К вопросу о построении и анализе односекторной модели экономики Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Реннер А.Г.

Оренбургский государственный университет E-mail: mme@mail.osu.ru

К ВОПРОСУ О ПОСТРОЕНИИ И АНАЛИЗЕ ОДНОСЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ

В рамках определенных допущений о динамике занятости строится и анализируется односекторная стохастическая модель экономики.

Ключевые слова: фондовооруженность, народнохозяйственная производительность, формула Ито, стохастическое дифференциальное уравнение.

Рассмотрим модель замкнутой односекторной экономической системы, в которой производится «один универсальный продукт», который потребляется и инвестируется. В момент времени Ь состояние экономики характеризуется показателями:

X - валовый внутренний продукт;

С{ - фонд производственного потребления;

11 - инвестиции;

Ц - число занятий;

К{ - основные фонды.

В работах [1], [2] предполагались положительные темпы прироста числа занятых п и изменение числа занятых согласно закону

(1)

где Ц - число занятых в начальный момент времени, что считалось вполне оправданным на «небольшом» промежутке времени (до 20302040 г.). Однако современные реалии требуют более естественных допущений, к примеру, мы предлагаем считать, что эволюция Ц описывается дифференциальным уравнением

^=-v«o)-'») -

dt ,

4.0 _L0)

(2)

или

Ц = (Ц0)-10 )е щ + /0, (3)

где V - темпы падения числа занятых;

Цо) - число занятых в начальный момент времени;

/о - число занятых при достаточно больших Ь.

Отметим, что переписав (3) в виде:

Ц = е -"Цо)+(і - е ), (3*)

мы можем интерпретировать число занятых на

момент времени t, как экспоненциально-взвешенное значение L(0) и /0 с весами

P = e-vt, P1 = (l - e-vt).

Пусть /л - доля выбывших за год производственных фондов, г - норма накопления, а валовый внутренний продукт определяется линейно-однородной неоклассической производственной функцией Xt = F (Kt, L¡ ).Тогда износ и инвестиции в расчете на год равны лiKt и It = pXt = pF(Kt, L) соответственно. Следовательно, прирост фондов составляет dKt = —лК + Itdt или

dKt = (— лК + pF (Kt, L D. (4)

Для учета влияния на динамику фондов случайных факторов и свойств F, построим модель в форме (5)

dKL

Kt

-Ц + pF

1,

Ll

Kt

dt + adW¡, (5)

где Щ - стандартный винеровский процесс, ас- коэффициент диффузии, характеризующий изменчивость прироста фондов. Перейдем к относительным (экспоненциально-взвешенным) показателям:

к - К

кг - ц - фондовооруженность;

=X

х - ц - народнохозяйственная производительность;

*t

J - удельные инвестиции на одного

занятого;

_ Cl

ct _ l - среднедушевое потребление.

На основании формулы Ито для фондовооруженности к() получим стохастическое дифференциальное уравнение.

г ґ

dkt =

М + -

(vL(0)-W0 )-v f -v f L(0)+(1 - e-v f )o + akfdWf .

k + pF (kf,1)

d +

Положив

X(t)=ß + (0)- v/o )-vf/(e -vv L()+ (1 - e -vf )o), f (k ) = F (k ,1), получаем окончательно односекторную стохастическую динамическую модель экономики

dkf = (- X(t)kf + pf (kf)) + okfdWf k(o)= k<,/ Lo)

x = f (kt) ч = pf (kt) c t =(1 - p )kt • (6)

Соответствующая детерминированная модель (аналог модели Солоу)

dkf = (- X(t)kf + pf (kf ))dt

k(o)= KJ L(o)

xf = f (kf) if = Pf (kf ) cf = (1 - p)f (kf ) • (7)

Рассматривая в качестве производственной функцию Кобба-Дугласа

F(Kf, Lf )= AK?!1-* , f (kf )= AÄf , перепишем модель (6) в виде:

dkf = (- А(/) + pÁjif ) + oktdWf ko = KJ L(o)

Xf = A( if = pA(( c f = (1 - p)Aka • (8)

Для построения решения задачи (8) преобразуем ее, заменив uf = k)~a . С помощью формулы дифференцирования Ито получим из (8)

duf = [-(1 -а)М0+ o,5a<72 ) + (1 -a)pA]t +

+ (1 -apufdWf . (9)

Решением уравнения (9), как легко проверить с помощью формулы Ито является функция

u f — S f

uo + (1 -«pAJ

o ST

(10)

где

Sf = Soe

(o,5ctx2 +o,5(1-a)(T2 ^+|А(т)Г

+p(1-a)W

(11)

Проведя обратную замену, найдем

kf = 11} a =<¡Sf

dT

+(1 -a)pAf— op

1-а

(12)

и далее х, ц, сц. Сопоставляя (12) и решение детерминированной задачи (7) найдем 50 -1.

