Задача управления региональной экономикой с оценкой состояния Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. А. Курзенев, Е. Б. Лычагина

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ РЕГИОНАЛЬНОЙ "экономикой С ОЦЕНКОЙ СОСТОЯНИЯ

т

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

региональная экономика, оценка состояния, модели макроэкономики, макроэкономические показатели, производственные функции

В настоящей работе авторы попытались сформулировать математическую постановку задачи управления региональной экономикой с оценкой состояния и наметить пути ее решения. Произведено уточнение класса производственных функций, через которые выражается связь между известными макроэкономическими показателями, а именно: региональным ВВП, основными фондами региона, трудовыми ресурсами, техническим прогрессом и фондом потребления. Исследования проводились на моделях макроэкономики, с использованием двух подходов. Первый предполагает рассмотрение экономики региона как единой однородной системы, второй — использование разделения экономики по укрупненным группам — секторам.

КУРЗЕНЕВ

Владимир Анатольевич — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и моделирования социально-экономических процессов Северо-Западной академии государственной службы. E-mail: [email protected]

ЛЫЧАГИНА

Елена Борисовна — старший преподаватель кафедры информатики Северо-Западной академии государственной службы. E-mail: [email protected]

KEY WORDS

regional economy, estimation of state, models of macroeconomy, macroeconomy indices, production functions

The authors made attempts to formulate the mathematical problem of regional economy management with the state estimation, and to trace the methods of its solution. The types of production functions have been specified in the paper, via which the relations are expressed between the well-known macroeconomic indices, namely: regional gross domestic product, regional fixed assets, human resources, technological progress, and consumption funds. Investigations have been provided with the help of the macroeconomic models which use two approaches. The first one suggests to consider regional economy as an integrated homogeneous system, the second one proposes to divide economy into enlarged groups — sectors.

Процесс развития экономики в регионе можно описать с помощью динамической модели с использованием формальной схемы «пространство — состояние», в которой, по существу, возможен учет воздействий извне с принятием определенной структуры самой экономической системы. Более того, этот подход позволяет в процессе исследования проводить параметрическую адаптацию к складывающейся реальной ситуации, а также вносить соответствующие изменения в структуру системы. Исследования можно проводить, используя модели макроэкономики и рассматривая экономику региона как единую однородную

систему либо с разделением ее по укрупненным группам — секторам. 63 В настоящей работе сделана попытка сформулировать математическую ■ постановку задачи управления региональной экономикой для указанных подходов и наметить пути их решения.

Постановка задачи управления односекторной региональной экономикой с оценкой состояния в общем виде изложена в публикации одного из авторов настоящей статьи1.

Однако представляется, что в указанной постановке требует уточнения класс производственных функций.

Экономическое состояние и развитие региона принято анализировать с применением известных макроэкономических показателей, а именно: региональных ВВП, основных фондов региона, трудовых ресурсов, технического прогресса и фонда потребления. Связь между ними, как известно, выражается через производственную функцию Р (К, ЛЬ) .Экономическая система региона рассматривается как единое целое. Универсальный продукт этой системы может потребляться и инвестироваться. Если не учитывать в явном виде связи с другими регионами («экспорт-импорт»), то процесс воспроизводства, т. е. экономический рост, можно описать с помощью модели Солоу в абсолютных показателях2:

^ = -/К + р(1 -аУ (К,ЛЬ); (0) = К0; L = Ь0вУ>; A = Двп>; X = F(K,ЛЬ); I = р(1 - а)Х; С = (1 -р)(1 - а) X,

где К — фонды; А — технический прогресс; Ь — число занятых; Х — региональный ВВП; I — инвестиции; С — фонд непроизводственного потребления; /и — норма амортизации (доля выбывших за год основных производственных фондов); р — норма накопления; а — коэффициент прямых затрат; V — коэффициент роста рабочей силы; п — коэффициент технического прогресса.

См.: Курзенев В. А. Динамическая модель макроэкономических процессов с управлением в регионе // Государственное и муниципальное управление в России: история и современность: Материалы юбилейной научно-практической конференции СЗАГС. — СПб.: Изд-во СЗАГС, 2002. С. 154-157.

См.: Перес Г. Х., Гарсия Г. Х. Стохастические процессы и экономический рост при неопределенности // Моделирование экономических и социальных процессов: Сб. ст. — СПб.: СПбГТУ, 1998.

ЗД Последние 5 параметров являются экзогенными и находятся в следующих границах:

Це (0;1), Уе (—1;1), пе (0;1), ае (0;1), ре (0;1).

Если перейти к удельным показателям, то модель принимает следующий вид:

^ = -(М + у+п)к + р(1 -а)/(к); к(0) = ко = -Ко ■

т

с Ао

х = ™ = Р(~К1 '1} = Х(к); 1 = р(1 -а)^(к); с = (1 -р)(1 -а)^(к),

, К X

где к = — — фондовооруженность; х =—— народнохозяйственная про-АЬ АЬ

. I С

изводительность труда; I =АЬ~ удельные инвестиции; с=А[~ среднедушевое потребление.

