CC BY
50
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2009. №2-3(17-18)
УДК 372.016:51
ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ БУДУЩИХ УЧЕНЫХ И ПЕДАГОГОВ
© А.В.Габдулхаков
Статья показывает пути и формы методической интерпретации научных достижений трех математиков: Лобачевского, Пуанкаре, Перельмана; предлагает версию дидактического содержания по реализации трех аспектов профессиональной (и профильной) направленности: познавательного, нравственно-этического, мировоззренческого.
Ключевые слова: элективный курс, профильная педагогическая направленность, образ учителя
С 2005 по 2007 год во многих школах Республики Татарстан по инициативе Министерства образования и науки РТ проводился эксперимент по реализации профильной педагогической направленности. С чем связана была такая "узкая" профилизация? Ведь она, в принципе, могла бы проходить и по общей линии естественнонаучного или гуманитарного образования. Связано это было, в первую очередь, с необходимостью решать кадровую проблему в школах: во многих общеобразовательных учреждениях просто стало не хватать учителей, иногда возникали ситуации, что в школе некому было вести математику, физику или русский язык. В некоторых сельских школах ученики никогда не изучали иностранный язык. Молодые же специалисты после вуза оказывались не мотивированными на работу в школах, особенно в школах сельского типа.
Эксперимент по профильному обучению, успешно начатый Министерством образования и науки РФ в 2003 году, впервые заставил задуматься о более раннем профессиональном самоопределении - о самоопределении уже в школе. Ведь не секрет, что современные абитуриенты до сих пор готовы поступить в любой вуз лишь бы получить высшее образование, а о профессии думают после вуза и почти не связывают (или не могут связать) ее с полученным образованием.
Опыт трех гимназий (Осиновской гимназии Зеленодольского района, №52 г.Казани и №3 г.Зелено-дольска), двенадцать лет отрабатывавших профильную педагогическую направленность через элективные курсы, показал, что учащиеся, прошедшие такую профилизацию, действительно часто выбирают педагогическую профессию, успешно поступают в педагогические вузы и, что самое главное, приходят работать в школу и считают себя состоявшимися людьми и успешными личностями, занимаясь не только педагогической, но и научно-исследовательской и научно-методической деятельностью, защищая творческие проекты, диссертации и побеждая на конкурсах педагогического мастерства.
В опыте работы Осиновской гимназии Зеленодольского района, являющейся экспериментальной площадкой кафедры вычислительной математики информатики, был отработан механизм реализации трех аспектов педагогической профилизации:
1) познавательного, связанного с включением в элективные курсы информации о профессии ученого-математика, ученого-педагога;
2) нравственно-этического, предполагающего приобщение учащихся к нормам поведения людей, связанных с наукой, образованием и воспитанием;
3) мировоззренческого, ориентированного на формирование у учащихся ценностного отношения к научно-педагогической деятельности.
Познавательный аспект был связан с использованием в элективных курсах по математике не только углубленного материала по математике, но и материала, связанного с будущей профессией математика, ученого и педагога. Кстати, для большинства учащихся образ учителя олицетворяет не столько образ добросовестного "урокода-теля", сколько образ исследователя, ученого. Поэтому реализацию этих трех аспектов мы проводили на примере конкретных личностей. Например, разработанный нами элективный курс "Великое искусство математических доказательств" был связан с обращением к трем известным личностям: Николаю Лобачевскому, Анри Пуанкаре, Григорию Перельману. Учащиеся увидели их в портретах и в интригующих биографиях.
Поскольку курс был ориентирован на детей-татар, то на всех занятиях, с одной стороны, формировались универсальные математические ценности (логичность, верифицируемость, доказательность и др.), с другой стороны, разъяснялись (семантизировались) математические понятия, хорошо известные на латинском и русском языках, но не всегда понятные на татарском языке.
Охарактеризуем содержательную часть наших занятий.
МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИН ГУМАНИТАРНОГО И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЦИКЛОВ
Николай Лобачевский, родился в 1792 году в России
Анри Пуанкаре, родился в 1854 году во Франции
Григорий Перельман родился в 1966 году в Ленинграде
На первом занятии мы напомнили ребятам, что Н.И.Лобачевский - первый ректор Казанского университета. Ребята вспомнили, что его именем названа университетская библиотека, а напротив старого здания КГУ ему поставлен бюст.
