CC BY
68М. И.Турбина DOI: 10.24412/1728-516Х-2020-2-107-114
Величайшим достижением человеческого гения является то, что человек может понять вещи, которые он уже не в силах представить.
Л. Ландау
Маргарита Ивановна Турбина,
криолитолог
В 2003 г в российских средствах массовой информации начали появляться публикации о том, что петербургский математик Григорий Перель-ман (рис. 1) решил математическую проблему, не поддававшуюся в течение столетия. Летом 2006 г. заметное время не сходило с экранов и страниц известие о том, что Перельман отказался от всех присуждённых ему наград, в частности, - от миллиона долларов. Он не захотел встречаться с представителями СМИ, сославшись на неуместность шумихи, «... но прежде всего на то, что должен идти в лес по грибы» [2, с. 165]. Об этом стало известно из оглашённой по телевидению записи телефонного
разговора Перельмана с назойливыми корреспондентами. Прозвучало и сообщение о том, что доказанная Перельманом знаменитая гипотеза Пуанкаре (её называют также проблемой или задачей - Прим. М. Т.) не только очень сложна, но и существенна для теоретической физики, стремящейся познать устройство окружающего нас физического пространства. Таким образом, математическая проблематика вторглась в мировоззренческую проблему [2].
Понимание формулировки гипотезы Пуанкаре, ставшей символом самых трудноразрешимых задач в науке, требует знакомства с топологией1 - наукой, в недрах которой
1 Термин «топология» придумал немецкий математик и физик И. Листинг (18081882 гг.). Впервые он употребил его в 1836 г. в письме своему школьному учителю Мюллеру. В печати этот термин появился в 1847 г. в книге Листинга «Предварительные исследования по топологии». Сам Листинг предпочёл бы назвать свою работу
На фото вверху - континуальные представления Пуанкаре неевклидова пространства-времени [1, с. 45]
Рис. 1. Математик Гоигорий Перельман (1966 г.р.)
возникла эта задача. Простейшие идеи топологии возникают из непосредственного наблюдения за окружающим миром. Однако можно заметить, что геометрические свойства фигур не вполне исчерпываются сведениями об их «метрических» свойствах (размерах, углах и т. д.). Остаётся ещё «кое-что», не входящее в старую, знакомую нам, геометрию. «Какой длинной ни была бы линия (верёвка, провод, длинная молекула), она может быть замкнутой или нет; если линия замкнута, то она может сложным образом "заузляться". Две (или более) замкнутые линии могут "зацепляться" одна с другой и притом различными способами (см. рис. 2. - Прим. М. Т.). Тела, их поверхности могут иметь "дырки"» (см. сноску 2 и рис. 3. - Прим. М. Т.) [6, с. 4].
Топологию иногда называют «геометрией на резиновом листе». В этой науке длина, угол, площадь и объём не имеют значения. Топологические свойства тел характеризуются тем, что они не меняются при деформациях, допускающих любые растяжения без разрывов. В топологии любую фигуру можно согнуть, смять, сжать и растянуть, скрутить, то есть делать с ней что угодно, только не разрывать и не склеивать. Предполагается, что объекты как будто сделаны из теста. Единственное ограничение, накладываемое на топологическую трансформацию, связано с пространством - его нельзя разрывать. Однако образ «резинового листа», позволяющего уловить суть дела, не совсем точен. «Дело в том, что в процессе топологических непрерывных преобразований разрешается объект разрезать при
Рис. 2. Слева вверху - зацепление Хопфа, состоящее из двух сцепленных окружностей; внизу - простейший узел «трилистник» (заузленное кольцо). Он получается, если соединить два свободных конца обычного простого узла. Этот узел является фундаментальным объектом при изучении математической теории узлов, которая имеет многообразные приложения в топологии, геометрии, физике, химии и иллюзионизме [4]
Рис. 3. Поверхности с «дырками» [3, 5]
условии, что в конце этих преобразований он будет "склеен" по линии разреза» [3, с. 171].
Кроме элементарных геометрических фигур, топологическими свойствами обладают многие чисто математические объекты, и именно это определяет их значимость. Топология важна для математической физики, поскольку позволяет понять свойства пространства, например, нашей Вселенной, и оценить его, не имея возможности взглянуть на его форму со стороны [7, 8].
