Математическое моделирование в задачах рассеяния акустических волн упругими оболочками с помощью асимптотических методов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6.013.42

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН УПРУГИМИ ОБОЛОЧКАМИ С ПОМОЩЬЮ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

© 2008 В.А. Ковалев1 Е.Д. Ковалева2

Рассмотрены вопросы применимости асимптотических методов при изучении рассеяния стационарных акустических волн упругими относительно толстыми цилиндрическими и сферическими оболочками. Математическая модель для построения приближенного решения ос-нованна на сращивании разложений для трех различных асимптотических моделей взаимодействия упругой оболочки с акустической средой. В зависимости от величины относительной толщины оболочки определены области применимости этих асимптотической моделей. Указано, что для оболочек средней толщины данный подход можно применять как для описания резонансных компонентов парциальных мод, так и для синтеза функции формы рассеянного давления в области частот ниже частоты первого толщинного резонанса. Показано, что в случае, когда толщина оболочки достаточно велика, модель типа плоского слоя применима только при умеренных значениях круговой частоты.

Ключевые слова: математическое моделирование, асимптотические методы, акустические волны, упругие оболочки, уточненная теория Кирхгофа—Лява, длинноволновые высокочастотные приближения, модель типа плоского слоя, сращивание разложений.

Введение

В работе изучаются вопросы, связанные с нахождением области применимости асимптотического подхода, разработанного в работах [1—5], для задач рассеяния стационарных акустических волн упругими телами. В ка-

1 Ковалев Владимир Александрович ([email protected]), кафедра прикладной математики Московского городского университета управления Правительства Москвы, 107045, Россия, г. Москва, ул. Сретенка, 28.

2Ковалева Елена Дмитриевна ([email protected]), кафедра информатики и информационных систем Московского городского университета управления Правительства Москвы, 107045, Россия, г. Москва, ул. Сретенка, 28.

честве типичного примера исследованы случаи цилиндрических и сферических оболочек. Для описания рассеянного давления и резонансных компонентов парциальных мод применяются следующие три асимптотические модели: уточненная теория Кирхгофа—Лява, модель плоского слоя и длинноволновое высокочастотное приближение.

Уточненную теорию Кирхгофа—Лява [1], которая является низкочастотным приближением трехмерных уравнений теории упругости, можно использовать для аппроксимации решения в окрестности нулевой частоты. Необходимость использования уточненной модели вызвана тем, что широко распространенные двумерные теории (теория Кирхгофа—Лява, теория Тимошенко—Рейснера) недостаточно эффективны в задачах рассеяния (см.

[6]) и пригодны только в весьма узком диапазоне частот в окрестности нуля, особенно если толщина оболочки не слишком мала.

Длинноволновое высокочастотное приближение уравнений теории упругости [3, 7, 8] описывает резонансы малых номеров волн типа Лэмба высших порядков. Это приближение применяется для описания решений в окрестности частот толщинных резонансов. Здесь путем асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости выделяются два типа движений, а именно, поперечное и тангенциальное длинноволновые высокочастотные приближения.

Вне окрестности нулевой частоты и частот толщинных резонансов применяется модель типа плоского слоя [2], эффективно описывающая коротковолновые колебания тела. Данная модель применяется в высокочастотной области, когда длина волны деформации мала по сравнению с радиусом срединной поверхности, и, следовательно, когда можно пренебречь кривизной оболочки.

Как показано в работах [4,5,9-12], упомянутые три модели для достаточно тонких оболочек имеют области согласования, следовательно, сращивая асимптотические решения, можно осуществить синтез рассеянного давления в широком частотном диапазоне при различных параметрах оболочки и характеристиках акустической среды.

В случае, когда толщина оболочки не слишком мала, вопрос сращивания этих асимптотических приближений требует дополнительного исследования. В данной работе определены границы применимости указанных асимптотических моделей в зависимости от величины относительной толщины оболочки.