Затем мы вместе с ребятами вспомнили о том, что Николай Лобачевский, глубоко проникнув в самые истоки учения о пространстве, создал новую геометрию, получившую впоследствии его имя. Это был смелый шаг в неизведанную еще область: идеи Лобачевского противоречили привычному пространственному опыту. Седьмого февраля 1826 года он представил в физико-математическое отделение Казанского университета свое сочинение "Exposition succintede Principes de Geometrie..." ("Сжатое изложение начал геометрии."), 11 февраля были назначены рецензенты, а 12 февраля он читал свое рассуждение на заседании Отделения. Лобачевского справедливо сравнивали с Колумбом - открывателем новых земель и с Коперником, преобразовавшим взгляды его современников на Вселенную, лишившим Землю ее привилегированного неподвижного положения в центре мира.
Геометрия, созданная и разработанная Лобачевским, являлась более общей, чем евклидова, и включала последнюю как предельный случай. Основное отличие заключалось в более богатой свойствами (но, конечно, и более сложной) теории параллельных прямых. Выявить, какая из геометрий действует в реальном физическом пространстве, могли только наблюдения, только эксперименты. Такой подход вполне соответствовал материалистическим взглядам Лобачевского, рассматривавшего природу как объект для научных исследований, объект, существующий вне и независимо от исследователя. Он писал: "Всем известно, что в геометрии теория парал-
лельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблюдения". Далее проводилась сравнительная характеристика евклидовой геометрии и оригинального для тех времен подхода Н. Лобачевского.
На втором занятии мы рассказали об Анри Пуанкаре как о блистательном представителе французской науки. Он родился в 1854 году в семье, занимавшей весьма почтенное положение в обществе, достаточно упомянуть, что Анри приходился двоюродным братом Раймону Пуанкаре, пять раз занимавшему пост премьер-министра Франции, а с 1913 по 1920 годы, в тяжелое время Первой мировой войны, - пост президента страны.
Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность гомео-морфна трехмерной сфере. "Трехмерная поверхность" может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера -это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера - поверхность трехмерного шара). Все началось с исследований, которые Пуанкаре вел в области алгебраической геометрии. Он работал над одним из краеугольных камней этой науки - теорией гомологий, особого класса топологических инвариантов. В 1900 году он опубликовал статью, в которой доказывал, что если у трехмерной поверхности гомология совпадает с гомологией сферы, то и сама поверхность - сфера; на самом деле это ут-
верждение даже более сильное, чем утверждение гипотезы Пуанкаре.
Однако в его рассуждения вкралась ошибка, которую он сам и нашел, к 1904 году разработав важнейшее понятие фундаментальной группы и построив на его базе контрпример к собственной теореме. Тогда же он наконец-то поставил вопрос правильно.
Достаточно долго на гипотезу не обращали внимания. Интерес к ней пробудил Генри Уайтхед - Джон Генри Константин Уайтхед (J.H.C.Whitehead, 1904-1960) - выдающийся английский математик, один из основателей теории гомотопий. Не следует его путать с его собственным дядей Альфредом Уайтхедом, тоже математиком, но специализировавшимся на логике и алгебре, соавтором Бертрана Рассела по знаменитой книге Principia Mathematica, который в 1930-е годы объявил о том, что нашел доказательство. Однако его доказательство было неверным. В ходе многочисленных попыток исправить свои неточности он обнаружил интереснейшие классы трехмерных поверхностей и значительно продвинул теорию, которая позднее получила название топологии малых (или низших) размерностей. В 50-е и 60-е годы всплеск интереса к проблеме вновь породил несколько ошибочных заявлений о том, что теорему удалось доказать, и после этого математики наконец-то поняли, что гипотезу Пуанкаре "так просто не возьмешь", с 60-х годов и до работ Григория Перельмана ложные доказательства предъявляли только любители.
Топология низших размерностей стала отдельной ветвью математики. Уже в 50-е и 60-е годы утверждения, аналогичные гипотезе Пуанкаре, были доказаны для более высоких размерностей. Трехмерный же случай продолжал оставаться камнем преткновения.