«Геометрией расположений», но этот термин был уже использован для обозначения проективной геометрии. Анри Пуанкаре (см. сноску 3) также представлял себе топологию как геометрию относительных положений, качественную геометрию, когда писал «аnalysis situs», что дословно означает «анализ положения» [3]. Возникновение топологии стало развитием неэвклидовой геометрии. Топология изучает пространственные взаимоотношения точек, линий, плоскостей, тел и т.д. без учёта их метрических свойств [2].
2 Дырка - важная категория, определяющая свойства объекта, но далеко не математическая. Её необходимо формализовать. Это можно сделать, используя понятие связности, которое содержат многие топологические постулаты, в том числе и гипотеза Пуанкаре (см. далее в тексте - односвязность). Связность определяется по топологической характеристике объекта, названной гомотопией, которую Пуанкаре ввёл в 1900 г., используя методы основанной им алгебраической топологии. Гомотопия многообразия распознаётся по такой процедуре: нужно мысленно погрузить в него замкнутую петлю; затем следует выяснить, всегда ли можно стянуть петлю в точку, перемещая её внутри многообразия. Для тора (бублика), например, ответ будет отрицательным: если расположить петлю по его окружности, то стянуть её в точку не удастся, так как будет мешать дырка (см. рис. 6, b). Таким образом, в понятии гомотопии используется свойство дырки препятствовать стягиванию петли, что делает объект (многообразие) не односвязным [1, 2, 3].
Легче подметить существование топологических свойств фигур, чем создать их «исчисление», то есть раздел математики, содержащий понятия, строгие законы и методы, математические формулы, изображающие топологические величины. Первые важные наблюдения и точные топологические соотношения были найдены Эйлером, Гауссом, Э. Бетти и Риманом. Без преувеличения можно сказать, что фундамент этой науки, причём достаточно детально разработанный для пространств любого числа измерений, создал Анри Пуанкаре3 (рис. 4). Его первая статья на эту тему, вызвавшая всеобщий интерес, появилась в 1894 г., а в 1899-1902 годах учёный опубликовал пять дополнений. В своих работах Пуанкаре подчёркивал, что видимая нами реальность представляет собой лишь проекцию внешнего мира на четырёхмерный пространственно-временной континуум [1, 6, 8].
РЛ:щ
к
от поверхности стакана (без ручки) тополог наверняка отличит, поскольку ни одну из них нельзя непрерывно деформировать в другую. Для геометрии, имеющей дело с фактической формой объектов, сделанных уже не из теста, а, например, из керамики, чашка и бублик различны, поскольку их поверхность изогнута по-разному [1, 11].
Далее мы попытаемся разъяснить формулировку гипотезы Пуанкаре, однако в силу особенности и сложности этой области знаний наше изложение не будет совершенно точным [2].
Формулировка гипотезы: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомео-морфно трёхмерной сфере. Более простым языком это можно представить так: любой трёхмерный объект, обладающий определёнными свойствами трёхмерной сферы (см. далее), можно преобразовать в трёхмерную сферу [2].
Выделим понятия, смысл которых необходимо выразить яснее: односвязность, многообразие, многообразие без края, компактное многообразие, гомеоморфность, трёхмерная сфера (3-сфера) [2].
Односвязность. Геометрическая фигура называется односвязной, если расположенную в её пределах замкнутую петлю можно стянуть в точку при любом её расположении, не выходя за пределы рассматриваемой фигуры (см. сноску 2). Например, круг односвязен, но, если в нём проделать дырку, он перестаёт быть таковым. Разумеется, и в круге с дыркой можно так разместить петлю, что её можно стянуть в точку. Но если обвести
Рис. 4. Анри Пуанкаре [10]
Труды Пуанкаре в области математики, с одной стороны, завершали классическое направление, а с другой - открывали пути к развитию новой математики, где наряду с количественными соотношениями устанавливаются факты, имеющие качественный характер. Гипотеза Пуанкаре как раз и имеет качественный характер, как и вся та область математики (топология), к которой она относится [2].