1. Постановка задачи

Пусть плоская акустическая волна

Pi = po exp [-i(kh, + шг)]

падает на цилиндрическую или сферическую оболочку и рассеивается ей. Введем следующие параметры, характеризующие процесс рассеяния:

Р С; С2 Ш ,

К=А Рг = -(/ = 1,2), у = -. *=-• 1-1

р1 С С\ С

Здесь Сх, С2 — скорости волн расширения и сдвига в оболочке, соответственно, р1 —плотность материала оболочки, с — скорость звука в жидкости, р — плотность жидкости, ш — круговая частота, р; — давление в падающей волне, ось ^ направлена навстречу распространению волны, ро — постоянная, имеющая размерность давления.

Пусть (г, 0) — сферические координаты (решение задачи не зависит от осевой координаты в случае цилиндрической оболочки и от угловой координаты вдоль параллели в случае сферической оболочки), г — радиальный или сферический радиус, угол 0 отсчитывается от положительного направления оси "%, а и Ь — внешний и внутренний радиусы оболочки, соответ-а + Ь а — Ь

ственно, = —----------радиус срединной поверхности оболочки, к = —--------------

полутолщина оболочки.

Давление в падающей волне р; и рассеянное давление р. должны удовлетворять уравнению Гельмгольца

Д р + к2 р = 0, (1.2)

где оператор Лапласа Д соответственно в цилиндрической или сферической системе координат имеет вид:

л д2 х д 1 д2 д 1 д / 2 д \ 1 д / . п д \

“ д? + 7^ + ^й02’ “ ^д~г[Г ^/ +^^050 (8Ш ае)- ( ^

Кроме того, давление р. удовлетворяет условию излучения на бесконечности. Давление в падающей волне р; можно представить в виде [13]

ТО

р; = ро 2 Еп(—1)п/п(кг)Еп(0). (1.4)

п=0

Здесь для цилиндрической оболочки имеем Ео = 1, Еп = 2 (п ^ 1), /п = /п, g<nL) = Н(1), ¥п(0) = ео8 п0, п1 = п, 1п —функция Бесселя, Н(1) —функция Хан-келя первого рода; для сферической оболочки получаем Еп = 2п +1, /п = ]п, gn ) = Ь-п'1, Рп(0) = Рп(со§ 0), п1 = п + 1/2, ]п — сферическая функция Бесселя, Рп — полином Лежандра, —сферическая функция Ханкеля первого рода. Временной множитель ехр(-;ш г) здесь и далее опущен.

Рассеянное давление р. в случае нормального падения плоской акустической волны будем искать в виде [4,9]

р.. = ро 2 Еп(-;)пВп£\кг)¥п(0). (1.5)

п=о

Представленное таким образом рассеянное давление р. автоматически удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1.2)—(1.3) и условию излучения на

бесконечности. Коэффициенты Вп определяются из контактной задачи для уравнений, описывающих движение оболочки. Если для описания движения оболочки применяются трехмерные уравнения теории упругости, то контактные условия можно записать следующим образом

1 д

(Р1 + Рз) ,

ре2к2 дг

(1.6)

= - (Рі + Р*)

Ог0 = Ог = Огв

г=а г=Ь г=Ь

= о,

где ог, о^ — напряжения, иг — радиальное перемещение точек оболочки (здесь внутренняя поверхность оболочки свободна от напряжений).

Относительную толщину оболочки будем характеризовать безразмерным параметром относительной толщины ц, величина которого связана с параметром тонкостенности П соотношением

а — Ь

И- =

2г|

1 + п’

(1.7)

Рассмотрим далее три базовые асимптотические модели взаимодействия оболочки с жидкостью. Для простоты изложения остановимся на случае сферической оболочки. В случае цилиндрической оболочки соответствующие уравнения можно найти, например, в работах [9,12].

г=а

г= а

О

г

г=а

г=а

2. Уточненная теория Кирхгофа—Лява

Теория Кирхгофа—Лява и ее уточнение могут быть рассмотрены как длинноволновые низкочастотные приближения динамических уравнений теории упругости. Следовательно, они пригодны для описания точного решения в окрестности нулевой частоты.

