2g-/7o.

F - 2J

o'

В частном предельном случае безразмерной оболочки (% ^ 0, в ^ 0) из соотношений (24)-(28) получаем результаты, совпадающие с полученными в работе [9] (если в формулах, выведенных на основе оболочечных уравнений Кирхгофа — Лява, перейти к пределу при в^ 0).

Заключение. Таким образом, установлено, что аналитическое решение в изображениях задачи о взаимодействии тонкой сферической оболочки с окружающей ее акустической жидкостью в предельном случае совпадает с предельными результатами, выведенными на основе оболочечных уравнений Кирхгофа — Лява.

ЛИТЕРАТУРА

1. Авербух А.З., Вецман Р.И., Генкин М.Д. Колебания элементов конструкции в жидкости. Москва, Наука, 1987, 158 с.

2. Богомолов В.Г. Динамическая задача взаимодействия упругой оболочечной конструкции с акустической средой. Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понт-рягинские чтения — XXI». ВГУ, МГУ, МИ РАН, 2010, с. 38-39.

3. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. Москва, Физматлит, 2004. 467 с.

4. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестационарные контактные задачи с подвижными границами для деформируемого тела и полупространства. Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2000, № 3, с. 41-45.

5. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. Ленинград, Судостроение, 1974, 208 с.

6. Гузь А.Н., Кубенко В. Д. Методы расчета оболочек. Киев, Наук. думка, 1982, т. 5, 399 с.

7. Кубенко В. Д. Проникание упругих оболочек в сжимаемую жидкость. Киев, Наук. думка, 1981, 160 с.

8. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Ленинград, Судостроение, 1980, 343 с.

9. Метсавээр Я.А., Векслер Н.Д., Стулов А.С. Дифракция акустических импульсов на упругих телах. Москва, Наука, 1979, 239 с.

10. Попов А.Л., Чернышев Г.Н. О резонансных частотах оболочек, колеблющихся в бесконечной жидкости. ПММ, 1979, т. 43, вып. 5, с. 869-876.

11. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Москва, Наука, 1973, 736 с.

Статья поступила в редакцию 21.02.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: В.Г. Богомолов, А.А. Федотов. Задача взаимодействия упругой сферической оболочки с жидкостью. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 2. URL: http://engjournal.ru/catalog/appmath/hidden/605.html

Богомолов Владимир Георгиевич — доцент кафедры «Высшая математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана; канд. физ.-мат. наук; сфера научных интересов: задачи гидроупругости. e-mail: bogomovg@yandex.ru

Федотов Анатолий Александрович — доцент кафедры «Высшая математика» МГТУ им. Н. Э. Баумана; канд. физ.-мат. наук; сфера научных интересов: задачи аэрогидродинамики. e-mail: le-tail@list.ru