Существует такая шутка: тополог - это человек, который не отличает кофейную чашку от бублика. С точки зрения геометрии и здравого смысла - это разные объекты хотя бы потому, что выпить кофе из бублика невозможно. Однако для тополога чашка (с ручкой) и бублик - это одно и то же. Бублик можно превратить в кофейную чашку, если сделать вмятину на его поверхности (представив, что он сделан из теста), а затем постепенно увеличивать эту вмятину, одновременно сжимая остальную часть (рис. 5). Поверхность бублика
Рис. 5. Поверхности бублика и кофейной кружки способны переходить одна в другую без разрывов и склеек за счёт постепенной деформации [11]
3 Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912 гг.) - французский математик, механик, физик, астроном и философ, глава Парижской академии наук (1906 г), член Французской академии (1908 г.) и ещё более 30 академий мира. Историки причисляют Анри Пуанкаре к величайшим математикам всех времён. Наряду с Давидом Гильбертом (1862-1943 гг.), он считается последним математиком-универсалом, учёным, способным охватить все математические результаты своего времени. Его перу принадлежат более 500 статей и книг. Не будет преувеличением сказать, что не было такой области современной ему математики, «чистой» или «прикладной», которую он не обогатил замечательными методами и результатами. Геометрия - отрасль математики, где Пуанкаре стал признанным новатором и лидером мирового масштаба. Теория Лобачевского, открыв новые измерения и пространства, ещё нуждалась в ясной и логичной модели, и Пуанкаре придал идеям великого русского учёного прикладной характер [9].
л
Рис. 6. На сфере (поверхности шара) любая петля стягиваема (а),
что является признаком односвязности. На торе стягиванию препятствует отверстие (дырка) (Ь), поэтому он не односвязен [12]
петлю вокруг дыры, то её уже не удастся стянуть в точку - дыра помешает. А для односвязности необходимо, чтобы стягивание в точку было возможным при любом расположении петли. Приведём примеры. Поверхность стола и поверхность шара (сферы) (рис. 6, а) односвяз-ны, а поверхность спасательного круга (на математическом языке - тора) (рис. 6, Ь) и боковая поверхность цилиндра - нет. Шар и цилиндр односвязны, а для тора это уже не так: есть две петли, которые нельзя стянуть -одна продета в дырку, другая обходит дырку по периметру (рис. 6, Ь) [2, 8].
Многообразия4 представляют собой важнейший класс топологических пространств. В данном разделе мы ограничимся рассмотрением многообразий, которые являются геометрическими фигурами, всегда располагающимися в каком-то из евклидовых пространств и являющимися подмножеством точек этого пространства. «Такое ограничение, казалось бы, сужает понимание и проблемы Пуанкаре, и результата Перельмана, но на самом деле сужает только формально, поскольку каждое компактное (см. далее, прим. М. Т.) многообразие в общем топологическом смысле этого термина гомеоморфно (см. далее, прим. М. Т.) некоторой геометрической фигуре» [2, с. 208].
Тем не менее мы представим формулировку этого понятия, которая ближе к гипотезе Пуанкаре. «Многообразие - это объект или пространство (существующее в воображении математика, но не обязательно в реальности), которые могут быть разделены на множество отдельных окрестностей. Каждая отдельная окрестность имеет обычную евклидову геометрию, однако все вместе окрестности представляют собой нечто гораздо более сложное» [13, с. 154].
Многообразия, окружающие нас, многолики и могут иметь любую размерность. Примеры одномерных многообразий: прямая, окружность (одномерная сфера) (рис. 7, а).
Так как у плоскости всего два измерения, то говорят, что это многообразие (плоскость) двумерно. Другие примеры 2-многообразий: круг (рис. 7, а), сфера (рис. 7, б), поверхность спасательного круга [2, 12].
Лучший пример двумерного многообразия - поверхность нашей планеты, запечатлённая на нескольких картах (играющих роль лоскутов - см. далее). Каждая из карт изображает небольшой фрагмент поверхности. Но если попытаться построить из набора этих карт модель Земли, то сначала получится многогранный объект, напоминающий дискотечный зеркальный
¿румерный шор
Одмсмерноясфера
Рис. 7. Для математиков окружность - это одномерная сфера, круг - двумерный шар (а). Двумерную сферу можно построить из двух кругов, превратив каждый в полушарие и склеив их (Ь) [12]
а
б
4 Теория многообразий возникла в XIX веке в связи с потребностью геометрической интерпретации количественных соотношений. Например, множество решений уравнения с двумя неизвестными изображается как некоторое множество точек на плоскости. Каждая точка отвечает паре неизвестных, удовлетворяющих данному уравнению; в типичных случаях это множество точек представляет собой кривую или несколько кривых. Подобно этому, множество решений уравнения с тремя неизвестными обычно изображается в виде двумерной поверхности в трёхмерном пространстве, например, такой, как поверхность сферы. Для уравнений более чем с тремя неизвестными решения геометрически описываются таким же образом: это многообразие более высокой размерности, лежащее в пространстве ещё большего числа измерений. Хотя такие объекты наглядно представить нельзя, математики разработали качественные методы для исследования уравнений, приводящих к многообразиям высокой размерности [8].
