CC BY
5
2022
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics
№ 79
Научная статья УДК 539.3
doi: 10.17223/19988621/79/14
Задача устойчивости криволинейной арки малого подъема из пористого материала при случайном ее нагружении
Станислав Михайлович Шляхов1, Эльвира Федоровна Кривулина2
12 Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.,
Саратов, Россия 1 shlyakhovsm@yandex.ru 2 orifelwi@mail. т
Аннотация. Получено вероятностное решение задачи устойчивости пористой пологой арки. Пористость распределяется по сечению по параболическому закону. Нагрузка на арку случайна. Решение представлено для стационарного воздействия. Проведен анализ надежности и материалоемкости арки в сплошном и пористом исполнении. Решение задачи устойчивости пористой арки основано на гипотезе сплошности материала, но со свойствами материала, учитывающими пористость. Ключевые слова: арка, пористость, надежность, вероятность, устойчивость
Для цитирования: Шляхов С.М., Кривулина Э.Ф. Задача устойчивости криволинейной арки малого подъема из пористого материала при случайном ее нагружении // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 79. С. 162-169. doi: 10.17223/19988621/79/14
Original article
A stability problem for a low-height curvilinear porous arch under random loading
Stanislav M. Shlyakhov1, Elvira F. Krivulina2
12 Saratov State Technical University named after Yu.A. Gagarin, Saratov, Russian Federation
1 shlyakhovsm@yandex. ru 2 orifelwi@mail. ru
Abstract. Classical mechanics of deformable bodies is based on the continuity hypothesis. However, many structural elements are made of porous materials. Porous natural materials (soil, rocks) have invariable porosity. Porous synthetic materials (ceramics, concrete, graphite, and pressed powder metals) have controlled porosity. To calculate the strength and hardness of the structure, the material is assumed to be conditionally continuous with
© С.М. Шляхов, Э.Ф. Кривулина, 2022
the adjusted porosity. Nowadays, there are many available works presenting mechanical characteristics of materials with different porosities. This paper proposes a new class of problems in mechanics of deformable solids. Considering a low arch stability problem, which is important in construction practice, the problem of optimal arch design is solved by controlling the properties of the material. The solution to the problem of stability of the low arch made of porous material is presented. The flat arch with a rectangular cross-section is exposed to equally distributed loading. The near-rational law of the porosity distribution over the cross-section is used. The load is considered as a random variable. The solution to the problem is obtained using the theory of stationary random processes. A comparative analysis of the reliability and material consumption is carried out for the arch with continuous and porous sections. The calculation shows that the porous structure of the arch reduces the material consumption by 13.3% without stability and reliability losses.
Keywords: arch, porosity, stability, probability, reliability
For citation: Shlyakhov, S.M., Krivulina, E.F. (2022) A stability problem for a low-height curvilinear porous arch under random loading. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 79. pp. 162-169. doi: 10.17223/19988621/79/14
В качестве несущих конструкций зданий используются арки различных конфигураций. Повышение надежности арок является актуальным в настоящее время. Решение задачи устойчивости пологой арки, выполненной из сплошного материала, было представлено в ряде работ. С позиций детерминистического нагружения данная проблема рассмотрена в [1, с. 671]. В случае стационарного случайного процесса нагружения устойчивость арки из сплошного материала исследована авторами статьи [2, с. 39]. Настоящая работа авторов является логическим продолжением их предыдущих исследований. В статье рассматривается пологая арка, выполненная из несплошного материала, дается оценка ее надежности и материалоемкости. Распределение пористости по сечению задано параболическим, что близко к рациональному [3, с. 122].
Рассмотрим пологую арку сечения b х h под воздействием равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q (рис. 1). Арка выполнена из пористого железа. Для модуля Юнга использована эмпирическая формула
E = а + a2P + a3P2, (1)
где P - пористость, а коэффициенты a1; a2, a3 на основе экспериментальных данных составили [4, с. 14]
а = 2,092857 • 105МПа , а =-5,35 •lO5 МПа , (2)
а = 3,21428•lO5МПа . Для сплошного материала модуль Юнга принят равным
E = 2,1-105 МПа. (3)
Высота арки Y(X) выражается функцией
Y = Yf X(2l - X), (4)
где 2l - расстояние между опорами, X меняется в пределах 0 < X < 21.