Уравнения уточненной асимптотической модели в перемещениях можно записать для сферической оболочки в виде (см. [4,11])

д дw 1 2

—Ф(и) + (1 - V) и + (1 + V) — - -г|2

д0 д0 3

д0

Ф(У1) + (1 - V) уі

+

1 - V 2 V (1 + V) Я дт

+ —^Я2—^и + ’ — = 0,

2

2Е д0

1

(1 + V) (Ф(и) + 2м>) + “Г)2 [Д0Ф(уі) + (1 - V) Ф(уі)] -

1 - V 2 V (1 + V) Я (1 ^2,

Е

т +

2Ек

(2.1)

где

д^ д2 д д f

71 = 30 " ко = сї§0, А° = 502 + к°дв’ Ф(/) = дв + ко/' ^

д

С

2

С

2

В уравнениях (2.1)

т = - (рі + р5)|г

2 2 ш^ и = ш

и + ц2 (Со + Сут2 + С2г4) ш^ = ш2 ^ + п2АоАо^’ - г2 [А-1™ + п2А2Ао^], г

(2.3)

со/г С2 ’

и — тангенциальное перемещение вдоль оси 0, w — прогиб, Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, значения А[ и С[ приведены в работах [1,11,12]. Условие непротекания имеет вид:

Л ^ 1 д

:ДоМ> - --—Ф(и) = Г — (Р1 + Рг)

W +

2(1 — V) и" (1 — V) ч"' рсог дг''1'1 ' 1'!” г=а ^2'4^

Уточненная асимптотическая модель по сравнению с классической теорией учитывает поперечное обжатие оболочки жидкостью, в приведенных частотах улучшает аппроксимацию дисперсионных кривых, уточняет выражение для поверхностной нагрузки, в условии непротекания учитывает отклонение нормального перемещения срединной поверхности от нормального перемещения внешней поверхности сферы.

Из системы (2.1)—(2.4) находим

І П( х)йх + йіп(х) ккЯ

Вп ~ и(1>

К’(х)й 1 + 2С;(х) 2(1 + V)"2

в- (^2^2 + Ъгйз),

(2.5)

d\ =

ап а\2

а21 а22

d2 =

а12 а11 а32 а31

dз =

а21 а22 а31 а32

ап = 1+у + ^г|25, «12 =-(і + ^Л2)5 +

Х-уЛ

~К а-

1 2 1 - V .

«21 = 2 (1 + V) + -г| ------— К

,2 Шіг

, а22 = -Мац, аз1 = 1 -

vn

2(1 - V)

N

а32 =

vn

-М Ь1 =

V (1 + V)

, Ь2 = V (1 + V) -

1 - V2

1 +

8^

-п2М ,

(1 - V) 2 2п \ 10(1 - V)

N = п (п + 1), 5 = N - 1 + V, х = ка — волновой радиус.

Отметим, что уточненная теория Кирхгофа—Лява описывает только резонансы волны типа Лэмба S о и порожденной жидкостью волны А (или волны типа Лэмба Ао). Номера описываемых резонансов лежат в области п << п-1/2.

г=а

2

С

2

3. Модель типа плоского слоя

В работах [2,14] построена асимптотическая модель, являющаяся развитием модели плоского слоя и позволяющая описать взаимодействие оболочки с жидкостью, т.е. определить не только резонансные частоты, но также

рассеянное давление и формы резонансных кривых. В задачах рассеяния упругой оболочкой данная модель используется для описания периферических волн типа Лэмба и волны, порожденной жидкостью. В рамках этой модели в уравнениях теории упругости, записанных в сферических координатах, сохраняются только старшие производные, а радиальная координата замораживается на срединной поверхности [14-16]. Таким образом, задача сводится к рассмотрению уравнений плоской задачи теории упругости в декартовой системе координат. Движение жидкости описывается уравнением Гельмгольца без каких-либо упрощений.