«В математике многообразия чаще всего возникают не как какие-либо объекты в пространстве, а косвенным образом: как пространства решений при заданных условиях, как пространства параметров для некоторой системы математических объектов, и так далее. И там, где это возможно, наше пространственное воображение помогает понять абстрактное описание трёхмерных многообразий» [8, с. 9].
шар. После сглаживания углов в результате получается глобус, отражающий сложную кривизну планеты [13].
Примером 3-многообразия (с краем - см. ниже) является шар вместе со сферой, являющейся его поверхностью. «Если мы сдерём с шара его поверхность, то получится то, что на математическом жаргоне называется "ошкуренный" шар, а в научном языке -открытый шар. Баранка вместе с корочкой есть трёхмерное многообразие с краем, а если отодрать корочку (которую мы трактуем как бесконечно тонкую, т. е. как поверхность), получим многообразие без края в виде "ошкуренной баранки"» [2, с. 211]. Всё пространство в целом, то есть трёхмерное евклидово пространство, известное нам из средней школы, - есть трёхмерное многообразие без края (см. ниже) [2].
Трёхмерное многообразие - это такая поверхность, которую можно разрезать на мелкие кусочки, каждый из которых очень похож на кусочек обычного трёхмерного пространства [1].
Многообразие без края имеет отличительное свойство - локальную односвязность: вблизи любой своей точки оно устроено так же, как вблизи любой другой. Если вырезать из такого многообразия два кусочка в разных местах, то эти кусочки в некотором глубоком смысле нельзя отличить один от другого. Край нарушает указанную однородность. Например, у шара краем является ограничивающая его сфера. Кусочек шара, содержащий хотя бы одну точку этой сферы, резко отличается от кусочков того же шара, таких точек не содержащих. Точки геометрической фигуры, принадлежащие её краю, называются краевыми. Многообразие без края - это геометрическая фигура, целиком состоящая из внутренних точек. Наглядные примеры многообразий без края: прямая, окружность, плоскость, сфера, трёхмерное пространство [2].
Компактность подразумевает конечное число элементов. Определение компактного многообразия лучше начать с двумерного многообразия - такой поверхности, которую можно сшить из конечного числа лоскутов (см. ниже). Например, простыня, если трактовать её как поверхность, представляет собой двумерное компактное многообразие с краем. Дырявая простыня остаётся двумерным компактным многообразием с краем, состоящим из точек, расположенных по краям простыни, а также и по краям дыр [2]. Под лоскутом математики понимают любую поверхность, которую можно получить из замкнутого круга, изгибая, комкая, растягивая или сжимая его, но не разрывая и не склеивая с самим собой. Стандартный футбольный мяч склеен (математики предпочитают этот термин) из 32 лоскутов. Можно склеить и спасательный круг (тор, поверхность которого не имеет края). Примером двумерного компактного многообразия без края будет и поверхность спортивной гири. Сама же гиря - это трёхмерное многообразие с краем.
Одномерным компактным многообразием называется всякая линия, которую можно склеить из конечного числа обрывков, получаемых из отрезков, как угодно изгибаемых, растягиваемых и сжимаемых. Запрещаются только разрывы и склеивания [2].
Для определения трёхмерного многообразия необходимо указать те элементарные «кирпичики», из которых складывается любое трёхмерное многообразие. В двумерных многообразиях такими «кирпичиками» были лоскуты, в одномерных - обрывки. Трёхмерные кирпичики называют комками. Комок - это тело, которое можно получить из шара путём его деформации. При этом шар разрешается мять, растягивать и сжимать, но запрещается делать склейки и разрывы. Трёхмерное многообразие - это такая геометрическая фигура, которая может быть получена склеиванием конечного или бесконечного числа комков. Для склеивания шара, спортивной гири с ручкой достаточно конечного числа комков, поэтому все такие фигуры - это компактные многообразия. А ошкуренный шар или всё пространство можно склеить лишь из бесконечного количества комков, поэтому эти многообразия не являются компактными [2].