Эта модель экономического роста является детерминированной и не учитывает случайный характер воздействий трудно учитываемых различных факторов. Поэтому более адекватной представляется стохастическая модель, где в исходные уравнения с абсолютными показателями вносится неопределенность, например, по трудовым ресурсам и техническому прогрессу. Это означает, что в абсолютных показателях модель Солоу может быть записана с помощью следующей системы стохастических дифференциальных уравнений:

йК = р(1 - а)(К, АЬ)ШКйг; йЬ = уЬ( + А1 (К, АЬ)сИ1); йА = цА( + А2 (К, АЬ)йХ2),

где Х(Т) — винеровский процесс, йХ е N(0,С); А1(К, АТ)й11 — неопределенность для рабочей силы; А2 (К, АЬ )йХ 2 — неопределенность технического прогресса. Будем полагать, что соу (йХ1йХ2 ) = г.

л\

При переходе к модели в удельных показателях применяется правило стохастического дифференцирования Ито к фондовооруженности как1 случайному процессу

k=K.

AL

С учетом допущений:

dk = [р(1 - a )f (k )-(j]+v+u)k +P (k)] dt + R (k )dZ, k ( 0 ) = k0 = ,

A0 L0

после преобразований3 приходим к соотношению

dk = [р(1 - a)f (k)-( + v+M)k +P(k)]dt + R(k)dZ, k(0 ) = k0 = ,

A0 L0

где введены обозначения

P(k) = k(( + AA2v?jr + Atf2 ), R2 (k) = k2 (( + 2A1 A2v?jr + Atf).

Полученное уравнение относится к диффузионному типу dk (t ) = b (t, k (t ))dt + a(t, k (t ))dZ (t )

с коэффициентом сноса b (t, k (t )) = p(l - a )f (k )-(ij + p + v)k + P (k ) и коэффициентом диффузии a(t, k(t )) = R( k ).

Структура решения дифференциального уравнения (1) определяется производственной функцией f (k). Наибольший интерес для практики представляют однородные производственные функции. Поэтому имеет смысл их привести:

1) функция Кобба-Дугласа f (¡г) = Вга;

2) линейная функция f (k) = Bk + D;

3) функция «затраты — выпуск»f (k) = min

kl ab )'

3 См.: Перес Г. Х., Гарсия Г. Х. Указ. соч.

Hi

4) CES-функция /(и) = С1 (к~р + С) ;

5) функция Солоу / (и) = А( + А1 );

6) функция Мукерджи/(,к2,...,кп

)=(( + L + ьхп)).

о о

т

и <

Исследование уравнения (1) при различных производственных функциях прежде всего должно дать ответ на вопрос «существует ли сильное решение стохастического дифференциального уравнения (1) и если существует, то единственное ли оно?».

Очевидно, что коэффициенты сноса и диффузии при вышеуказанных производственных функциях удовлетворяют условию Липшица и условию линейного роста, поэтому полученное стохастическое дифференциальное уравнение имеет единственное сильное решение. При выбранном классе производственных функций их неизвестные параметры (коэффициенты) оцениваются методами математической статистики на основе данных реальной статистики, например региона.

Как было отмечено ранее4, уравнение (1) можно рассматривать в качестве основного для постановки задач оптимального управления в любых динамических системах, включая экономические региональные. Управляющими параметрами в них могут рассматриваться удельные инвестиции и среднедушевое потребление, например, через коэффициенты а и р, а также другие интересующие исследователя параметры.

Постановка такой задачи представляет интерес при общем анализе, однако она не учитывает разделение экономики на средства производства и предметы потребления. Поэтому задача построения динамической модели для многосекторной экономики региона представляется весьма содержательной. Согласно данным5, более конструктивным для анализа является разделение экономики на три сектора: нулевой (материальный), производящий предметы труда; первый (фон-досоздающий), производящий средства труда; второй (потребительский), создающий предметы потребления. Предполагается, что за каждым сектором закреплены основные производственные фонды, а труд и инвестиции могут свободно перемещаться между секторами. В качестве модели роста используется та же модель типа Солоу, ко-

4 См.: Курзенев В. А. Указ. соч.

5 См.: КолемаевВ. А. Экономико-математическое моделирование. — М.: Юнити, 2005.

торая в удельных показателях для открытой многосекторнои экономики преобразуется к виду:

в (к.)

$+Л в-да, к, «»-т,

Л - V , , - 0,1,2, X - (к)

(1 -а, ) - ах1 + агхг + Уо, У, ^ 0 в0 + в1 + в3 -1, в> 0, г - 0,1,2, «0 + + ^ -1, ^ > 0, г - 0,1,2 АX - А, Ь, + А1Ц + Аг ¿2 ЧоУо - ЧхУх + ЧУ2 , У ^ 0,У2 ^ 0

(2),

к - А.