На третьем занятии мы рассказали о том, что в начале апреля 2002 года доктор Григорий Перельман из Института математики им. Стек-лова в Санкт-Петербурге прочел серию публичных лекций в Массачусетском Технологическом Институте (США). В этих лекциях он изложил содержание работы, опубликованной им в виде двух статей, а также то, каким образом эта работа ведет к ряду важных математических последствий, включая подтверждение знаменитой гипотезы Пуанкаре. Математики все еще проверяют доводы Перельмана на наличие ошибок, но вплоть до настоящего времени его объяснения выдержали всю критику.
Гипотеза Пуанкаре и работа Перельмана относятся к математическим объектам, именуемым многообразиями (manifolds). Грубо говоря, это
геометрические объекты, которые "вблизи" выглядят как отрезок прямой (одномерные многообразия), круг на плоскости (двумерные многообразия), шар в сплошном пространстве (трехмерные многообразия) и так далее для пространств более высокой размерности.
В печати появились образные сравнения гипотезы Пуанкаре с надувным мячом. Поверхность надувного мяча являет собой пример двумерного многообразия: для очень маленького наблюдателя, движущегося по ней, она выглядит плоским диском. Тот факт, что поверхность Земли является двумерным многообразием, а потому "вблизи" выглядит как плоскость, заставил людей на заре истории строить теории о плоской Земле. Однако снимки Земли из космоса показывают, что поверхность Земли является не плоскостью, а сферой.
Из этих двух примеров вытекает очень важная идея эквивалентности. Если бы у нас был бесконечно растяжимый надувной мяч и много воздуха, можно представить его раздувание до такой степени, что его поверхность превратится в поверхность Земли. Математики говорят, что поверхности надувного мяча и Земли топологически эквивалентны.
Гипотеза Пуанкаре пытается обобщить это на более высокие размерности, а именно, предполагает, что всякое трехмерное многообразие топологически эквивалентно трехмерной сфере, если все петли на нем могут быть стянуты в точку.
Представить себе трехмерную сферу сложнее. Одномерная сфера (дуга окружности) на плоскости состоит из точек, расположенных на фиксированном расстоянии от заданной. Аналогично, двумерная сфера (поверхность шара) состоит из точек на фиксированном расстоянии от заданной точки в трехмерном пространстве. А трехмерная сфера состоит из точек на фиксированном расстоянии от заданной точки в четырехмерном пространстве.
Гипотеза Пуанкаре оставалась недоказанной на протяжении всего двадцатого столетия. Попытки многих из числа лучших топологов и геометров того времени решить ее закончились неудачей. В математическом мире она приобрела статус аналогичный статусу Великой теоремы Ферма, недавно доказанной Эндрю Уайльсом (Andrew Wiles). К середине XX столетия аналоги гипотезы Пуанкаре были доказаны в пространствах размерности выше 3. Однако все попытки доказать ее для трехмерного случая потерпели поражение.
Работа Перельмана доказывает гипотезу Пуанкаре путем доказательства гораздо более общей классификационной теоремы, недавней ги-
И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЦИКЛОВ
потезы геометризации Уильяма Терстона (William Thurston). Эта гипотеза предсказывает, что всякое трехмерное многообразие может быть разделено на куски, каждый из которых может быть растянут и согнут до превращения в одну из восьми заданных геометрических структур.
Изучение этих геометрических структур относится к дифференциальной геометрии - базовому математическому языку общей теории относительности Эйнштейна и области специализации самого Перельмана. В широком смысле геометрическая структура на многообразии есть способ спецификации поведения кратчайших путей между парами точек данного многообразия.
Институт математики Клея (Кембридж, США) назначил награду за решение семи "математических чудес света" - семи важнейших математических загадок, среди которых и гипотеза Пуанкаре. Эта задача, выдвинутая Анри Пуанкаре в 1904 году, является самой знаменитой задачей топологии, той области математики, которая исследует форму предметов пространства. Формулируется она примерно так - "каждая односвязная трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере".
