CC BY
29
УДК 539.3
С.М. Шляхов, Э.Ф. Кривулина
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПУСКАЕМОЙ И ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗОК НА БРУС КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ИЗ ПОРИСТОГО МАТЕРИАЛА ПРИ КРУЧЕНИИ
Представлено решение задачи кручения круглого бруса пористой структуры с переменной по радиусу пористостью. При аппроксимации диаграммы сдвига диаграммой Прандтля получено значение момента начала текучести и предельного момента.
Вал, кручение, пористость
S.M. Shlyakhov, E.F. Krivulina
DETERMINATION OF THE ALLOWABLE AND LIMIT LOADS ON THE POROUS CIRCULAR
CROSS-SECTION BEAM AT TORSION
The presented solution to the torsion of the shaft characterized for the porous structure and a variable along the porosity radius. Under approximation of the shift dia-
gram by the Prandtl diagram we received the value of the yield load and the torsional yield.
Shaft, torsion, porosity
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние бруса круглого поперечного сечения пористой структуры под действием крутящего момента М (рис. 1).
В ] рассмотрена задача рационального распределения пористости по сечению бруса круглого поперечного сечения при кручении. Отмечено, что рациональным будет распределение пористости максимальной в центре и убывающей к периферии. В сечении бруса не допускалось появление пластических деформаций.
Р
P
Рис. 1. Распределение пористости по сечению
В настоящей статье получено решение задачи по определению допускаемой и предельной нагрузок в брусе при заданном распределении пористости.
Переменную по радиусу пористость аппроксимируем квадратной параболой (1)
( / _Л2Л
(1)
P = Po
1 -lp
Материал бруса - пористое железо. На основе экспериментальных данных [2, 3] модуль сдвига С( Р) и предел текучести материала при сдвиге Тт (Р) аппроксимируем полиномами
G(P) = а + а2 P + а3 P2,
tT (P) = c + c2 P + c3 P2 со следующими значениями коэффициентов:
(2)
а
0,805 105МПа , а
-1,737 105 МПа, а = 0,359 -105 МПа,
нам
С = 113,24МПа, с2 = -376,25МПа, С3 = 375,23МПа.
Согласно (1) и (2) модуль сдвига и предел текучести изменяются по радиусу сечения по зако-
(3)
Примем за диаграмму деформирования диаграмму Прандтля. Выразим угол сдвига, соответствующий началу текучести из соотношения
( \2 Л ( (p 2 Л 2
G(p) = а1 + а2 P0 1 - + а3 P02 1 -
K r / Vr
V J V
( (p , 2 Л ( (p 2 Л 2
?т (Р) = С + С2 P0 [1 - ] + c P2 1 -
V J J V V ry J
Гт (Р) =
?т (Р) G(p)
(4)
После подстановки (3) в (4) получим функцию
С1 + С2 р
Гт (р) — ■
р
2
+ с Р2
"Г 0
р
22
а1 + а2 Р0
1 -
р
2
1-
р
22
(5)
Максимальное значение ут (тах) функции (5) определит рт и точки сечения, с которых начинается текучесть и позволит найти соответствующий крутящий момент.
Полагая справедливой гипотезу плоских сечений, найдем значение относительного угла закручивания сечения бруса, при котором возникают пластические деформации
т
а _ т (р=рт) вт —-
С(Рт )Рт
Момент начала текучести в сечении бруса при этом определим по формуле
г
Мт — 2жвт| С(р)р3 ёр
0
Подставляя (6) в (7) и выполняя интегрирование, получим
Мт — 2жвт \ г4
3± + а2 Р0 а3Р0
(6)
(7)
(8)
4 12 24
Определим закон распределения касательных напряжений по радиусу к моменту начала теку-
чести
т(р) — С(р)втр — втр
(
а1 + а2 Р0
1 -1^
2 Л
(
+ азР
1 -1^
22
(9)
Величина момента Мт допустима, так как не приводит к потере несущей способности бруса. Для определения предельного момента исходим из условия достижения Тт в каждой точке сечения
Мш — 2ж\тт(р)р2 ёр
Подставляя (3) в (10) и выполняя интегрирование, получаем
С1 2 с^ РР\ 8 с^ Рр^
т
Мш — 2жг3 + + ."
15
105
(10)
(11)
Р0 — 0,4.
Пример расчета. Рассмотрим кручение бруса со следующими параметрами: г — 5 • 10 2 м,
0,0014 -|-£г-
0,0013 0,0012
0,0011
0,001
0,2
0,4
0,6
0,8
г
Рис. 2. Угол сдвига начала текучести
1
1
2
+ аР
3* 0
0
0
1
На рис. 2 отражен закон изменения угловой деформации текучести ут по радиусу сечения. Относительный угол закручивания вт = 0,028134 1/м. Радиус, соответствующий началу текучести, равен рт = г = 5 • 10-2 м.
120 105 90 75 60 45 30 15 0
T
у/
- ^ г ✓
г ^t(p)
— ^
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
r
Рис. 3. Распределение напряжений по сечению бруса
Крутящий момент начала текучести равен Мт = 0,0156МН • м.
На рис. 3 представлено распределение пределов текучести по радиусу, а также касательных напряжений по сечению бруса при М = Мт. В точках сечения при р = рт = г напряжения 1 и 1т совпадают.
Кривая 1т (р) на рис. 3 представляет собой эпюру касательных напряжений в сечении бруса в предельном состоянии.
Значение предельного момента М равно Мп = 0,0175МН • м.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шляхов С.М. О рациональном распределении пористости при кручении бруса круглого поперечного сечения / С.М. Шляхов, Д.Ю. Гаврилов // European Conference on Innovations in Technical and Natural Sciences: Proceedings of the 1st International scientific conference (February 17, 2014). «East West» Association for Advanced Studies and Higher Education GmbH. Vienna, 2014. С. 137-142
2. Кашталян Ю.А. Характеристики упругих материалов при высоких температурах / Ю.А. Кашталян. Киев: Наук. думка, 1970. 112 с.
3. Белов С.В. Пористые металлы в машиностроении / С.В. Белов. М.: Машиностроение, 1981. 247 с.
Шляхов Станислав Михайлович -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Теория сооружений и строительных конструкций» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Кривулина Эльвира Федоровна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Теория сооружений и строительных конструкций» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Stanislav M. Shlyakhov -
Dr. Sc., Professor Department Theory of Structures and Construction Designs,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Elvira F. Krivulina -
Ph.D., Associate Professor Department of the Theory and Construction Designs,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 20.10.14, принята к опубликованию 11.05.15