где к, - аь — фондовооруженность в г-м секторе;

X,.

х, -

а Ь — народнохозяйственная производительность в г-м секторе; с - Iг - АЬ Р(1 - а, )) (к)

«г - у .у- - 77 77 — доля инвестиции в г-м секторе в общем

Х1 + А1 ¿1Х1 + 1У1

объеме инвестиций;

в - — доля числа занятых в г'-м секторе экономики в общем числе АЬ

занятых;

У— вывоз материалов на одного занятого; Ь о

У1

У1 -~77 — ввоз инвестиционных товаров на одного занятого; АЬ

У2 - — — ввоз потребительских товаров на одного занятого; АЬ

УПРАВЛЕНЧЕСКОЕ КОНСУЛЬТИРОВАНИЕ / 4'2008

ШШШШШШ11 к

^ I — общее число занятых; Ь1 — число занятых в г-м секторе; А — тех-■ нический прогресс в целом п о экономике; А. — технический прогресс по отраслям; К — фонды (капитал) в г-м секторе; Х1 — выпуск продукции в г-м секторе; £ ) — производительность труда в г-м секторе; V (£) — годовой темп прироста числа занятых по секторам; — норма амортизации (доля выбывших за год основных производственных фондов по секторам); а — коэффициенты прямых материальных затрат по секторам; р1 — норма накопления по секторам; ц — коэффициент технического прогресса по секторам.

Как и ранее, последние 5 параметров являются экзогенными и принимаются в следующих границах:

¡л, е (0;1), V е (-1;1), щ е (0;1), а{ е (0;1), р е (0;1).

В динамической модели роста управляющими параметрами могут бытьвг, ,у0,у1,у2. Поэтому далее возможны различные постановки задач на оптимальное управление.

При переходе к стохастической модели система (2) преобразуется к виду

т

и <

x = вЬ (Ь)

йк =

^ ) + ЯД + р ^ )] + ^ ^ +

А1Ч Х1 + 1у1

К (0)

, Л =ч +¡1 +п, % =0,1,2,

к (0^(0)

= в/> (к) (1 -а0)х0 = a1 х1 + а2х2 + у0, у0 >0 в0 + в1 + в3 = 1, в> 0, % = 0,1,2, ¿0 + ¿2 + «2 = 1, > 0, г = 0,1,2, АЧ = А0 Ч + Ац ^ + А21/2

40Л = чу + Чу2, у1 > 0 у2 > 0

(3),

где Р (к) и имеют тот же смысл, что и в обозначениях (1) по секторам.

Л\

Схема исследования для стохастической модели аналогична предыдущей. Стохастическое дифференциальное уравнение относится1 снова к диффузионному типу. Для существования единственного сильного решения коэффициенты сноса и диффузии при известных производственных функциях по секторам должны удовлетворять условиям Липшица и линейного роста. Очевидно, это выполняется.

Вместе с моделью роста в условиях воздействия случайных факторов представляется полезным иметь модель наблюдения для получения фильтрованной оценки и оценки прогноза фондовооруженности. С этой целью в дополнение к исходным уравнениям опять же необходимо добавить уравнения наблюдения. На первом этапе можно использовать линейное уравнение наблюдения в виде

у(г) = Н (г )к(г) + е(1).

В уравнении наблюдения Н (г) есть матрица наблюдения (матрица линейного преобразования ненаблюдаемого фактора), которую можно задавать из практических соображений; е(г) есть процесс типа «белый шум», который может задаваться по данным статистики. Используя принцип разделения, можно решить 2 самостоятельные задачи. Задача фильтрации (слежения) связана с построением фильтра Калмана для линейного случая и фильтра Стратоновича для нелинейной правой части уравнения динамики (1). Оценки состояния находятся как условные средние с построением и решением нелинейных дисперсионных уравнений типа Рикатти. Фильтр и будет решением стохастического дифференциального уравнения. Он может быть реализован в виде известной системы с обратной связью по плотности распределения начальных условий. Можно также поставить задачу нахождения закона распределения для искомой величины фондовооруженности. Полученная оценка состояния используется при решении второй задачи — оптимального управления.

Как уже отмечалось, задача оптимального управления обычно ставится на основе принципа Беллмана или же принципа максимума Понтрягина6. В качестве критерия могут применяться различные функционалы качества. Например, при использовании принципа максимума Понтрягина за простейший критерий может быть принят функционал:

I

= [е-ты (с (г ))йг.

Курзенев В.А. Указ. соч.

6

^^ Параметр 8 есть параметр дисконтирования, а и(с(Х)) есть функция 1 полезности потребления, относительно которой принимаются допущения о строгой вогнутости, монотонности и возрастании. Далее схема известна: строится гамильтониан, записывается условие его экстремума и по схеме с использованием сопряженного оператора строится закон управления.

В дальнейшем планируется провести анализ и решение всего комплекса указанных задач управления и наблюдения для основных производственных функций в предложенной постановке.

т

и <

Л\