Теорема Пуанкаре считалась одной из неразрешимых математических задач века, доказать ее пытались многие математики, для безуспешного энтузиазма которых даже было придумано определение "пуанкарит". Поэтому доказательство Перельмана стало сенсацией среди специалистов. Именно за эту работу российский математик и был представлен в Мадриде к награждению медалью Филдса. В официальном сообщении это звучит так: "За вклад в геометрию и достижения в изучении геометрической и аналитической структуры потоков Риччи". Один из организаторов конгресса, испанский математик Мануэль де Леон, объяснил: "Перельману удалось обобщить весь накопленный опыт и гениально доказать гипотезу, выдвинутую еще в 1904 году".
Медаль Филдса, носящая имя выдающегося канадского ученого Джона Чарльза Филдса (1863-1932), является высшей наградой Всемирного союза математиков. Нобелевская премия в математике не присуждается, поэтому Филдсов-ская премия имеет подобный ей статус. Она присуждается раз в четыре года ученым моложе 40 лет за выдающиеся открытия в области математических наук. Обычно лауреатов не больше четырех. Кроме Григория Перельмана в этом году медали удостоены российский математик Андрей Окунков, работающий в Принстонском университете, австралиец Терен Тао из университета Калифорнии в Лос-Анджелесе и немецкий мате-
матик Венделин Вернер, работающий в парижском университете Пари-Зюд и Высшей Нормальной школе.
На четвертом, пятом и шестом занятиях мы рассказали об интересных деталях педагогической деятельности этих ученых. Например, лекции Лобачевского охватывали почти все предметы физико-математического цикла. Он читал не только математические дисциплины (элементарную математику, плоскую и сферическую тригонометрии, теорию чисел, дифференциальное и интегральное исчисления, аналитическую и начертательную геометрии, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление), но и аналитическую механику, гидростатику и гидравлику, астрономию, физику опытную и математическую. При этом Лобачевский со всей страстью своей натуры вникал в преподаваемый им предмет, изучал предварительно основную классическую литературу, знакомился с новыми учебными руководствами, следил за текущей научной периодикой. Он отличался самостоятельным глубоким подходом к исходным положениям преподаваемой им области науки. Его преподавание сочеталось, таким образом, с исследовательской деятельностью и сопровождалось использованием важнейших трудов и учебных пособий, изучением новейшей журнальной научной литературы, а в опытных науках - соответствующей экспериментальной частью.
Такая широта диапазона преподаваемых дисциплин, безусловно, отражает многообразие интересов великого геометра. Мы видим, что его влекла к себе не только математика. Им владело стремление познать законы природы, глубже проникнуть с помощью математических методов в сущность физических явлений, в систему строения Вселенной.
Лобачевский не одобрял у студентов механического заучивания материала и иногда с неудовольствием останавливал на экзамене студента, бойко заполнявшего формулами всю доску. Зато часто ему было достаточно ответа в нескольких словах. Он требовал безукоризненной точности выражений и особенно ценил способность самостоятельного суждения. До нас дошел печатный текст его "Речи о важнейших предметах воспитания". Это замечательный памятник педагогической мысли, исключительно богатый содержанием и отражающий многосторонний мир интересов ученого. Лобачевский здесь выступает, прежде всего, как воспитатель юношества. Нет сомнений, что он в многообразии своих обязанностей и устремлений выделял как основное -творческую научную деятельность и деятельность воспитательную. Эта последняя восприни-
малась им с исключительной широтой и охватывала все стороны формирующейся личности молодого человека. От студента Лобачевский не только требовал приобретения высокой квалификации по избранной им специальности, но, подчеркивая общественную роль образования, стремился увлечь юношу патриотическим идеалом ученого-гражданина, который "высокими познаниями составляет честь и славу своего отечества".
Другой ученый - Анри Пуанкаре - успел поработать во многих областях науки: комплексном анализе, небесной механике, алгебраической геометрии, теории чисел и, конечно, топологии, в которой он и сформулировал носящую его имя гипотезу. Не все знают, что Пуанкаре стоял у истоков теории относительности; долгое время он сотрудничал с Хендриком Лоренцом (кстати, преобразования Лоренца получили имя великого голландца именно с легкой руки Пуанкаре) и еще в 1898 году, задолго до Эйнштейна, в работе "Измерение времени" сформулировал принцип относительности, а затем даже ввел четырехмерное пространство-время, теорию которого в сотрудничестве с Эйнштейном позднее разработал Герман Минковский. Примечательно, что сам Эйнштейн очень долго отрицал всякое знакомство с трудами Пуанкаре и не ссылался на него вплоть до начала двадцатых годов, однако впоследствии все же признал заслуги французского математика.