Рис. 1. Схемы нагружения арки (слева) и поперечного сечения арки (справа) Fig. 1. Schemes of the arch loading (on the left) and arch cross-section (on the right)
Степень надежности арки соответствует вероятности того, что за время эксплуатации арки T нагрузка q ни разу не превысит критической. Под критической нагрузкой q^ понимаем нагрузку, при которой происходит скачкообразное изменение прогиба с выпуклостью арки в обратную сторону. Надежность при этом определяется формулой [5, с. 58]
(5)
где f \ q , — - функция, связывающая критическую силу со скоростью измене-
H = exp 0 0 v 1 У dcjdt
ния действующей силы, <7 - производная действующей интенсивности нагрузки по времени.
Формула надежности в случае нормального стационарного процесса q(t) имеет вид [5, с. 62]:
H = exp
Та __1
2 жа
-ехр
(?кр ~ mq)
' 2а2
(6)
где а. - среднеквадратическое отклонение скорости изменения критическои силы, а - среднеквадратическое отклонение действующей силы.
На основе экспериментальных исследований корреляционная функция процесса может быть представлена формулой [5, с. 128]
Кч (х) = а *Асоз Р0 хАт р0 |х| V Ро
где аь, Рь - эмпирические коэффициенты.
Используя (7), запишем формулу надежности (6) в виде:
/V«о +Р2
H = exp
2ж
-exp
?кр ~ mq )
2а 2
(7)
(8)
После определения величины критической нагрузки дкр может быть найдена искомая надежность.
Гарантию надежности обеспечивает условие
Н > ННорМ . (9)
Здесь Янорм - нормативная надежность для конструкций заданного типа.
Для определения критической нагрузки дкр используем принцип минимума полной потенциальной энергии системы [1, с. 672].
Геометрия арки в деформированном состоянии отражена на рис. 2. Характеристики перемещений следующие: V - вертикальное перемещение, и - горизонтальное перемещение, 9 - угол поворота сечения.
Z А
Рис. 2. Геометрия деформирования арки Fig. 2. Arch deformation geometry
Для случая малых деформаций угол поворота 9 и изменение кривизны к представим в виде:
^ = м, К = -Э' = М . (10)
В этом случае продольная деформация е будет следующей:
du ( $ е = — + 9 + — dx ^ 2
Окончательно полная потенциальная энергия системы равна
(11)
\ 1 р 1 U = — 11 J к2dx +—*|е2dx + qJ wdx .
(12)
2 0 2 0 0 Первое слагаемое в формуле (12) представляет собой энергию изгиба, второе является энергией растяжения-сжатия, а третье слагаемое соответствует потенциалу внешних сил:
I* = 2bJ E(y)y2 dy, F* = 2b J E(y)dy .
Выразим перемещения u, w в виде формул [1, с. 672]
w
= Ax (2l - x), u = B
(l - x )-J (l - x)3
где A - параметр, B - константа.
Учитывая (14), а также (4), (10) и (11), найдем
k = -9'=-2A , е = -B +
4 AY0 + 2 A2 + 3 B
i2 i2
(l - x )2
Выполняя интегрирование (12), получим
U = 12 A2l + F 2
B2l - 2 l3B f4AY + 2 A2 + 4 B1 — 3 I l2 l2 J 5
-qA—l3 3
(13)
(14)
(15)
(16)
После преобразований из (16) следует
-ql2 = 6I,A + 8Fl4A(\ + A If Yf +1
(17)
(18)
3 - ^ 12
Максимальный прогиб арки при х = I равен
f = "^^2 . Следовательно, A = - f|l2 .
