7Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН № 5 (91) 2019
= МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.95
DOI: 10.35330/1991-6639-2019-5-91-21-29
ЗАДАЧА В ПОЛУПОЛОСЕ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРОМ РИМАНА - ЛИУВИЛЛЯ
ПО ВРЕМЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Л.Л. КАРАШЕВА
Институт прикладной математики и автоматизации -филиал ФГБНУ «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук» 36000, КБР, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А E-mail: ipma@niipma.ru
В настоящей работе рассматривается неоднородное параболическое уравнение четвертого порядка с дробной производной по временной переменной. Дробная производная понимается в смысле производной Римана-Лиувилля. Для рассматриваемого уравнения исследуется краевая задача в полуполосе. Линейность задачи позволяет редуцировать ее к решению однородного параболического уравнения четвертого порядка с дробной производной по временной переменной с однородным начальным условием и неоднородными краевыми условиями. В работе дано фундаментальное решение параболического уравнения четвертого порядка с дробной производной по временной переменной в терминах функции Райта, построено представление решения поставленной задачи, доказана единственность решения в классе функций быстрого роста.
Ключевые слова: дробная производная Римана - Лиувилля, параболическое уравнение четвертого порядка, задача в полуполосе.
1. Введение
Рассмотрим в области D = {(x, t) : 0 < x < < t < T} уравнение
Lu(x,t) = D(u(x,t) + d u(xt) = f (x, t), (1)
dx
где П G M, D( - оператор дробного (в смысле Римана - Лиувилля) интегродифференци-рования порядка X, 0 < X < 1, определяемый соотношением [1, с. 9]
DIM ) =
1 x (p(t)dt
r(-x)0 | x -1
(( x),x = 0
~8x[
D(X-[X]-1((t),(> 0,
œ]+1 0x
где [х] - целая часть числа а £ М, которая удовлетворяет неравенству [х] <Ы<[х] +1.
Уравнение (1) с производной второго порядка по переменной х называется диффузионно-волновым уравнением. Диффузионно-волновое уравнение широко исследовано. В частности, в работе [2] решена задача Коши для уравнения диффузии дробного порядка с регуляризованной дробной производной. В работе [3] построено фундаментальное решение, дано решение задачи Коши и доказана теорема единственности в классе функций,
удовлетворяющих аналогу условия А.Н. Тихонова, для диффузионно-волнового уравнения. В работе [4] с помощью интегральных преобразований найдено решение диффузионно-волнового уравнения четвертого порядка с регуляризованной дробной производной по времени. В работе [5] найдено решение задачи Коши для дробного диффузионно-волнового уравнения. Наиболее полную библиографию можно найти в работах [3, 6, 7, 8].
В полубесконечной области в работе [9] исследована краевая задача для однородного уравнения второго порядка с дробной производной. В работе [10] для уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами при младших членах решена задача в полуполосе.
В работе [11] построено фундаментальное решение для параболического уравнения порядка 2п, исследованы его свойства и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
В данной работе для уравнения (1) построено представление решения в полуполосе и доказана единственность решения в классе функций быстрого роста.
2. Постановка задачи Регулярным решением уравнения (1) в области В назовем функцию и = и(х,г), имеющую непрерывные производные по переменной X до четвертого порядка, такую,
ди
что Гаи(х,0 е С(В), и(х,г),— е С(В и 3), 3 = {(х,г): х = 0,0 < г < Т},
дх
ди
дх4
, В^ е С(В) , удовлетворяющую уравнению (1) во всех точках (х, г) е В.
Найти регулярное решение уравнения (1) в области В , удовлетворяющее начальному условию
а-1
НшВа( и(х, г) = т(х), х > 0
^0
(2)
и краевым условиям
и
ч1 / ч д2и(х,г)
(х9г )| х=0 = ( X
(), 0 < г < Т,
х=0
где т( х), ( (г) ( (г) - заданные функции.
В силу линейности задачи (1)-(3) решение можно представить в виде
и( х, г) = и (х, г) + и2 (х, г),
(3)
(4)
где щ (х, г) является решением задачи Коши в области
а = {(х,г): -да < х < да, 0 < г < Т}
Ьщ (х, г) = ваи( х, г) +
д4и(х, г) дх4
= Я*,0,
Нт В" иЛх^) = т(х),
о
(5)
функции /(х,1) и т(х) можно определить так, что /{х^) = /(х^), т(х) = т(х) при
х > 0, и продолжаем при х < 0 так, чтобы выполнялись условия существования решения задачи Коши [11, Теорема 1], в частности,
Г 4 \
Нш г(.х)ехр
-к\х\4~а V
г
0,
\irnt1 0 ехр
4 \
0.