Все операции по склеиванию многообразий из обрывков, лоскутов, комков были, конечно же, чисто мысленными. Однако больше напрягает мысль о необходимости для некоторых многообразий выходить в пространства высоких измерений. Например, компактное двумерное многообразие, называемое бутылкой Клейна (рис. 8), не умещается в трёхмерном евклидовом пространстве. Чтобы склеить его из лоскутов, надо выйти из трёхмерного пространства в четырёхмерное. Существуют и такие трёхмерные многообразия, которые требуют для своего размещения пятимерного пространства [2].
Рис. 8. Бутылка Клейна.
С точки зрения математики - это замкнутая (т.е. без края) односторонняя поверхность [14]
На трёхмерных многообразиях можно рассмотреть такие же петли, какие мы брали на обычных поверхностях. Когда на поверхности многообразия (например, на 3-сфере) есть нестягиваемые петли, математики говорят, что «фундаментальная группа многообразия нетривиальна», а если нет - тривиальна. Гипотеза
Пуанкаре утверждает: «Если фундаментальная группа трёхмерного многообразия тривиальна, то оно гоме-оморфно сфере» [1, с. 52-53].
Геоморфными называются две фигуры, если одну можно превратить в другую путём деформаций без разрывов и склеиваний. Сами такие деформации называются геоморфизмами. Например, тор гомеоморфен гире с одной ручкой и кружке с ручкой, шар - кубу и пирамиде; также гомеоморфны бублик и кружка, но не кружка и куб. Наличие дырки у бублика и дырки у кружки с ручкой делает их гомеоморфными, та же дырка препятствует превращению кружки в шар или куб [2].
Трёхмерная сфера, являющаяся компактным многообразием, также не помещается в трёхмерном пространстве, и для её склеивания из комков (тел, го-меоморфных шару) надо выйти в четырёхмерное пространство [2]. Трёхмерная сфера, свойства которой так занимали Пуанкаре, - это поверхность четырёхмерного шара. Два последних образования недоступны нашему непосредственному наблюдению и «... представить их
себе в качестве геометрических объектов нам так же трудно, как Василию Ивановичу из анекдота - квадратный трёхчлен» [2, с. 194].
Мы начнём с простого. Обычная сфера - поверхность шара - двумерна, как и всякая поверхность. Она состоит из всех точек трёхмерного евклидова пространства, находящихся на одном и том же расстоянии (называемом радиусом сферы) от некоторой выделенной точки, именуемой центром и сфере не принадлежащей (двумерная сфера ограничивает трёхмерный шар). О трёхмерной сфере можно сказать то же самое, заменив «трёхмерное евклидово пространство» на четырёхмерное. Однако, если мы хотим тем или иным образом представить себе трёхмерную сферу как «геометрический объект» (а не просто множество числовых четвёрок), как гипертело, то, допуская четырёхмерное пространство5 как некую недоступную нам реальность, должны допустить и существование «геометрической» трёхмерной сферы. «Не исключено, что все мы как раз и пребываем в трёхмерной сфере,
5 Четырёхмерное пространство, в отличие от пространств большей размерности, - это не вполне абстракция. О геометрии четырёх измерений ещё во второй половине XVII столетия писал английский философ Генри Мор - приверженец древнегреческого философа Плотина (204/205-270 н. э.) [15].
Заглянуть в мир четырёх измерений можно с помощью подходов, знакомых нам ещё с уроков геометрии средней школы: чтобы представить трёхмерную фигуру на плоскости, используют её проекции, развёртки и сечения. В четырёхмерном случае поступают так же и получают трёхмерные проекции, развёртки и сечения. Оказалось, что четырёхмерный мир «богаче» по количеству правильных многогранников, чем наш трёхмерный мир и более многомерные пространства [16].