Уравнения, описывающие движение сферической оболочки, имеют вид

Арф + в-2к2 ^2ф = 0, Ару + Р22к2^2^ = 0,

2 2 2

д2

д2

Лр <^2 + <902’

где ф и у — потенциалы Ламе. Характеристики напряженно-деформируемо-го состояния оболочки выражаются следующим образом:

1 /дф ду

и, = — — + — <90

-&2/?2ф + 2^21 — —7

2

1 дф ду

с?2\|/ <92ф

21 д^дв ~ дО2

к2К2у + 2Р2(4^ + ^ т 121<9ї;<90 <902

(3.2)

Переход от уравнений теории упругости в сферической системе координат к уравнениям (9)—(10) опирается на предположения д/д£, ~ п-1, д/д0 ~ п-1, шЯ/с2 ~ п-1. Эти условия определяют коротковолновые колебания оболочки. Они позволяют оставить в уравнениях теории упругости только старшие производные, и заморозить радиус на срединной поверхности. На лицевых поверхностях оболочки ставятся граничные условия

1д

£=п рс2к2 дг

(Рі + Р*)

аг0

£=п

= 0, а,

£=-п

г ?=п

= 0, а,0

= - (Рі + Р*) = 0.

£=-п

(3.3)

Решая задачу (3.1)—(3.3) и используя асимптотическую формулу

д2Рп(соъ 0)/д02 « -п2Рп(ео8 0) справедливую при п >> 1, находим коэффициенты Вп [4, 12, 15]

В„— — ■

Уп(х)<11 - 2^^к;и(х)й?2 г(1>

п

(3.4)

d1 = 4В*Ва, d2 = а1 (8Ь(а1п)зЬ(а2п)Ва + еЬ(а1п)сЬ(а2п)В*), п1 = п + 1/2, В* = у4сЬ(а1п)8Ь(а2п) - 4р2п2а1а28Ь(а1 п)сЬ(а2п),

Ва = у^Ка^сЬ^п) - 4р2п2а1а2сЬ(а1п)8Ь(а2п),

а,- =

- рГ2£2Я2 (і = 1,2), у2 = 2«?Р2 “ к2к2’

1

и

г

г= а

4. Длинноволновое высокочастотное приближение

В окрестностях частот толщинных резонансов волны Лэмба высших порядков соответствуют длинноволновым высокочастотным колебаниям. Существует два типа длинноволновых высокочастотных приближений [7,8]. Поперечное приближение применяется в окрестности частот толщинных резонансов растяжения-сжатия, т.е., в области \г - Лй| << 1, где Лй = пту для антисимметричных мод и Лй = п (т - 0,5)/у для симметричных мод,

В окрестности частот толщинных резонансов сдвига применяется тангенциальное длинноволновое высокочастотное приближение. В этом случае разрешающее уравнение принимает вид

Ц2 + ^“) + ^ ~ Л^)U =

2(-1 )m+lhy д (pi + ps) (ctgfyAsi,) 1

Ashpi4 ^ дВ I tg(yAsh) f ’

p = 1±*L(<*g( YA-0\ ро = _6

Ash I tg(yAsh) J R

Здесь и далее верхний (нижний) знак и верхнее (нижнее) выражение в фигурных скобках соответствует антисимметричным (симметричным) модам, и — тангенциальное перемещение в направлении оси 0. Условие непро-текания можно записать в виде

2(-1)иУ n fctg(YAsh)l 1 а, . N

^Г’1А"1«улЛ)Г^^<й + Л)

(4.2)

где к0 = ^0, Д0 = д2/д02 + код/д0, Ф(/) = д//д0 + к0 /, Б\и = Ф(и).

В уравнениях (4.1), (4.2) имеем выражение для антисимметричных мод Л8ь = п (2т - 1), а для симметричных мод Л8^ = пт, т = 1,2,.... Область применения этих уравнений определяется неравенством |г - Л8^| << 1.

Для антисимметричного случая тангенциального приближения имеем

[3,12]

_ Б] 'п(х) -4п(п + 1)/гк|3“2П&/и(х)

5 (х) - 4п(п + 1)йк|3~20.к11(„ \х) (4-3)

5 = -Рп(п + 1) + Р0К + п-2 (г2 - Л^), П = ^2(уЛ8Ь)/Л2Ь.