-к | х |4-а V У
Определив функцию щ (х, г) [11], находим, что функция и2 (х, г) является решением однородного уравнения (1), удовлетворяющим условиям
ла-1
Нш в°-1и2 (х, г) = 0, и2(X, г^х=0 =(0(г) - и1(X, г)|
д2и2(х, г)
с>х2
= ((г) -
д2 Щ (х, г)
X=0
дх2
X=0
Поэтому далее будем рассматривать следующую задачу: найти регулярное решение уравнения
з4-/( х, г) _
(7)
в0>( х, г)= 0,
дх4
удовлетворяющее начальному условию
НшВ° и(х, г) = 0, х > 0
и краевым условиям
ч1 / ч д2и(х,г)
и( x, г )\х=0 = ( ), —(у1
= (), 0 < г < Т.
х=0
(8)
(9)
3. Вспомогательные утверждения
Рассмотрим функцию
За
г 4 1 ' Г( х, г) = — ©1
х|г 4;--,
а За
4 4
(10)
где
©т (*;Р,]) = е 4ф
л Г
—гт— 4
Р,]; *е
' 4
л Г
гт— 4
+ е 4ф
Р,] *е
г 4
, р>-1, дес, тем,
Ф(Р, * ) = !■
21
- функция Райта [12]. Функция Г(х, г) является фунда-
р=0 Р !Г (Рр + ])
ментальным решением уравнения (1), для нее справедливы следующие выражения:
dl dzq
©m(z;ß,ß) = ©m+q(z;ß,ß + qß) (g£M,z£ C);
d4
—r ©m (z ;ß,ß) = -©m (z ;ß,ß + 4ß);
dz
r 1 л
при ß '
1.0
v 2 у v dq
D>ß-1©m (zyß;ß,ß)=y"^! (zyß;ß,ß - r),
1 - 1 <1 argz|, —ж <argz < ж, у £ M;
(12) (13)
■Dl1T(x,t) |< C | x |"et
l+q-вЛ (
a\ 1---— —r—1
exp
^__
4—а f 4—а
-G | X |4—а t V У
(14)
где G <g
Г
1 — -4
V 4 У
öf т
4—а 1
cos-ж, 0 <а< 2, у £ M, q£MU {0}, в> 0, C -
V 4 У
4 — а
некоторая положительная постоянная, не зависящая от x и t;
dq dq ° D'tГ(0+, t) — DltГ(0—,t)
dxq
где q£MU {0}, у £ M.
axq
0,
,—r—1
Г(—Г)
при q = 0,2, при q = 3,
(15)
4. Теорема существования
__QT
Пусть функции t1 ~а%(),t1 "((t)eC(D) и p(t) = D-ßp^t), (t) = D—pt), ,
тогда решение задачи (7)-(9) представимо в виде
t д t Q3
(Xt) = Г( x t - r)dr + 2\(00)^-г~Г( x ri)dr (16)
п ОХ п О X
u
Доказательство. Непосредственной подстановкой функции (16) в уравнение (7) с учетом (12), (13) и (14) можно показать, что функция (16) удовлетворяет уравнению (7). Из (13) и (14) очевидно, что функция (16) удовлетворяет однородному условию (8). Проверим, выполняется ли первое краевое условие из (9):
t д t Q3
lim u( x, t) = 2lim ((r)—Г(х, t — r)dr + 2lim (r)-^—Г( x, t — r)dr
x^0 n dx x^0 А д x
а
Так как ) = Ц-(х(1), () = О-(0(I), используя формулу дробного интегрирования по частям [7, а15], представление (10), перепишем последнее равенство в виде
С а \
— г/ г/
йц -
1,- Г-
limu(x,t) = 1lim fp(r)(t — r)2 ^ ©2
9 x^0
2 А
X ^ 0
, , , N— а а
— |x|(t — r)4;—+ß \ 42 У
1 '
-lim 04
2 0
У а \
Ii/ ч_т а -\x\(t-Л) 4;
v 4 у
d^.
Учитывая оценку (14), в последнем выражении можно перейти к пределу под знаком интеграла, таким образом получим
lim u( x, t) = ( (t).
x—
Подставим (16) во второе условие из (9) и рассуждая аналогично, как при проверке первого условия из (9), будем иметь
limQ u(xt) = 2iim_?- t lA г(x,t - r)dr + f(0(r)—гГ(x,t - r)dr =
x—0 —x2 x—0 Qx2 Г1—! x—0 Qx2i 0
1 д3 1 д5 = ^МП Г(x,г - Ч)^ + 2Нт{в1 дГ(x,г - /МЛ =
г _ _ д5
= (Х(1 ) + 211ш(Л)ВГ/ Т— Г(x,г - ЛУГ/.
х 0 д х
а
С учетом (14) и если д > — второе слагаемое обращается в ноль, следовательно, получим
Hm = fl(t).
dx2 1
Теорема доказана.
