CC BY
316
о <
В. А. Курзенев Е. Б. Лычагина
V. A. Kurzenev E. B. Lychagina
Стохастическое моделирование динамики экономической системы
Stochastic Modelling оf Dynamics оf Economic System
Курзенев Владимир Анатольевич
Северо-Западный институт управления —
филиал РАНХиГС (Санкт-Петербург)
Заведующий кафедрой математики и моделирования
социально-экономических процессов
Доктор технических наук, профессор
Лычагина Елена Борисовна
Северо-Западный институт управления — филиал РАНХиГС (Санкт-Петербург) Кафедра информатики Старший преподаватель [email protected]
Kurzenev Vladimir Anatolyevich
North-West Institute of Management — branch of the
Russian Presidential Academy of National Economy
and Public Administration (Saint-Petersburg)
Head of the Chair of Mathematics and Modeling
of Social and Economic Processes
Doctor of Science (Technical Sciences), Professor
Lychagina Elena Borisovna
North-West Institute of Management — branch of the Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (Saint-Petersburg) Assistant Professor of the Chair of Informatics [email protected]
ключевые слова
модель, экономика, стохастические дифференциальные уравнения, интегрирование KEY woRDs
model, economic, stochastic differential equations, integration
реферат
В статье предложена динамическая модель для односекторной экономики на основе стохастических дифференциальных уравнений. Модель относится к классу экзогенных моделей. Отличием ее является учет случайных воздействий на экономическую систему, включая «шоковые» воздействия, а также ее реализуемость на основе компьютерных технологий с применением численных методов интегрирования.
abstract
In this article is presented the efficient dynamic model for one-sector economic on the base of stochastic differential equations. This model belongs to the exogenous class. Essential novelty of the model is in accounting of casual influences on economic system, including shock influences as well as its implementability on the base of computer technologies by using numerical methods of integration.
Макроэкономическая динамика определяется совокупностью сложных процессов. На значения переменных, участвующих в них, влияет множество факторов, в том числе и политические решения, что существенно усложняет задачу моделирования экономического развития.
В настоящее время разработано и опробовано большое количество математических моделей, позволяющих анализировать экономическое состояние и
развитие региона. Основной недостаток большинства моделей заключается в том, что они являются детерминированными, т. е. в отношении основных величин предполагается их стабильность, случайными воздействиями пренебрегают,таким образом, не учитывается случайный характер воздействия различных факторов.
Характер явлений, с которыми приходится иметь дело при исследовании социальных и экономических процессов и управлении ими, требует применения
стохастических моделей. Применение стохастических моделей при исследовании экономических процессов заключается как в заимствовании и адаптации моделей из других областей, так и в разработке специальных моделей. Экономическая модель, учитывающая влияние стохастических воздействий, должна отражать степень, с которой они могут повлиять на конечные результаты моделирования.
Рассмотрим более подробно макроэкономическую модель, где в качестве базовой взята динамическая модель Со-лоу, позволяющая описать основные тенденции развития экономики, в том числе на региональном уровне [1]. В модели рассматриваются следующие показатели: У — валовой внутренний продукт (ВВП), I — валовые инвестиции (валовой фонд накопления), С — фонд непроизводственного потребления,К — основные производственные фонды, Ь — численность трудовых ресурсов.
У, Ь, С являются потоковыми показателями, т. е. их значения накапливаются в течение года, а К и Ь — мгновенные, или запасовые переменные, т. е. их значения можно измерить в любой момент времени.
Модель Солоу с непрерывным временем
У(г) = адо, ьт
У(г) = т + т, =-К + I, К(0) = К0,
= vL, Ь(0) = Ьо, г е[0, Т],
ЛА = ПА, А(0) = Aо, 1(г) = рУ(г),
где г = 0 — базовый год изучаемого периода, г = Т — конечный год, К0, 10, Ь0, А0 считаются заданными, ц — коэффициент износа основных производственных фондов (ОПФ) за год, V — го-
довой темп прироста числа занятых, р — норма накопления, п — коэффициент технического прогресса, причем коэффициенты ц, V, р и п предполагаются постоянными.
Первое уравнение характеризует ВВП как производственную функцию, зависящую от ресурсов — ОПФ и численности занятых. Второе уравнение определяет распределение ВВП на потребление и валовые инвестиции. Третье уравнение характеризует изменение фондов в результате износа и инвестиций. Это важнейший элемент модели, уравнение динамики капитала. Четвертое уравнение характеризует рост числа занятых.
Поскольку в реальной экономике важным фактором является распределение валового внутреннего продукта на накопление и потребление, второе уравнение можно рассматривать как управляющее. Экономика в данной модели является динамической системой, так как в ее составе присутствуют динамические элементы.
Модель нелинейна, поскольку связь между выпуском и затратами задана как нелинейная производственная функция. Модель является односекторной моделью экономического роста, рассматривает экономику региона как единую однородную систему без разделения ее по секторам. Модель отражает важнейшие макроэкономические аспекты процесса воспроизводства и позволяет в общих чертах анализировать соотношение между потреблением и накоплением.