Простейшая из правильных четырёхмерных фигур мира четырёх измерений - пентатоп (правильный пятиячейник, гипертетраэдр, пентахор и др.). Он уникален тем, что достаточно долгое время имеет практическое применение. Эта фигура используется в физико-химическом анализе при изучении свойств многокомпонентных систем и позволяет решать важные вопросы разделения сложных смесей в химической технологии. Например, пятикомпонентная система требует четвёртой координаты даже на той стадии, когда пытаются графически изобразить её состав. У физикохимиков в этом случае возникает потребность в фигуре с пятью вершинами, равноудалёнными друг от друга. Это и есть пентатоп. Он разворачивается в трёхмерное пространство в виде «ежа», собранного из пяти тетраэдров, один из которых расположен в центре (рис. 9). Четыре вершины этой развёртки должны при сворачивании пентатопа сойтись друг с другом и образовать его пятую вершину. Если попробовать без искажения объединить их в трёхмерном пространстве, то вскоре станет понятно, что это невозможно [16].
В мире четырёх измерений «живёт» ещё одна фигура - гиперкуб, или тессеракт (от др.-греч. тшст£р£<; актог - четыре луча) - куб в четырёхмерном пространстве. Слово tesseract было придумано британским математиком Ч. Г. Хинтоном (1853 -1907 гг.) и впервые использовано им в 1888 г. в книге «Новая эра мысли». Он развивал метод построения моделей четырёхмерных фигур (по их трёхмерным сечениям) из сотен маленьких кубов, определённым образом размеченных и раскрашенных [15].
Аналогично тому, как поверхность куба можно развернуть в многоугольник, состоящий из шести квадратов, поверхность тессеракта может быть развёрнута в трёхмерное тело, состоящее из восьми кубов (рис. 10).
Одна из проекций тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой два вложенных трёхмерных куба, соответствующие вершины которых соединены между собой отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трёхмерном пространстве, но в четырёхмерном - это равные кубы. Для понимания равности всех кубов тессеракта была создана вращающаяся модель тессеракта [17]. На рис. 11 можно видеть только три из множества проекций.
Рис. 9. Развёртка пентатопа [16, с. 68]
Рис. 10. Крестообразная развёртка тессеракта [17]
Рис. 11. Модель тессеракта при вращении показывает его грани в разных проекциях [17]
каковой является наша Вселенная6. В осознании такой возможности некоторую роль играет результат Перельмана» [2, с. 195]. Он подтвердил догадку Пуанкаре о том, что трёхмерная сфера - это единственный трёхмерный объект, поверхность которого может быть стянута в одну точку неким гипотетическим «гипершнуром». Доказательство Перельмана позволяет предположить: форма нашей Вселенной, весьма вероятно, и есть та самая трехмерная сфера. Но если Вселенная - единственная «фигура», которая стягивается в точку, то, наверное, она может и раздуться из точки.
Это служит косвенным подтверждением теории Большого взрыва, которая утверждает, что Вселенная образовалась из точки [22].
Анри Пуанкаре не добился успеха в обосновании своей задачи. Он поместил формулировку высказанной им в 1904 году гипотезы (в виде маленького примечания) в конец 65-страничной статьи, посвящённой совершенно другой теме, а по поводу заметки написал на полях: «Этот вопрос уводит нас далеко в сторону» [цит по 23]. Пуанкаре был прав: путь к доказательству его гипотезы оказался очень долгим - почти сто лет [2].
Рис. 12. Сальвадор Дали. «Распятие».
1954 г. Картина изображает распятого
Иисуса Христа на развёртке гиперкуба (тессеракта) [18]
Рис. 13. Пабло Пикассо. Портрет Доры Маар.
1937 г. Музей Пикассо, Париж [19]
Четвёртое измерение оказало существенное влияние на искусство. На картине Сальвадора Дали «Распятие» изображён Иисус Христос на развёртке гиперкуба (тессеракта) (рис. 12).
Предполагают, что кубизм Пикассо возник отчасти как отражение его представлений о четвёртом измерении. Попытка овладеть четырёхмерной перспективой угадывается в написанных им портретах. Картины Пикассо свидетельствуют о явном отрицании перспективы: картины с женскими лицами, видимыми под несколькими углами одновременно (рис. 13) [15].