Заметим, что решение (4.3) и аналогичные решения для других типов длинноволновых высокочастотных приближений применимы только для малых значений параметра п, где п << п-1. Однако, ряд для р5 (1.5) начинает сходиться при п ~ х ~ п-1. Следовательно, при вычислении рассеянного

давления р5 данная модель должна быть скомбинирована с другим асимптотическим приближением, описывающим коротковолновые колебания, например, моделью типа плоского слоя [4,11].

r=a

5. Результаты математического моделирования

Рассмотрим вопрос сращивания трех асимпотических приближений, описанных выше. Резонансные компоненты парциальных мод в случае рассеяния назад (0 = 0) для жесткого основания имеют вид

8пУ (х)

(5.1)

4 4п1

для цилиндрической оболочки Сп = ——, для сферической оболочки Сп = ----------------,

л/лх х

Здесь п — номер парциальной моды.

Функция формы р в дальнем поле, определяющая асимптотическое представление рассеянного телом акустического давления при г ^то, в случае рассеяния назад (0 = 0) вычисляется по формуле [4, 5,12]

Р -

0,5 £ ОпЕпБп(-1)п

п-0

(5.2)

В формуле (5.2) постоянные Еп такие же, как и в соотношении (1.5), а коэффициенты Оп определяются формулой (5.1).

Численное моделирование показывает (см. работы [4,5,9-12]), что при умеренных значениях величины относительной толщины оболочки указанные асимптотические приближения имеют области согласования для всех видов сферических и цилиндрических оболочек из алюминия, из Армко железа и из свинца. А именно, при 1/30 ^ ^ ^ 1/9 существуют две различных области согласования: между уточненной теорией Кирхгофа—Лява и моделью типа плоского слоя, а также между моделью типа плоского слоя и длинноволновым высокочастотным приближением в окрестности частот запирания. С увеличением относительной толщины ^ при ^ > 0,115 эти области становятся все более узкими или совсем исчезают.

На рис. 1-3 приведены данные для сферической оболочки из Армко железа. Точное решение, полученное с использованием трехмерных уравнений теории упругости (см. [17]), также приведено на этих рисунках. Вычисления проводились при ^ = 0,2 для оболочки, когда относительная толщина оболочки достаточно велика. На рис. 1 представлены резонансные компоненты для волны типа Лэмба 5 0, вычисленные по уточненной теории Кирх-гофа—Лява и модели типа плоского слоя.

Аналогичное сравнение представлено на рис. 2 для порожденной жидкостью волны А (начиная с п = 5 она сменяется волной типа Лэмба А0). Анализ рис. 1 и рис. 2 показывает, что для малых значениях волнового радиуса х ^ 13 (для мод малых номеров) уточненная теория Кирхгофа— Лява дает приемлемое приближение, в то время как модель типа плоского слоя можно использовать при средних значениях волнового радиуса 12 ^ г ^ 30. Для значениях волнового радиуса х > 30 (для мод больших

1.5

-----точное решение

-----угочн. теория Кирхгофа-Лява

----- модель типа плоского слоя

и=5

а)

Рис. 1. Резонансные компоненты парциальных мод для волны 50

номеров) в данном случае использование модели типа плоского слоя приводит к значительным погрешностям. Это связано со смещением в сторону больших значений пиков резонансных частот. Эти рисунки иллюстрируют существование узкой области согласования (12 ^ х ^ 30) между уточненной теорией Кирхгофа—Лява и моделью типа плоского слоя.

С

точное решение

-----угочн. теория Кирхгофа-Лява

----- модель типа плоского слоя

а)

15

20

25

30

35

40

45

Рис. 2. Резонансные компоненты парциальных мод для волн А и А0

Вычисления проводились для оболочки при следующих значениях параметров задачи:

е\ = 5960 м/с, С2 = 3240 м/с, р1 = 700 кг/м3, р = 1000 кг/м3, с = 1493 м/с.

На рис. 3 сравниваются резонансные компоненты для волны типа Лэмба Ах, соответствующие модели типа плоского слоя (сплошная линия), длинноволновому высокочастотному приближению (пунктирная линия) и точному решению (сплошная жирная линия). Для длинноволнового высокочастотного приближения коэффициенты Вп определяются формулой (4.3). Приведенные здесь данные показывают, что только для мод малых номеров (п ^ 6) длинноволновое высокочастотное приближение лучшее дает приемлемую аппроксимацию точного решения. В то же время отсутствует область и согласования между моделью типа плоского слоя и длинноволновым высокочастотным приближением.