Философия и методы работы Пуанкаре тоже заслуживают внимания; он категорически не принимал набирающих в то время силу формалистических взглядов Рассела, Фреге и Гильберта, для которых математика была частью логики. Пуанкаре считал, что основа работы математика - интуиция, а сама наука не допускает полного аналитического обоснования. В своих привычках он следовал этой философии: Пуанкаре всегда сначала полностью решал задачи в голове, а затем записывал решения. Он обладал феноменальной памятью и мог слово в слово цитировать прочитанные книги и проведенные беседы.
В его трудах неоднократно обнаруживались ошибки, но и в своих ошибках он был гениален: вовремя замеченная неточность Пуанкаре в знаменитом труде о проблеме трех тел привела к развитию теории хаоса, а другая - топологическая - к той самой гипотезе, о которой сейчас говорят как о теореме Пуанкаре.
На Всемирном конгрессе математиков в Мадриде главная награда - медаль Филдса - так и не была вручена лауреату, российскому математику Григорию Перельману. Российский математик решил неразрешимую задачу, удостоил-
ся за это высших математических наград и премии в 1 миллион долларов и непринужденно отказался от того и другого. Президент Международного союза математиков Джон Боул объяснил позицию российского ученого почетному председателю открывшегося в Мадриде Всемирного конгресса математиков королю Испании Хуану Карлосу 1 и другим лауреатам "Медали Филдса": "Григорий отказался от премии, поскольку разочаровался в математике и больше не чувствует себя частью мирового математического сообщества".
Перельман уже не в первый раз не обращает внимания на награды. Однажды он отказался от Европейской математической премии. По одной из версий, на том основании, что комитет, присуждающий премии, недостаточно квалифицирован, чтобы судить о его работе. Медаль Филдса он тоже уже один раз проигнорировал в 1996 году, также не явившись на церемонию ее вручения. Да и само свое научное открытие - доказательство гипотезы Пуанкаре, на которое ушло восемь лет работы, он опубликовал вовсе не в специализированном журнале, а в Интернете. В 2002-2003 годах в онлайновом архиве работ по математике и физике появились три статьи math.BG/0211159, math.BG/0303109,
math.BG/0307245 за подписью Grisha Perelman, в которых в общих чертах содержалось решение.
На седьмом и восьмом занятиях мы акцентировали внимание на том, что, кроме гипотезы Пуанкаре, есть еще шесть нерешенных математических задач, на которых можно заработать миллион: гипотеза Римана, уравнение Навье-Стокса, гипотеза Кука, гипотеза Ходжа, теория Янга-Миллса, гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера.
Класс был предварительно разбит на шесть групп и каждая группа работала в проектном режиме над каждой гипотезой в отдельности. Охарактеризовав суть каждой гипотезы, подняли вопросы нравственно-этического характера:
1. Ученый-педагог - это прежде всего ученый или гражданин? Почему?
2. Что есть награда для ученого?
3. Ученый - это педагог или только ученый?
Примечательно, что в ходе дискуссий весь
класс пришел к выводу, что ученый-педагог -это, прежде всего, гражданин, что настоящий ученый - это и настоящий педагог и что высшей наградой для него будет не миллион, а открытие и признание этого открытия другими, и что нравственный долг каждого ученого, педагога и каждого ученика "высокими познаниями составить честь и славу своему отечеству".
И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЦИКЛОВ
OPTIONAL COURSE OF MATHEMATICS FOR FUTURE SCHOLARS AND TEACHERS
A.V.Gabdulkhakov
The article describes the ways of interpretation of the achievements of three mathematicians - Nikolay Lobachevsky, Jules Henri Poincare and Grigory Perelman - from the point of view of teaching methods.
The author creates the didactic version that may help in putting into life three professional aspects: cognitive, ethical and philosophical.
Key words: optional course, pedagogical orientation, image of teacher
Габдулхаков Альберт Валерьянович - кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры вычислительной математики и информатики математического факультета Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета
E-mail: mf@tggpu.ru