Теорию многомерных пространств математики начали разрабатывать в XIX веке. Большая заслуга в этом принадлежит Карлу Гауссу и его ученику Георгу Риману, который опубликовал труды наставника. В знаменитой лекции 1854 г. Риман обосновал принципы новой математики, заложившие основы общей теории относительности Эйнштейна [20]. Однако никаких свидетельств существования высших измерений не было. Ситуация начала меняться в 1919 г., когда немецкий физик Теодор Калуца написал спорную статью, в которой предположил их реальность. Он рассматривал общую теорию относительности в пятимерном пространстве, поскольку время тогда уже утвердилось как четвёртое измерение всеобщности пространства-времени. С подачи Калуцы физики и сейчас называют четвёртое пространственное измерение пятым [15, 20]. Калуца дал ответ на вопрос, где находится пятое измерение: поскольку мы не видим признаков его существования, оно должно быть свёрнутым до столь малой величины, что заметить его не удаётся. Если лист бумаги плотно скатать в цилиндр, то издалека он будет казаться линией. Это стало подлинным откровением. Такое решение шокировало даже Эйнштейна. Он был потрясён статьёй Калуцы. На протяжении нескольких десятилетий Эйнштейн принимался за эту теорию вновь и вновь. Но после его смерти в 1955 г. теорию быстро забыли, она превратилась в забавное примечание на страницах истории физики. Всё изменилось благодаря работам всемирно известного астрофизика Стивена Хокинга (1942-1918 гг.), в работах которого указывается на вероятность существования во Вселенной нескольких параллельных измерений. Американский физик из Принстона Хью Эверетт (1930-1982 гг.) предложил в 1957 г. свою квантовую теорию параллельных миров. По Эверетту, существуют параллельные вселенные, где действуют одинаковые законы природы и одинаковые мировые постоянные, но состояния их различны [15]. В середине 1990-х годов американский физик-теоретик Эдвард Виттен, признанный многими как один из самых талантливых ныне живущих физиков, а также другие учёные обнаружили веские доказательства того, что выкладки Хокинга и отчасти Эверетта представляют собой различные предельные случаи до конца неразработанной пока теории одиннадцатимерного мира (рис. 14). Естественным продолжением идеи многомерного пространства является концепция пространства с бесконечным числом измерений (так называемое Гильбертово пространство) [15].
6 «... поскольку пространство и время в теории относительности рассматриваются как единое целое, называемое пространством-временем, можно предположить, что адекватное математическое описание Вселенной должно быть четырёхмерным. Однако есть основания надеяться, что структура четырёхмерного пространства-времени определяется структурой его трёхмерной пространственной части. Поэтому, чтобы без предубеждения изучать структуру Вселенной в целом, нужно начать с изучения типов трёхмерных объектов, геометрические свойства которых могли бы находиться в согласии со свойствами наблюдаемой Вселенной. Такие объекты называются трёхмерными многообразиями или 3-многооб-разиями» [8, с. 2]. К ним относится и трёхмерная сфера.
Рис. 14. «Схлопнувшееся» высшее пространство «глазами» теории струн [21]
Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. Интерес к ней пробудил в 1930-х годах известный английский математик Джон Уайтхед (1904-1960 гг.), объявив о том, что он доказал гипотезу, но затем отказался от этого утверждения. Тем не менее в процессе поиска учёный обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда. Попытки других учёных доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий [2, 13].
Математики сражались с гипотезой Пуанкаре большую часть XX века, но первые успехи в 19601970-х годах принесла работа над размерностями больше трёх (п > 3): С. Смэйл (1930 г р.), Дж. Стэллингс (1935-2008 гг.), Э. Зиман (1925 г р.) нашли решение для размерностей 5, 6, и 7, а также больше 7. Только в 1982 г. Майкл Фридман (1951 г. р.) после семи лет серьёзной работы доказал гипотезу Пуанкаре для более сложного случая: п = 4. Он был удостоен высшей математической награды - медали Филдса. Однако справедливость гипотезы для п = 3 оставалась под сомнением: ни один из методов, применённых для более высоких размерностей, не работал. Необходим был подход, радикально отличающийся от использованных ранее [13].
Продолжение следует...
Список литературы
1. Арсенов, О. О. Гоигорий Перельман и гипотеза Пуанкаре / О. О. Арсенов. - М. : Эксмо, 2011. - 256 с. : ил. - (Люди науки).