5. Теорема единственности В классе функций, удовлетворяющих условию
x^+x
( 4 л
_p\x \4-а
lim t аи(X, t)exp
= 0, (17)
V У
где р - положительная постоянная, существует не более одного решения задачи (7)-(9). Доказательство. Пусть Кг (х) - функция вида
Г1, х < г,
К(х) = \ (18)
[ 0, х > г +1,
удовлетворяющая следующим свойствам:
0 < hr( x) < 1, h r)(x)
< const,
h{rJ)(x) = 0 при x £ (r, r +1), (19)
где j = 1,4, const - постоянная, не зависящая от x и r .
Рассмотрим функцию
у(х,г,4,ц) = К(%ЦО(х,г,4,ц), х> 0,
где
Заметим, что
в( х, г, д, ц) = [Г( х + д, г - ц) - Г( х - д, г - ц)].
о(х,г,ш\ о,
од
Пусть и(х, г) - решение однородной задачи (7)-(9), т.е.
/ ч I ^ 0 2и (х,г) | и( х,г)\х=0 = 0, \х=0 = 0.
0х1
Домножим уравнение (7) на функцию у( х, г, 4, ц) и проинтегрируем
г (х-е х Л
| У(х,г,4,ц)Ьи (4,ц)й4йц =
0 V 0 х+е ) (х-е х \
= { | + | у(х,г,4,ц)Ц0;и(4,ц)й4йц +
0 V 0 х+е
г х-е х Л
+| | + | у(х,г,д,ц)'
8 иШ
V 0 х+е )
84"
Из формулы дробного интегрирования по частям [7, с. 15]
]g= № (м < 0),
и в силу (19), а также равенств
04 и т-(х,1,д,ц)=±-
(20)
(21)
од4
и (см. (20), (21))
4! й ) д] =0 ] «Г^ ^ К (4) О-
Ъ (-1)'
]=0
8' (х,г,4,ц)) О3-;и(4,ц)
84
получим
*
Гх -
х-е х
\
0 = 1 1 + 1 И х, г,д,ц)
0 V 0 х+е ) г {х-е х Л
Ц0ц + ^ ^4
д 40 О4
0,
од4
и(д,ц)йдйц =
0
+ | и(4,ц)кг (4)
V 0 х+е )
гц ^ £4
од
Цц?0( х, г ,4,ц)йдйц +
Г f( —л)* ^^ (-1)-f--f- Le dj
+
0 J =0
г Г^ ^ 3 (4)! d(4_J) 5J
+j j + j »(^m-j^—к(i) —j«.*,t
V 0 X+EJ
Перейдем к пределу при £ ^ 0 в последнем равенстве и в силу того, что и(X, £) является решением однородной задачи (7)-(9), и так как
f 34 А
Л а г4
V
af
DJG (x, t fj) = 0,
J
с учетом равенств (18) и (15) следует, что при X < г
' 3 4! d(4_7) д7
0г<#<г+1 7=0 7 !(4 - 7) ^ д£
Из вида функции X, и (14) получим, что
I D~txu(x, t )|< Cj j »(f,j)|exp
0 r<f<r+1
-a
(x - f )4-a
(t -л)
4—a
(22)
где a < a =
' a
i -
V 4 J
4
a
v 4 J
4-a 1
COS-Ж. Из (17) следует, что при t < L =
4-a
r \
a
vPJ
4- a
ин-
теграл в правой части (22) при г ^да стремится к нулю. Таким образом, и(X,£) = 0 для X е (0, и £ < £0 .
Далее покажем, что и(X, £) = 0 для любого £ > 0. Предположим, что и(X, £) # 0 при £ > 0. Обозначим через ^ = т:Т{£ : и(X, £) Ф 0}. Таким образом, из доказанного следует, что ^ > £0. Рассмотрим функцию р(X, £) = и(X, ^ + £) . Учитывая сделанное предположение и определение ^, для любого £ > 0 найдется значение X, такое, что
р( X, £) * 0. (23)
Так как и^, £) = 0 при 0 < £ < ^, то
дх^ £) = д^, 0=д0р( x, £).
Отсюда следует, что р( X, £) является решением уравнения (7), удовлетворяет начальному условию
limD-1 jp(x,t) = 0, 0<t<t0
t^0
a
и условию (17). Таким образом, из доказанного выше следует, что p( x, t) = 0, по крайней мере для 0 < t < ^, а это противоречит (23). Следовательно, предположение неверно и u(x, t) = 0 для любого t > 0 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с.
2. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 4. C. 660-670.
3. Псху А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Изв. АН. Сер. матем. 2009. Т. 73. № 2. С. 141-182.