Используя (17) и (18), находим зависимость между распределенной нагрузкой q и прогибом/в виде:
ql4 /
I,h h
6+f С"- f)(Y- f
(19)
Потеря устойчивости арки будет наблюдаться при условии q = qкр, что соответствует первому экстремуму функции (19). Поскольку потеря устойчивости сопровождается изгибом арки, представляется целесообразным увеличить пористость в зоне малых нормальных напряжений при приближении к центру тяжести поперечного сечения.
Примем распределение пористости по сечению (рис. 3) в виде функции [6, с. 111]
P = P f- ^ у21 (20)
где P0 - пористость в центре тяжести сечения.
В соответствии с (20), учитывая (1), получаем распределение модуля Юнга по высоте поперечного сечения
Г л \ Г л Л2
(21)
E(y) = a, + а2P" f 1 --2У ) + a3P f 1 —¿У Упруго-геометрические параметры h и F имеют вид: I = (a + 0.2a2P0 + 0.114285a3P02) ,
F = bh(a + 0.6666a2P0 + 0.53333a3P02) .
0
0
В качестве расчетного примера рассмотрим арку, для которой Ь х к = 5 х 5 см, I = 3 м, 70 = 10 см, р = 0.2 . Соответственно, будем иметь
Л = 0.098622 МНхм2, К = 362.022484 МН.
y
P
Po
Обозначим
b
Рис. 3. Распределение пористости по высоте сечения Fig. 3. Porosity distribution along the cross-section
qi4 , f
Ю =-, Л = -
(23)
к
На основании (22), (23) функция (19) примет вид:
ю = Х(6 + 9788.7785(0.1-Ж05)(0.1-Ж025)) . (24)
Выполняя вычисления для сплошного и пористого сечений, получим следующую таблицу, из которой найдем экстремальное значение ю и, соответственно, значение qкр.
Параметры сплошного и пористого сечений
max
I 0.75 0.9 0.95
Юспл 53.25 54.504 54.378
Юпор 41.815 42.952 42.926
Для сплошного сечения арки получим
54 04EIh
, = 367986 40_6 мнм.
qH
i4
Для пористого сечения будем иметь _ 42.952I„h
пор j4
= 2614.83 -10"6 МН/м.
Даны следующие параметры нагрузки:
- интенсивность распределенной нагрузки q с математическим ожиданием т = 1530 Н/м;
- среднее квадратичное отклонение нагрузки а = 150 Н/м ;
x
h
- срок эксплуатации арки Т = 10 лет = 315 • 106 с ;
- параметры случайного процесса а0 = 0.3 с"1, Р0 = 0.4 с"1.
- нормативная надежность # = 0.999 .
По формуле (8) определим надежность арки пористой структуры:
'2614.83 "1530^2 1
Япор = exP
315-106 • 0.5
-exp
150 J 2
J J
= 0.999889.
2 • 3.14
Полученная надежность больше нормативной: Н = 0.999889 > Н = 0.999,
значит эксплуатационная надежность обеспечена.
Детерминистический коэффициент запаса устойчивости пористой арки равен
и = ^ = 26148 = 1.71. * тд 1530
Оценим теперь надежность сплошной арки:
Нспл = eXP
315-10_0.5 2 • 3.14
-exp
3679.86-1530 V 1
150 J 2
^J
= 1.
Как показало сравнение обеих надежностей, они практически равны. Пористая арка лишь незначительно уступает сплошной.
Выясним материалоемкость пористой и сплошной арок. Для сплошной арки площадь поперечного сечения Асш1 = ЪН . Для пористой арки часть площади, занятая порами, равна Н и
Апор = 2Ъ|Р(у)4у = 2Ъ|Р0(1 ~42*2)йу = 0.666РНЪ . 0 0 Н Оценим рациональность конструкции:
А
А = • 100% = 0.666 • 0.2 • 100 = 13.3%.
Аспл
Таким образом, надежность пористой арки остается практически такой же, как у сплошной, однако материалоемкость снижается при этом на 13.3%.
Список источников
1. Расчет на прочность в машиностроении / ред. С.Д. Пономарев. М. : Машгиз, 1956. Т. 1.