Перейдем к оценке характеристик рассматриваемых показателей. Для оценки математического ожидания &,, предварительно преобра-

Ь, 1—а

зуем модель (8) с помощью замены иц - к к

виду (9). Взяв математическое ожидание от левой и правой частей (9), с учетом свойств вине-ровского процесса, сформируем задачу Коши

—Muf =-(1 -а)()+ o,5a<T2 ) + (1 -a)pu d

Mu

f\ f=o

j 1-а

= ko1

(13)

решение которой

Mu = e-((-a)f

e-vf(L(o)-/o)+ /o L(o)

\1-a

x e-o,5(1-a)a(T2f . ko-a+(1 -a)pAx

e-vf(L(o)-/o)+ /o ^

L(o)

xe

(14)

e -VT(L(o)-/o)+ /o L(o)

-(1-a)

—T.

Из неравенства Йенсена М^ )> £ (Мц), справедливого в силу выпуклости вниз функции g (х)-X1 (1-а)

Мк - (1-а))> (Мц )1/1-а (15)

при любой эластичности выпуска по фондам. Так как функция Х“/(1-а) выпукла вниз при ае (0,5;1) и выпукла вверх при ае (0;0,5), то если эластичность выпуска по фондам а е (0,5; 1), то

Мх > А(Мц )а 1-а (16)

Мц >рА(Мц )а 1-а (17)

Мс >(1 -р)А(Мц )а1-а , (18)

а при а е (0;0,5) знаки неравенств меняются на противоположные.

Анализируя поведение х, Ч, С при больших Ь видим, что при эластичности выпуска по

x

x

x

фондам a є (0;0,5), они ограничены сверху

\1—a

My < A(l -a)pA Mt < PA(1 -a)pA

Lo)

\1—a

Lo)

Mq < (1 — p)A(l — a)pA

(19)

(20)

lo

\1—a

Lo)

Go, (21)

где С0 - некоторая константа, определяемая сходящимся интегралом в (14).

Если проанализировать и поведение дисперсий, то оказывается [2], что дисперсии всех

упомянутых показателей остаются положительными при ц ^ ^ и, в рассматриваемом случае, имеют минимум при минимальной занятости 10. Все сказанное позволяет утверждать, что при управлении экономикой как одним сектором (к примеру, в условиях глобализации) невозможно избавиться от неопределенности, а следовательно, риска. Это означает, что в рамках закрытой односекторной экономики невозможно предложить способ страхования от глобальных рисков, так как передавать риск некому, к тому же при указанном характере изменения занятости определенном уровне а имеет место стагнация экономики.

7.12.2010

Список литературы:

1. Соловьев В.И. Стохастические методы в экономике и финансах. - М.: ГУУ, 2000.

2. Соловьев В.И. Неопределенность состояния экономики страны при управлении ей как одним сектором// Вестник Университета (ГУУ), 2000.

Сведения об авторе: Реннер Александр Георгиевич, заведующий кафедрой математических методов и моделей в экономике Оренбургского государственного университета, доцент,

кандидат технических наук 460018, г. Оренбург, пр.Победы 13, ауд. 6106, тел. (3532) 372444, e-mail: mme@mail.osu.ru

УДК 519.862.4 RennerA.G.

TO THE QUESTION ON CONSTRUCTION AND THE ANALYSIS OF ONE-SECTOR MODEL OF ECONOMY

Within the limits of certain assumptions about dynamics of employment the one-sector stochastic model of economy is under construction and analyzed.

Keywords: endowment fund, economic productivity, the formula of Ito, the stochastic differential equation.

References:

1. Soloviev V.I. Stochastic methods in economy and the finance. - М: ГУУ, 2000.

2. Soloviev V.I. Neopredelennost’s nightingales of state of the economy of the country at management to it as one sector// the University Bulletin (ГУУ), 2000.