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

1.2

0.8

0.4

0.0 *

45 50 55 60 65 70 75

Рис. 3. Резонансные компоненты парциальных мод для волны А1

Следовательно, для оболочек указанной толщины данный подход применять надо очень аккуратно как для описания резонансных компонентов парциальных мод, так и для синтеза функции формы рассеянного давления при не очень больших значениях волнового радиуса х, т.е. в области частот ниже частоты первого толщинного резонанса.

-----точное решение

-----длинноволновое высокочастотное приближение

Результаты синтеза функции формы рассеянного давления в дальнем поле в случае рассеяния назад в соответствии с формулой (5.2) представлены на рис. 4. Здесь дано сравнение функций формы рассеянного давления, вычисленных по уточненной теории Кирхгофа—Лява и по модели типа плоского слоя, с точным решением. Анализ рисунка показывает, что при малых значениях волнового радиуса х ^ 13 уточненная теория Кирх-гофа—Лява дает приемлемое приближение, в то время как модель типа плоского слоя можно использовать при средних значениях волнового радиуса 12 ^ х ^ 25.

Расположение первой области согласования на рис. 4 (12 ^ х ^ 13) соответствуют выводам, сделанным выше. Этот рисунок для области умеренных значений частот подтверждает эффективность предложенного подхода, заключающегося в использовании простых сращиваемых приближений вместо исходной сложной модели. В области более высоких частот х > 25 использование модели типа плоского слоя приводит к значительным погрешностям в аппроксимации функции формы рассеянного давления.

Приведенные вычисления показывают значительное смещение пиков функции формы рассеянного давления, соответствующее теории длинноволновых высокочастотных колебаний модели типа плоского слоя в сторону больших значений волнового числа х, т.е. в область больших частот. Здесь не хватает точности описания коротковолновых составляющих, даже если длинноволновые составляющие имеют приемлемую аппроксимацию.

Следовательно, когда относительная толщина оболочки достаточно велика, данный асимптотический подход можно использовать при не очень больших значениях волнового радиуса х, т.е. только в области частот ниже частоты первого толщинного резонанса. В окрестности нулевой частоты используется уточненная теория Кирхгофа—Лява, а далее модель типа плоского слоя до тех пор, пока частота остается меньше значений частот запирания.

Для того чтобы уточнить представление о границах области применимости математической модели, рассмотрим случай цилиндрической оболочки, когда относительная толщина оболочки достаточно велика ^ = 0,2 при значениях параметров задачи (5.3). На рис. 5 приведены результаты сравнения точных дисперсионных кривых для первых двух периферических волн с дисперсионными кривыми, вычисленными по модели типа плоского слоя для волн типа Лэмба 5 0 и А0, а также с дисперсионной кривой, вычисленной по модели типа шепчущей галереи. Кроме того, приведена приближенная дисперсионная кривая, вычисленная на основе полученной в работе [18] формулы для резонансов периферической волны Рэлея в сплошном цилиндре. Она имеет вид

0 АЯфки) ,г

хп — Ко и-------, 5.4

1 я'(М)

= (2п2 - |322х2) - 4п2о.\о.2, а,- = -^п2 - |3(. 2х2 (г = 1,2), (5.5)

Рис. 4. Сравнение функций формы рассеянного давления

АК 24'

Хг - 2п2) ((х^ - 2х2^ (2п2 + 3- 2 (п2 - (івп2 - 21 х^ -

4п2а^2 ^2п2 - 9х^ а-3 + (х2 - 2п2) ^2п2 + 3х2) -

-4п2а1а2 ^2п2 - 9х|) а-3| + 2х2а2 + 4п2а1

Здесь в соотношении (5.4) |3д = сд/с, где с — скорость волны Рэлея. Точное решение [19], соответствующие трехмерным уравнениям упругости, на

рис. 5 отмечено жирной линией. Анализ данных приведенных на рисунке показывает, что с ростом частоты волна типа Лэмба Ао переходит в волну Рэлея, а волна типа Лэмба Б о — в волну типа шепчущей галереи (см. [20]). Заметим, что хотя толщина цилиндра достаточно велика, у модели типа плоского слоя остается область применимости, которая находится на не слишком высоких частотах.