Основной ее недостаток заключается в том, что она является детерминированной и не учитывает случайный характер воздействия различных факторов. Перейдем к стохастической модели, где в исходные уравнения с абсолютными показателями вносится неопределенность. Таким образом, анализ динамики экономической системы региона при случайных внешних воздействиях состоит в исследовании вероятностных и статистических свойств решений систем дифференциальных уравнений, возмущенных случайными процессами. Такие системы
о <
о <
в общем случае описываются уравнением [3]:
йх.
— = а(х,, и(г), г) + 1,(х,, г)^, х0 = х(0, ю),
где xt е г — вектор состояния системы; u(t) — управляющее неслучайное воздействие; гг — стохастическое возмущение; а^, u, г); Е^, г) — матричные функции своих аргументов; x0 е Яп — вектор начальных условий. Уравнение(1) рассматривается на некотором вероятностном пространстве (О, Р).
Если в исходные уравнения модели Солоу внести неопределенность по трудовым ресурсам и техническому прогрессу, то в абсолютных показателях модель Солоу может быть записана с помощью следующей системы стохастических дифференциальных уравнений:
йк = р¥(К, ЛЬ)йг - цКйг,
йЬ = уЦйг + Л1(К, ЛЬ^^, (2)
йЛ = цЛ(йг + Л2(К, ЛЬ)йЕ2),
где г(г) — винеровский процесс; йZеN(0, йг); Л1(К, ЛЬ)йZ1 — неопределенность для рабочей силы; Л2(К, ЛЬ)йZ2 — неопределенность технического прогресса. Полагаем, что cov(йZ1, йZ2) = г.
При переходе к модели в удельных показателях применяется правило стохастического дифференцирования Ито к фондовооруженности как случайному
• = К х/ процессу = ЛЬ . Учитывая, что
йZ1йZ2 = rйt, йZ1йt = йZ2йt = (йг)2 = 0,
йZ22 = йZ22 = йг, йZ1, йZ2 е N(0, йг)
после преобразований получим следующее уравнение
йк = [р/(к)-(ц+у + !)к+Р(к)]йг + (3) + Й(к^, (3)
к (0) = к =
К
Л0 Ь0
где Р(к) = к(Л1у2 + Л1Л2уцг + Л2ц2), Я2 (к) = к2 (Л2V2 + 2Л1Л2vцr + Л2п2).
Полученное уравнение относится к диффузионному типу
йк(г) = Ъ(г, к(г))йг + а(г, k(t))йZ(t) (4)
с коэффициентом сноса Ь(г, к (г)) и коэффициентом диффузии а(г, к (г)).
Структура решения дифференциального уравнения определяется производственной функцией /(к). При исследовании уравнения (3) для различных производственных функций прежде всего ставится вопрос о существовании и единственности сильного решения. Неизвестные параметры производственных функций оцениваются методами математической статистики на основе реальных данных о состоянии развития экономики региона.
Наиболее просто вопрос о существовании и единственности решения уравнения (4) на любом отрезке [г0, Т] решается в случае, когда квадраты параметров сноса и диффузии удовлетворяют условию Липшица по второму аргументу как функционалы на пространстве интегрируемых с квадратом функций. Это условие может быть ослаблено, поскольку доказано существование решения при условии непрерывности параметров сноса и диффузии. Решение системы (2) предполагается находить с помощью численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений Ито [2].
С помощью общего метода Бьюси можно исследовать различные стохастические системы с использованием метода Монте-Карло. Однако в силу своей общности этот метод не всегда эффективен, так как он не учитывает специфику стохастических систем, определяемую коэффициентами сноса и диффузии.
В численном подходе Кушнера происходит дискретизация временной и пространственной переменных. При этом случайные процессы превращаются в цепи Маркова с конечным числом состояний. Этот подход можно применять к задачам лишь с небольшой размерностью пространства состояний, поскольку при численной реализации использование матриц перехода приводит к существенным вычислительным затратам.
С практической точки зрения для решения стохастических уравнений интересен подход, основанный на стохастических аналогах формулы Тейлора. Здесь используется конечная дискретизация временной переменной и осуществляется численное моделирование решения стохастического уравнения в дискретные моменты времени при помощи стохастических аналогов формулы Тейлора. При этом в формулах присутствуют повторные стохастические интегралы в форме Ито или Стратоновича, являющиеся функционалами сложной структуры.
Численное решение стохастических дифференциальных уравнений сводится к рассмотрению систем повторных стохастических интегралов Ито. Для исследования сходимости численных методов рассматриваются два критерия: сильный (среднеквадратический) и слабый, в котором аппроксимируется не решение стохастического уравнения, а его распределение. В вычислительном плане сильные численные методы, которые основаны на сильном критерии сходимости, намного сложнее слабых методов. Каждый из этих критериев сходимости ориентируется на решение определенных классов задач.