4. Agrawal O.P. A general solution for a fourth-order fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain // Computers and Structures, 79, 2001. P. 1497-1501.
5. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 5. С. 599-609.
6. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, 204, Elsevier Science, 2006, 540 p.
7. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
8. МамчуевМ.О. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка // Изд-во КБНЦ РАН. Нальчик, 2013, 200 с.
9. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // Известия КБНЦ РАН. 2002. № 1(8). С. 6-8.
10. Мамчуев М.О. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. Т. 7. № 2. С. 37-44.
11. Карашева Л.Л. Задача Коши для параболического уравнения высокого четного порядка с дробной производной по временной переменной // Сибирские электронные математические известия, 2018. №15. С. 696-706.
12. Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc., V. 8, № 29, 1933. P. 71-79.
REFERENCES
1. Nakhushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fractional calculus and its application]. M.: FIZMATLIT, 2003. 272 p.
2. Kochubei A.N. Diffuziya drobnogo poryadka [Diffusion of fractional order] // Differ. Equ., 1990. V. 26. № 4. Pp. 485-492.
3. Pskhu A.V. Fundamental'noye resheniye diffuzionno-volnovogo uravneniya drobnogo poryadka [The fundamental solution of a diffusion-wave equation of fractional order] // Izv. Math. 2009. V. 73. № 2. Pp. 351-392.
4. Agrawal O.P. A general solution for a fourth-order fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain // Computers and Structures, 79, 2001. Pp. 1497-1501.
5. Voroshilov A.A., Kilbas A.A. Zadacha Koshi dlya diffuzionno-volnovogo uravneniya s chastnoy proizvodnoy Kaputo [The Cauchy problem for the diffusion-wave equation with the Caputo partial derivative] // Differ. Equ. 2006. V. 42. №5. Pp. 638-649.
6. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fraсtional Differential Equations, 204. Elsevier Science, 2006. 540 p.
7. Pskhu A.V. Uravneniya v chastnyh proizvodnyh drobnogo poryadka [Partial differential equations of fractional order]. M.: Nauka, 2005, 199 p.
8. Mamchuev M.O. Kraevye zadachi dlja uravnenij i sistem uravnenij s chastnymi proizvod-nymi drobnogo porjadka [Boundary-value problems for equations and fractional-order partial differential equations]. KBSC of RAS Publishing House, Nalchik, 2013, 200 p.
9. Gekkieva S.H. Kraevaya zadacha dlya obobshchennogo uravneniya perenosa s drobnoj proizvodnoj v polubeskonechnoj oblasti [The boundary value problem for the generalized transport equation with a fractional derivative in a semi-infinite region] // News of KBSC of RAS. 2002. № 1(8). Pp. 6-8.
10. Mamchuev M.O. Kraevye zadachi dlya uravneniya diffuzii drobnogo poryadka s post-oyannymi koehfficientami [Boundary-value problems for a fractional-order diffusion equation with constant coefficients] // Doklady Adygskoj (Cherkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk [Reports of the Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences]. 2005. T. 7. № 2. Pp. 37-44.
11. Karasheva L.L. Zadacha Koshi dljaparabolicheskogo uravnenija vysokogo chetnogo por-jadka s drobnoj proizvodnoj po vremennoj peremennoj [The Cauchy problem for a parabolic equation of high even order with a fractional derivative with respect to the time variable] // Sibir-skie elektronnye matematicheskie izvestija, 2018. 15. Pp. 696-706.
12. Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc., 1933. V. 8. № 29. Pp. 71-79.
A PROBLEM IN THE HALF-STRIP FOR FOURTH ORDER PARABOLIC EQUATION WITH TIME FRACTIONAL RIEMANN-LIOUVILLE DERIVATIVE
L.L. KARASHEVA
Institute of Applied Mathematics and Automation -branch of the FSBSE "Federal Scientific Center "Kabardin-Balkar Scientific Center of the Russian Academy of Sciences" 360000, KBR, Nalchik, Shortanov street, 89 А E-mail: ipma@niipma.ru
In this work a fourth-order inhomogeneous parabolic equation with time fractional derivative is considered. The fractional derivative is understood in the sense of the Riemann-Liouville derivative. The boundary-value problem in the half-strip for equation under consideration is studied. The linearity of the problem allows reducing it to the solution of a homogeneous fourth order parabolic equation with a fractional derivative with respect to the time variable with a homogeneous initial condition and inhomogene-ous boundary conditions. In this paper a fundamental solution for fourth-order parabolic equation with time fractional derivative in terms of the Wright function is presented, а representation of the solution of the problem is constructed and uniqueness of the solution in the class offast growth functions is proved.
Keywords: Riemann - Liouville fractional derivative, fourth order parabolic equation, problem in the half-strip.
Работа поступила 15.10.2019 г.