884 с.
2. Кривулина Э.Ф., Шляхов С.М. Оценка надежности по устойчивости пологой арки на
основе теории стационарных случайных процессов // Научное обозрение. 2015. № 9. С. 39-43.
3. Шляхов С.М., Гаврилов Д.Ю. Метод последовательных приближений в задаче рациональ-
ного распределения пористости при чистом изгибе бруса прямоугольного сечения // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2016. № 3 (29). С. 122-127.
4. Кашталян Ю.А. Характеристики упругости материалов при высоких температурах.
Киев : Наукова думка, 1970. 112 с.
5. Арасланов А.М. Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных
воздействиях. М. : Машиностроение, 1987. 128 с.
6. Кривулина Э.Ф., Каневская И.Ю. Оценка надежности по устойчивости прямоугольной рамы, выполненной из пористого материала, на основе вероятностного подхода // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 53. C. 107-115.
References
1. Ponomarev S.D. (1956) Raschet naprochnost' v mashinostroenii. Tom 1. [Strength calculation
in mechanical engineering. Volume 1.]. Moscow: Mashgiz.
2. Krivulina E.F., Shlyakhov S.M. (2015) Otsenka nadezhnosti po ustoychivosti pologoy arki na
osnove teorii statsionarnykh sluchaynykh protsessov [Reliability assessment for the stability of a gentle arch based on the theory of stationary random processes]. Nauchnoe obozrenie -Scientific Review. 9. pp. 39-43.
3. Shlyakhov S.M., Gavrilov D.Yu. (2016) Metod posledovatel'nykh priblizheniy v zadache
ratsional'nogo raspredeleniya poristosti pri chistom izgibe brusa pryamougol'nogo secheniya [The method of successive approximations in the problem of rational distribution of porosity with a bend of a beam of rectangular cross section]. Vestnik ChGPU im. I. Ya. Yakovleva. Seriya: Mekhanika predel'nogo sostoyaniya - Bulletin of the Yakovlev Chuvash State Pedagogical University. Series: Mechanics of Limit State. 3(29). pp. 122127.
4. Kashtalyan Yu.A. (1970) Kharakteristiki uprugosti materialov pri vysokikh temperaturakh
[Elasticity characteristics of materials at high temperatures]. Kyiv: Naukova Dumka.
5. Araslanov A.M. (1987) Raschet elementov konstruktsiy zadannoy nadezhnosti pri sluchaynykh
vozdeystviyakh [Calculation of structural elements with a specified reliability under random influences]. Moscow: Mashinostroenie.
6. Krivulina E.F., Kanevskaya I.Yu. (2018) Otsenka nadezhnosti po ustoychivosti pryamou-
gol'noy ramy, vypolnennoy iz poristogo materiala, na osnove veroyatnostnogo podkhoda [Estimation of the reliability of a rectangular frame made of the porous metal in terms of its rigidity on the basis of probabilistic approach]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo univer-siteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 53(3). рp. 107-115. doi: 10.17223/19988621/53/10
Сведения об авторах:
Шляхов Станислав Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Строительные материалы, конструкции и технологии» (СМКТ) Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А., Саратов, Россия. E-mail: shlyakhovsm@yandex.ru
Кривулина Эльвира Федоровна - кандидат технических наук, доцент кафедры «Теории сооружений и строительных конструкций» (ТСК) Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А., Саратов, Россия. E-mail: orifelwi@mail.ru
Information about the authos:
Shlyakhov Stanislav M. (Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Saratov State Technical University named after Yu.A. Gagarin, Saratov, Russian Federation). E-mail: shlyakhovsm@yandex.ru
Krivulina Elvira F. (Candidate of Technical Sciences, Docent, Saratov State Technical University named after Yu.A. Gagarin, Saratov, Russian Federation). E-mail: orifelwi@mail.ru
Статья поступила в редакцию 23.11.2021; принята к публикации 03.10.2022
The article was submitted 23.11.2021; accepted for publication 03.10.2022