Используя сильные численные методы, можно численно строить различные выборочные траектории решения стохастического дифференциального уравнения. Сама по себе задача численного моделирования совокупностей повторных стохастических интегралов, основанная на сильном (среднеквадратиче-ском) критерии сходимости, является достаточно сложной как теоретически, так и вычислительно.
Рассмотрим подробнее наиболее простой численный метод решения стохастических дифференциальных уравнений Ито — метод Эйлера. Сформулируем данный метод для уравнения Ито:
Dxг = а(хг, г)йг + Ц(хг, г)й#,
х0 = х(0, ю), (5)
где хг е Я" — случайный процесс, являющийся решением уравнения (5), а(х, г): Яи х [0, Т] ^ Яи, Цх, г): Яи х [0, Т] ^
Яп + т — неслучайные функции, иг еЯт — <
стандартный векторный винеровский |
процесс с независимыми компонентами о
f¡¡); I = 1, ..., т; случайная величина о
х0 е Яи стохастически не зависит от при- т
ращений # - f0 при г > 0. х
Применительно к уравнению (5) чис- н
ленный метод Эйлера имеет вид: <
Ур+1 = Ур + а(Ур, тр)(тр+1 - тр) +
, , (6) + Чур, т р)(р+1- и р).
где уХр = ур, {тр}^^=0 — разбиение промежутка [0, Т].
0 = т0 < г1 < ... < ты = Т,
АЫ = шах|т^ + 1 - т/|, 0 < j < N - 1.
Проведем проверку работоспособности исходной стохастической модели. Для этого перепишем формулу (2) в следующем виде:
йЪ = [с^0-35 + с2Ъ]йг + c3kdZ, (7)
где Ъ0'35 = и(Ъ) — производственная функция Кобба-Дугласа, коэффициенты с1, с2, с3 выбираются пока произвольным образом.
Для проведения численного эксперимента воспользуемся пакетом Ма^аЬ. На каждом шаге интегрирования в МаАаЬ моделируется одна гауссовская случайная величина и подставляется в расчетную формулу. Значение функции в каждой последующей точке рассчитывается через предыдущее. Вычисления выполняются в цикле определенное число раз, затем полученные значения усредняются.
На рис. 1 и 2 видны усредненные траектории решения, полученные методом Эйлера для 20 (рис. 1) и 100 (рис. 2) экспериментов.
Траектории, полученные при решении уравнения (7) методом Мильштейна, мало отличаются от траекторий метода Эйлера, в то время как метод Мильштей-на существенно сложнее.
Предлагается использовать соотношения вида (5) для построения и анализа расчетных траекторий ВВП и других
Рис 1. Усредненные траектории решения для 20 экспериментов
Рис. 2. Усредненные траектории решения для 100 экспериментов
рассматриваемых переменных в процессе компьютерной имитации реализации случайной величины. Основная особенность состоит в том, что для построения расчетных прогнозных траекторий используется только начальное или текущее значение макроэкономического показателя и не учитывается динамика развития в предшествующие периоды. Также значительные проблемы связаны с тем, что не все параметры моделей представлены в статистике.
Предполагается, что разработанную модель можно взять за основу в дальнейших исследованиях при анализе и прогнозировании экономических процессов Северо-Западного региона. На базе этой модели планируется решать
задачу оптимального стохастического 2 управления. В дальнейшем планируется | провести анализ и решение задач на- о блюдения и управления на основе ре- о альных статистических данных Северо- т Западного региона для основных про- х изводственных функций. н
Таким образом, в статье предложена < динамическая модель для односектор- т ной экономики на основе стохастических дифференциальных уравнений. Модель относится к классу экзогенных моделей. Существенным отличием модели является учет случайных воздействий на экономическую систему, включая «шоковые» воздействия, а также ее реализуемость на основе компьютерных технологий.
Литература
1. Колемаев в. А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 399 с.
2. Кузнецов Д. Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2001. 712 с.
3. Курзенев в. а., лычагина е. Б. Динамические модели управления макроэкономикой // Государство и бизнес. Вопросы теории и практики: Моделирование, менеджмент, финансы: Мат-лы II международной конференции (20-21 апреля 2010 г.). СПб.: Изд-во СЗАГС, 2010. С. 30-37.
References
1. Kolemayev V. A. Mathematical economy. M.: YuNITI-DANA, 2005. 399 p.
2. KuznetsovD. F. Numerical integration of the stochastic differential equations. SPb.: St. Petersburg State University publishing house, 2001. 712 p.
3. Kurzenev V. A., Lychagina E. B. Dynamic models of management of macroeconomic // State and business. Issues of theory and practice: Modeling, management, finance: Materials of the II international conference on April 20-21, 2010. SPb.: SZAGS publishing house, 2010. P. 30-37.