----- точное решение

----- волна А0

-----волна 50

-----волна Рэлея

----- волна типа шепчущей галереи

5 30 55 80 105 130 155 180 205 230 255 280 305

Рис. 5. Сравнение дисперсионных кривых

Аналогичная картина наблюдается для оболочек, изготовленных из других материалов, и при других достаточно больших значениях относительной толщины оболочки ^ ^ 0,18.

Следовательно, что для оболочек средней толщины данные асимптотические приближения нельзя использовать для нахождения функции рн в области высоких частот. Однако для оболочек средней толщины данный подход можно применять как для описания резонансных компонентов парциальных мод, так и для синтеза функции формы рассеянного давления в области частот ниже частоты первого толщинного резонанса. В случае, когда толщина оболочки достаточно велика, модель типа плоского слоя применима только при умеренных значениях круговой частоты.

В заключение, отметим, что для более тонких оболочек ^ ^ 0,11 асимптотический подход, основанный на сращивании трех асимптотических моделей (уточненная теория Кирхгофа—Лява, модель плоского слоя и длинноволновое высокочастотное приближение), позволяет находить рассеянное давление и резонансные компоненты парциальных мод в широком диапазоне волновых чисел, включая и высокочастотную область.

Литература

[1] Ковалев, В.А. Применение уточненной асимптотической модели в задаче рассеяния плоской акустической волны сферической оболочкой / В.А. Ковалев // Изв. РАН. Мех. тверд. тела. - №2. - 2002. -С. 155-162.

[2] Вильде, М.В. Развитие приближения типа плоского слоя в задаче рассеяния акустических волн цилиндрической оболочкой / М.В. Вильде, Ю.Д. Каплунов, В.А. Ковалев // Изв. РАН. Мех. тверд. тела. - №3. -2002. - С. 180-186.

[3] Ковалев, В.А. Об использовании длинноволнового высокочастотного асимптотического приближения в задаче рассеяния акустических волн упругими оболочками / В.А. Ковалев // Сб. науч.тр. Матем. модел. и управл. в сложных системаха.—М.: Изд. МГАПИ. - Вып. 5. - 2002. -С. 54-61.

[4] Ковалев, В.А. Сращивание асимптотических приближений в задачах рассеяния акустических волн упругой сферической оболочкой /

В.А. Ковалев // Прикладная математика и механика. - Т. 66. -Вып. 4. - 2002. - С. 596-606.

[5] Kaplunov, J.D. Matching of asymptotic models in scattering of a

plane acoustic waves by an elastic cylindrical shell / J.D. Kaplunov,

V.A. Kovalev, M.V. Wilde // Journal of Sound and Vibration. -V. 264(3). - 2003. - P. 639-655.

[6] Kaplunov, J.D. Dynamics of thin walled elastic bodies / J.D. Kaplunov, L.Yu. Kossovich, E.V. Nolde. - N.Y.: Academic Press, 1998. - 226 p.

[7] Каплунов, Ю.Д. Высокочастотные напряженно-деформируемые состояния малой изменяемости в оболочках, погруженных в жидкость / Ю.Д. Каплунов // Прикладная математика и механика. - Т. 55. -Вып. 3. - 1991. - С. 478-485.

[8] Каплунов, Ю.Д. Высокочастотные напряженно-деформируемые состояния малой изменяемости в упругих тонких оболочках / Ю.Д. Каплунов // Изв. АН СССР. Мех. тверд. тела. - №5. -1990. - С. 147-157.

[9] Ковалев, В.А. Синтез акустического давления, рассеянного упругой цилиндрической оболочкой, основанный на сращивании асимптотических приближений / В.А. Ковалев // Изв. РАН. Мех. тверд. тела. -№4. - 2003. - С. 215-224.