2. Успенский, В. А. Апология математики : [сборник статей] / В. А. Успенский. - СПб : Амфора. ТИД Амфора, 2011. - 554 с. - (Серия «Новая Эврика).
3. Деменок, С. Л. Просто хаос / С. Л. Деменок. -СП(б): «Страта», 2013. - 232 с.
4. Трилистник_(узел) [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://ru.wikipedia.org/wiki/Трилистник_ (узел). - Источник : https://ru.wikipedia.org. - Дата обращения : 11.03.2021.
5. Математический гений «Потоков Ричи» Григорий Перельман тихо живёт в Питере [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://alexandr-palkin.livejournal.com/6153428.html. - Источник : https:// alexandr-palkin.livejournal.com. - Дата обращения : 11.03.2021.
6. Болтянский, В. Г. Наглядная топология / В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы,
1983. - 160 с. (Библиотечка «Квант», вып. 21).
7. Тёрстон, У. Трёхмерная геометрия и топология / У. Тёрстон [пер. с англ.; под ред. О. В. Шварцмана]. - Москва : МЦНМО, 2001. - 312 с.
8. Тёрстон, У. П. Математика трёхмерных многообразий /У. П. Тёрстон, Д. Р. Уикс // В мире науки. -
1984. - № 9.
9. Гипотеза_Пуанкаре [Электронный ресурс]. -Режим доступа : https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_
Пуанкаре - Источник : https://ru.wikipedia.org/ - Дата обращения: 11.03.2021.
10. Анри Пуанкаре [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://interesnyefakty.org/anri-puankare. -Источник : https://interesnyefakty.org. - Дата обращения : 11.03.2021.
11. Фишман, Р. Генри Сегерман и его математические этюды [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka / 433232/Genri_Segerman_i_ego_matematicheskie_etyudy // Популярная механика. - 2016. - № 6. - Дата обращения : 11.03.2021.
12. Формы пространства [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.modcos.com/articles. php?id=118. - Источник: http://www.modcos.com. - Дата обращения: 11.03.2021.
13. Гессен, М. Совершенная строгость. Гоигорий Перельман : гений и задача тысячелетия : документальная проза / М. Гессен [пер. с англ. И. Кригера]. -М. : Астрель : CORPUS, 2011. - 272 с.
14. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http:// stob2.narod.ru/1bezkraj/2t.jpg. - Источник : http://stob2. narod.ru. - Дата обращения: 11.03.2021.
15. Быстрое, А. Четвёртая реальность Герберта Уэллса / А. Быстрое // Наука и жизнь. - 2017. - № 1. -С. 104-111.
16. Семёнов, А. Многогранный пентатоп / А. Семёнов //Наука и жизнь. - 2018. - № 5. - С. 66-74.
17. Тессеракт [Электронный ресурс]. - Режим доступа : httpsJ/ru.wikipedia.org/wiki/Тессеракт. -Источник : https://ru.wikipedia.org. - Дата обращения : 11.03.2021.
18. Распятие,_или_Гиперкубическое_тело [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://ru.wikipedia. org/wiki/Распятие,_или_Гиперкубическое_тело. -Источник : https://ru.wikipedia.org. - Дата обращения : 11.03.2021.
19. Портрет Доры Маар - 1937 [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://www.filoli.ru/artists/091-picasso/portret-dory.php. - Источник: http://www.filoli.ru. -Дата обращения: 11.03.2021.
20. Турбина, М. И. Страсти по бозону Хиггса. Часть 1. Как устроен мир (Продолжение) / М. Турбина // Наука и техника в Якутии. - 2017. - № 2 (33). -С. 99-110.
21. Двумерная проекция трёхмерной визуализации пространства Калаби-Яу [Электронный ресурс]. - Режим доступа : httpsJ/ru.wikipedia.org/wiki/Пространст-во_Калаби_-_Яу. - Источник : https://ru.wikipedia.org -Дата обращения: 11.03.2021.
22. Григорий Перельман : «Я знаю, как управлять Вселенной!» [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://drumsmen.livejournal.com/6607879.html. - Источник : https://drumsmen.livejournal.com. - Дата обращения : 11.03.2021.
23. Назар, Сильвия и Гербер, Дэвид. Легендарная задача и битва за приоритет. Перевод vadda -http://vadda.livejournal.com/42798.html (Нью Йоркер, 21/08/2006).