[10] Kovalev, V.A. Matching of asymptotic approximations in scattering of acoustic wave by an elastic shells / V.A. Kovalev // Eleventh Intern. Congress on Sound and Vibration. Proceedings. - SPb. - Politechnika. -2004. - P. 2287-2294.

[11] Ковалев, В.А. Использование асимптотических моделей в задаче рассеяния акустических волн тонкими упругими оболочками /

B.А. Ковалев // Вестник МГАПИ. Серия технические и естественные науки. - №1. - 2004. - С. 147-176.

[12] Ковалев, В.А. Асимптотический подход в задачах рассеяния акустических волн упругими оболочками / В.А. Ковалев // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - №9(49). - 2006. -

C. 42-54.

[13] Векслер, Н.Д. Акустическая спектроскопия / Н.Д. Векслер. - Таллин: Валгус, 1989. - 323 с.

[14] Ковалев, В.А. Развитие приближения типа плоского слоя в задаче рассеяния акустических волн сферической оболочкой / В.А. Ковалев // Механика деформ. сред: Сб. науч.тр. - Саратов: Изд-во СГУ, 2002. -Вып. 14. - С. 70-76.

[15] Kovalev, V.A. On development of the flat layer model in scattering of acoustic waves by elastic bodies / V.A. Kovalev // Advanced problems in mechanics. Proceedings of XXIX Summer School. - SPb., 2002. -P. 382-388.

[16] Ковалев, В.А. Особенности использование модели типа плоского в задаче рассеяния акустических волн упругой сферической оболочкой /

B.А. Ковалев, Е.Д. Ковалева // Новые информ. технологии. Сб. тр. VII Всеросс. научно-техн. конференции. - М.: Изд-во МГАПИ, 2002. -

C. 63-72.

[17] Goodman, R.R. Reflection and transmission of sound by elastic spherical shells / R.R. Goodman, K. Stern // J. Acoust. Soc. America. - V.34. -№3. - 1962. - P. 338-344.

[18] Ковалев, В.А. О резонансе волны Рэлея при рассеянии акустических волн сплошным упругим цилиндром /В.А. Ковалев // Изв. Вузов Сев.-Кавк. региона. Естеств. науки. - Спец. выпуск. - 2001. -

С. 93-95.

[19] Uberall, H. Sound scattering by elastic cylindrical shells / H. Uberall, R.D. Doolittle // J. Acoust. Soc. America. - V.39. - №2. - 1966. -P. 272-275.

[20] Ковалев, В.А. Асимптотический подход к описанию резонансов волн типа шепчущей галереи в задаче рассеяния акустических волн упругой сферой / В.А. Ковалев // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - №2(61). - 2008. - С. 160-173.

Поступила в редакцию 14//V/2008; в окончательном варианте — 14//V/2008.

AN ASYMPTOTIC APPROACH IN MATHEMATICAL MODELING OF ACOUSTIC WAVES SCATTERING BY ELASTIC SHELLS

© 2008 V.A. Kovalev3 E.D. Kovaleva4

Application of asymptotic methods to solution of stationary problems of scattering of acoustic waves by elastic relatively thick cylindrical and spherical shells is considered. Mathematic model of construction the approximate solution on the basis of matched expansions for three different asymptotic models representing the interaction between an elastic shell and acoustic medium is used. In dependence of value relative thickness shell defined the field of application by these asymptotic models. The given approach for shells of middle thickness may be applied as for description resonance components of partial modes as and for synthesis of scattered pressure shape in the field of frequency lower then the first thickness resonance frequency. For sufficiently thick shells is shown that the flat layer model are employed only for moderate values of circular frequency.

Keywords and phrases: mathematic modeling, asymptotic methods, acoustic waves, elastic shells, refined Kirchhoff-Love theory, long-wave high-frequency approximations, flat layer model, matching of expansions.

Paper received 14//V/2008. Paper accepted 14/IV/2008.

3Kovalev Vladimir Alexandrovitch ([email protected]), Dept. of Applied Mathematics, Moscow City Government University of Management, Moscow, 107045, Russia.

4Kovaleva Elena Dmitrievna ([email protected]), Dept. of Information Science and Information Systems, Moscow City Government University of Management, Moscow, 107045, Russia.